Chuyên đề Phép biến hình 11

W W W . V N M A T H . C O M C H Ư Ơ N G I : P H E Ù P B I E Á N H Ì N H W W W . V N M A T H . C O M W W W . V N M A T H . C O M - 1 -W W W . V N M A T H . C O M CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN   1 Phép biến hình . ª ĐN : Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác định được một điểm duy nhất M của mặt phẳng , điểm M gọi là ảnh của M qua phé      f p biến hình đó . ª Kí hiệu : f là một phép biến hình nào đó và M là ảnh của M qua phép f thì ta viết : M= f(M) hay f(M) = M hay f : M M hay M M . Điểm M gọi là tạoI I    1 2 2 1 ª ảnh . f là phép biến hình đồng nhất f(M) = M , M H . Điểm M gọi là điểm bất động , kép , bất biến . f ,f là các phép biến hình thì f f là phép biến hình . Nếu H l    à một hình nào đó thì tập hợp các điểm M = f(M), với M H, tạo thành một hình H được gọi là ảnh của H qua phép biến hình f và ta viết : H = f(H) .   2 Phép dời hình . ĐN : Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì , tức là với hai điểm bất kì M,N và ảnh M , N của chúng , ta luôn c   ó M N = MN . ( Bảo toàn khoảng cách ) . 3 Tính chất : ( của phép dời hình ) . ĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng . HQ: Phép dời hình biến : 1. Đường thẳng thành đường thẳng . 2. Tia thành tia . 3. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 4. Tam giác thành t      am giác bằng nó . ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm ) 5. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I , R = R ) 6. Góc thành góc I I I bằng nó . B . BÀI TẬP         x = 2x 11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = . y = y + 3 Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4) Giải : a) A = f(A) = (1;5) b) B = I            f(B) = ( 7;6) c) C = f(C) = (3; 1) x = 2x y 12 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = . y = x 2y + 3 Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C( 2 I         ;4) Giải : a) A = f(A) = (4;3) b) B = f(B) = ( 4; 4) c) C = f(C) = ( 7; 7) 3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x; y) . Đây có phải là phép dời hình hay I không ?   1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y ) Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) . f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y ) I I W W W . V N M A T H . C O M C H Ư Ơ N G I : P H E Ù P B I E Á N H Ì N H W W W . V N M A T H . C O M W W W . V N M A T H . C O M - 2 -W W W . V N M A T H . C O M           2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y ) Nếu x x thì M N MN . Vậy : f không phải là phép dời hình . (Vì có 1 số điểm f không bảo toàn khoảng cách) .           y xx y 4 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : a) f : M(x;y) M = f(M) = ( y ; x 2) b) g : M(x;y) M = g(M) = ( 2x ; y+1) . Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình I I      1 2 ? HD : a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( vì x x thì M N MN ) 5 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : a) f : M(x;y) M = f(M) = (y + 1 ; x) I  b) g : M(x;y) M = g(M) = ( x ; 3y ) . Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ? Giải : a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( I   1 2vì y y thì M N MN )       6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 3y 2 = 0 qua phép biến hình f . Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ I                                        xx = 2x x Ta có f : M(x;y) M = f(M) = 2y y 1 y y 1 x Vì M(x;y) ( ) ( ) 3(y 1) 2 0 x 6y 2 0 M (x ;y ) ( ) : x 6y 2 0 2 Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N . M I              ( ) : M(2;0) M f(M) ( 4;1) N ( ) : N( 1; 1) N f(N) (2;0) I I                      Qua M ( 4;1) x+ 4 y 1 ( ) (M N ) : PTCtắc ( ) : PTTQ ( ) : x 6y 2 0 6 1 VTCP : M N (6; 1)     2 2 7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3 ;y 1) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x I I  2 22) + (y 3) = 4      8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3 ;y 1) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x + 2y 5 = 0 . c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x I     2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 + 1) + (y 2) = 2 . x y d ) Tìm ảnh của elip (E) : + = 1 . 3 2 Giải : a) Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y ) Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (x 3; y 1) . f : N I         2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 (x ;y ) N = f(N) = (x 3; y 1) Ta có : M N = (x x ) (y y ) = MN Vậy : f là phép dời hình . I W W W . V N M A T H . C O M C H Ư Ơ N G I : P H E Ù P B I E Á N H Ì N H W W W . V N M A T H . C O M W W W . V N M A T H . C O M - 3 -W W W . V N M A T H . C O M                                 b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) ( I    ) : x 2y 4 0              Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N . M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1) N ( ) : N(3 ; 1) N f(N) (0;2) I I                       Qua M (2;1) x 2 y 1 ( ) (M N ) : PTCtắc ( ) : PTTQ( ) : x 2y 4 0 2 1 VTCP : M N ( 2;1) Cách 3 : Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng ( ) thành đường thẳng                            ( ) // ( ) . Lấy M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1) Vì ( ) // ( ) ( ) : x + 2y m = 0 (m 5) . Do : ( ) M (2;1) m = 4 ( ) : x 2y 4 0 c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ I                         2 2 2 2 x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = 2 (x 4) (y 3) 2 M (x ;y I                     2 2 f 2 2 ) (C ) : (x 4) (y 3) 2 + Tâm I( 1;2) + Tâm I = f [I( 1;2)] ( 4;3) Cách 2 : (C) (C ) (C ) : (x 4) (y 3) 2 BK : R = 2 BK : R = R = 2             d) Dùng biểu thức toạ độ x = x 3 x x 3 Ta có f : M(x;y) M = f(M) = y y 1 y y 1 I           2 2 2 2 2 2x y (x + 3) (y 1) (x + 3) (y 1) Vì M(x;y) (E) : + = 1 + = 1 M (x ;y ) (E ) : + = 1 3 2 3 2 3 2       9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3 I      2 2 2 2 2 2 = 0. c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 . d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x . ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x 1)  10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng định nào sau đây sai ? I  A. f là 1 phép dời hình B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f [M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0  ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung C sai .        1 1 2 2 1 2 12 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình : f : M(x;y) M = f (M) = (x + 2 ; y 4) ; f : M(x;y) M = f (M) = ( x ; y) . Tìm toạ độ ảnh của A(4; 1) qua f rồi f , nghĩa là tì I I      1 2 2 1 f f m f [f (A)] . ĐS : A(4; 1) A (6; 5) A ( 6 ; 5 ) .I I    x11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( ; 3y) . Khẳng định nào sau đây sai ? 2 A. f (O) = O (O là điểm bất biến) B. Ảnh của A Ox thì I        ảnh A = f(A) Ox . C. Ảnh của B Oy thì ảnh B = f(B) Oy . D. M = f [M(2 ; 3)] = (1; 9)   ĐS : Chọn D . Vì M = f [M(2 ; 3)] = (1; 9) W W W . V N M A T H . C O M C H Ư Ơ N G I : P H E Ù P B I E Á N H Ì N H W W W . V N M A T H . C O M W W W . V N M A T H . C O M - 4 -W W W . V N M A T H . C O M Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN    1 ĐN : Phép tịnh tiến theo vectơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M sao cho MM u.       Kí hiệu : T hay T .Khi đó : T (M) M MM uu u Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định khi biết vectơ tịnh tiến của nó . Nếu T (M) M , M thì T là phép đồng nhất .o o 2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) và phép tịnh tiến Tu             x = x + a M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì u y = y + bI 3 Tính chất : ĐL : Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì . HQ : 1. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng . 2. Biến một tia thành tia . 3. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng . 5. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 6. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .   Biến 7. tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )I I   8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )I  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM        x = x + a M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì u y = y + bI  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) .        