Đề 3 thi tuyển sinh đại học năm 2011 môn: toán; khối: a (thời gian làm bài: 180 phút)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khối: A ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 180 phút) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= , m là tham số thực. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m=1. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân. Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình tan.tan= Giải bất phương trình . Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I=. Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: . Chứng minh rằng: II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C(2;-5) và đường thẳng : 3x-4y+4=0. Tìm trên hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;) sao cho diện tích tam giác ABC bằng 15. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-y-5z+1=0 và hai đường thẳng d1 : d2 : Hãy viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1, d2. Câu VII.a (1,0 điểm) Cho khai triển (1+2x)10 (x2+x+1)2=a0+a1x+a2x2++a14x14. Hãy tìm giá trị của a6. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn , đường thẳngd : x+y+m=0 . Tìm để cắt d tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất. 2. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0. Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới bằng . Câu VII.b(1,0 điểm) Tìm hệ số của x2 trong khai triển , biết n là hệ số nguyên dương thỏa mãn 2C+. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I. 1. Bạn đọc tự giải. 2. * Ta có * Hàm số có CĐ, CT khi f’(x)=0 có 3 ngiệm phân biệt và đổi dấu: m<2 (1). Tọa độ các điểm cực trị là: * Do tam giác ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi vuông tại A: thỏa mãn (1) Trong đó Vậy m=1 là giá trị cần tìm. Câu II. 1. Điều kiện Để ý rằng Khi đó PT đầu trở thành Không thoả điều kiện (*). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 2. * Đk: x 4. Đặt t = (t > 0) BPT trở thành: t2 - t - 6 0 * Với t 3 2 9 - 2x * (a) x . * (b) . *Tập nghệm của BPT là: T= Câu III. *Đặt t= và x= Đổi cận x 0 4 t 2 4 * Ta có I= 4 2 =2ln2-. S A B K H C O I D a Câu IV. Từ giả thiết AC = ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = ; BO = a , do đó ABD=600 Hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ^ (ABCD). Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có và DH = ; OK // DH và Þ OK ^ AB Þ AB ^ (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ^ SK; AB ^ OI Þ OI ^ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB). Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao Þ Diện tích đáy đường cao của hình chóp Thể tích khối chóp S.ABCD: . Câu V. Ta có: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 mà a3 + ab2 ³ 2a2b b3 + bc2 ³ 2b2c c3 + ca2 ³ 2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2) ³ 3(a2b + b2c + c2a) > 0 Suy ra Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh được t ³ 3. Suy ra Þ VT ³ 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Câu VI.a. 1. Gọi . Khi đó diện tích tam giác ABC là Theo giả thiết ta có Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4). 2. Phương trình tham số của d1 và d2 là : Giả sử d cắt d1 tại M(-1 + 2t ; 1 + 3t ; 2 + t) và cắt d2 tại N(2 + m ; - 2 + 5m ; - 2m) (3 + m - 2t ; - 3 + 5m - 3t ; - 2 - 2m - t). Do d ^ (P) có VTPT nên có nghiệm Giải hệ tìm được Khi đó điểm M(1; 4; 3) Phương trình d: thoả mãn bài toán Câu VII.a. Ta có nên Trong khai triển hệ số của là: Trong khai triển hệ số của là: Trong khai triển hệ số của là: Vậy hệ số Câu VI.b. 1. *(C) có tâm O(0;0) , bán kính R=1 *(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt *Ta có SOAB= Từ đó diện tích tam giác AOB lớn nhất khi và chỉ khi 2. Ta có phương trình tham số của d là: Þ toạ độ điểm M là nghiệm của hệ (tham số t) Lại có VTPT của(P) là , VTCP của d là . Vì nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đó. Ta có vuông góc với nên ta có phương trình: 2x – 3y + z – 11 = 0 Lại có N(P) và MN = ta có hệ: Giải hệ ta tìm được hai điểm N(5; - 2; - 5) và N(- 3; - 4; 5) Nếu N(5; -2; -5) ta có pt Nếu N(-3; -4; 5) ta có pt Câu VII.b. Ta có 2 Lại có ( Nhị thức Newton) Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa: Vậy hệ số cần tìm là .