Buổi 7: Bồi dưỡng học sinh giỏi phần số học

Buổi 7 Bồi dưỡng học sinh giỏi phần số học I) Lý thuyết chia hết 1) Cho a;bẻZ ;b ạ 0; a b nếu có q ẻZ sao cho a = bq + r hay còn nói b chia hết a ;hay b là ước của a 2) Với " aẻZ ;bẻZ ; b ạ 0 luôn tìm được q và r sao cho a = bq + r (0Ê r <| b |) 3) Cho 2 Ê m ẻ Z ; và a,bẻ Z ta có a º b(mod m) nếu có a - b m 4) Tính chất đồng dư thức a)giả sử a1,b1,k1 ẻZ và a1º b1 (modm)vì thì b )nếu a º b(mod m) thì an º bn (mod m) với mọi n ẻZ 5) Cho 1<p ẻN P được gọi là nguyên tố nếu p chỉ có ước là 1 và p ;như vậy p là nguyên tố khi và chỉ khi không tồn tại các số nguyên tố a;b >1 sao cho p= ab 6) Số tự nhiên a >1 không phải nguyên tố gọi là hợp số Vậy số tự nhiên a >1 là hợp số khi và chỉ khi tồn tại 1 < b < a sao cho b là ước của a7) Định lý Fermat Cho a ẻ Z ;p là số nguyên tố ap Thì ap-1º 1 (mod p) *) Các phương pháp chứng minh chia hết 1) Dùng tính chất trong n số nguyên liên tiếp (n>1) có một và chỉ một số chia hết cho n 2) Dùng công thức khai triển an - bn a – b với mọi nẻZ an + bn a + b nếu n lẻ an - bn a + b nếu n chẵn (a ạ - b ) ( a+ b )n º bn (mod a) 3) Dùng định lý về chia có dư Khi chia n cho p có thể có các số dư là 0;1;2;...p-1 hoạc±1;±2 ;...; Nếu p lẻ 4) Dùng quy nạp toán học 5) Dùng định lý Fermat P là nguyên tố ap ºa (mod p) (a,p) =1 thì ap - 1 º 1 (mod p) II) Các dạng bài tập Bài 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n số n5 và n có chữ số tận cùng giống nhau Giải Ta chứng minh n5 – n 10 Ta có n5 – n = n( n2 -1)( n2 +1) = n( n – 1) ( n+ 1) (n2 +1) Vì n(n-1) là 2 số TN liên tiếp => n(n-1) 2 => n5 – n 2 Ta C/M n5 – n 5 " n * n5 – n = n( n2 -1)(n2+1) = n(n2 -1) (n2 – 4 +5) Vì (2,5) =1 => n5 – n 10 hay n5 và n có cùng chữ số tận cùng *Hoạc có thể xét theo số dư => n5 – n 10 hay n5 và n có cùng số tận cùng Bài tập : Sử dụng tính chất trong chứng minh chia hết : “trong n sô nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n” và dùng cách xét theo số dư theo bội của 5n có thể bằng 5k ; 5k± 1;5k±2 Các bài tập sử dụng tính chất trên Chứng minh: a)Tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 20 b) n3 + 11n 6 c) Chứng minh rằng với " số tự nhiên n thì 2n + 1 7 d) Cho 3 < n ẻN Chứng minh rằng 2n = 10a +b thì ab6 e) n5 m –nm5 30 f) Tìm các số nguyên dương n để A = 2n + 13 Bài 2: Cho p là số nguyên tố > 3 chứng minh p2 -1 24 Giải P2 – 1 = (p+1)(p -1) Vì p là nguyên tố > 3 => p lẻ => P+1 và p -1 là 2 số chẵn liên tiếp nên (p + 1 ) (p – 1) 8 Mặt khác (p + 1 ), (p – 1) , p là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 => p +1 hoặc p – 1 chia hết cho 3 => (p + 1 ) (p – 1) 3 Mà (3,8) =1 => p2 -1 24 Bài tập tương tự : a) Chứng minh 42k -1 15 b) Chứng minh 31998 + 5 1998 13 c) Chứng minh p4 - 1240 Bài 3 : Chứng minh : Q = a8 +4a7 + 6a6 +4a5 +a4là bội của 16 với " aẻN Giải Q= a4 ( a4 + 4a3 + 6a2 +1) = a4 ( a+1) 4 = [a(a+1)]4 Vì a(a+1) 2 nên [a(a+1)]4 = 24k4 là bội của 16 Bài tập tương tự a) CMR nếu m là một số lẻ thì M= m4 +9 ( 9- 2m2 ) 16 Ta xét m lẻ = > m =2k ± 1 thay vào M b) CMR nếu g không là bội của 5 thì tổng: A = g5 + 3 g4 - 4 là bội của 100 Bài 4: Cho P = (10x + 192 y) (11x+ 191y)...