Giải phương trình

Giải phương trình Khi sử dụng đạo hàm trong giải phơng trình, phơng pháp chung là: Ta thờng chọn hàm số thích hợp. Giả sử hàm số xác định trên D, kiểm tra tính liên tục, khả vi của trên D. Khảo sát hàm số để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến các cực trị bằng công cụ đạo hàm. Dựa vào khảo sát hàm để kết luận số nghiệm. Chỉ ra sự tồn tại các mà là nghiệm của phơng trình Kết luận nghiệm của phơng trình . Đồng thời sử dụng các tính chất sau: Tính chất 1: Nếu là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì phơng trình nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm. Chứng minh Xét trờng hợp là hàm số đồng biến. Giả sử phơng trình có hai nghiệm Nên Do là hàm số là hàm số đồng biến nên từ mâu thuẫn với . Chứng tỏ giả sử sai. Vậy phơng trình nếu có nghiệm sẽ có không quá một nghiệm. Đối với trờng hợp là hàm nghịch biến ta chứng minh tơng tự. Tính chất 2: Nếu là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) . Chứng minh Xét trờng hợp là hàm số đồng biến. Nếu (hiển nhiên). Ta đi chứng minh nếu . Giả sử ,không mất tính tổng quát ta giả sử . Do là hàm số là hàm số đồng biến nên mâu thuẫn với giả thiết. Chứng tỏ giả sử sai. Vậy Đối với trờng hợp là hàm nghịch biến ta chứng minh tơng tự. Tính chất 3: Nếu là hàm số tăng còn là hàm số giảm trên thì phơng trình có nhiều nhất là một nghiệm. Chứng minh Ta có: Xét hàm số trên. Khi đó là hàm số đồng biến trên . Theo tính chất 1 thì phơng trình có nhiều nhất là một nghiệm. Đpcm. Ví dụ 5: Giải phơng trình sau: ( TH & TT ) Giải: Điều kiện: Đặt Ta có Xét hàm số trên . Có Nên hàm số là hàm số đồng biến trên Khi đó Đặt Mà là hàm đồng biến và có đổi dấu vì : có nghiệm duy nhất Ta có bảng biến thiên -1/2 0 2 - 0 + Từ bảng trên nếu có nghiệm thì nhiều nhất là hai nghiệm Mặt khác, . Do đó phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt . Ví dụ 6: Giải phơng trình . Giải: Điều kiện: Giải (6.5): Nếu (6.5) luôn đúng. Nếu Chứng tỏ (6.5) đúng với . Giải (6.6): Nếu (6.6) luôn đúng Nếu . Kết hợp với Chứng tỏ (6.6) đúng với . Vậy: . Viết lại phơng trình dới dạng Xét hàm số Ta có Mặt khác Vậy hàm số luôn đồng biến trên . Khi đó (vô nghiệm). Do đó phơng trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 7: Giải phơng trình . Giải: Điều kiện: Xét hàm số trên Ta có : Hàm số đồng biến trên Có Phơng trình trên có nghiệm duy nhất là . Ví dụ 8: Giải phơng trình . Giải: Đặt . Do đó ta có hệ phơng trình Cộng vế với vế ta đợc: Xét hàm số Có Hàm số là hàm đồng biến trên Xét hàm Ta có : Mà Nên hàm số nghịch biến trên , đồng biến trên Do đó phơng trình có không quá hai nghiệm trên . Mà Giá trị (loại do không thuộc tập xác định). Do vậy là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho. Ví dụ 9: Giải phơng trình . Giải: Điều kiên: Đặt . Trừ vế theo vế (6.15) và (6.16) ta có : Xét hàm số . Có là hàm số đồng biến trên Xét hàm số Ta có đồng biến trên . Mà có duy nhất một nghiệm Ta có bảng biến thiên 5/6 0 2 - 0 + Dựa vào bảng biến thiên thì phơng trình nếu có nghiệm thì nhiều nhất là hai nghiệm. Mà, . Do đó phơng trình có hai nghiệm . Chú ý: Ngoài cách trên thì một số bài giải phơng trình ta có thể giải bằng cách áp dụng định lý Lagrang. Ví dụ 9: Giải phơng trình Giải: Ta có (6.19) Điều kiện cần: Giả sử là một nghiệm của (6.19) Xét hàm số . Khi đó Theo định lý Lagrang sao cho Điều kiện đủ: Dễ thấy và là nghiệm của phơng trình đã cho Kết luận: Phơng trình đã cho có hai nghiệm là . Giải bất phơng trình Sử dụng tính chất: Nếu hàm số đồng biến trên thì bất phơng trình: Ví dụ 10: Giải bất phơng trình sau (6.20) ( ĐHAN - 2001 ) Giải: Điều kiện: Ta có (6.20) (6.21) Xét hàm số trên Có Do đó hàm số đồng biến trên Mà là nghiệm duy nhất của phơng trình Khi đó (6.21) Do đó bất phơng trình đã cho có nghiệm . Ví dụ 11: Giải bất phơng trình sau (6.22) Giải: Điều kiện: Ta có (6.23) Xét hàm số trên [0;2]. Có . Hàm số đồng biến trên (0;2). . Kết luận : Vậy bất phơng trình đã cho có nghiệm . Ví dụ 12: Giải hệ phơng trình ( HSGQG Bảng A - 2006) Giải: Điều kiện: Hệ đã cho tơng đơng với: Xét hàm số trên Có với là hàm số đồng biến trên Hàm số trên có với là hàm số nghịch biến với Nếu là một nghiệm của hệ phơng trình. Ta chứng minh Không mất tính tổng quát ta giả sử thì có 2 trờng hợp Trờng hợp 1 : . Do là hàm nghịch biến, Do nên Từ (6.28) và (6.29) ta có Trờng hợp 2 : Tơng tự Do nên Từ (6.28) và (6.30) ta lại có Phơng trình có nghiệm duy nhất Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất .