Bài giảng môn học Toán học lớp 11 - Tiết 1: Hàm số lượng giác (Tiếp theo)

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TIẾT 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC @&? Ngày 6 tháng 9 năm 2008 I. MỤC TIÊU: - Giúp học sinh ôn tập các kiến thức về hàm số lượng giác và một số cong thức lượng giác đơn giản. - Rèn luyên kỹ năng giải một số bài toán về các tính chất của hàm số lượng giác. II. CHUẨN BỊ: Giáo án, ôn bài ở nhà III. PHƯƠNG PHÁP: Đàm thoại + giảng giải, A. Kiến thức cần nhớ 1. Cung đối nhau cos(-) = cos; sin(-) = -sin; tan(-) = -tan; cot(-) = cot(-) Cung bù nhau sin= sin cos= -cos tan= -tan cot= -cot Cung hơn kém sin= - sin cos= -cos tan= tan cot= cot Cung phụ nhau sin= cos cos= sin tan= cot cot= tan Công thức cộng cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb; sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa tan(a + b) = Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a; tan2a = Công thức hạ bậc cos2a = ; sin2a = ; tan2a = Công thức biến đổi tích thành tổng cosa cosb = ; sina sinb = sina cosb = Công thức biến đổi tổng thành tích cosu + cosv = 2coscos; cosu - cosv = -2sinsin sinu + sinv = 2sincos; sinu - sinv = 2cossin 2. Hàm số sin Hàm số y = sinx có tập xác định là R và -1 sinx 1, . Là hàm số lẻ. Tuần hoàn với chu kì 2. Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt: + sinx = 0 x = k, k Z + sinx = 1 x = , k Z + sinx = -1 x = - , k Z 3. Hàm số côsin Hàm số y = cosx có tập xác định là R và -1 cosx 1, . Là hàm số chẵn. Tuần hoàn với chu kì 2. Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt: 4. Hàm số tang Hàm số y = tanx = có tập xác định là D= R\ Là hàm số lẻ. Tuần hoàn với chu kì. Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt: + tanx = 0 x = k, k Z + tanx = 1 x = , k Z + tanx = -1 x = - , k Z 5. Hàm số côtang Hàm số y = cotx = có tập xác định là D= R\ Là hàm số lẻ. Tuần hoàn với chu kì. Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt: + cotx = 0 x = , k Z + cotx = 1 x = , k Z + cotx = -1 x = - , k Z B. Ví dụ và bài tập VD1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a. y = sin(2x + 1); b. y = cos; c. y = tan(x + ); d. y = cot(2x - ) Giải a. Tập xác định của hàm số y = sin(2x + 1) là D = R. b. Hàm số y = cos xác định khi x 0. Vậy tập xác định của hàm số y = cos là D = R\ . c. Hàm số y = tan(x + ) xác định khi x + + k x k. Vậy tập xác định của hàm số là D = R\ . Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a. y = sin b. y = c. y = ; d. y = e. y = cot( f. y = ; g. y = h. y = tan() i. y = sin; k. y = l. y = cos m. y = ; n. y = p. y = tanx + cotx q. y = VD2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a. y = 3 + 2sinx b. y = c. y = Giải a. Vì -1 sinx 1 nên -2 2sinx 2 do đó 13 + 2sinx 5. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1 x = , k Z. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sinx = -1 x = - , k Z. b. Vì 0 cos2x 1 nên 2 2 + 3cos2x 5 do đó . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt được khi cosx = 1 x = , k Z. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi cosx = 0 x = , k Z. c. Vì -1 sin3x 1 nên 3 2sin3x +5 7 do đó . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt được khi sin3x = 1 3x = , k Z. x = , k Z. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi sin3x = -1 3x = -, k Z. x = -, k Z. Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a. y = b. y = 1- 2sin22x c. y = 4 - 3; d. y = e. y = f. y = ; g. y = 1 – sin2x h. y = 3sin(x- ) -1 i. y = -2 + k. y = 2cos l. y = 3 + 1 m. y = 2- 3cosx Xét tính chẵn, lẻ của hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. f(x) là hàm số chẵn trên D ; f(x) là hàm số lẻ trên D Bài tập 3: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a. y = sin2x b. y = -2 +3cosx c. y = cosx – sinx d. y = tanx.sinx e. y = cos2x + sin f. y = cotx. TIẾT 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN @&? Ngày tháng năm 2008 I. MỤC TIÊU: - Giúp học sinh ôn tập các kiến thức về phương trình lượng giác. - Rèn luyên kỹ năng giải một số phương trình lượng giác cơ bản. II. CHUẨN BỊ: Giáo án, ôn bài ở nhà III. PHƯƠNG PHÁP: Đàm thoại + giảng giải, A. Kiến thức cần nhớ 1. Phương trình sinx = a (1) Nếu >1 thì phương trình (1) vô nghiệm. Nếu 1: gọi là cung thoả mãn sin= a. Khi đó sinx = a sinx = sin Nếu thoả mãn điều kiện - và sin = a thì ta viết = arcsina. Khi đó nghiệm của phương trình (1) là Phương trình sinx = sin Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian. 2. Phương trình cosx = a (2) Nếu >1 thì phương trình (2) vô nghiệm. Nếu 1: gọi là cung thoả mãn cos= a. Khi đó cosx = a cosx = cos Nếu thoả mãn điều kiện 0 và cos = a thì ta viết = arccosa. Khi đó nghiệm của phương trình (2) là Phương trình cosx = cos 3. Phương trình tanx = a (3) Điều kiện Gọi là cung thoả mãn tan= a. Khi đó tanx = a Nếu thoả mãn điều kiện -<< và tan = a thì ta viết = arctana. Lúc đó nghiệm của phương trình (3) là: x = arctana + k, () Phương trình tanx = tan 4. Phương trình cotx = a (4) Điều kiện Gọi là cung thoả mãn cot= a. Khi đó cotx = a Nếu thoả mãn điều kiện 0<< và cot = a thì ta viết = arccota. Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là: x = arccota + k, () Phương trình cotx = cot B. Ví dụ và bài tập VD1: Giải các phương trình sau: a. sinx = b. sin2x = c. cos(2x +)= d. tan(x – 600) = e. cot(x - )= 5 f. cos(x -750) = -1 *g. tan3x = tanx *h. tan5x – cotx = 0 Giải a. sinx = Vậy nghiệm của phương trình sinx = là: b. sin2x = Vậy nghiệm của PT sin2x = là: c. cos(2x +)= cos(2x +)= cos Vậy nghiệm của Pt cos(2x +)= là: d. tan(x – 600) = Vậy nghiệm của Pt tan(x – 600) = là: e. cot(x - )= 5 Vậy nghiệm của Pt cot(x - )= 5 là: f. cot(x -750) = -1 Vậy nghiệm của Pt cot(x -750) = -1 là: g. tan3x = tanx Điều kiện Ta có tan3x = tanx 3x = x +l x = l Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = m (m) h. tan5x – cotx = 0 Điều kiện Ta có . tan5x = cotx tan5x = tan( 5x = + l (lZ) x = + l (lZ) Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = + l (lZ) Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a. cos(3x - )= - b. cos(x -2) = c. cos(2x + 500) = d. (1+ 2sinx)(3- cosx)= 0 e. tan2x = tan f. tan(3x -300) = - g. cot(4x -)= h. sin(3x- 450) = i. sin(2x +100)= sinx k. (cot-1)(cot+1)= 0 l. cos2x.cotx = 0 m. cot()= -1 n. sin(2x -150) = - p. sin4x = q. cos(x + 3) = r. cos2x cot(x - )= 0 s. cos3x = t. tan( u. cos3x – sin2x = 0 v. sin3x + sin5x = 0 Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a. sin(2x -1) = sin(x+3) b. sin3x= cos2x c. sin4x + cos5x = 0 d. 2sinx + sin2x = 0 e. sin22x + cos23x = 1 f. sin3x + sin5x = 0 g. sin(2x +500) = cos(x +1200) h. cos3x – sin4x = 0 *i. tan(x - ) + cotx = 0 *j. tan5x = tan3x TIẾT 3, 4: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP @&? Ngày tháng 10 năm 2008 I. MỤC TIÊU: - Giúp học sinh ôn tập các kiến thức về phương trình lượng giác. - Rèn luyên kỹ năng giải một số phương trình lượng giác thường gặp. II. CHUẨN BỊ: Giáo án, ôn bài ở nhà III. PHƯƠNG PHÁP: Đàm thoại + giảng giải, A. Kiến thức cần nhớ 1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. Các phương trình dạng at + b = 0 (a 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình lượng giác về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Các phương trình dạng at2 + bt + c = 0 (a 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Có nhiều phương trình lượng giác có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác bằng các phép biến đổi lượng giác. 3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1) Cách giải Chia hai vế phương trình (1) cho ta được (2) (vì ) Đặt ; sin Pt (2) trở thành: cos.sinx + sin.cosx = sin(x + ) = (3) Phương trình (3) là phương trình lượng giác cơ bản. Chú ý: Pt (1) có nghiệm pt(3) có nghiệm a2 + b2 c2 Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 c2 . sinx cosx = sin(x ) 4. Phương trình asin2x + bsinx. cosx + ccos2x = d Cách giải Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc) asin2x + bsinx. cosx + ccos2x = d a. + b. + c.= d bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c Cách 2: Nếu cosx = 0 không là nghiệm của phương trình thì ta chia hai vế của phương trình cho cos2x 0 ta được phương trình bậc hai: a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x) (a – d).tan2x + btanx + c – d = 0 B. Ví dụ và bài tập VD1: Giải các phương trình sau: a. 2sinx –= 0 b. 2tanx – 5 = 0 c. (cotx – 3)(2cosx –1) = 0 d. 2sin2x – sin2x = 0 Giải a. 2sinx –= 0 2sinx = sinx = sinx = sin Vậy nghiệm của phương trình là: b. 2tanx – 5 = 0 2tanx = 5 tanx = x = arctan + k (kZ) Vậy nghiệm của phương trình là: x = arctan + k (kZ) c. (cotx – 3)(2cosx –1) = 0 (1) cotx = 3 cotx = cotx = cotx = + k (kZ) (2) 2cosx =1 cosx = cosx = cos Vậy nghiệm của phương trình là: d. 2sin2x – sin2x = 0 2sin2x – 2sinx.cosx = 0 2sinx(sinx – cosx) = 0 . Vậy nghiệm của phương trình là: Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a. 4sinx – 3 = 0 b. 3cotx + = 0 c. 1 - tan(5x + 200) =0 d. 2cos3x + 1 = 0 e. sin(3x + 1)= f. cos(x + )= g. (2cosx +)(tan(x +100) - ) = 0 h. sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0 i. 8sinx.cosx.cos2x = j. sin2x +2cox = 0 k. tan(x +1) – 2008=0 l. 3tan2x + tanx = 0 m. 4sin2x – sin22x = 0 n. - 2sin3x = 0 p. cot(x + ) = 1 q. cos2(x – 300) = r. 8cos3x – 1 = 0 Bài tập 2*: Giải các phương trình sau: a. tan3x. tanx = 1 b. cot2x. cot(x + ) = -1 c. VD2: Giải các phương trình sau: a. 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 b. cot22x – 4cot2x +3 = 0 c. 2cos2x +3sinx - 3 = 0 d. tan4x + 4tan2x - 5 = 0 Giải a. 