(19x+183y) với x, y ẻ Z Biết P101 , hỏi P có chia hết cho 10110 không ? Giải: Vì P có 10 thừa số mà P101 => một trong các thừa số có 1 thừa số chia hết cho 101 Giả sử thừa số 10x + 192y 101 ta có : 10x + 192y = 10x -10y + 202y =10(x-y) + 202y Vì 10x + 192y 101 mà 202y 101 => 10(x-y) 101 Mà (10;101) = 1 => x – y 101 Vậy ta có: => P10110 Bài tập tương tự Giả sử a,b là số nguyên có (16a + 17b) (17a + 16b) 11 Chứng minh (16a + 17b) (17a + 16b) 121 ......................................................................... Buổi 8 Bài 5 : Cho A = 9999931999 – 5555571997 chứng minh A5 Giải : Xét 31999 =( 34)499 . 33 = 8499.33 số này có tận cùng là 7 Xét 71997 = (74)499 . 7 số này có tận cùng là 7 A có số tận cùng là 0 nên A 5 Bài tập tương tự : Chứng minh : B = 31998 + 51998 13 Giải : B = 31998 + 21998 + 51998 – 21998 = [(32)909 + (22)999] + [(53)666 – (23)666] = (9999+4999) + (125666 – 8666) =( 9+ 4) A + (125 – 8) .C = 13A + 117C 13 Bài 6: CMR nếu a2 + b25 thì 2a + b, 2b – a hoặc hai số 2a – b, 2b + a chia hết cho 5 Chứng minh Ta có a2 + b2 = ( a2- 4b2 ) + 5b2 = (a – 2b)( a+ 2b) + 5b2 => (a – 2b) (a + 2b) 5 * Nếu a – 2b 5 => 2b – a 5 Và 2( 2b – a) + ( 2a + b) = 5b 5 => 2a + b 5 * Nếu a + 2b 5 => 2(2a – b) + ( a+ 2b) = 5a 5 => 2a – b 5 Bài 7: CMR số tự nhiên Chia hết cho 2005 Giải : =2005...(B) B là biểu thức tự nhiên => A2005 Bài tập tương tự: Cho CMR: m1993 và tìm bài toán tổng quát Bài 8 Cho phân số hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1 Ê n Ê2 004 soa cho A là phân số chưa tối giản Giải Gọi d là ước của n2 +4 và n + 5 thì ta có =>[(n+5)2 – (n2 +4)] d => (10n+21)d hay 10( n+5) – 29 d Mà 10( n+5) d => 29d Để A chưa tối giản thì d >1 mà d là ước của 29 nên d = 29 Do đó n + 5 = 29 k ( kẻN*) => n = 29 k – 5 Vì 1 Ê n Ê 2004 nên 1 Ê 29k - 5 Ê 2004 6 Ê 29k Ê 2009 => k = 1 , 2 , 3 ,.... ,69 Vậy có 69 số nguyên dương thoả mãn đầu bài Bài tập tương tự * Chứng minh phân số tối giản với " số tự nhiên n * cho a/b tối giản chứng minh * Chứng minh với a/b tối giản thì tối giản Bài 9 : Cho số tự nhiên A người ta đổi chỗ các chữ số của A để được số B gấp ba lần số A . Chứng minh B 27 Giải : Theo đầu bài ta suy ra B = 3A (1) => B3 Nhưng tổng các chữ số của A và B như nhau ( Người ta chỉ đổi chỗ các chữ số ) => A 3 (2) Từ (1) và (2) => B 9 => A9 (3) Từ (1) và (3) => B 27 Bài 