Chuyên đề: Phương trình lượng giác

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1 Nguyễn Công Mậu LỜI NÓI ĐẦU: Kính thưa các đồng nghiệp cùng bạn đọc: Tôi viết chuyên đề giải PTLG này nhằm trao đổi cùng đồng nghiệp để tham khảo. Bên cạnh đó giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình. Nếu nói một chuyên đề PTLG thì phải giới thiệu tất cả các dạng phương trình và cách giải hoặc thuật toán của từng dạng.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu cách cho đề của các đề thi đại học từ những năm gần đây bản thân tôi rút ra được kinh nghiệm: +Số chuyên đề của một học sinh phải học quá nhiều, do vậy vấn đề về thời gian dành để ôn luyện cho mỗi chuyên đề phải được tính đến. +Dạy và ôn như thế nào để phù hợp với xu thế ra đề của Bộ Giáo dục. Do vậy tài liệu này tôi đã tích lũy từ nhiều năm, các bài tập được biên soạn chỉ ngang tầm với các đề thi đại học đã diễn ra hoặc mức độ chênh lệch nhau không đáng kể.Tài liệu này được viết theo các nội dung chính say đây: A.Ôn lý thuyết:Không trình bày phần lý thuyết nhằm tránh tài liệu quá dài. B.Sơ đồ hệ thống cách giải các phương trình lượng giác trong các đề thi đại học. (Sau mỗi bài giải hoặc ví dụ,bạn hãy thử xem đối chiếu lại với sơ đồ !) C.Ôn tập cách giải các phương trình thường gặp đã nâng cao.Trong phần này có ví dụ và có lời giải hoặc hướng dẫn cách giải.Cuối của mỗi mục có phần bài tập hoàn toàn tương tự , do vậy tôi không ghi cách giải. Riêng phần PTLG đẳng cấp bậc n tôi đã biên soạn các ví dụ theo hai cách giải để bạn đọc thấy được ưu điểm của mỗi cách.Số bài tập tương tự mục này nhiều hơn so với những nội dung khác. D.Phần bài tập để rèn luyện chung cho chuyên đề-phần này tôi biên soạn tương ứng với mức độ các đề thi đại học từ 2002-2009 . Các em học sinh có thể nghiên cứu đáp án các đề thi đại học từ 2002-2009 để giải nó (nếu không giải được).(Nếu các em là học sinh có yêu cầu bài giải phần này thì có thể liên hệ theo email: maunguyencong@yahoo.com hoặcsố điện thoại: 0984-003114. E.Nội dung các đề thi đại học các khối từ 2003-2009 để dễ so sánh với các bài tập ở phần D. F.Nghiên cứu thêm những gợi ý về cách giải các phương trình lượng giác. Tôi hy vọng rằng, nếu đọc kỹ về cách giải PTLG cùng với sơ đồ hệ thống các em học sinh có thể tự học tốt về chuyên đề này. Chúc tất cả chúng ta thành công và cũng mong đồng nghiệp và các em học sinh thông cảm cho bản thân tôi trong quá trình biên soạn tài liệu này không sao tránh khỏi những sai sót. Chào thân ái! A. ÔN LÝ THUYẾT:  Ôn :giá trị lượng giác các góc đặc biêt, giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biêt. Các công thức cơ bản, công thức lượng giác  Ôn : Phương trình lượng giác cơ bản và cách giải. OÂN LUYỆN PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2 Nguyễn Công Mậu B. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002- 2009.  (ẩn phụ) C.ÔN TẬP CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP. VÍ DỤ-CÁCH GIẢI –GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN VÀ BÀI TẬP. I. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:  Phương trình dạng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác. Và a, b, c là các hệ số a 0.  