Đề tài Một số phương pháp giải phương trình chứa căn

I. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI (chú ý ở đây ta chỉ thu được phương trình hệ quả, nên cần thử nghiệm) Chú ý. Khi bình phương hai vế của phương trình ta cần có điều kiện hai vế không âm để có được phương trình tương đương Giải các phương trình a) b) Giải a) Vậy nghiệm của phương trình là: b) hệ VN Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Giải các phương trình a) (1) b) (2) Giải. Điều kiện: Phương trình (1) Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0 b) Điều kiện Giải các phương trình a) (ĐHB-2008DB) (1) b) (2) Giải. a) Điều kiện Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất x = 3 b) Bình phương 2 vế ta được: Thử lại : là nghiệm Giải phương trình Giải. : (nhận) : (đúng) : (loại) Vậy nghiệm của PT Giải các phương trình sau: a) b) Giải a) Thử lại: + Nếu x = 30 phương trình thỏa mãn. + Nếu x = -61 phương trình thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: . b) Kiểm lại: + Với x = 1 thì phương trình thỏa mãn. + Với x = 0 thì phương trình vô nghiệm. Tóm lại: nghiệm của phương trình đã cho là: x = 1. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các phương trình a) b) Giải các phương trình a) b) Giải phương trình Giải phương trình sau : Với những giá trị thực nào của x thì mỗi đẳng thức sau là đúng? a) b) c) (Vô địch Toán Quốc tế lần 1, năm 1959) Giải các phương trình a) b) (ĐH 2002D–db2) Giải phương trình: . ĐS: x = 5. Đặt . (ĐH 2005D) Giải phương trình: . ĐS: x = 3. (ĐH 2005B–db1) Giải phương trình: . ĐS: x = 2; x = 4. (ĐH 2006D) Giải phương trình: . ĐS: (ĐH 2006B–db1) Giải phương trình: . ĐS: x = 2. Đặt . II. NHÂN VỚI DẠNG LIÊN HỢP CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm Giải các phương trình (ĐH 2008B-DB) Giải. Điều kiện Do Giải phương trình: Giải. Điều kiện: Nhẩm được nghiệm x = 0 ta dùng liên hợp: Phương trình đã cho tương đương với: hay: Với điều kiện ta có: nên (*) vô nghiệm! Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0   Giải phương trình Giải. ĐKXĐ: Ta có Suy ra (*) vô nghiệm Vậy PT có nghiệm duy nhất Chú ý. Bài toán này có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc đánh giá Giải phương trình sau : Giải: Ta nhận thấy : và Ta có thể trục căn thức 2 vế : Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình . Giải phương trình sau (Đề nghị Olympic 30/4) Giải. Để phương trình có nghiệm thì : Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình, như vậy phương trình có thể phân tích về dạng , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : Dễ dàng chứng minh được : Giải phương trình : Giải: Đk Nhận thấy x=3 l nghiệm của phương trình , nn ta biến đổi phương trình Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 (TH&TT) Giải PT Giải. Điều kiện Do nn PT có nghiệm duy nhất x = 2 (TH&TT) Giải PT Giải. Điều kiện Ta có Trong đó A(x) là hàm số đồng biến trên v A(-1) = 0 nên PT A(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = -1 Vậy PT đ cho có 2 nghiệm (TH&TT ) Giải PT Giải.. Nhận thấy Do đó PT có nghiệm duy nhất x = 0 Chú ý. Bài toán này có thể giải bằng phương pháp BĐT BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các phương trình ĐS: ĐS: ĐS: ĐS: ĐS: ĐS: Giải các phương trình III. ĐẶT ẨN PHỤ CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI VẤN ĐỀ 1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai Phương trình dạng với Cách giải. Đặt . PT trở thành . Từ đó tìm t rồi tìm x Tổng quát. . Đặt Giải PT ĐS: Giải PT ĐS: Phương trình dạng Cách giải. Nếu P(x) = 0 thì Q(x) = 0 và dẫn đến giải hệ Nếu , chia 2 vế của PT cho ta có PT Đặt , PT trở thành . Từ đó tìm t rồi tìm x Giải PT HD: (Do không là nghiệm của PT) Đặt . Kết quả (Đề nghị Olympic 30/4/2009) Giải phương trình HD. Đặt . (Đề nghị Olympic 30/4/2007) Giải phương trình HD. Đặt . Giải phương trình HD. Điều kiện Đặt . Giải phương trình HD. Để ý Đặt . Giải PT ĐS: VẤN ĐỀ 2: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình Giải phương trình: HD. Đặt Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức nghiệm của phương trình là Giải phương trình: HD. Điều kiện: Đặt Ta đưa về hệ phương trình sau: Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vo tìm nghiệm của phương trình. Giải phương trình sau: HD. Điều kiện: Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau: Vậy Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt . Khi đó ta được hệ phương trình: Giải phương trình sau: Giải. Điều kiện: Đặt: Phương trình đã cho trở thành hệ: + Với + Với + Với Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: . Giải phương trình sau: Giải Đặt: Phương trình đã cho trở thành hệ: + Với Vậy phương trình đã cho có nghiệm: Giải phương trình sau: Giải Điều kiện: Đặt: Phương trình đã cho trở thành hệ: + Với + Với là nghiệm của phương trình: (phương trình này vô nghiệm) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: . Giải phương trình Giải. ĐKXĐ: Đặt , ta có hệ phương trình Với a = 1, ta có (ĐHA-2009) Giải phương trình: . ĐS: x = –2. Đặt . Giải phương trình:  Giải. Đặt : ,phương trình đã cho trở thành (VN) Vậy phương trình có hai nghiệm VẤN ĐỀ 3: Đặt ẩn phụ không toàn phần (ĐHB 2010-Db1) Giải PT Giải. Đặt , ta có PT Do đó hoặc (Đề nghị Olympic 30/4/2006) Giải phương trình HD: , ta có Giải phương trình : Giải. Đặt , ta có : (VN) Giải phương trình : Giải: Đặt : . Khi đó phương trình trở thành Giải phương trình Giải.Điều kiện Đặt Ta có (1) Mặt khác Chú ý > 0 do . Từ (1) và (2) ta có Thử lại Vậy PT đã cho có hai nghiệm VẤN ĐỀ 4: Phương pháp hằng số biến thiên Giải phương trình Giải. Điều kiện Đặt a = 11, ta có Do đó Thay a = 11, ta có (thỏa đk) Vậy PT có 2 nghiệm Giải phương trình Giải. ĐKXĐ: Đặt a =12, phương trình trở thành: Giải phương trình: Giải Xem phương trình trên là phương trình bậc hai theo ẩn là 5. Ta có: hai nghiệm của (1) là: Phương trình Kiểm ra điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là: VẤN ĐỀ 5: Đặt ẩn phụ đưa về hệ PT đối xứng loại 2 hoặc gần đối xứng Giải phương trình: Giải. Điều kiện Đặt ta được hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: Nghiệm của phương trình l Giải phương trình . HD: Đặt =, ta có . Từ suy ra và do . Suy ra , ta được nghiệm , lo¹i ). Giải phương trình Giải. Đặt = y + 1, ta có Trừ vế theo vế hai PT ta được Từ đó ta có nghiệm x = 1; x = -2 Giải phương trình: Giải. Điều kiện: , Đặt Ta có hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: tập nghiệm của phương trình l: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các PT sau bằng cách đặt ẩn phụ a) b) c) d) e) g) h) i) k) m) n) o) p) Giải PT Giải PT Giải PT IV. ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI Với phương pháp này ta cần chú ý Giải phương trình : Giải. Giải phương trình : Giải. + , khơng phải l nghiệm + , ta chia hai vế cho x: Giải phương trình: Giải. Điều kiện PT (ĐH 2006D–db2) Giải phương trình: . ĐS: x = 5, x = 4. Đưa về PT tích . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các phương trình a) b) c) Giải các phương trình a) b) V. TỔNG BÌNH PHƯƠNG CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI Với phương pháp này ta thường biến đổi phương trình về dạng . Khi đó ta có hoặc Giải phương trình Giải. Đáp số (Đề nghị Olympic 30/4/2006) Giải phương trình HD: (TH&TT) HD. Giải phương trình HD. Điều kiện PT đã cho tương đương Giải phương trình : Giải. Đk: Chia cả hai vế cho : Giải phương trình . HD: Ta có phương trình đã cho tương đương . Từ đó ta có nghiệm của PT là . Giải phương trình . HD. Điều kiện . Ta có . Khi đó PT đã cho tương đương với . Từ đó ta có nghiệm . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình Giải các phương trình Giải các phương trình VI. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Giả sử . Khi đó Cần sử dụng thành thạo các BĐT Cauchy, B.C.S Giải PT Áp dụng BĐT Cauchy ta có (1) (2) Cộng (1) v (2), biến đổi được Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0 (TH&TH) Giải phương trình (1) Giải. Điều kiện Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương và chú ý Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (thỏa điều kiện) Giải PT Giải. Điều kiện BPT (*) Ap dụng BĐT BCS, ta có Ap dụng BĐT Cauchy Vậy VT(*) Do đó Kết luận: là các nghiệm của PT Đẳng thức xảy ra khi (thỏa điều kiện) Giải phương trình: (1) Giải Điều kiện: x ³ 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopxky, ta có: Û Do đó dấu “=” xảy ra Û Û Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 5. Giải bất phương trình: (1) Giải Điều kiện: · Theo BĐT Cauchy: Þ · Theo bất đẳng thức Bunhiakopxky Þ Do đó dấu đẳng thức xảy ra Û Û Vậy nghiệm của phương trình là: Giải phương trình: (1) Giải . Điều kiện: Theo bất đẳng thức Bunhiakopxky ta có: Suy ra: dấu “=” xảy ra Û Û Phương trình này vô nghiệm Do đó phương trình đã cho vô nghiệm. Giải phương trình Giải. Điều kiện Nếu Nếu Mặt khác, thế vào PT ta thấy đúng nên PT có nghiệm duy nhất BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các phương trình b) VII. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ CÁC VÍ DỤ & PHƯƠNG PHÁP GIẢI Đối với phương pháp này cần chọn hàm số thích hợp, rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số Cho hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên khoảng D. Khi đó Giải phương trình Giải . Đặt , ta có hệ : Xét hàm số : , l hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình (Đề nghị Olympic 30/4/2006) Giải phương trình HD: , xét đồng biến trên Cách khác: Đặt (HSG Tp. HCM 2004-2005) Giải phương trình HD: Đặt , ta có hệ Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có Xét hàm số đồng biến trên (Đề nghị Olympic 30/4/2009) Giải phương trình HD: Đặt , ta có hệ Nhân 2 vế PT (2) với 2 và cộng vế theo vế với (1) ta có Xét hàm số Giải phương trình HD: Đặt , ta có hệ Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có Xét hàm số Giải phương trình HD: Xét hàm số Giải phương trình Giải. Điều kiện Lấy đồng biến trên và có nên PT có nghiệm duy nhất BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các phương trình a) b) c) Giải phương trình : VIII. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC Nếu thì có thể đặt hoặc Nếu thì có thể đặt hoặc Nếu x bất kì thì có thể đặt Giải phương trình sau: Giải Điều kiện: Đặt: Phương trình (1) trở thành: Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: (Đề nghị Olympic 30/4) Giải phương trình HD: Đặt . Giải phương trình HD: Đặt . Giải phương trình HD: Điều kiện Nếu không thỏa. Vậy chỉ cần xét . Đặt . Giải phương trình HD: Điều kiện . Đặt . Giải phương trình HD: Điều kiện . Đặt . Với chú ý , ta có PT Giải PT Giải. PT Xét là hàm số đồng biến nên ta có Xét trường hợp . Khi đó tồn tại duy nhất Suy ra Từ đó ta tìm được các nghiệm Giải phương trình HD: Đặt , đưa PT về BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các phương trình a) b) c) d) e) Giải các phương trình a) b) c) d) e) TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số phương pháp giải PT vả BPT (Nguyễn Văn Mậu) Các chuyên đề chuyên Toán bồi dưỡng HSG THPT (Kỉ yếu hội nghị khoa học) Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ Các tài liệu từ internet MỤC LỤC Trang 1. Phương pháp biến đổi tương đương 1 2. Nhân với dạng liên hợp 4 3. Đặt ẩn phụ 7 4. Đưa về dạng tích 15 5. Tổng bình phương 16 6. Phương pháp đánh giá 18 7. Phương pháp hàm số 20 8. Phương pháp lượng giác 22 9. Tài liệu tham khảo 24