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 Đặt t = sinx ( điều kiện -1 t 1) thay vào phương trình ta được: 2t2 – 5t -3 = 0 Với t = - ta được sinx = - sinx = sin(-) Vậy nghiệm của phương trình là: b. cot22x – 4cot2x -3 = 0 Vậy nghiệm của phương trình là: c. 2cos2x +3sinx - 3 = 0 2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0 2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 Với sinx = 1 x = Với sinx = sinx = sin Vậy nghiệm của pt là: d. tan4x + 4tan2x - 5 = 0 Vậy nghiệm của pt là: Bài tập 3: Giải các phương trình sau: a. 3cos2x - 5cosx + 2 = 0 b. 4sin2x – 4sinx – 3 = 0 c. cot2x – 4cotx + 3 = 0 d. tan2x + (1 - )tanx - = 0 e. 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f. tan4x – 4tan2x + 3 = 0 g. sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h. cos2x + 9cosx + 5 = 0 i. sin22x – 2cos2x + = 0 j. 4cos42x – 7cos22x + 3 = 0 VD3: Giải các phương trình sau: a. sinx + cosx = 2 b. cos3x – sin3x = 1 c. 3sin2x + 4cos2x = 5 d. sinx – cosx = 3 Giải a. sinx + cosx = 2 Chia hai vế pt trên cho = 2 ta được sinx + cosx = 1 cos.sinx + sin.cosx = 1 sin(x +) = 1 x + = + k2 x = + k2 Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = + k2 b. cos3x – sin3x = 1 Chia hai vế pt trên cho = ta được cos3x - sin3x = cos cos3x - sinsin3x = cos(3x + ) = cos(3x + ) = cos Vậy ngiệm của phương trình trên là: c. 3sin2x + 4cos2x = 5 Chia hai vế pt cho = 5 ta được sin2x + cos2x = 1 Kí hiệu là cung mà sin= , cos= ta được sin2x cos + sincos2x = 1 sin(2x + ) = 1 2x + = + k2 x = - + k Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = - + k (với sin= , cos= ) d. sinx – cosx = 3 Ta có 2 + (-1)2 = 3 <32 = 9 do đó phương trình trên vô nghiệm. Bài tập 4: Giải các phương trình sau: a. sinx + cosx = b. 2sinx – 5cosx = 5 c. 2cosx – sinx = 2 d. sin5x + cos5x = -1 e. 3sinx – 4cosx = 1 f. 2sin2x + sin2x = 3 g. sin5x + cos5x = cos13x h. sinx = sin3x – cosx VD4: Giải các phương trình sau: a. 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1 b. 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3 Giải a. 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1 Với cosx = 0 thì vế trái bằng 2 còn vế phải bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình. Với cosx 0 chia hai vế phương trình trên cho cos2x ta được: 2tan2x + 4tanx – 4 = 1 + tan2x tan2x + 4tanx – 5 = 0 Vậy nghiệm của phương trình là: b. 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3 Áp dụng công thức hạ bậc ta được 4.+ 3. – = 3 sin2x + cos2x = 1 sin(2x +) = 1 sin(2x +) = sin(2x +) = sin Vậy nghiệm của phương trình là: Bài tập 5: Giải các phương trình sau: a. 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2 b. 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1 c. 2cos2x -3sin2x + sin2x = 1 d. 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3 e. 4sin2x + 3sin2x – 2cos2x = 4 f. sin3x + 2sin2x. cosx – 3cos3x = 0 g. sinx.cosx – sin2x = i. 3cos2x + 2sin2x – 5sinx.cosx = 0 Bài tập 6: Giải các phương trình sau: a. cos3x – cos4x + cos5x = 0 b. sin7x – sin3x = cos5x c. cos5x.cosx = cos4x d. sinx + 2sin3x = - sin5x e. 2tanx – 3cotx – 2 = 0 f. sin2x – cos2x = cos4x g. 2tanx + 3cotx = 4 h. cosx.tan3x = sin5x i. 2sin2x + (3 + )sinx cosx + (- 1)cos2x = -1 j. tanx.tan5x = 1