10 : Cho số N = 1.3.5...1997, chứng minh rằng trong 3 số tự nhiên liên tiếp 2N – 1 , 2N, 2N + 1 không có số nào là số chính phương Ta chú ý 2 kết luận : + Một số chính phương chẵn thì 4 + Một số chính phương không chia hết cho 3 thì chia cho 3 dư 1 Giải * Ta có 2N = 2( 1.3.5...1997) là một số chẵn nhưng không chia hết cho 4 => 2N không thể là số chính phương * Ta có 2N – 1 = ( 2N – 3) +2 mà 2N – 3 3 => 2N – 1 chia cho 3 dư 2 nên 2N – 1 không thể là số chính phương * Giả sử 2N + 1 = k2 ( k lẻ ) => 2N = k2 -1 = ( k+1) (k – 1 ) 4 => N chẵn vô lý Vậy 2N + 1 cũng không thể là số chính phương Bài tập tương tự a) Tìm tất cả các số nguyên N sao cho n2 + 2002 là một số chính phương b) Cho N = 1.2.3 + 2.3.4 + ...+ n( n+1 ) ( n+ 2) Chứng minh số 4N + 1là một số chính phương với mọi số nguyên dương n Bài 11 : Chứng minh số A = 29 + 299 100 Giải A = 29 + 299 = 29 + (211)9 =( 2 + 211) ( 28 -27.211 + 26. 222 - ... 2.277 + 288 = 2050 . 2B = 4100 .B 100 Hoặc có thể dùng đồng dư thức 29 + 299 º 0 (mod 4) Ta chứng minh 29 + 299 º 0 (mod 25) Thật vậy210 º2024 º -1 (mod 25) => 29 +299= 29 ( 1+290) = 29[1+ (210)9] º 0 (mod 25) Bài tương tự a) Chứng minh : (a2 +3a +1)2 – 1 24 với "aẻN b)Chứng minh 10n +18n -1 27 với "nẻN c) Chứng minh 10k - 4k -3b là bội của 9 d) CMR nếu a,b 3 thì a6 – b6 9 ……………………………………………………………….. Buổi 9 Bài tập a) CMR tổng bình phươntg của 5 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương b) CMR tổng luỹ thừa chẵn của 3 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương c) Số 19 1997 + 91997 + 7 1997 có là số chính phương không ? vì sao d) Hình vuông có cạnh là số tự nhiên có thể có diện tích là được không? tại sao? Bài 12: Cho CMR khi x là số nguyên thì A nhận giá trị nguyên Giải Ta có Ta chứng minh khi xẻZ thì B = 3986x3 + 3.1991x2 +x chia hết cho 6 Nếu x chẵn => B 2 Nếu x lẻ =>(3986x2 + 3.1991x +1 )2 Nếu x = 3k (kẻZ) => B = x[(3984x2 +3.1991x )+2x2 +1]3 X = 3k ± 1 thì x2 =3m+1 (mẻZ ) => 2x2 +1 = (6m+3) 3 => B 3 Vậy B 2 và 3 mà (2,3) =1 => B6 Chứng tỏ A có giá trị nguyên khi x nguyên Bài tập tương tự a) CMR với mọi số nguyên n thì b) CMR : ax3 + bx2 + cx+d là số nguyên vỡi "xẻZ Khi và chỉ khi 6a,2b,a+b+c và d là số nguyên Bài 13 CMR: với mọi số tự nhiên n thì số N=5.72n+2 +23n 41 Giải : N= 5(49n+1 - 8n+1 )+41.8n = 5.49n+1 -5,8n+1 +41.8n = 5.49n+1 – 40.8n +41.8n Bài tập tương tự a) ( 62n + 19n – 2n+1)7 b) ( 7.52n + 12.6n )19 c) (5n+2 + 26.5n + 82n+1 )59 Bài 14 Cho a là số nguyên dương chẵn không chia hết cho 10.tìm chữ sô hàng trục của a20 và chữ số hàng trăm của a200 Giải Vì a là số chẵn => a20 4 . a không chia hết cho 10 => a không chia hết cho 5 do đó a có dạng 5k± 1; 5k±2 với kẻN => a20 = (5k±1 )20 chia cho 25 dư 1 Hoặc a20 = (5k± 2)20 º 220(mod 