Bài giảng môn học Toán học lớp 11 - Hàm số liên tục (Tiếp theo)

Hàm số liên tục I/ Kiến thức cơ bản: 1/ Hàm số liên tục tại một điểm: Giả sử hàm số f xác định trên (a,b) và (a,b).Hàm số f được gọi là liên gọi là liên tục tại điểm x0 nếu: Hàm số không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại x0 2/Hàm số liên tục trên một khoảng,một đoạn. +/ Hàm số f xác định trên (a,b) gọi là liên tục trên (a,b),nếu nó liên tục tại mọi điểm trên (a,b). +/ Hàm số f xác định trên gọi là liên tục trên ,nếu nó liên tục trên (a,b) và , 3/ Tính chất +/ Định lý về giá trị trung gian của hàm số liên. Giả sử hàm số f liên tục trên .Nếu f(a) f(b),thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b),tồn tại ít nhất một điểm c (a,b) sao cho f(c) = M +/ Hệ quả : Nếu hàm số f liên tục trên và f(a)f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất c (a,b) sao cho f(c) = 0 Lưu ý :Một số kết quả quan trọng +/ Tổng,hiệu , tích , thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó.(Trong trường hợp thương,giá trị của mẫu tại điểm phải khác 0) +/ Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ(thương của 2 đa thức) liên tục trên TXĐ của chúng +/ Các hàm số y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx liên tục trên TXĐ của chúng II/Kỹ năng cơ bản +/ Chứng minh hàm số liên tục tại một điểm,trên một khoảng,trên một đoạn,nửa khoảng. +/ Vận dụng định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình III/Một số ví dụ A. Ví dụ 1.Xét tính liên tục của hàm số Tại điểm x=2. Giải: +/ TXĐ : ,chứa điểm x = 2 +/ +/ Mà f(2) = 2 Suy ra,hàm số liên tục tại điểm x = 2 Ví dụ 2.Xét xem các hàm số sau có liên tục trên hay không ? 1/ f(x)= 2/ f(x) = 3/ f(x) = 4/ f(x) = Giải 1/ Hàm số có TXĐ là :R nên nó liên tục trên R,vì đây là hàm đa thức. 2/ Hàm số có TXĐ là : +/Vậy hàm số liên tục +/Điểm x=1,x=2 là điểm gián đoạn của hàm số 3/ Hàm số có TXĐ là :R\ +/Vậy hàm số liên tục trên R\ +/Điểm x=0,x=2 là điểm gián đoạn của hàm số. 4/ TXĐ của hàm số là : + +/f(4) = 8 Suy ra, hàm số liên tục tại x=4 +/Mặt khác,với là hàm số liên tục (vì đây là hàm số phân thức hữu tỷ,xác định tại mọi x ) +/Vậy hàm số liên tục trên R Ví dụ 3.Cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x=0 1/ 2/ Có thể cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) trở thành liên tục tại x = 0 Giải 1/ Đặt Ta tìm a để hàm số liên tục tại x=0 +/TXĐ của hàm số :R,chứa x=o +/f(0) = a +/ Vậy để hàm số liên tục tại x=0 ta phải có a=2 2/ Đặt Ta tìm a để hàm số liên tục tại x=0 +/TXĐ củahàm sô : ,chứa x=0 +/f(0)=a +/ Ta có : Do đó không tồn tại Vậy không có giá trị nào của f(0)=a để hàm số đã cho liên tục tại x=0 Ví dụ 4:Tìm a để hàm số liên tục trên R Giải + TXĐ :R + Khi x<1 ,f(x)=là hàm số liên tục,vì đây là hàm đa thức. + Khi x>1 ,f(x)= là hàm số liên tục,vì đây là hàm đa thức. + Để hàm số liên tục trên R thìhàm số phải kiên tục tại x=1 + Ta có f(1) = 2a-3 Hàm số liên tục tại x=1 Vậy với thì hàm số liên tục trên R Ví dụ 5.Chứng minh phương trình 1/ 2/ Giải 1/ Hàm số là hàm số liên tục trên R + Mặt khác Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0,1) 2/ Hàm số là hàm số liên tục trên R +/ Mặt khác : +/Vậy phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm phân biệt trong (-1;1). Ví dụ 6.Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Giải : +/ Hàm số liên tục trên +/Ta có +/Chứng tỏ tồn tại để cho Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. Ví dụ 7.Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm dương Giải: +/Hàm số f(x)=liên tục trên +/Ta có, sao cho +/Vì f(x) liên tục trên , +/ Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm dương B.Bài tập trăc nghiệm. Chọn những đáp án đúng cho những ví dụ sau Vý dụ 8.Hàm số f(x) = có các điểm gián đoạn là: A.x=1 và x=2 B.x=2 và x=2 C.x=1 và x=2 D.x=1 và x=2 Ví dụ 9.Hàm số f(x) = A.Liên tục trên B.Liên tục trên C.Liên tục trên D.Liên tục trên Ví dụ10.Hàm số f(x)= liên tục trên .Khi đó a bằng A.2 B.1 C.0 D.