Cách giải: + Đặ t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì 1t  ) + Giải phương trình at2 + bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện. + Giải phương trình f(x) = t. Ví dụ 1) Giải phương trình : 22cos 4 6 s 1 3cos 2 0 cos x co x x x     (1) Ví dụ 2) Giải phương trình : 1 cos1 sin2)1cos2(cos1   x xxx (2) Ví dụ 3) Giải phương trình : 23 2 3(1 ).cotcosx cosx x    (3) Ví dụ 4) Giải phương trình : 6 6 2sin 2 1x cos x cos x   (4) Ví dụ 5) Tìm các nghiệm trên khoảng  0; của phương trình : PTLG cho trước PT còn một cung Còn 1 HSLG PTĐẠI SỐ Còn 2 hàm sin và côsin PTLG cơ bản PTLG THƯỜNG GẶP PT còn hai cung Áp dụng: (asinu + bcosu) PTcơ bản Sinf(x)=sing(x) Hoặc cosf(x)=cosg(x) P.T.Tích Cần chú ý sự xuất hiện các biểu thức: a.sinx +b.cosx với: a,b = 2;3;1  Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 3 Nguyễn Công Mậu sin 3 cos37 4 cos 2 2sin 2 1 x x cosx x x       (5) Ví dụ 6) Cho phương trình : cos 2 (2 1)sin 1 0 (*)x m x m     . a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng  ;2  . HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1) +Đk  mx  2 . (1)   02cos312cos1(312cos22 2  xxx              kx k x x x xx 6 2 2 12cos 12cos 012cos32cos2 2 Họ 2 k x  thỏa ĐK khi k = 2h hx  Vậy (1) có 3 họ nghiệm là: Zkhkxhx  ,; 6 ;  . Ví dụ 2) + ĐK : 21cos mxx  (2) 0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21 22  xxxxxx 2sin 2 2 sin02sin2sin2 2  xxxx (loại)            2 4 5 2 4 4 sin 2 2 sin kx kx x Ví dụ 3) +ĐK : mx  (3)  x x xx 2 2 sin cos)cos1(322cos3  x x xx 2 2 cos1 cos)cos1(322cos3 02coscos6 cos1 cos32cos3 2 2  xxx x x                 2) 3 2 arccos( 2 3 3 2 cos 2 1 cos kx kx x x (Thỏa các ĐK) Ví dụ 4) +Biến đổi:   4 12cos 4 3 2sin 4 31)cos(sincossin3)cos(sin )(cossincossin 2 22222322 323266    x xxxxxxx xxxx (4) 012cos42cos32cos 4 12cos 4 3 22  xxxx Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 4 Nguyễn Công Mậu            2 3 1 arccos 2 1 3 12cos 12cos kx kx x x Ví dụ 5) *Giải PT(5): +ĐK : sinx         2 12 2 12 5 2 1 mx mx +Ta có )cossin1)(cos(sin4)cos(sin3cos3cos4sin4sin33cos3sin 33 xxxxxxxxxxxx  )12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin  xxxxxxx xx x xx cossin 12sin2 3cos3sin   (5) )sin21(4sin72cos4)coscos(sin7 2 xxxxxx  3sin 2 1 sin03sin7sin2 2  xxxx (loại)          2 6 5 2 6 2 1 sin kx kx x *Chọn nghiệm trên khoảng  ;0 ta được hai nghiệm của phương trình là: 6 5 ; 6   xx Ví dụ 6) (*) 01sin)12(sin21 2  mxmx 0sin)12(sin2 2  mxmx  1;1;sin;0)12(2)( 2  txtmtmttf a)Khi m=2: 2 2 10252)( 2  tttttf (loại)          2 6 5 2 6 2 1 sin 2 1 kx kx xt b)Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng  ;2  : Khi   012;  tx  . Vậy ta phải có :                       01 0)1(0)1().0( 0 2 1 0)1(;0)0(;0 01 01 01 21 21 21 m m fff S afaf tt tt tt  0;1 m BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 5 Nguyễn Công Mậu 1) Giải phương trình : 2 24sin 2 6sin 9 3cos 2 0 cos x x x x     2) Giải phương trình :   2cos 2 3 2 2 1 1 1 sin 2 x sinx cos x x     3) Giải phương trình : 25 2 3(1 ). tansinx sinx x   4) Giải phương trình : 8 8 217sin 2 16 x cos x cos x  5 Tìm các nghiệm trên khoảng  0;2 của phương trình : cos3 sin 35 3 cos 2 1 2sin 2 x x sinx x x       6) Cho phương trình : cos 2 (2 1)cos 1 0 (*)x m x m     . a) Giải phương trình khi m = 3/2. b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng 3; 2 2      . II. Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung: Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b  0 + Điều kiện phương trình có nghiệm : a2 + b2  c2. + Cách giải : - Chia 2 vế phương trình cho 2 2a b ta được : 2 2 2 2 2 2 cosasinx b x c a b a b a b     - Đặt 2 2 2 2 sina bcos a b a b      và đặt 2 2sin c a b    ta có phương trình: sin( ) sinx    Ví dụ 1: Giải phương trình : xxxx 2cos34cos26sin32cos4 3  (1) Ví dụ 2: Giải phương trình : 3 18sinx cosx sinx   (2) Ví dụ 3: Giải phương trình : 0sincos2cos2sin  xxxx (3) Ví dụ 4: Giải phương trình : 82cos2sin3cos3sin9  xxxx (4) Ví dụ 5: Giải phương trình : 32 cos 2 0cos x x sinx   (5) Ví dụ 6: Giải phương trình : 3 3sin x cos x sinx cosx   (6) Ví dụ 7: Giải phương trình : 4 4 4(sin ) 3 sin 4 2x cos x x   (7) Ví dụ 8: Giải phương trình : xxxx sin3cos)cos3(sin3  (8) HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: (1)   xxxx 4cos26sin32cos32cos4 3  xxxxxx 4cos6sin 2 36cos 2 14cos26sin36cos  xx 4cos 3 6cos      . Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 6 Nguyễn Công Mậu Ví dụ 2: + ĐK :  Zmmxx x x      2 02sin 0cos 0sin  + (2) xxxxxxxx cossin3)3cos(cos2cossin3sin2sin4  xxxxx 3cos 3 cos3cossin 2 3 cos 2 1      Ví dụ 3: (3)   01coscos2)sincossin2( 2  xxxxx 0)1cos)(sin1cos2( 0)1)(cos1cos2()1cos2(sin   xxx xxxx 1) 4 sin(2 2 1 cos  xx Ví dụ 4: (4)     09cos2cos3cossin6sin9 2  xxxxx 0)3)(cos3cos2()cos23(sin3  xxxx 03sin3cos0)3sin3)(cos3cos2(  xxxxx  sinsinsincoscos 10 3 sin 10 3 cos 10 1  xxxx 10 3 sin; 10 1 cos; 2 cos)cos(     x Ví dụ 5: (5) 0)sin1()1(coscos20sin1cos2cos2 223  xxxxxx 0)sin1()1)(cossin1)(sin1(2  xxxx  0)12sincos2sin2)(sin1( 01)cos1)(sin1(2)sin1(   xxxx xxx   0)cos(sin)cos(sin2)sin1( 2  xxxxx     0cossin 0sin1 0)2cos)(sincos)(sinsin1( xx x xxxxx Ví dụ 6: (6) xxxxxx cossin)cossin1)(cos(sin  xxxxxxxx cossin)cos(sincossincossin  0)cossinsin2(cos0)cos(sincossincos2 2  xxxxxxxxx 0)2sin2cos3(cos0)2sin 2 1 2 2cos12(cos  xxxxxx 0cos  x Ví dụ 7: + Biến đổi : xxxxx 4cos 4 1 4 3)4cos1( 4 112sin 2 11cossin 244  + (7) 2 14sin 2 34cos 2 124sin34cos3  xxxx  3 2 cos 3 4cos     x xxxx sin3cos)cos3(sin3  Ví dụ 8: (8) xxxxxxxx cos 2 3 sin 2 13cos 2 13sin 2 3 cos3sin3cos3sin3         3 sin 6 3sin  xx Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 7 Nguyễn Công Mậu BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : 1) Giải phương trình : xxxx 3sin43cos29cos33sin3 3 2) Giải phương trình : 3 18 sin cosx x cosx   3) Giải phương trình : 2sin 2 2sin 1 4 2 2sin cos 2x x sin xcosx cos x x x     4) Giải phương trình : 4cos sin 2 2cos 2 1sinx x x x    5) Giải phương trình : 32sin cos 2 0x x cosx   6) Giải phương trình : 3 3sin x cos x sinx cosx   7) Giải phương trình :   24sin33cossin8 66  xxx 8) Giải phương trình : xxxx cos3sin)sin3(cos3  III. Phương trình đẳng cấp thuần nhất theo sin và côsin cùng một cung: 1) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung:  Phương trình có dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0. (1)  Cách giải 1: (Dng cơng thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin v cơsin cng cung) (1)  1 cos 2 1 cos 2sin 2 0 2 2 2 x b x a x c d     sin 2 ( )cos 2 (2 )b x c a x d a c       .  Cách giải 2: (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx) Xét hai trường hợp : + Nếu x = ; 2 k k Z   có là nghiệm phương trình hay không. + Nếu x ; 2 k k Z    , chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0  (a + d)tan2x + btanx + c + d = 0. Ví dụ 1: Giải phương trình cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x (1) Ví dụ 2: Giải phương trình 4sin2x – 3sinxcosx +  3 4 cos2x = 4 (2) Ví dụ 3: Giải phương trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 (3) Ví dụ 4: Giải phương trình : cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3. (4) HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: (1)   12sin32cos12sin3sincos 22  xxxxx 3 cos 3 2cos 2 12sin 2 32cos 2 1      xxx Ví dụ 2: +Xét cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình (2). Vậy (2) có nghiệm  kx  2 . Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 8 Nguyễn Công Mậu +Xét 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay x x 2 2 tan1cos 1  và đặt ăn phụ t = tanx : Ta có :  kxxtttt  66 tantan 3 3)1(44334 22 Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là :  kx  2 ; Zkkx  ; 6  Ví dụ 3: (3) 3)2cos1( 2 32sin 2 5)2cos1(5  xxx 72sin52cos7  xx Ví dụ 4: +Xét cosx = 0 thì 1sin 2 x nghiệm đúng phương trình (2). Vậy (2) có nghiệm  kx  2 . +Xét 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x2cos và thay x x 2 2 tan1cos 1  và đặt ăn phụ t = tanx : Ta có : kxxtttt  2arctan2tan2)1(331 22 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giải phương trình : 3sin2x - 5 3 sinxcosx – 6cos2x = 0 2) Giải phương trình : sin2x + 2(1 3)sin cos 3 0x x cos x   3) Giải phương trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1 4) Giải phương trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0 2) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc cao theo sin và côsin cùng một cung:  Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau: + Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức theo sinx và cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức : 1cossin 22  xx . ),( Nnk  Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx. xxxxx 2322 cossinsin)cos(sin  (bậc 3). Hoặc sinx = sinx. xxxxxxx 4235222 cossincossin2sin)cos(sin  (bậc 5). + Chú ý : i) Số 0 không có bậc. Một hằng số khác 0 có bậc là 0. ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và côsin là khi chúng đã cùng một cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x có bậc 3)  Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và côsin của cùng một cung như sau: “ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k, k N ”  Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2) (Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật toán, nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai) +Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT không. (nếu đúng ghi nhận kết quả) +Bước 2: -Xét cosx  0. Chia hai vế PT cho xncos và thay  kk x x 2 2 tan1cos 1    . Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 9 Nguyễn Công Mậu -Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t. -Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x.  Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và côsin) ( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng không định hướng được kết quả biến đổi. Đòi hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Không có thuật toán như cách 1. Sau đây là một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: xxxx 2coscossintan  (1) Giải cách 1: +ĐK:  mx  2 . +(1) xxxx 32 coscossinsin  (*) (đẳng cấp bậc 3). +cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì 01  ; vô lý) +cosx  0, chia hai vế (*) cho cos3x được :  kxxttxxx  4 1tan111tan)tan1(tan 32 (t = tanx) Giải cách 2: (*) xxxxx 3332 cossincos)cos1(sin  (**)  kxxx  4 1tan1tan 3 Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau: (**) 0)2sin2)(cos(sin0)cossin1)(cos(sin0cossin 33  xxxxxxxxx  kxxxx  4 1tan0cossin . Ví dụ 2: Giải phương trình: xxx cossincos3  (2) (đẳng cấp bậc 3) Giải cách 1: + cosx = 0 không nghiệm đúng (2) + cosx  0, chia hai vế (2) cho cos3x được : )tan1()tan1(tan1 2 xxx  kxxtttt  0tan00)1( 2 (với t = tanx ) Giải cách 2: (2) 0)1cos(sinsin0sinsincossin)1(coscos 22  xxxxxxxxx kxxxx  0sin0)22(sinsin Ví dụ 3: Giải phương trình: 0cos2cossincos2sin3 233  xxxxx (3) (đẳng cấp bậc 3) Giải cách 1: + cosx = 0 không nghiệm đúng (3) + cosx  0, chia hai vế (3) cho cos3x được : 0)3(3033)tan1(2tan2tan3 223223  ttttxxx              kx kx x x t t 3 3tan 0tan 3 0 Giải cách 2: (3)   0)cos1(cos2cossinsin3 223  xxxxx   0cos3sin3sin0sincos2)cossin3(sin 222  