Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Bài tập đại số tổ hợp - Nhị thức newton - xác suất trong các kỳ thi đại học

BÀI TẬPĐẠI SỐ TỔHỢP - NHỊ THỨCNEWTON - XÁC SUẤT TRONGCÁC KỲ THI ĐẠI HỌC 1. (Khối A - 2002) Cho khai triển nhị thức:( 2 x−1 2 + 2 −x 3 )n = C0n ( 2 x−1 2 )n +C1n ( 2 x−1 2 )n−1 ( 2 −x 3 ) +. . .+Cn−1n ( 2 x−1 2 )( 2 −x 3 )n−1 +Cnn ( 2 −x 3 )n (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đóC3n = 5C 1 n và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x. 2. (Khối B - 2002) Cho đa giác đều A1A2 . . . A2n (n = 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, . . . , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2, . . . , A2n, tìm n. 3. (Khối A - 2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của ( 1 x3 + √ x5 )n biết rằng Cn+1n+4 − Cnn+3 = 7(n+ 3) (n là số nguyên dương, x > 0, Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử). 4. (Khối B - 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng C0n + 22 − 1 2 C1n + 23 − 1 3 C2n + . . .+ 2n+1 − 1 n+ 1 Cnn (Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử). 5. (Khối D - 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3 là hệ số của x3n−3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n (x+ 2)n. Tìm n để a3n−3 = 26n. 6. (Khối A - 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1 + x2(1− x)]8. 7. (Khối B - 2004) Trongmộtmôn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ? 8. (Khối D - 2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton ( 3 √ x+ 1 4 √ x )7 với x > 0. 1 9. (Khối A - 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho C12n+1 − 2.2C22n+1 + 3.22C32n+1 − 4.23C42n+1 + . . .+ (2n+ 1).22nC2n+12n+1 = 2005 (Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử). 10. (Khối B - 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ ? 11. (Khối D - 2005) Tính giá trị của biểu thứcM = A4n+1 + 3A 3 n+1 (n+ 1)! , biết rằng C2n+1 + 2C 2 n+2 + 2C 2 n+3 + C 2 n+4 = 149, n là số nguyên dương, A k n là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử. 12. (Khối A - 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton ( 1 x4 + x7 )n , biết rằngC12n+1+C 2 2n+1+ . . .+C n 2n+1 = 2 20− 1, n nguyên dương,Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử. 13. (Khối B - 2006) Cho tập hợpA gồm n phần tử (n = 4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử củaA bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k ∈ {1, 2, . . . , n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất. 14. (Khối D - 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ? 15. (Khối A - 2007) Chứng minh rằng 1 2 C12n + 1 4 C32n + 1 6 C52n + . . . + 1 2n C2n−12n = 22n − 1 2n+ 1 , với n là số nguyên dương, Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử. 16. (Khối B - 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2 + x)n biết 3nC0n − 3n−1C1n + 3n−2C2n − 3n−3C3n + . . .+ (−1)nCnn = 2048 với n là số nguyên dương, Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử. 17. (Khối D - 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1− 2x)5 + x2(1 + 3x)10. 2 18. (Khối A - 2008) Cho khai triển (1+2x)n = a0+a1x+. . .+anxn, trong đó n ∈ N∗ và các hệ số a0, a1, . . . , an thỏamãn hệ thức a0+ a1 2 + . . .+ an 2n = 4096. Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1, . . . , an. 19. (Khối B - 2008) Chứng minh rằng n+ 1 n+ 2 ( 1 Ckn+1 + 1 Ck+1n+1 ) = 1 Ckn với n, k là số nguyên dương, k 5 n, Ckn là số tổ hợp chập k của n phần tử. 20. (Khối D - 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C12n + C 3 2n + . . .+ C 2n−1 2n = 2048 với C k n là số tổ hợp chập k của n phần tử. 21. (Khối A - 2012) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn−1n = C 3 n. Tìm số hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thức Newton ( nx2 14 − 1 x )n với x 6= 0. 22. (Khối B - 2012) Trongmột lớp học gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. Giáo viên PhạmĐào Thanh Tú, điện thoại: 0985750746, nhận dạy kèm toán từ lớp 6 đến lớp 12, dạy kèm cách soạn tài liệu toán một cách chuyên nghiệp bằng latex, khu vực TpHồ ChíMinh. 3