-1 Ví dụ 11.Để hàm số f(x) = xác định và liên tục tại x=0,cần phải cho f(0) giá trị là: A.3 B.2 C.1 D.0 Ví dụ 12.Để hàm số : F(x)= liên tục trên ,giá trị của a là A.-2 B.-3 C.2 D.3 Ví dụ 13.Mệnh đề nào sau đây sai A.Hàm số y= liên tục trên B.Hàm số y= liên tục trên C.Hàm số y=tgx liên tục trên (0,). D.Hàm số y= liên tục trên Ví dụ 14.Hàm số f(x)= liên tục tai x=0 Giá trị của m bằng: A.m= B. C.0 D.1 Đáp án VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 B D A C A C A IV.Bài tập A.Bài tập tự luận Bài 1.Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng 1/ 2/ 3/ 4/ Hướng dẫn 1/TXĐ của hàm số là ,nên hàm số liên tục trên 2/ TXĐ của hàm số là hàm số liên tục trên . 3/TXĐ của hàm số là ,nên hàm số liên tục trên 4/ TXĐ của hàm số là hàm số liên tục trên . Bài 2.Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra. 1/ f(x)= tại x= 1 2/ f(x)= tại x=1 3/ f(x)= tại x=0 4/ f(x)= tại x=3 Hướng dẫn 1/ +/ TXĐ: 2/ +/ TXĐ: 3/ +/TXĐ: 4/ +/ TXĐ: chứa x= 3 . +/ +/ +/ Vậy hàm số liên tục tại x=3 Bài 4: Tìm a,b để các hàm số sau liên tục trên . HD: 1/ +/ TXĐ: +/ Hàm số liên tục khi x>2 và khi x<2 . +/ Hàm số liên tục trên Hàm số liên tục tại x=2. +/ Ta phải có +/ Vậy giá trị phải tìm là a=1. 2/ +/ TXĐ: +/ Hàm số liên tục khi x>3 và khi x<3. +/ Hàm số liên tục trên Hàm số liên tục tại x=3. +/ Ta phải có . +/ Vậy giá trị phải tìm là 3/ +/ TXĐ: +/ Hàm số liên tục trên Hàm số liên tục tại x=1. +/ Ta phải có +/ Vậy giá trị phải tìm là 4/ +/ TXĐ: +/ Hàm số liên tục trên Hàm số liên tục tại x=8. +/ Ta phải có +/ Vậy a=1 là giá trị phải tìm. Bài 4:Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm phân biệt trong khoảng . HD: +/ Hàm số liên tục trên . +/ Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt trong khoảng . Bài 5: CMR các phương trình sau có nghiệm. HD: 1/ +/Hàm số +/Ta có . 2/ +/Hàm số +/Do Như vậy tức là phương trình đã cho luôn có nghiệm. Bài 6: CMR nếu thì phương trình Có ít nhất một nghiệm trong khoảng . HD: +/ Đặt t=tanx, . +/ Ta có pt +/ Để pt đã cho có nghiệm trên khoảng,pt phải có nghiệm thuộc khoảng . +/ Nếu ta có : . . +/ Nếu thì . +/ Nếu c=0 khi đó . Từ giả thiết +/ Nếu a=0 ta có Nếu b=c=0 Nếu thì ta có . Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm trên ,. Bài 7: CMR phương trình sau có nghiệm m. HD: 1/ +/Hàm số liên tục trên ,m. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm trên. 2/ +/Hàm số liên tục trên m. . +/ Ta có . Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm trên . 3/ +/Hàm số liên tục trên . +/Ta có Nếu m=0 thì phương trình đã cho có nghiệm x=1,x=3. Nếu m thì pt đã cho có nghiệm trên . Vậy ta luôn có pt đã cho có nghiệm m. B.Bài tập trắc nghiệm. Bài 8: Hàm số có các điểm gián đoạn là : A.x=1và x=0 B.x=0 và x=2 C.x=1 D.x=1 và x=2 Bài 9: Hàm số nào sau đây liên tục trên . A.y= C.y= B.y=xsinx D.y= Bài 10:Cho hàm số ,x0.Bổ xung giá trị bằng bao nhiêu để hàm số liên tục trên . A.0 B.1 C. D. Bài 11: Cho hàm số Liên tục tại x=1. Giá trị của a là: A.3 B.2 C.1 D.0 Bài 12: Phương trình có nghiệm trên A. D. B. C. Bài 13 : Hàm số liên tục trên ,khi đó giá trị a là: A.2 B. 2 C. 1 D.1 Bài 14: Hàm số liên tục trên khi đó bằng A.0 B.1 C.2 D.3 Bài 15: : Cho hàm số Liên tục tại x=2. Giá trị của a là: A. B. C. D.1 Bài 16: Hàm số Khi đó : A.Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ đọan B. Hàm số liên tục trên . C.Hàm số liên tục trên \{1}. D.Hàm số liên tục trên \{0}. Đáp án: B.8 B.9 B.10 B11 B B C A B12 B13 B14 B15 B16 B C D C B