xxxxxxxx Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 10 Nguyễn Công Mậu              kx kx x kx xx x 3 3tan0cos3sin 0sin Ví dụ 4 : Giaûi phöông trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4) Giải cách 1: + cosx = 0 thì sinx = 1 không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx 0 + Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được: 310342  tttt Giải cách 2: (4) 0)sincos(sin)cossin3cos3( 422224  xxxxxx 0)sin(cossin)sin(coscos3 222222  xxxxxx     3tan 02cos 0)sincos3(2cos 22 x x xxx Ví dụ 5: Giải phương trình : xxxxx cossin2coscossin 266  (5) Giải cách 1: Nếu biến đổi : )cossincos)(sincos(sincossin 22442266 xxxxxxxx  = = xxxx 2244 cossincossin  Và biến đổi : xxxxxxx 22442222 cossin2sincos)sin(cos2cos  Thì PT (5) 0cossincossin 22  xxxx (*) Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản + Nếu từ PT: xxxxxx cossin)sin(coscossin 22266  (đẳng cấp bậc 6) Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình: (Với t = tanx )     )1.5(012 0 02 234 2345 tttt t ttttt Khi đó PT (5.1) 02110112 2 2 2 2        t t t t tt tt (5.2) PT (5.2) đặt ẩn phụ t tu 1 thì được PT bậc hai 1002  uuuu . Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm. + Với t = 0 kxx  0tan . Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:  kx  2 cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x = 2 k . Phù hợp với mọi cách giải. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Có thể giải lại các bài trong các ví dụ và bài tập tương tự ở phân PT đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung như : 1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3) 2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3) 3) Giải phương trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3) 4) Giải phương trình : 3 3sin x cos x sinx cosx   (đẳng cấp bậc 3) 5) Giải phương trình :   24sin33cossin8 66  xxx (đẳng cấp bậc 6) Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 11 Nguyễn Công Mậu 6) Giải phương trình : xxxx cos3sin)sin3(cos3  (đẳng cấp bậc 3) 7) Giải phương trình : 3 3sin x cos x sinx cosx   (đẳng cấp bậc 3) 8) Giải phương trình : 4 4 4(sin ) 3 sin 4 2x cos x x   (đẳng cấp bậc 4) 9) Giải phương trình : xxxx sin3cos)cos3(sin3  (đẳng cấp bậc 3) 10) Giải phương trình : 8 8 217sin 2 16 x cos x cos x  (đẳng cấp bậc 8) 11) Giải phương trình : 6 6 2sin 2 1x cos x cos x   (đẳng cấp bậc 6) IV. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và côssin cùng một cung: 1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và côsin)  Dạng phương trình: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R (1)  Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2 4 sin2     tx  (*) 2 1 cossincossin21 2 2  txxxxt (1) )1.1(0220 2 1 . 2 2  bcatbtctbat . Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn 20 t . Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = 120 t để tìm x. 2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)  Dạng phương trình: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R (2)  Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 2 4 sin2     tx  (**) 2 1 cossincossin21 2 2 txxxxt  (1) )1.2(0220 2 1 . 2 2  bcatbtctbat . Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn 20 t . Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- 20t để tìm x. Ví dụ 1: Giải phương trình   02cos12)sin(cos122sincossin  xxxxxx (1) Ví dụ 2: Giải phương trình     4 sin27cos2sin3sin2sin32cos8 xxxxxx (2) Ví dụ 3: Giải phương trình 02cos2sinsin 23  xxx (3) Ví dụ 4: Giải phương trình 12cossin)2sincos(sin12cossin 22  xxxxxxx (4) Ví dụ 5: Giải phương trình 1)1(sin2sin2coscossinsin 2  xxxxxx (5) Ví dụ 6: Giải phương trình 0sincos2cos)1cos(sin  xxxxx (1) HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ: Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 12 Nguyễn Công Mậu Ví dụ 1: (1)     012)cos(sin122sincossin  xxxxx     )1(0122sin)cos(sin12 )1(0cossin bxxx axx (1a)  kx  4 (1b)  xxtt t t tt cossin1 13 1 013122     2 02sin1 kxxt  + Vậy (1) có 2 họ nghiệm là )( 2 ; 4 Zkkxkx   Ví dụ 2: (2)    072sin3)sin(cos8sincos  xxxxx     )2(072sin3)sin(cos8 )2(0cossin bxxx axx (2a)  kx  4 (2b) : Đặt t = (*)12sin2sin1)2(;sincos 22 txxttxx  (2b) 3 2 3 2 2 0483 2      t t t tt , thay t = -2/3 vào (*): Sin2x =          kx kx 9 5 arcsin 2 9 5 arcsin 2 1 9 5 Ví dụ 3: (3) 0)1cossincos)(sincos1(  xxxxx         2 2 01cossincossin 1cos   k x kx xxxx x Ví dụ 4: (4)          012)cos(sin12cossin 0cossin 012)cos(sin12cossincossin xxxx xx xxxxxx        2 4   k x x Ví dụ 5: (5)   0)1(sin2sin2)coscos(sin1sin 2  xxxxxx Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 13 Nguyễn Công Mậu               012sin2cossin 1sin 012sin2cossin1sin 0)1(sin2sin21sincos1sin1sin xxx x xxxx xxxxxx Ví dụ 6: (6)      0sincossincos1cossin 22  xxxxxx       0sincossincossincos1cossin  xxxxxxxx      01sincos1cossin)sin(cos  xxxxxx     )6(01)sin)(cos1cos(sin )6(0sincos bxxxx axx (6a)  kx  4 (6b): Đặt t = sinx +cosx ( 2t ) ; 12sin2sin1 22  txxt (*) (6b) 01.1 2 12      tt 0233  tt 0)2)(1( 2  ttt 1 2 1     t t t thay vào (*) thì sin2x = 0 2 k x  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải các phương trình sau : 1) 2 4 cos2)1cos(sin2sin2     xxxx . 2) xxxxx cossin4sin 2 1 cossin 44  3) 02sin2coscos 23  xxx 4)    )cos2(8sin3sin3 2 xxx  5) 0sincos)cossin1(2cos  xxxxx 6) 06cos6sin3sin 23  xxx D. PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009 (Không hướng dẫn-bạn tự nghiên cứu đáp án các đề thi đại học) Bài 1:Giải các phương trình sau : a) x x x x 2cos3 cos21 3sin2sin4     ; b) xxxx 4cossin3cos2sin 2222  c) 04sin32cos43sin  xxx ; d) 012sin 2 1 sin2cos3sin 2  xxxx e) 0 2cos2 cossincossinsincos 2266   x xxxxxx ; g) x xx x xx sin cossin4 cos 1 cot.cos 2  Bài 2:Giải các phương trình sau : Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 14 Nguyễn Công Mậu a)   0 sin22 3 4 cos 4 sin2cossin2 44         x xxxx  b)   xxxxxxxxx cos.sincossin2cos.2coscotcossin 233  c) xgxxxx 22 cot).2cos(cos32coscos10  d)    xxxxx sin32sincossin23cos2  Bài 3:Giải các phương trình sau : a) 0cossin2cos2sincossin1 33  xxxxxx ; b) x xxx 2 2 tan 1 cot.cossin1  c) )cos1(sin2sincos)sin1(1 22 xxxxx  ; d) 02cot2cottan2tan 22  xxxx Bài 4 : Giải các phương trình : a)    012sin 2sin34 cossincossin8 2 66   x x xxxx ; b) 0sin2cos.3sin 22  xxx c) 0 32cos5 2cos2cossincossin 4466   x xxxxx ; d) xxxx tan2sintan.sin  e) )cos1(sin2sincos)sin1(1 22 xxxxx  ; g) xxx 7cos1coscos2 2  Bài 5 : Giải các phương trình : a) 12sinsin)cos1(cos)sin1( 22  xxxxx ; b) 21cos3 2 cos 2 sin 2     xxx c) 02cossin2sin2)2cos1(cos3  xxxxx ; d)              4 5 cos4 2 3 sin 1 2 cos 1   x xx e) 02cossin2sin2)2cos1(cos3  xxxxx f) xxxxxxx cossin3cossin2coscos3sin 2233  Bài 6: a) Giải phương trình   3)cos1)(cos21( sincos21   xx xx b) Giải phương trình : 2cos 2cos 3sin3cos2cos2 3  x x xxx c) Giải phương trình 3 cos cossin43cos3 2  x xxx E. CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009. Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình sau : Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 15 Nguyễn Công Mậu a) (KA-2003) xx x x x 2sin 2 1 sin tan1 2cos1cot 2  b) (KB-2003) x xxx 2sin 22sin4tancot  c) (KD-2003) 0 2 costan. 42 sin 222   