Giáo án lớp 12 môn Đại số - Các dạng toán ứng dụng tínhđồng biến, nghịch biến của hàm số dạng toán 1: xét tính đơn điệu của hàm số

Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 1 CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ DẠNG TOÁN 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Phương pháp: Sử dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số B1: Tìm tập xác định B2: Tính y’ B3: Giải phương trình , 0y  để tìm nghiệm Tìm các điểm mà tại đó không tồn tại đạo hàm B4: Lập bảng xét dấu của ,y hoặc lập bảng biến thiên B5: Kết luận: , 0y  ĐB , 0y  NB 2. Ví dụ: * Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a. 3 21 2 4 5 3 y x x x    b. 4 22 3y x x    c. 2 1 1 xy x    d. 2 8 9 5 x xy x     * Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a.   24y x b.     2 2 3 1 x x y x c. 2 8y x x    d. 1 2 1 y x x    Chú ý: Nhấn mạnh một số điểm sau đây - Tính ,y phải chính xác - Yêu cầu học sinh hiểu rõ quy tắc xét dấu đối với một số hàm số: + Hàm số bậc nhất + Hàm số bậc hai + Hàm số có dạng: TS MS y  , với MS 0 thì dấu của hàm số cùng dấu với dấu của TS + Một số thủ thuật nhỏ khi giải toán Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 2 DẠNG TOÁN 2: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG 1. Phương pháp: Vận dụng các kiến thức:  Hàm số đồng biến trên K  , 0,y x K    Hàm số nghịch biến trên K  , 0,y x K    Kiến thức về dấu của tam thức bậc hai Cho hàm số 2( ) , 0f x ax bx c a    . Khi đó: 0 ( ) 0, 0 a f x x          0( ) 0, 0 a f x x           Một số kiến thức khác:  ( ) , min ( ) x D f x x D f x         ( ) , max ( ) x D f x x D f x        Chú ý: - Khi giải toán có thể bỏ qua điều kiện “và chỉ bằng không tại một số hữu hạn điểm” trong phần mở rộng của ĐL1. - Đối với hàm phân thức B1 B1 y  thì hàm số ĐB (hoặc NB) , 0y  (hoặc , 0y  ) - Để hàm số 3 2y ax bx cx d    có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) 1 2( ; )x x bằng h thì ta thực hiện các bước như sau:  Tính 'y  Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến): 0 (1) 0 a      Biến đổi 1 2x x h  thành 2 2 1 2 1 2( ) 4 (2)x x x x h    Sử dụng định lý Viet, đưa phương trình (2) thành PT theo m  Giải phương trình tìm được m và so sánh với điều kiện (1) để kết luận. 2. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 3 1y x mx x    đồng biến trên  . Giải Ta có: ' 23 2 3y x mx   Hàm số đồng biến trên ' 20, 3 2 3 0,y x x mx x            Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 3  ' 2 9 0 3;3m m       Kết luận:  3;3m  Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để hàm số 3 21 (2 3) 1 3 y x mx m x      nghịch biến trên tập xác định. Giải TXĐ:  Ta có: ' 2 2 2 3y x mx m     Hàm số nghịch biến trên TXĐ ' 20, 2 2 3 0,y x x mx m x              ' 2 2 3 0 3;1m m m        Kết luận:  3;1m  Ví dụ 3: Tìm điều kiện của m để hàm số x my x m    nghịch biến trên trên tập xác định. Giải TXĐ:  \D m  Ta có: ' 2 2 ( ) my x m    Hàm số nghịch biến trên tập xác định ' 0, 2 0 0y x D m m         Kết luận: 0m  Ví dụ 4: Tìm