Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán trường THPT Lộc Bình năm học 2009-2010

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Trường THPT Lộc Bình Năm học 2009-2010 MÔN :TOÁN Thời gian: 180 phút( không kể thời gian giao đề) CÂU 1: (3 điểm ) Giải bất phương trình sau: CÂU 2 : (2 điểm) Cho a, b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm: CÂU 3: ( 5 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác sau: 2) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu các góc của nó thoả mãn: CÂU 4: ( 2 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: chia hết cho 9. CÂU 5: ( 2 điểm) Cho hai điểm B, C cố định nằm trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho: Tìm quỹ tích những điểm N sao cho: CÂU 6: ( 4 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. a) Chứng minh rằng: mp(A’BD)// mp(B’CD’) b)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (A’BCD’) và (BDD’B’). c) Xác định thiết diện của hình hộp đã cho khi cắt bởi mặt phẳng đi qua điểm M thuộc đoạn AB và song song với mặt phẳng (ACC’) CÂU 7: ( điểm) Cho ba số a, b, c khác không thoả mãn đồng thời Chứng minh rằng cả ba số đều âm. . .. Hết.. Đáp án câu Đáp án điểm 1 Điều kiện: 1 1 1 2 Do a > 0 nên (1) là pt bậc 2. Ta có: Vì (a+b+c)>0, (a+b-c)>0, (a+c-b)>0, (b+c-a)>0 vậy pt (1) vô nghiệm. 2 3 1) 2) Ta có Do A , B là các góc của tam giác nên k = 0 , suy ra A=B Vậy tam giác ABC là tam giác cân. 1 2 1 1 4 Đặt Với n= 1 : (đúng) giả sử ta có chứng minh Thật vậy: Vậy chia hết cho 9. 1 1 5 Gọi I là trung điểm của BC: Suy ra M là trung điểm của doạn IA. Ta có nên có phép vị tự biến A thành M. Do A thay đổi trên (O) nên quỹ tích M là ảnh của (O) qua . Lấy điểm J sao cho : Suy ra A là trung điểm của NJ.Quỹ tích N là ảnh của (O) qua 1 1 6 a) b) c) Gọi là mặt phẳng qua M, song song với mp(ACC’). Vì //(ACC’) nên Vậy thiết diện là tứ giác MNPQ 1 1 2 7 Từ (1) suy ra a,b,c có một số âm.Giả sử a0 Nếu b,c cùng dương, trái giả thiết (2) nên b,c cùng âm. Vậy a,b,c cùng âm. 2