Cách 1 : Dùng tính chất (cùng phương của đthẳng , bán kính đường tròn : không đổi ) 1. Lấy M (H) M (H ) 2. (H) đường thẳng (H ) đường thẳng cùng phương I             Tâm I Tâm I(H) (C) (H ) (C ) (cần tìm I ) . + bk : R + bk : R = R Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ . Tìm x theo x , tìm y theo y rồi thay vào biểu thức tọa độ . Cách 3 II      : Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) M , N (H )I B, BÀI TẬP                           1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M của điểm M(3; 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2;1) . Giải x 3 2 x 5Theo định nghĩa ta có : M = T (M) MM u (x 3;y 2) (2;1)u y 2 1 y 1      M (5; 1) 2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tịnh tiến theo vectơ u : a) A( 1;1) , u = (3;1)   A (2;3) b) B(2;1) , u = ( 3;2)      B ( 1;3) c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1) W W W . V N M A T H . C O M C H Ư Ơ N G I : P H E Ù P B I E Á N H Ì N H W W W . V N M A T H . C O M W W W . V N M A T H . C O M - 5 -W W W . V N M A T H . C O M             3 Trong mpOxy . Tìm ảnh A ,B lần lượt của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (3;1) . Tính độ dài AB , A B . Giải Ta có : A = T (A) (5;4) , B = T (B)u u                         1 2 1 2 (4;2) , AB = |AB| 5 , A B = |A B | 5 . 4 Cho 2 vectơ u ;u . Gỉa sử M T (M),M T (M ). Tìm v để M T (M) .1 2 1 u 2 u 1 2 v Giải Theo đề : M T (M) MM u , M T (M ) M M1 u 1 1 2 u 1 1 2                     u .2 Nếu : M T (M) MM v v MM MM M M u + u .Vậy : v u + u2 v 2 2 1 1 2 1 2 1 2      5 Đường thẳng cắt Ox tại A( 1;0) , cắt Oy tại B(0;2) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh của qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; 1) .                                  Giải Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) .u u qua A (1; 1) x 1 t Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts :u y 1 2t VTCP : A B = (1;2)            6 Đường thẳng cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh của qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 1; 2) . Giải Vì : A T (A) (0; 2) ,u                                    B T (B) ( 1;1) .u qua A (0; 2) x t Mặt khác : T ( ) đi qua A ,B . Do đó : ptts :u y 2 3t VTCP : A B = ( 1;3) 7 Tương tự : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3)                : x 2y 2 0 b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2) : 3x y 2 0 8 Tìm ảnh c               2 2ủa đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) 4 qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (1; 3) . Giải x = x + 1 x = x 1 Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến T là : u y = y 3 y = y + 3 Vì : M(x;y) (                      2 2 2 2 2 2C) : (x + 1) (y 2) 4 x (y 1) 4 M (x ;y ) (C ) : x (y 1) 4 2 2 Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : x (y 1) 4       9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) . a) CMR f là phép dời hình . b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3 I      2 2 2 2 2 2 = 0. c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 . d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x . ĐS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x   1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng định nào sau đây sai ? A. f là 1 phép dời hình B. I  Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f [M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0 ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua t rục tung C sai .                2 29 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 1 qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 2;4) . x = x 2 x = x + 2 Giải : Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến T là : u y = y 4 y = y 4                             2 2 2 2 2 2 Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) 1 (x 1) (y 2) 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 1 2 2 Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : (x 1) (y 2) 1 W W W . V N M A T H . C O M C H Ư Ơ N G I : P H E Ù P B I E Á N H Ì N H W W W . V N M A T H . C O M W W W . V N M A T H . C O M - 6 -W W W . V N M A T H . C O M                  2 2 2 2BT Tương tự : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2) 1 2 2 b) (C) : x y 2x 4y 4 0, u = ( 2;3) (C )        2 2: x y 2x 2y 7 0 10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác định toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh A( 2;0), đỉnh B( 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) . Giải                        Gọi C(x;y) .Ta có : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1) Vì I là trung điểm của AC nên : x 1 3 x 4 C = T (I) IC AI C(4;4)AI y 2 2 y 4 Vì I là trung điểm của AC nên : D =                     x 1 2 x 3D D T (I) ID BI D(3;4)BI y 2 2 y 4D D Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) . 