Bộ Toán có đáp án ôn thi đại học

ĐỀ VÀ BÀI GIẢI CHI TIẾT I. PHẦN CHUNG Câu 1: ( 2 điểm) Cho hàm số 1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2, Với những giá trị nào của m thì đồ thị ( Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều. Câu 2: ( 2 điểm) 1, Giải phương trình: 2, Giải hệ phương trình: Câu 3: ( 2 điểm ) 1, Tính tích phân: . 2, Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng: C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é §Òc¸c Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh: vµ ®­êng th¼ng ( d) cã ph­¬ng tr×nh: 1, T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ( d) vµ (P). TÝnh sè ®o gãc t¹o bëi ( d) vµ (P). 2, ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua A, n»m trong (P) sao cho gãc t¹o bëi hai ®­êng th¼ng vµ ( d) b»ng 450. II. PhÇn riªng ( ThÝ sinh chØ lµm mét trong hai phÇn) C©u 5A: ( 2 ®iÓm ) ( Dµnh cho THPT kh«ng ph©n ban) 1, ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn ®i qua hai ®iÓm A( 2;5 ), B9 4; 1) vµ tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh: . 2, Víi n lµ sè nguyªn d­¬ng, chøng minh hÖ thøc: C©u 5B: ( 2 ®iÓm) ( Dµnh cho THPT ph©n ban) 1, Gi¶i ph­¬ng tr×nh: . 2, Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S. ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a, chiÒu cao còng b»ng a. Gäi E, K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AD vµ BC. TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S. EBK. ĐÁP ÁN ĐỀ 1 I. PhÇn chung C©u 1: ( 2 ®iÓm) Cho hµm sè 1, Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m = 1. 2, Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m th× ®å thÞ ( Cm) cã ®iÓm cùc ®¹i vµ ®iÓm cùc tiÓu, ®ång thêi c¸c ®iÓm cùc ®¹i vµ ®iÓm cùc tiÓu lËp thµnh mét tam gi¸c ®Òu. §k ®Ó ( Cm) cã 3 ®iÓm cùc trÞ lµ m < 2. C¸c ®iÓm cùc trÞ cña ( Cm) lµ §¸p sè: C©u 2: ( 2 ®iÓm) 1, Gi¶i ph­¬ng tr×nh: §­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: Sö dông c«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng gi¶i hai ph­¬ng tr×nh: vµ Ta ®­îc c¸c hä nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ: 2, Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: §K §­a ph­¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ vÒ d¹ng: §Æt , t×m ®­îc t = 1, kÕt hîp víi ph­¬ng tr×nh thø hai cña hÖ,®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn trªn, t×m ®­îc nghiÖm . C©u 3: ( 2 ®iÓm ) 1, TÝnh tÝch ph©n: . §­a I vÒ d¹ng: . Dïng ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè, ®Æt §¸p sè: I = 6. 2, Cho c¸c sè thùc d­¬ng a, b, c tho¶ m·n . Chøng minh r»ng: Tõ . VËy . T­¬ng tù cho c¸c bÊt ®¼ng thøc cßn l¹i, suy ra ®pcm. C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é §Òc¸c Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh: vµ ®­êng th¼ng ( d) cã ph­¬ng tr×nh: 1, T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ( d) vµ (P). TÝnh sè ®o gãc t¹o bëi ( d) vµ (P). §¸p sè. 1) . 2, ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua A, n»m trong (P) sao cho gãc t¹o bëi hai ®­êng th¼ng vµ ( d) b»ng 450. Hai ®­êng th¼ng tho¶ m·n ®Ò bµi cã ph­¬ng tr×nh: II. PhÇn riªng ( ThÝ sinh chØ lµm mét trong hai phÇn) C©u 5A: ( 2 ®iÓm ) ( Dµnh cho THPT kh«ng ph©n ban) 1. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn ®i qua hai ®iÓm A( 2;5 ), B(4; 1) vµ tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh: . Hai ®­êng trßn tho¶ m·n ®Ò bµi cã ph­¬ng tr×nh: 2, Víi n lµ sè nguyªn d­¬ng, chøng minh hÖ thøc: §Æt S lµ vÕ tr¸i hÖ thøc cÇn chøng minh, l­u ý vµ ta thÊy: Tõ . So s¸nh hÖ sè cña trong khai triÓn nhÞ thøc Newton cña vµ ta suy ra: Tõ (1) vµ (2) cã ®pcm. C©u 5B: ( 2 ®iÓm) ( Dµnh cho THPT ph©n ban) 1, Gi¶i ph­¬ng tr×nh: . §k x > 0 vµ . §­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng . XÐt hai kh¶ n¨ng 0 1, ®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn ta t×m ®­îc hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: vµ x = 3. 2, Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S. ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a, chiÒu cao còng b»ng a. Gäi E, K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AD vµ BC. TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S. EBK. §¸p sè: . ĐỀ 2 Câu 1: Cho hàm số y = có đồ thị là (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. 2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, b sao cho AB ngắn nhất Câu 2: 1/.Giải phương trình: 2/.Giải hệ phương trình: Câu 3: 1) Tính tích phân I = 2) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực: (m - 3) + ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1) Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). Phần riêng: 1.Theo chương trình chuẩn: Câu 6a: Cho D ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình (D ) 2x +y –1 =0; khoảng cách từ C đến (D ) bằng 2 lần khoảng cách từ B đến (D). Tìm A, C biết C thuộc trục tung. Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai đường thẳng : (d1) ; (d2) . Viết phương trình tham số của đường thẳng D nằm trong mp(P) và cắt cả 2 đường thẳng (d1) , (d2) 2.Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: Cho D ABC có diện tích bằng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G Î (d) 3x –y –8 =0. tìm bán kinh đường tròn nội tiếp D ABC. Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng: (P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0. Tìm tất cả các giá trị của m để (S) cắt (d) tại 2 điểm MN sao cho MN= 8. ĐÁP ÁN ĐỀ 2 Câu 1: Cho hàm số y = có đồ thị là (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. 2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất Gọi M(xo; )Î (C) . Phương trình tiếp tuyến tại M: (D) y = (D ) Ç TCĐ = A (2; ) (D ) Ç TCN = B (2x0 –2; 2) Þ AB = Þ AB min = Û Câu 2: Giải phương trình: phương trình Û 2(cosx–sinx)(sinx–cosx)=0 Û 2).Giải hệ phương trình: (1) Þ y ¹ 0 Hệ Û Đặt a = 2x; b = . Ta có hệ: ® Hệ đã cho có 2 nghiệm Câu 3: 1) Tính tích phân I = I =. §Æt Þ I = 2) Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực: (m - 3) + ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1) Đk x ³ 0. đặt t = ; t ³ 0 trở thành (m–3)t+(2-m)t2 +3-m = 0 Û (2) Xét hàm số f(t) = (t ³ 0) Lập bảng biến thiên (1) có nghiệm Û (2) có nghiệm t ³ 0 Û Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: Þ Tương tự, Ta sẽ chứng minh: Bđt(1) Û 4(a3b2+b3a2+c3a2) +2(a3+b3+c3 )+2(ab2+bc2+ca2)+( a+b+c) ³ ³ 8a2b2c2 +4(a2b2 +b2c2 +c2a2) +2 (a2 +b2 +c2 )+1 (2) Ta có: 2a3b2 +2ab2 ³ 4a2b2; . (3) 2(a3b2+b3a2+c3a2) ³ 2.3.=6 (do abc =1)(4) a3+b3+c3 ³ 3abc =3 = 1 +2 a2b2c2 (5) a3 +a ³ 2a2; . (6) Công các vế của (3), (4), (5), (6), ta được (2). Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). Gọi M là trung điểm của BC và O là hình chiếu của S lên AM. Suy ra: SM =AM =; và SO ^ mp(ABC) Þ d(S; BAC) = SO = Þ V(S.ABC) = Mặt khác, V(S.ABC) = DSAC cân tại C có CS =CA =a; SA =Þ dt(SAC) = Vậy d(B; SAC) = Phần riêng: 1.Theo chương trình chuẩn: Câu 6a: Cho D ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình (D ) 2x +y –1 =0; khoảng cách từ C đến (D ) bằng 2 lần khoảng cách từ B đến (D). Tìm A, C biết C thuộc trục tung. Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của B, C lên (D). M là đối xứng của B qua D Þ M Î AC và M là trung điểm của AC. (BH): x –2y + 3 =0 ® H® M BH = ÞCI = ; CÎ Oy Þ C(0; y0) Þ C(0; 7) Þ A (D)®loại (0; –5) Þ A(D)® nhận. Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai đường thẳng : (d1) ; (d2) . Viết phương trình tham số của đường thẳng D nằm trong mp(P) và cắt cả 2 đường thẳng (d1) , (d2) (P) Ç (d1) = A(1;1;2); (P) Ç (d2) = B(3;3;2)® (D) 2.Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: Cho D ABC có diện tích bằng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G Î (d) 3x –y –8 =0. tìm bán kinh đường tròn nội tiếp D ABC. C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 Þ d(C; AB) = Þ Trọng tâm G Î (d) Þ 3a –b =4 (3) (1), (3) Þ C(–2; 10) Þ r = (2), (3) Þ C(1; –1) Þ Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng: (P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0. Tìm tất cả các giá trị của m để (S) cắt (d) tại 2 điểm MN sao cho MN= 8. (S) tâm I(-2;3;0), bán kính R= Gọi H là trung điểm của MN Þ MH= 4 Þ IH = d(I; d) = (d) qua A(0;1;-1), VTCP Þ d(I; d) = Vậy : =3 Û m = –12( thỏa đk) ĐỀ 3 A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số , với là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với . 2. Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho . Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: . 2. Giải phương trình: . Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân . Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều có Tìm biết rằng góc giữa hai đường thẳng và bằng . Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực không âm thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b). a. Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa. (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho tam giác có , phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh lần lượt là và . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác . 2. Trong không gian với hệ toạ độ cho hình vuông có . Tìm toạ độ đỉnh biết rằng đỉnh nằm trong mặt phẳng Câu VIIa. (1,0 điểm) Cho tập . Từ các chữ số của tập lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau? b. Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb. 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ xét elíp đi qua điểm và có phương trình một đường chuẩn là Viết phương trình chính tắc của 2. Trong không gian với hệ toạ độ cho các điểm và mặt phẳng Tìm toạ độ của điểm biết rằng cách đều các điểm và mặt phẳng Câu VIIb. (1,0 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức thu được đa thức . Tính hệ số biết rằng là số nguyên dương thoả mãn . ĐÁP ÁN ĐỀ 3 A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số , với là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với . Víi ta cã . * TËp x¸c ®Þnh: D = R * Sù biÕn thiªn · ChiÒu biÕn thiªn: Ta cã , . Do ®ã: + Hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng vµ . + Hàm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng · Cùc trÞ: Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i vµ ; ®¹t cùc tiÓu t¹i vµ . · Giíi h¹n: . · B¶ng biÕn thiªn: · §å thÞ: §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm . 2.Xác định để hàm số đã cho đạt cực trị tại sao cho . Ta cã +) Hµm sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiÓu t¹i ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm pb lµ Pt cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ . +) Theo ®Þnh lý Viet ta cã Khi ®ã Tõ (1) vµ (2) suy ra gi¸ trÞ cña m lµ vµ Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: . §iÒu kiÖn: Pt ®· cho trë thµnh +) +) §èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt lµ ; 2.Giải phương trình: . §iÒu kiÖn (*) Víi ®k trªn, pt ®· cho §èi chiÕu ®iÒu kiÖn (*), ta cã nghiÖm cña pt lµ Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân . §Æt . Khi th× t = 2, vµ khi x = 5 th× t = 4. Suy ra Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều có Tìm biết rằng góc giữa hai đường thẳng và bằng . C C’ B’ B A’ m D 1 1 - KÎ hoÆc - NÕu V× l¨ng trô ®Òu nªn ¸p dông ®Þnh lý Pitago vµ ®Þnh lý cosin ta cãA vµ KÕt hîp ta suy ra ®Òu. Do ®ã - NÕu ¸p dông ®Þnh lý cosin cho suy ra (lo¹i). VËy * Chó ý: - NÕu HS chØ xÐt tr­êng hîp gãc th× chØ cho 0,5® khi gi¶i ®óng. - HS cã thÓ gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p vect¬ hoÆc to¹ ®é víi nhËn xÐt: . Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực không âm thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . §Æt . Ta cã nªn v× Khi ®ã XÐt hµm sè Ta cã v× Suy ra ®ång biÕn trªn . Do ®ã DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi VËy GTLN cña A lµ , ®¹t ®­îc khi B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b). a. Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho tam giác có ,phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh lần lượt là và . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác . - Gäi ®­êng cao vµ trung tuyÕn kÎ tõ C lµ CH vµ CM. Khi ®ã M(6; 5) A(4; 6) C(-7; -1) B(8; 4) H CH cã ph­¬ng tr×nh , CM cã ph­¬ng tr×nh - Tõ hÖ - . - Tõ hÖ - Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp V× A, B, C thuéc ®­êng trßn nªn . Suy ra pt ®­êng trßn: hay 2. Trong không gian với hệ toạ độ cho hình vuông có . Tìm toạ độ đỉnh biết rằng đỉnh nằm trong mặt phẳng - Gi¶ sö . V× - MNPQ lµ h×nh vu«ng vu«ng c©n t¹i N - Tõ (1) vµ (2) suy ra . Thay vµo (3) ta ®­îc hay . - Gäi I lµ t©m h×nh vu«ng I lµ trung ®iÓm MP vµ NQ . NÕu th× NÕu th× Câu VIIa. (1,0 điểm) Cho tập . Từ các chữ số của tập lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau? Gi¶ sö lµ sè tho¶ m·n ycbt. Suy ra . +) Sè c¸ch s¾p xÕp lµ +) Sè c¸ch s¾p xÕp lµ +) Víi hoÆc kÕt qu¶ gièng nh­ tr­êng hîp Do ®ã ta cã sè c¸c sè lËp ®­îc lµ b. Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ xét elíp đi qua điểm và có phương trình một đường chuẩn là Viết phương trình chính tắc của - Gäi ph­¬ng tr×nh . - Gi¶ thiÕt Ta cã Thay vµo (1) ta ®­îc . * NÕu th× * NÕu th× 2. Trong không gian với hệ toạ độ cho các điểm và mặt phẳng Tìm toạ độ của điểm biết rằng cách đều các điểm và mặt phẳng Gi¶ sö . Khi ®ã tõ gi¶ thiÕt suy ra Tõ (1) vµ (2) suy ra . Thay vµo (3) ta ®­îc Câu VIIb. (1,0 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức thu được đa thức . Tính hệ số biết rằng là số nguyên dương thoả mãn . Ta cã Suy ra lµ hÖ sè cña trong biÓu thøc §ã lµ ĐỀ 4 I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. (2,0 điểm)Cho hµm sè (C) 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C). 2. Cho ®iÓm A(0;a) .X¸c ®Þnh a ®Î tõ A kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn tíi (C) sao cho hai tiÕp ®iÓm t­¬ng øng n»m vÒ hai phÝa trôc ox. Câu II. (2,0điểm) 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh : . 2. Giải PT : Câu III. (1,0điểm) Tính tích phân I= Câu IV. (2,0 điểm)Cho h×nh chãp S.ABCD, cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O c¹nh b»ng a, SO(ABCD). Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña SA vµ BC. TÝnh gãc gi÷a ®­êng th¼ng MN vµ mÆt ph¼ng (ABCD) vµ thÓ tÝch khèi chãp M.ABCD, biÕt r»ng C©u V (1 ®iÓm) Cho ba sè a, b, c sao cho . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøcA = v PhÇn Riªng: (3 ®iÓm) ThÝ sinh chØ ®­îc chän lµm mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc phÇn B) A. Theo ch­¬ng tr×nh chuÈn. C©u VI.a (2 ®iÓm) 1)Cho ABC cã PT hai c¹nh lµ:Trùc t©m cña tam gi¸c trïng víi gèc to¹ ®é O, lËp ph­¬ng tr×nh c¹nh cßn l¹i. 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d víi d : .Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d vµ t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d C©u VII.a (1 ®iÓm) Mét líp häc cã 40 häc sinh, cÇn cö ra mét ban c¸n sù gåm mét líp tr­ëng, mét líp phã vµ 3 ñy viªn (BiÕt r»ng kh«ng ph©n biÖt c¸c chøc danh lµ ñy viªn). Hái cã bao nhiªu c¸ch lËp ra mét ban c¸n sù. B. Theo ch­¬ng tr×nh n©ng cao. C©u VI.b (2 ®iÓm) 1)Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(4;3), đường thẳng (d) : x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 cắt nhau tại M. Tìm sao cho A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC. 2) Trong kg Oxyz cho đường thảng (): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT mặt cầu(S) có tâm Ivà khoảng cách từ I đến mp(P) là 2 và mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường tròn (C)có bán kính r=3 C©u VII.b (1 ®iÓm) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®­êng th¼ng c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB thuéc trôc tung. ĐÁP ÁN ĐỀ 4 I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. (2,0 điểm)Cho hµm sè (C) 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C). 2. Cho ®iÓm A(0;a) .X¸c ®Þnh a ®Î tõ A kÎ ®­îc hai tiÕp tuyÕn tíi (C) sao cho hai tiÕp ®iÓm t­¬ng øng n»m vÒ hai phÝa trôc ox. Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn qua A(0;a) cã d¹ng y=kx+a (1) §iÒu kiÖn cã hai tiÕp tuyÕn qua A: cã nghiÖm Thay (3) vµo (2) vµ rót gän ta ®­îc: §Ó (4) cã 2 nghiÖm lµ: Hoµnh ®é tiÕp ®iÓm lµ nghiÖm cña (4) Tung ®é tiÕp ®iÓm lµ , §Ó hai tiÕp ®iÓm n»m vÒ hai phÝa cña trôc ox lµ: VËy tho¶ m·n ®kiÖn bµi to¸n. Câu II. (2,0điểm) 1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh : . * HÖ ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi Dat * Thay vµo hÖ ph­¬ng tr×nh ta cã: hoÆc thÕ vµo c¸ch ®Æt ta ®­îc c¸c nghiÖm cña hÖ lµ :;;;; 2. Giải PT : Câu III. (1,0điểm) Tính tích phân I= Tính tích phân I= * Đăt t = -x => dt = -dx * Đổi cận: A S B D O N H M a Câu IV. (2,0 điểm)Cho h×nh chãp S.ABCD, cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O c¹nh b»ng a, SO(ABCD). Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña SA vµ BC. TÝnh gãc gi÷a ®­êng th¼ng MN vµ mÆt ph¼ng (ABCD) vµ thÓ tÝch khèi chãp M.ABCD, biÕt r»ng SO(ABCD). Dùng MH//SO, H thuéc AC, khi ®ã MH(ABCD), suy ra gãc gi÷a ®­êng th¼ng MN víi mp(ABCD) chÝnh lµ gãc Ta cÇn tÝnh . XÐt tam gi¸c CNH cã : C Hay Suy ra VËy . DÉn ®Õn VËy gãc gi÷a ®­êng th¼ng MN vµ mÆt ph¼ng (ABCD) b»ng 600. – ThÓ tÝch khèi chãp M.ABCD. Trong tam gi¸c HMN cã, . MH lµ chiÒu cao cña khèi chãp M.ABCD. VËy thÓ tÝch cña khèi chãp nµy lµ: C©u V (1 ®iÓm) Cho ba sè a, b, c sao cho . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøcA = §Æt x = . Khi ®ã: (*) Do nªn ta cã (1) Ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc ThËt vËy. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho c¸c sè d­¬ng ta cã: , , . Céng ba bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu trªn ta cã : B¹n ®äc tù ®¸nh gi¸ dÊu “=” x¶y ra khi a = b = c. VËy A= DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z = 1. VËy minA = khi a = b = c =. v PhÇn Riªng: (3 ®iÓm) ThÝ sinh chØ ®­îc chän lµm mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc phÇn B) A. Theo ch­¬ng tr×nh chuÈn. C©u VI.a (2 ®iÓm) 1)Cho ABC cã PT hai c¹nh lµ:Trùc t©m cña tam gi¸c trïng víi gèc to¹ ®é O, lËp ph­¬ng tr×nh c¹nh cßn l¹i. Ta gi¶ sö tam gi¸c ABC cã c¹nh AB : A B C O(0; 0) A B’ A’ AC: , suy ra täa ®é cña A lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh: , gi¶i hÖ suy ra A(0; 3) NhËn thÊy A thuéc Oy, OA lµ ®­êng cao cña tam gi¸c, suy ra ph­¬ng tr×nh cña BC cã d¹ng y = y0. §­êng cao BB’ ®i qua trùc t©m O vµ vu«ng gãc víi AC suy ra BB’ cã ph­¬ng tr×nh lµ: 7(x – 0) - 4(y – 0) = 0 hay BB’: 7x – 4y = 0. §iÓm B =täa ®é cña B lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh: §­êng th¼ng ®i qua B(- 4; - 7) vµ song song víi Ox chÝnh lµ ®­êng th¼ng BC suy ra ph­¬ng tr×nh c¹nh BC: y = - 7. VËy ph­¬ng tr×nh c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c ABC lµ y = -7. 