20) mà 220 = ( 10025-1)2 º 1 (mod 25) Vậy 2 chữ số tận cùng của a là 01;26;51;76 Vì a20 4 nên chữ số hàng trục của a là 7 Tương tự a chẵn nên a200 =( a2)1008 mà (a,5) = 1 Nên a100 º 1 (mod 125) º a200 º 1 (mod 125) Vậy 3 chữ số tận cùng của a là 001;126;251;376;501;625;751;876 Vì a200 8 nên chữ số hàng trăm của a200 phải là 3 Bài 15: CMR: 16n – 15 n – 1 225 Giải Ta có 16n – 15 n - 1 = (16 – 1) ( 16n-1 + 16 n- 2 + ...+ 16 +1) + 15n = 15( 16n – 1 + 16 n – 2 + ...+ 16+1 – n) = 15( ( 16n – 1 -1 + 16 n – 2 -1+ ...+ 16-1 +1 -1) Vì => chia hết cho 15 . 15 = 225 Bài 16: CMR : Ta co 26n+2 = 4.26n = 4.(23)2n = 4.( 9 – 1 ) 2n º 4(mod 18) => 2 6n+2 = 18K +4 Nên Theo Fermat ta có (2k)18 º1 (mod 19) => 16.(2k)18 º16 (mod 19)=> º 0 (mod 19) Phần 2 : Số chính phương 1) Định nghĩa : là số có dạng n2 ,nẻZ 2) Tính chất 1) Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ chia cho 8 dư 1 2)Nếu a = 3k thì a2 º o (mod 9) ;Nếu a ạ 3k thì a2 º 1 (mod 3) 3) Giữa các bình phương của hai số nguyên liên tiếp không có số chính phương nào 4) Số chính phương không thể có tận cùng là 2;3;7;8; 5) Nếu hiệu của 2 số nguyên bằng 2n thì tích của chúng thêm n2 sẽ là số chính phương 6) Nếu a.b chính phương ,(a,b) =1 Thì a chính phương; b chính phương HD: G/s ab = c2 và gọi d =(a,c) => a =a1d ;c =c1d ; (c1,a1) =1 Do đó ab = c12d +)Do c12 \ a1b => c12 \ b vì (a1,c1) =1 +) Do b\ c12d => b\c12 vì (b.d)=(b,a)=1 b=c12 ; 7) Nếu một số chính phương chia hết cho p; p nguyên tố thì số chính phương đó chia hết cho p2 .Do đó nếu một số a chia hết cho một số nguyên tố p nhưng số không chia hết cho p2 thì a không là số chính phương 8) Số chính phương tận cùng là 0 thì số các số 0 là chẵn 9) Số các ước của một số chính phương là lẻ và ngược lại 3) Bài tập Bài 1 CMR tổng của 2 số chẵn liên tiếp không chính phương G/s 2 số chẵn liên tiếp là 2n +2 và 2n Ta có 2n+2 +2n = 4 n +2 º2 (mod 4) => Không là chính phương Bài 2 :CMR : nếu a,b là các số nguyên thoả mãn hệ thức 2a2 + a =3b2+ b thì a- b và 2a+2b+1 là các số chính phương Giải Cách 1: ta có 2 a2 -2 b2 + a – b= b2 (1) suy ra (a – b) ( 2a+2b+1) =b2 Đặt d =(a-b, 2a+2b+1) => d \ a-b d \ 2a+2b+1 do đó d chia hết (2a+2b+1 –2(a-b) = 4b+1 mặt khác từ (1) => d2 \ b2 =>d \ b => d=1 Vậy các số là chính phương Cách 2:+) Nếu a =0 => b=0 => đpcm + ) Nếu aạ0 => b ạ 0 => aạb G/s (a,b) = d => a = a’d; b=b’d do đó (a’,b’)=1 đặt b’ =a’ +r (r ạ 0) ; ( a’,r)=1 Ta có 2 (a’d)2 +a’d = 3 (b’d)2 + b’d 2a’2 d2 +a’d = 3b’2d2 + b’d 2a’2 d +a’ = 3b’2d +b’ =3(a’+r)2 d +a’ +r => 2a’2 d = 3a’2d + 6a’rd+3r2d +r a’2d + 6a’rd+3r2d +r =0 (*) Vì rd => a’2d r và (a’,r) =1 => dr => r =±d +) Nếu r =d ; (*) => a’2 +6a’d +3d2 +1 =0 => a’2 +1 3 vô lý +) Nếu r = -d thì a’ – b’ = d => a-b =d2 => 2a+2b+1 =b’2