11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d . Hãy chỉ ra một          phép tịnh tiến biến d thành d . Hỏi có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế ? Giải : Chọn 2 điểm cố định A d , A d Lấy điểm tuỳ ý M d . Gỉa sử : M = T (M) MM ABAB                 MA M B M B/ /MA M d d = T (d)AB Nhận xét : Có vô số phép tịnh tiến biến d thành d . 12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I ,R ) .Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến (I,R)                             thành (I ,R ) . Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M = T (M) MM IIII IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)]II 13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố định , tâm I thay đổi di động trên đường tròn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC. Giải Gọi J là trung điểm cạnh AB . Khi đó d     ễ thấy J cố định và IM JB . Vậy M là ảnh của I qua phép tịnh tiến T . Suy ra : Quỹ tích của M làJB ảnh của đường tròn (C) trong phép tịnh tiến theo vectơ JB  214 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ u = (m,n) và (P ) là ảnh của (P) qua phép tịnh tiến đó . Hãy viết phương trình của                                  u (P ) . Giải : T M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y) x x = m x = x m Vì MM = u y y = n y = y n 2 2Mà : M(x;y) (P) : y ax y n = a(x m) y = I                          2 2a(x m) n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m) n 2 2 2 Vậy : Ảnh của (P) qua phép tịnh tiến T là (P ) : y = a(x m) n y = ax 2amx am n .u 15 Cho đt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectơ u 0 để = T ( ) . u Gi                  ải : VTCP của là a = (2; 6) . Để : = T ( ) u cùng phương a . Khi đó : a = (2; 6) 2(1; 3)u chọn u = (1; 3) . 16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( 5;2) , C( 1;0) . Bi   ết : B = T (A) , C = T (B) . Tìm u và vu v để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ? Giải W W W . V N M A T H . C O M C H Ư Ơ N G I : P H E Ù P B I E Á N H Ì N H W W W . V N M A T H . C O M W W W . V N M A T H . C O M - 7 -W W W . V N M A T H . C O M Tu+ v      u vT T A( 5;2) B C( 1;0)I I . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (4; 2)                           u v 17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) . Tìm ảnh của K,M,N qua phép tịnh tiến T rồi T .u v T T HD : Gỉa sử : A(x;y) BI I                                        C(x ;y ) . Ta có : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5) x 1 1 x 2 Do đó : K =T (K) KK (1;5) K (2;7) . u v y 2 5 y 7 Tương tự : M (4;4) , N (3;2) . 18 Trong hệ trụ              u u c toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) . G là trọng tâm ABC và phép tịnh tiến theo vectơ u 0 biến A thành G . Tìm G = T (G) .u Giải T T A(3;0) G( 1;3) G (x ;yI I                                 ) x 1 4 x 5Vì AG ( 4;3) u . Theo đề : GG u G ( 5;6). y 3 3 y 6 2 2 2 219 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,(C ) : x y 10x 4y 25 0. Có hay không phe         ùp tịnh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) . HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 2 ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = 2 . Ta thấy : R = R = 2 nên có phép tịnh tiến theo vectơ u       = (4;1) biến (C) thành (C ) . 20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) và B :2x y 5 = 0 . Tìm tập hợp đỉnh C ? Giải Vì OABC là hình bình hành nên : BC                                            u AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1)u T x x 2 x x 2 B(x;y) C(x ;y ) . Do : BC u y y 1 y y 1 B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ;y ) : 2x y 10 = 0 21 Cho ABC . Gọi A ,B ,C 1 1 1 I lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O ,O ,O và I ,I ,I1 2 3 1 2 3 tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường tròn nội tiếp của ba tam giác AB C ,1 1 BC A1                1 1 1AB AB AB 2 2 2 , và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I .1 1 1 1 2 3 1 2 3 HD : Xét phép tịnh tiến : T biến A C,C B,B A .1 1 1 1AB 2 T T T AB C C BA ;O O ;I I .1 1 1 1 1 2 1 2 I I I I I I                       O O I I O O I I .1 2 1 2 1 2 1 2 Lý luận tương tự : Xét các phép tịnh tiến T ,T suy ra :1 1BC CA 2 2 O O I I và O O I I O O I I ,O O I I O O O I I I (2 3 2 3 3 1 3 1 2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 3 1 2 3  c.c.c).               BC 22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 và D 90 . Tính độ dài các cạnh BC và DA . HD : T Xét : A M AM BC.Ta có : ABCM là hình bình hành và BCM 3I  0 (vì B 150 ) W W W . V N M A T H . C O M C H Ư Ơ N G I : P H E Ù P B I E Á N H Ì N H W W W . V N M A T H . C O M W W W . V N M A T H . C O M - 8 -W W W . V N M A T H . C O M                         o Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 . Định lý hàm cos trong MCD : 32 2 2 2 2MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12. 36 2 MD = 6cm . 1 Ta có : MD = CD và MC = MD 3 MDC là tam giác 2             đều MCD là nửa tam giác đều DMC 90 và MDA 30 . Vậy : MDA MAD MAB 30 AMD là tam giác cân tại M .       6 3 Dựng MK AD K là trung điểm của AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm 2 Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm Vấn đề 3 : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A , KIẾN THỨC CƠ BẢN   1 ĐN1: Điểm M gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM . Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi là phép đối xứn  g trục . Đường thẳng a gọi là trục đối xứng. ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường tha      a o o o úng a . Kí hiệu : Đ (M) M M M M M , với M là hình chiếu của M trên đường thẳng a . Khi đó :   a Nếu M a thì Đ (M) M : xem M là đối xứng với chính nó qua a . ( M còn gọi là điểm bất động )     aM a thì Đ (M) M a là đường trung trực của MM a a Đ (M) M thì Đ (M ) M   a a Đ (H) H thì Đ (H ) H , H là ảnh của hình H .      d ĐN : d là trục đối xứng của hình H Đ (H) H . Phép đối xứng trục hoàn toàn xác định khi biết trục đối xứng của nó . Chú ý : Một hình có thể không có trục đối xứng ,có thể có một hay nhiều trục đối xứng .              d2 Biểu thức tọa độ : M(x;y) M Đ (M) (x ;y ) x = x x = x ª d Ox : ª d Oy : y = y y = y I 3 ĐL : Phép đối xứng trục là một phép dời hình . 1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương ứ HQ :  ng . 2. Đường thẳng thành đường thẳng . 3. Tia thành tia . 4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó . 5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọn I    g tâm trọng tâm ) 6. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R ) 7. Góc thành góc bằng nó . I I aPP : Tìm ảnh M = Đ (M) 1. (d) M , d a 2. H = d a 3. H là trung điểm của MM M ?       W W W . V N M A T H . C O M C H Ư Ơ N G I : P H E Ù P B I E Á N H Ì N H W W W . V N M A T H . C O M W W W . V N M A T H . C O M - 9 -W W W . V N M A T H . C O M                a a ª PP : Tìm ảnh của đường thẳng : = Đ ( ) TH1: ( ) // (a) 1. Lấy A,B ( ) : A B 2. Tìm ảnh A = Đ (A) 3. A , // (a)        a TH2 : // a 1. Tìm K = a 2. Lấy P : P K .Tìm Q = Đ (P) 3. (KQ)  ª PP :   minTìm M ( ) : (MA + MB) .                min min Tìm M ( ) : (MA+ MB) Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối với ( ) : 1) gọi A là đối xứng của A qua ( ) 2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( )         min Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với ( ) : M ( ), thì MA + MB AB Ta có: (MA+MB) = AB M = (AB) ( )  B . BÀI TẬP      ĐĐ OyOx 1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(2;1) đối xứng qua Ox , rồi đối xứng qua Oy . HD : M(2;1) M (2; 1) M ( 2; 1) 2 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(a;b) đối xứng qua Oy , rồi đối xứ I I                Đ ĐOy Ox Đ Đa b Đ Đa b ng qua Ox . HD : M(a;b) M ( a;b) M ( a; b) 3 Cho 2 đường thẳng (a) : x 2 = 0 , (b) : y + 1 = 0 và điểm M( 1;2) . Tìm : M M M . HD : M( 1;2) M (5;2) I I I I I I                 Đ Đa b Đ Đa b tđ(m;y) tđ( M (5; 4) [ vẽ hình ] . 4 Cho 2 đường thẳng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0). Tìm M : M(x;y) M (x ;y ) M (x ;y ). x 2m x HD : M(x;y) M y y I I            