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d víi d : .Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d vµ t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. d có phương trình tham số là: Vì H Î d nên tọa độ H (1 + 2t ; - 1 + t ; - t).Suy ra := (2t - 1 ; - 2 + t ; - t) Vì MH ^ d và d có một vectơ chỉ phương là = (2 ; 1 ; -1), nên : 2.(2t – 1) + 1.(- 2 + t) + (- 1).(-t) = 0 Û t = . Vì thế, = Suy ra, phương trình chính tắc của đường thẳng MH là: Theo trªn cã mµ H lµ trung ®iÓm cña MM’ nªn to¹ ®é M’ C©u VII.a (1 ®iÓm) Mét líp häc cã 40 häc sinh, cÇn cö ra mét ban c¸n sù gåm mét líp tr­ëng, mét líp phã vµ 3 ñy viªn (BiÕt r»ng kh«ng ph©n biÖt c¸c chøc danh lµ ñy viªn). Hái cã bao nhiªu c¸ch lËp ra mét ban c¸n sù. • §Çu tiªn ta chän ra 2 häc sinh ®Ó lµm líp tr­ëng vµ líp phã, (chó ý r»ng hai chøc danh ®ã lµ kh¸c nhau) Mét c¸ch xÕp 2 häc sinh lµm líp tr­ëng vµ líp phã lµ mét chØnh hîp chËp 2 cña 40 Sè c¸ch xÕp 2 häc sinh lµm líp tr­ëng vµ líp phã lµ Cßn l¹i 38 häc sinh. • TiÕp ®ã ta chän 3 häc sinh lµm ñy viªn (kh«ng ph©n biÖt thø tù) Sè c¸ch chän 3 häc sinh lµm ñy viªn lµ • Theo qui t¾c nh©n ta cã sè c¸ch chän ra mét ban c¸n sù lµ : c¸ch B. Theo ch­¬ng tr×nh n©ng cao. C©u VI.b (2 ®iÓm) 1)Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(4;3), đường thẳng (d) : x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 cắt nhau tại M. Tìm sao cho A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC. 2) Trong kg Oxyz cho đường thảng (): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT mặt cầu(S) có tâm Ivà khoảng cách từ I đến mp(P) là 2 và mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường tròn (C)có bán kính r=3 m cầu(S) có tâm Ig sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT của(1) * (2) Từ (1) và(2) ta có hệ PT: Do Vậy có 2 mặt cầu theo ycbt : C©u VII.b (1 ®iÓm) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®­êng th¼ng c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB thuéc trôc tung. – Ph­¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm: (1) – NhËn thÊy x = 0, kh«ng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) vµ cã biÖt sè: , suy ra ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai ph©n biÖt kh¸c 0 víi mäi m, tøc th¼ng lu«n c¾t ®­êng cong t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt víi mäi m. Theo ®Þnh lÝ ViÐt ta c㠖 Hoµnh ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB lµ . §iÓm VËy m = 1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m. ĐỀ 5 I: PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH CâuI (2điểm): Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 4 (C) 1: Khảo sát hàm số. 2: Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2 ; 0) có hệ số góc k.Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A ; M ; N sao cho hai tiếp tuyến của (C ) tại M và N vuông góc với nhau. Câu II (2 điểm): 1: Giải phương trình: 2: Giải bất phương trình: Câu III (1điểm): Tính tích phân : I = Câu IV (1điểm): Cho tam gi¸c ABC c©n néi tiÕp ®­êng trßn t©m J b¸n kÝnh R=2a (a>0) ,gãc BAC =1200.Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) lÊy ®iÓm S sao cho SA =Gäi I lµ trung ®iÓm ®o¹n BC .TÝnh gãc gi÷a SI vµ h×nh chiÕu cña nã trªn mÆt ph¼ng (ABC) & tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC theo a Câu V (1điểm): 1). Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh: 2).Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm thực PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B A.Theo chương trình chuẩn (2điểm) Câu VIa: 1) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(-1; 1), bán kính R=1, M là một điểm trên . Hai tiếp tuyến qua M tạo với (d) một góc 450 tiếp xúc với (C) tại A, B. Viết phương trình đường thẳng AB. 2) Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có điểm A(0;0;0); B(2;0;0); D(0;2;0); A1(0;0;2). M là trung điểm AB; N là tâm của hình vuông ADD1A1. Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu đi qua C ; D1 ; M ; N với mặt phẳng MNC1 Câu VII/a: Cho n là số tự nhiên n2.Tính B. Theo chương trình nâng cao (2điểm) Câu VIa.1) Cho (P) y2 = x và đường thẳng (d): x – y – 2 = 0 cắt (P) tại hai điểm A và B. Tìm điểm C thuộc cung AB sao cho ABC có diện tích lớn nhất 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : và . Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1) và hợp với (d2) một góc 300. Câu VII/b: Giải hệ phương trình ĐÁP ÁN ĐỀ 5 I: PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH CâuI (2điểm): Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 4 (C) 1: Khảo sát hàm số. 2: Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2 ; 0) có hệ số góc k.Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A ; M ; N sao cho hai tiếp tuyến của (C ) tại M và N vuông góc với nhau. +PT đường thẳng d: y=k(x-2) +Hoành độ A;M;N là nghiệm PT: x3-3x2+4=k(x-2) (x-2)(x2-x-2-k)=0 x=2=xA;f(x)=x2-x-2-k=0 +PT có 3nghiệm phân biệtf(x)=0 có 2nghiệm phân biệt khác 2 .Theo Viét ta có +Tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhauy'(xM).y'(xN)=-1 ( 9k2+18k+1=0 (tm) Câu II (2 điểm): 1: Giải phương trình: PT tương đương * * (v« nghiÖm) * (v« nghiÖm) VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ: 2: Giải bất phương trình: BPT tương đương Xét: a)Nếu x không thỏa mãn BPT b)Nếu x>4/5: Hàm số với x>4/5 y'=>0 mọi x>4/5 Vậy HSĐB. +Nếu 4/5<x1 thì y(x) 11 +Nếu x>1 thì y(x)>11 Vậy nghiệm BPT x>1 Câu III (1điểm): Tính tích phân : I = Đặt t= * x = 2 t = 2 *x = 5 t = 3 *dx=2(t-1)dt I=2 Câu IV (1điểm): Cho tam gi¸c ABC c©n néi tiÕp ®­êng trßn t©m J b¸n kÝnh R=2a (a>0) ,gãc BAC =1200.Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) lÊy ®iÓm S sao cho SA =Gäi I lµ trung ®iÓm ®o¹n BC .TÝnh gãc gi÷a SI vµ h×nh chiÕu cña nã trªn mÆt ph¼ng (ABC) & tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC theo a +Gọi D là trung điểm BC ADBC (Vì ABC cân tại A) AD(SBC) +Gọi E trung điểm SBAESB (Vì SAB đều) DESB (Định lý 3 đường vuông góc) +SC//DE (DE đường trung bình tam giác) SCSB Vậy tam giác SBC vuông tại S +AD là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.Nên tâm O mặt cầu ngoại tiếp SABC thuộc AD.Mặt khác O cách đều A; B; C nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Vậy bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC +BC = + R = Câu V (1điểm): 1). Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh: +Đặt +VT= (Theo BĐT CôSi) +VP= (Áp dụng BĐT CôSi cho từng cặp) ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1 hay x = y = z = 1 2).Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm thực Điều kiện: Đặt t = x + 1 Þ tÎ[0; 2]; ta có (1) Û t3 - 3t2 = y3 - 3y2. Hàm số f(u) = u3 - 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: Û t = y Û y = x + 1 Þ (2) Û Đặt Þ vÎ[0; 1] Þ (2) Û v2 + 2v - 1 = m. Hàm số g(v) = v2 + 2v - 1 đạt Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1 £ m£ 2 PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B A.Theo chương trình chuẩn (2điểm) Câu VIa: 1) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(-1; 1), bán kính R=1, M là một điểm trên . Hai tiếp tuyến qua M tạo với (d) một góc