Chuyên đề Các phương pháp giải hệ phương trình thường sử dụng giải đề tuyển sinh đại học

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 1 Chuyên đề LTĐH TÀI LIỆU HUẤN LUYỆN CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG SỬ DỤNG GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC Yêu cầu: Học sinh đã thành thạo việc giải các hệ cơ bản: bậc nhất hai ẩn, đối xứng loại 1, đối xứng loại 2, đẳng cấp. Các phương trình một ẩn: bậc nhất, bậc hai, bậc ba, các bậc bốn đặc biệt,...Thành thạo các phép biến đổi tương đương một phương trình: chuyển vế, nhân chia hai vế, thay thế biểu thức, bình phương hai vế,... Chú ý: Các bài toán giải hệ 2 ẩn đa phần đều quy về việc tìm một pt một ẩn giải được. BỐN PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG 1. Phương pháp THẾ Kỹ thuật 1: Rút một biến để thế Cụ thể: Rút một ẩn từ phương trình nầy, thay vào phương trình kia để được phương trình một ẩn giải được. Ví dụ 1: Hướng dẫn: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 2 Ví dụ 2: Hướng dẫn: Kỹ thuật 2: Rút một biểu thức để thế Cụ thể: Rút một biểu thức từ phương trình nầy, thay vào phương trình kia để được phương trình một ẩn giải được. Ví dụ 3: Hướng dẫn: Ví dụ 4: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 3 Hướng dẫn: Kỹ thuật 3: Thế hằng số bởi biểu thức Ví dụ 1: Hướng dẫn: Ví dụ 2: Hướng dẫn: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 4 Ví dụ 3: Bài giải: 2. Phương pháp CỘNG Có thể: Cộng vế với vế, trừ vế với vế hoặc nhân cho một hằng số thích hợp rồi cộng hoặc trừ vế với vế mục đích để tạo ra một phương trình mới có thể hỗ trợ cho việc giải hệ đã cho như: pt một ẩn, pt bậc nhất hai ẩn, phương trình tích số,... Kỹ thuật 1: Tạo ta pt một ẩn Ví dụ 1: Hướng dẫn: Kỹ thuật 2: Tạo ra pt bậc nhất hai ẩn Ví dụ 2: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 5 Hướng dẫn: Kỹ thuật 3: Nhân hệ số thích hợp và cộng hoặc trừ vế với vế để tạo ra pt bậc nhất hai ẩn Chú ý: Các hằng đẳng thức cơ bản sau • ( )2 2 22a b a ab b± = ± + • ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + + • ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b− = − + − Ví dụ 3: Hướng dẫn: Ví dụ 4: Hướng dẫn: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 6 3. Phương pháp đặt ẨN PHỤ Kỹ thuật: Biến đổi mỗi hệ sao cho có hai biểu thức giống nhau Chú ý: Các phép biến đổi tương đương một phương trình: chuyển vế, nhân chia hai vế, thay thế biểu thức,... Ví dụ 1: Hướng dẫn: Ví dụ 2: Hướng dẫn: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 7 4. Phương pháp biến đổi về pt TÍCH SỐ Chú ý: Các phép biến đổi: tạo các biểu thức có nhân tử giống nhau, phân tích tam thức bậc hai thành thừa số, bình phương,... Kỹ thuật 1: Biến đổi một pt của hệ thành tích số Ví dụ 1: Hướng dẫn: Ví dụ 2: Hướng dẫn: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 8 Ví dụ 3: Hướng dẫn: Ví dụ 4: Hướng dẫn: Ví dụ 5: Hướng dẫn: Kỹ thuật 2: Cộng hoặc trừ vế với vế để biến đổi về pt tích số Ví dụ 6: Hướng dẫn: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 9 Ví dụ 7: Hướng dẫn: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 10 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CAÙC KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN ---------- I. Ñònh nghóa : Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh trong khoaûng (a,b). a) f taêng ( hay ñoàng bieán ) treân khoaûng (a,b) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ (a,b) : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) b) f giaûm ( hay nghòch bieán ) treân khoaûng (a,b) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ (a,b) : x1 f(x2) II. Caùc tính chaát : 1) Tính chaát 1: Giaû söû haøm soá y = f(x) taêng (hoaëc giaûm) treân khoaûng (a,b) ta coù : f(u) = f(v) ⇔ u = v (vôùi u, v ∈ (a,b) ) 2) Tính chaát 2: Giaû söû haøm soá y = f(x) taêng treân khoaûng (a,b) ta coù : f(u) < f(v) ⇔ u < v (vôùi u, v ∈ (a,b) ) 3) Tính chaát 3: Giaû söû haøm soá y = f(x) giaûm treân khoaûng (a,b) ta coù : f(u) v (vôùi u, v ∈ (a,b) ) 4) Tính chaát 4: Neáu y = f(x) taêng treân (a,b) vaø y = g(x) laø haøm haèng hoaëc laø moät haøm soá giaûm treân (a,b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm thuoäc khoûang (a,b) *Döïa vaøo tính chaát treân ta suy ra : Neáu coù x0 ∈ (a,b) sao cho f(x0) = g(x0) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nghieäm duy nhaát treân (a,b) Cụ thể: • Tính chaát 4a: Neáu haøm soá f taêng ( hoaëc giaûm ) trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = C coù khoâng quaù moät nghieäm trong khoûang (a;b). ( do ñoù neáu toàn taïi x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = C) • Tính chaát 4b : Neáu haøm f taêng trong khoûang (a;b) vaø haøm g laø moät haøm giaûm trong khoûang (a;b) thì phöông trình f(x) = g(x) coù nhieàu nhaát moät nghieäm trong khoûang (a;b) . ( do ñoù neáu toàn taïi x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì ñoù laø nghieäm duy nhaát cuûa phöông trình f(x) = g(x)) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: x y 1 y 1 x 0 x 1 y 2  − + − − − =  + − = Bài giải: Điều kiện {0 x 10 y 1≤ ≤≤ ≤ Khi đó: ( ) ( )( ) 21 x 1 y 2 x 1 x y 1 y 3  ⇔  + − − = − − − = Xét hàm đặc trưng: ( )f t t 1 t= − − với [ ]t 0;1∈ THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 11 Ta có: ( ) ( )1 1f ' t 0 t 0;1 2 t 2 1 t = + > ∀ ∈ − và f liên tục trên đoạn [ ]0;1 Suy ra: ( )f t đồng biến trên đoạn [ ]0;1 Do đó: ( ) ( ) ( )f x f x y2 y⇔ = ⇔ = Thay x y= vào phương trình (3) ta được phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 1 1 4x 1 x 1 4x 4x 1 0 x 2 + − = ⇔ + − + − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ = Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1 x 2 1y 2  =   =  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ( )       =++ −=− + + + 2 7 2 32 )2(342 2 2 128 12 yx xy yx y x (*) Bài giải Điều kiện: 0; ≥yx (*) ( )    =++ +=+ ⇔ ++ ++ 732 43232 12 12)4(12 yx yx yx yx (1) Xét hàm đặc trưng: 2 1( ) 2 3tf t t+= + với [ )0 ;t ∈ + ∞ Ta có: ( ) ( )2 1 3'( ) 2 .ln 2. 2 0 0; 2 tf t t t t + = + > ∀ ∈ +∞ và f liên tục trên [ )0 ; + ∞ Suy ra: f(t) tăng trên [ )0;+∞ Do đó: (1)                  = = ⇔ =+ = ⇔ =+ = ⇔ 5 1 5 4 1 4 )1()( )4()( y x yx yx fyxf yfxf . Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 4 5 1 5 x y  =   =  Ví dụ 3: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 12 Ví dụ 4: Bài giải: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Biên soạn: Huỳnh Chí Hào 13 ĐỀ TUYỂN SINH CÁC NĂM QUA Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: ------------------------------Hết--------------------------