điều kiện của m để hàm số 22 3 2 x x my x     đồng biến trên từng miền xác định của chúng. Giải TXĐ:  \ 2D   Ta có: 2 ' 2 2 8 6 ( 2) x x my x      Hàm số đồng biến trên từng miền xác định 2 2 2 2 8 6 0, 2 8 6 0, ( 2) x x m x D x x m x D x                ' 16 2( 6) 4 2 0 2m m m           Kết luận: 2m   Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 4 Ví dụ 5: Tìm điều kiện của m để hàm số 3 21 ( 1) 4 5 3 y x m x x     nghịch biến trên  1;0 Giải Ta có: ' 2 2( 1) 4y x m x    Hàm số nghịch biến trên      2 21;0 2( 1) 4 0, 1;0 2 2 4, 1;0x m x x mx x x x                    2 1;0 2 4 , 1;0 min ( ) 2 x xm x m f x x           , trong đó: 2 2 4( ) 2 x xf x x    Ta có:   2 ' 2 4( ) 0, 1;0 2 xf x x x        Hàm số f(x) nghịch biến trên  1;0 7[ 1;0) min ( ) ( 1) 2 f x f        Kết luận: 7 2 m   Ví dụ 6: Tìm điều kiện của m để hàm số:    3 21 1 3 43y x m x m x       đồng biến trên  0;3 Giải Ta có: ' 2 2( 1) 3y x m x m      Hàm số đồng biến trên 2 2(0;3) 2( 1) 3 0, [0;3] (2 1) 2 3, [0;3]x m x m x m x x x x                2 [0;3] 2 3 , [0;3] max ( ) 2 1 x xm x m f x x          , trong đó: 2 2 3( ) 2 1 x xf x x     Ta có: 2 ' 2 2( 4)( ) 0, [0;3] (2 1) x xf x x x         ( )f x đồng biến trong khoảng [0;3] 12[0;3] max ( ) (3) 7 f x f   Kết luận: 12 7 m  Ví dụ 7: Tìm m để hàm số 3 21 ( 1) 3( 2) 1 3 y mx m x m x      đồng biến trên [2; ) Giải Ta có: ' 2 2( 1) 3( 2)y mx m x m     Hàm số đồng biến trên 2[2; ) ( 2 3) 2 6, 2m x x x x         2 [2; ) 2 6 , 2 max ( ) 2 3 xm x m f x x x            , trong đó: 2 2 6( ) 2 3 xf x x x      Ta có: 2 ' 2 2 2 12 6( ) ( 2 3) x xf x x x      ' 2 3 6 ( ) 0 2 12 6 0 3 6 x f x x x x             (loại) Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 5 Bảng biến thiên: x 2 3 6  ' ( )f x - 0 + ( )f x 2 3 0 CT Từ bảng biến thiên, ta có: [2; ) 2max ( ) 3 f x   Kết luận: 2 3 m  Ví dụ 8: Tìm m để hàm số   22 1 1x m x my x m      đồng biến trên  1; Giải TXĐ:  \ m Ta có:   2 2 2 2 4 2 1x mx m my x m       Hàm số đồng biến trên  1,    2 2 2 2 4 2 1 0, (1; )x mx m m x x m           2 2 ( ) 0 1( ) 2 4 2 1 0 1 (1) 10 g x xg x x mx m m x mx m                    Ta có: g(x)  4(x  m)  4(x  1) > 0 x > 1  g(x) đồng biến trên [1, ) Do đó 2 1 (1) 6 1 0 3 2 2Min ( ) 0 (1) 3 2 23 2 2 1 1 1 x g m m mg x mm m m m                        Kết luận: 3 2 2m   Ví dụ 9: 3. Bài tập về nhà Bài 1: Tìm m để hàm số 3 23 ( 1) 4y x x m x m     nghịch biến trên (-1; 1) Bài 2: Tìm m để hàm số 3 21 2( 1) ( 1) 3 y mx m x m x m      đồng biến trong ( ;0) [2; )   Bài 3: Tìm m để hàm số 22 3 1 x x my x     đồng biến trên (3; ) Bài 4: Tìm m để hàm số 22 3 2 1 x x my x      nghịch biến trên 1 ; 2       Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 6 Bài 5: Tìm m để hàm số     2 6 5 2 1 3 1 mx m x my x      nghịch biến trên  1; Bài 6: Tìm m để hàm số    3 2 11 3 23 3 my x m x m x      đồng biến trên  2; Bài 7: Tìm m để hàm số     24 5 cos 2 3 3 1y m x m x m m       nghịch biến trên  Bài 8: Tìm m để hàm số 1 1sin sin 2 sin 34 9y mx x x x    đồng biến trên 