Đề tài Vận dụng hàm số vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT ĐOÀN KẾT – & — Mã số :. . . . . . . . . . . Người thực hiện : Taàn Theá Anh Lĩnh vực nghiên cứu - Quản lý giáo dục - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán - Lĩnh vực khác Sản phẩm đính kèm Mô hình Phần mềm Hình ảnh Hiện vật khác Naêm hoïc 2011 - 2012 SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I.THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và Tên: Tần Thế Anh 2. Ngày tháng năm sinh: 24/01/1980 3. Giới tính : Nam 4. Địa chỉ: Trường THPT Đoàn Kết 5. Điện thoại: 0918607431 6. fax:..email: tantheanh051108@gmail.com 7. Chức vụ: giáo viên 8. Đơn vị công tác: Trường THPT Đoàn Kết. II.TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO Học vị ( hoặc chuyên môn trình độ cao nhất): cử nhân khoa học Năm nhận bằng: 2002 Chuyên nghành đào tạo: Toán III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán Số năm có kinh nghiệm: 9 năm Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 04. MỤC LỤC NỘI DUNG Trang PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 4 PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI. Thực trạng trước khi chọn đề tài: 4 A. Thuận lợi và khó khăn 4 a. Thuận lợi 5 b. Khó khăn 5 2. Đối tượng nghiên cứu: 5 3. Phạm vi của đề tài: 6 4. Phương pháp nghiên cứu: 6 PHẦN III: TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 6 I. Cơ sở lý luận 6 II. Nội dung đề tài 7 A. Lý thuyết cơ bản 7 I. Tính đơn điệu, cựu trị hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 7 II. Phương pháp hàm số biện luận phương trình, bất phương trình. ...7 B. Bài tập ứng dụng .. 8 I. Ứng dụng để giải toán không chứa tham số ...8 II. Ứng dụng để giải toán không chứa tham số ..10 C. Bài tập đề nghị 13 PHẦN IV.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.14 PHẦN IV : KẾT LUẬN 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO: 16 TÊN ĐỀ TÀI: VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của toán học nói chung và chương trình toán phổ thông nói riêng. Các bài toán khó về hàm số, phương trình, bất phương trình thường có mặt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi các cấp... Lý thuyết về hàm số, phương trình, bất phương trình và hệ phương trình được trình bày khá rõ ràng trong SGK Đại số lớp 10 của nhà xuất bản Giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000, sách phân ban năm 2006) và một số sách tham khảo khác. Toán học nói chung và hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong đời sống cũng như trong các ngành khoa học khác. SGK đại số lớp 10 của nhà xuất bản giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và sách phân ban năm 2006 ) đã trình bày rất rõ về định nghĩa và các tính chất của hàm số, phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. Trong chương trình học tập bộ môn giải tích ở chương trình 12, chủ đề hàm số chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng. Trong cấu trúc đề thi tốt nghiệp và cao đẳng, đại học, chủ đề này cũng chiếm một cơ số điểm tương đối lớn. Tuy nhiên, đa số các em chỉ chú tâm khai thác các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số và các bài toán liên quan. Trong phạm vi đề tài tôi giới thiệu một số ứng dụng quan trọng của khảo sát hàm số phục vụ giải quyết một số lớn các bài toán khác trong đề thi đại học cũng như các bài tập trong sách giáo khoa, và sách bài tập đó là: “VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH” THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI. A. THUẬN LỢI VÀ KHÓ KHĂN a. Thuận lợi * Về phía chương trình: Phạm vi áp dụng tương đối lớn, gồm toàn bộ chương trình sách giáo khoa THPT. Số tiết trong chương trình tương đối nhiều. Đề tài này cũng có thể áp dụng cho việc luyện thi đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi tìm tòi và phát hiện các bài toán mới. * Về phía giáo viên: Đã có sự chuẩn bị chu đáo để triển khai đề tài một cách hiệu quả thông qua các ví dụ và các bài tập trong sách giáo khoa, các đề thi đại học và các bài tập trong sách tham khảo. * Về phía học sinh: Hầu hết các em đang tìm tòi, định hướng cách giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hàm số để phục vụ kỳ thi tốt nghiệp, đại học và cao đẳng. Vì vậy học sinh rất hứng thú, chủ động tích cực khi giáo viên triển khai chủ đề này. b. Khó khăn * Về chương trình: Phạm vi ứng dụng rộng, các dạng toán tương đối đa dạng phong phú, các bài toán tham số đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt để phân tích. * Về phía giáo viên: Tất cả các giáo viên của trường đều rất quan tâm đến phần hàm số và đầu tư công sức vào phần này rất có trách nhiệm và nhiệt tình. Tuy nhiên, các dạng toán nâng cao chủ yếu nằm trong chương trình nâng cao và trong đề thi đại học ít gặp trong các bài tập sách giáo khoa nên không thực sự đi sâu. * Về phía học sinh : Mặt bằng kiến thức không đồng đều, các bài toán có tham số thì đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt mới phân tích được, từ đó mới áp dụng hàm số vào để giải. B. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Học sinh lớp 12A1, 12A 2 trường THPT Đoàn Kết. Ứng dụng tính đơn điệu giúp học sinh giải tốt các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. C. PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI: Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12A1, 12A2 trường THPT Đoàn Kết. Đối chứng 12A2, thử nghiệm 12A1. D. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Nghiên cứu các tài liệu :sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo. Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp để có nhiều phương pháp giải hay. Trao đổi với các em học sinh về cách giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình để biết hướng giải của các em, từ đó cung cấp cho các em một hướng giải tốt hơn. Thực nghiệm và kiểm tra: Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực nghiệm lớp 12A1, 12A2 của trường. II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN: SGK Đại số 10 đã định nghĩa phương trình và bất phương trình một ẩn như sau: Cho hai hàm số: f(x) với tập xác định Df , g(x) với tập xác định Dy. Đặt . Ta đặt vấn đề tìm các giá trị sao cho: . Khi đó ta nói rằng đẳng thức f(x) = g(x) là một phương trình (bất đẳng thức f(x) > g(x) là một bất phương trình) một ẩn. Số thực a được gọi là một nghiệm của phương trình (bất phương trình), D là tập xác định của phương trình (bất phương trình). Giải phương trình ( bất phương trình ) là tìm tất cả các nghiệm của nó. Định nghĩa trên đây nêu lên mối quan hệ hữu cơ giữa các khái niệm hàm số, phương trình và bất phương trình. Hệ phương trình (bất phương trình ) gồm nhiều phương trình ( bất phương trình) hợp thành. SGK giải tích 12 chương 1, chương 2 cũng đã phát triển phần hàm số đã được xây dựng ở chương trình lớp 10 một cách hệ thống và bao hàm hơn. Ngoài ra đây cũng là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình THPT nên có rất nhiều bài báo chuyên môn cũng như sách tham khảo đề cập tới. Đặc biệt đây là phần có cơ số điểm lớn trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học nên học sinh cần phải nghiên cứu kỹ và sâu để tham gia các kỳ thi đạt hiệu quả tốt. 2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN a. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = f(x) xác định trên D 1. y = f (x) đồng biến trên D Û ta có 2. y = f (x) nghịch biến trên D Û ta có 3. y = f (x) đồng biến trên D Û ¦¢(x) ³ 0 đồng thời ¦¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm Î D. 4. y = f (x) nghịch biến / D Û ¦¢(x) £ 0 đồng thời ¦¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm Î D. 5. Cực trị hàm số : Hàm số đạt cực trị tại điểm đổi dấu khi qua. ( chú ý hàm số liên tục tại ). 6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Giả sử y = ¦(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại . Khi đó: Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì b. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH b x a v(x) u(x) 1. Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị với đồ thị . 2. Nghiệm của bất phương trình u(x) ³ v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị nằm ở phía trên so với phần đồ thị . 3. Nghiệm của bất phương trình u(x) £ v(x) là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị nằm ở phía dưới so với phần đồ thị . 4. Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị . a b x y = m 5. BPT u(x) ³ m nghiệm đúng "xÎI Û 6. BPT u(x) £ m ngh đúng "xÎI Û 7. BPT u(x) ³ m có nghiệm xÎI Û 8. BPT u(x) £ m có nghiệm xÎI Û Chú ý: Hàm tăng giảm nghiêm ngặt. Mệnh đề 1: Xét phương trình f(x) = m, m là hằng số . Nếu trên miền D hàm số f(x) đồng biến ( Hoặc nghịch biến) và phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Mệnh đề 2: Xét phương trình f(x) = g(x) với . Nếu trên miền D hàm f(x) đồng biến và g(x) nghịch biến và nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. B. BÀI TẬP ỨNG DỤNG: a. ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÔNG CHỨA THAM SỐ: Bài 1: Cho phương trình (1). Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất. ( Đề khối D -2004). Giải Ta có (2), từ (2), vậy vẫn từ (2) ta có . Như vậy mọi nghiệm của phương trình (1) (nếu có) thì Nên (3) Ta có . Mặt khác f(x) liên tục , suy ra hàm số f(x) đồng biến .(*) Mà f(1).f(2)<0. (2*) Từ (*) và (2*) suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Nhận xét: Điều quan trọng khi giải bài này là học sinh phải nhận xét được phương trình có nghiệm thì và phải biết vận dụng định lý lagrang. Bài 2: Giải hệ phương trình: (1) ( Khối A 2003). Giải. Với đk , ta có Giải (2) Giải (3), Xét hàm số f(x)= với Minf(x)>0 , nên hệ phương trình (3) vô nghiệm. Chú ý: Rất nhiều học sinh giải bài toán theo hướng : Đặt nên f(x) = f(y) => x = y rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ đề giải. Đây là một sai lầm thường mắc phải của các em học sinh khi sử dụng phương pháp này, bởi vì hàm số f(t) gián đoạn tại t = 0. Nhận xét: Với và y = f(x) liên tục trên thì Bài 3: Giải phương trình Giải: Với điều kiện , xét hàm số , mà hàm số liên tục suy ra hàm số đồng biến trên . Mặt khác, phương trình có nghiệm x = 2. Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 4: Giải phương trình Giải: Đkiện x>3, với đk pt(1) . Ta có: . Vậy với x>3 thì hsố f(x) đồng biến, và g(x) nghịch biến. Mặt khác f(11) = g(11) = 5, vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 11. Bài 5: Giải bất phương trình: (6) Giải: (6) Xét hàm số f(t)= t3+3t, D = R. Ta có : f’(t) = 3t2+2 > 0 nên f đồng biến trên R. . Xét x-2 < 0 thì BPT nghiệm đúng. Xét x-2 0 thì 2x-1 > 0 nên BPT  : đúng Vậy tập nghiệm S = R. Bài 7: Giải bất phương trình: (7) Giải: Ta có: Đặt Bất phương trình trở thành: Hàm nghịch biến với Mà . Suy ra, bất phương trình đã cho vô nghiệm. b. ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ: Bài 1. Cho hàm số a. Tìm m để phương trình ¦(x) = 0 có nghiệm xÎ[1; 2]. b. Tìm m để bất phương trình ¦(x) £ 0 nghiệm đúng "xÎ[1; 4]. c. Tìm m để bất phương trình ¦(x) ³ 0 có nghiệm xÎ Giải: a. Biến đổi phương trình ¦(x) = 0 ta có: . Để ¦(x) = 0 có nghiệm xÎ[1; 2] thì b. Ta có "xÎ[1; 4] thì Û Û . Do giảm trên [1; 4] nên ycbt Û c. Ta có với xÎ thì Û . Đặt . Xét các khả năng sau đây: + Nếu thì bất phương trình trở thành nên vô nghiệm. + Nếu thì BPT có nghiệm . Do giảm / nên ycbt + Nếu thì nên BPT có nghiệm . Ta có . Do đó nghịch biến nên ta có Kết luận: ¦(x) ³ 0 có nghiệm xÎ Bài 2. (Đề TSĐH khối A, 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm thực. Giải: t 0 1 + 0 – 0 – 1 ĐK: , biến đổi phương trình . Đặt . Khi đó Ta có . Do đó yêu cầu Bài 3. (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi , phương trình luôn có đúng hai nghiệm phân biệt. Giải: Điều kiện: . Biến đổi phương trình ta có: . Ycbt có đúng một nghiệm thuộc khoảng . Thật vậy ta có: . Do đó đồng biến mà liên tục và nên có đúng một nghiệm Î. Vậy , phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 4. (Đề TSĐH khối D, 2007): Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Giải: Đặt ta có và Khi đó hệ trở thành Û là nghiệm của phương trình bậc hai Hệ có nghiệm có 2 nghiệm thỏa mãn . Lập Bảng biến thiên của hàm số với T – 2 2 5/2 + – – 0 + + 22 2 7/4 + Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm Bài 5: Tìm m để đồng biến trên (0, 3) Giải. Hàm số tăng trên (0,3) Û (1) ( Dấu = xảy ra tại một số điểm hữu hạn ) Do liên tục tại x = 0 và x = 3 nên (1) Û y¢ ³ 0 "xÎ[0, 3] Û Û . Ta có: Þ g(x) đồng biến trên [0, 3] Þ Nhận xét: Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán là một trong những phương pháp tối ưu khi giải các bài toán trong các đề thi đại học phần phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, đặc biệt là các bài toán tham số. Tuy nhiên, trong phạm vi bài viết này tôi chỉ nêu một số ít bài toán để các em học sinh tham khảo. Tôi hy vọng các em sẽ ứng dụng thành công những gì tôi đã truyền đạt trong đề tài để đạt kết quả tốt trong quá trình học tập cũng như trong kỳ thi tốt nghiệp và các kỳ thi tuyển sinh sắp tới. C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 1. Xác định m để phương trình sau có nghiệm: (Đại học, cao đẳng khối B – 2004) 2.Giải phương trình: 3. Giải phương trình: 4. Tìm m để bất phương trình đúng 5. Giải bất phương trình 6. Giải bất phương trình 7. Giải các phương trình sau:  .  . . . 8. Giải các bất phương trình sau: . . 9. Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng "x ³ 1  10. Tìm m để bất phương trình đúng 11. Tìm m để phương trình: có nghiệm. 12. Tìm m để bất phương trình: có nghiệm. 13. Tìm m để nghiệm đúng III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI. Sau khi triển khai đề tài, hầu hết học sinh rất hứng thú với dạng bài tập này, kết quả là các em đã biết vận dụng lý thuyết để giải toán, các em có nhiều tiến bộ, đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt vào giải bài tập, thậm chí những bài rất phức tạp. Đồng thời, các em cũng tự tìm tòi ra nhiều cách giải hơn về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. Sau khi thử nghiệm và đối chứng, tôi thu được kết quả sau: Đối chứng: Lớp TSHS Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu TS % TS % 12A2 46 33 71.7 11 28.3 Thử nghiệm: Lớp TSHS Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu TS % TS % 12A1 41 39 95,1 2 4,9 IV. KẾT LUẬN: Nói về ứng dụng các tính chất của hàm số không chỉ có các ứng dụng tôi đã trình bày trong đề tài này, mà ứng dụng của nó là vô cùng rộng lớn. Tuy nhiên, với khuôn khổ của đề tài cũng như tính thực tiễn của nó tôi chỉ nêu ra một số ứng dụng trên. Trong những năm qua tôi đã vận dụng phương pháp trên cho đối tượng học sinh khá giỏi của trường THPT Đoàn Kết, trong các đợt bồi dưỡng học sinh ôn thi TN và luyện thi đại học cao đẳng và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy rằng học sinh tiếp thu tương đối chủ động, đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt trong quá trình giải các dạng bài tập ở trên. Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp đỡ học sinh khai thác tốt hơn các ứng dụng của hàm số trong chương trình toán học phổ thông làm cơ sở tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như nghiên cứu các ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống sau này. Trong quá trình trình bày đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp để các đề tài sau của tôi được tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. V. TÀI LIỆU THAM KHẢO: “Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan” các tác giả : Trần Phương. “Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan” các tác giả : Lê Hồng Đức. “Khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan” các tác giả : Đào Thiện Khải – Nguyễn Văn Nho. “Ứng dung hàm số giải PT – HPT và BPT” của các tác giả: Trần Phương, Đào Thiện Khải – Trần Văn Hạo – Lê Hồng Đức – Trần Thị Vân Anh. “Một số ứng dụng của hàm số” toán học và tuổi trẻ. Sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và sách giáo khao mới phân ban của ban cơ bản và ban khoa học tự nhiên. Sách bài tập. Bộ đề thi tuyển sinh của bộ giáo dục đào tạo. Sách tham khảo của Võ Quốc Anh – Lê Bích Ngọc. Các bài toán liên quan trong trong tờ báo toán học và tuổi trẻ. Các bài giảng về luyện thi đại học của tác giả Trần Phương. Khảo sát hàm số và vấn đề liên quan của tác giả Phan Huy Khải. NGƯỜI THỰC HIỆN TẦN THẾ ANH SỞ GD &ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Đơn vị: THPT Đoàn Kết Độc lập - tự do - hạnh phúc Tân Phú, ngày 18 tháng 04 năm 2012 PHIẾU NHẬN XÉT,ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học:2011 - 2012 Tên đề tài: “VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH” Người viết: Tần Thế Anh ; Đơn vị: Tổ Toán - Trường THPT Đoàn Kết. Lĩnh vực: Quản lí giáo dục Phương Pháp dạy học bộ môn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác 1.Tính mới - Có giải pháp hoàn toàn mới - Có giải pháp cải tiến,đổi mới từ giải pháp đã có 2.Hiệu quả - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao: - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao -Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao -Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 3.Khả năng áp dụng - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Tốt Khá Đạt - Đưa ra các giải pháp khuyến khích có khả năng ứng dụng thực tiễn,dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt Khá Đạt - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt Khá Đạt XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN HIỆUTRƯỞNG Đinh Quang Minh Trần Thị An