Giáo án lớp 12 môn Đại số - Chương 03: Nguyên hàm – tích phân - Ứng dụng

Ngày soạn: 15/12 CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG. Œ NGUYÊN HÀM. I.Mục tiêu: - Kiến thức: Khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, sự tồn tại của nguyên hàm, bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp, phương pháp tính nguyên hàm (phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần). - Kỹ năng: Hiểu định nghĩa và phân biệt được nguyên hàm và họ các nguyên hàm của hàm số. Vận dụng được bản nguyên hàm. Vận dụng thông thạo các tính chất, phép toán và cả hai phương pháp tính nguyên hàm để tìm nguyên hàm của các hàm số. - Thái độ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới - Tư duy: Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ. II. Phương pháp : - Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và vấn đáp gợi mở. III- Chuẩn bị của GV&HS -Giáo viên: SGK, Giáo án, đồ dung dạy học, bảng phụ, câu hỏi thảo luận. -Học sinh: SGK, Bài cũ, đồ dung học tập, vở ghi. IV. Nội dung và tiến trình lên lớp. Hoạt động của Gv Hoạt động của Hs Ghi bảng Cho HS tiến hành HĐ1 . Ta có F’(x) = f(x) ta nói : + f(x) là đạo hàm của F(x) +F(x) là nguyên hàm của f(x) ; Hay nguyên hàm của f(x) là F(x) Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa: (x2)’= ? Từ (x2)’=2x ta kết luận được điều gì ? (lnx)’= ? Từ (lnx)’= ta kết luận được điều gì ? Hoạt động 2 : Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong ví dụ 1. Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý 1: Hoạt động 3 : Cho HS tiến hành chứng minh định li1 Đặt vấn đề: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thì ngoày dạng F(x)+C còn có dạng nào cũng là nguyên hàm của f(x) không? định lý 2 Hãy cho biết giả thiết kết luận của định lý G(x) = F(x) + C G(x) – F(x) = C (G(x) – F(x))’= 0 Gv giới thiệu cho Hs vd 2 (SGK, trang 94) để Hs hiểu rõ 2 định lý vừa nêu. 2. Tính chất Giới thiệu các tính chất Chứng minh (xem sgk) Gv giới thiệu cho Hs vd 3, 4 (SGK, trang 95) để Hs hiểu rõ các tính chất vừa nêu. HĐ 4:c/m tính chất 3 []’ = 3.Sự tồn tại của nguyên hàm: Giới thiệu định lý 3 Đưa ra VD5 Hoạt động 5 :Hãy hoàn thành bảng sau: Tiến hành hoạt động nhóm Cử đại diện lên bảng Nắm định nghĩa Nghe hiểu nhiệm vụ và trả lời Tiến hành HĐ2 Các nguyên hàm của hàm số y = 2x đều có dạng y = x2 +C (C: hằng số) Tiến hành HĐ3 GT F’(x)= f(x) KL (F(x)+C)’= f(x) Chứng minh Suy nghĩ và trả lời Tiếp nhận định lý và thực hiện c/m định lý. GT F’(x)= f(x) G’(x)= f(x) KL G(x) = F(x) + C Chứng minh theo gợi ý của giáo viên Tiếp nhận các tính chất, chứng minh chúng, vận dụng vào giải các ví dụ. Vận dụng các tính chất làm các ví dụ. Chứng minh tính chất 3 Giải VD5 Thảo luận nhóm để hoàn thành bảng nguyên hàm đã cho. I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT. 1. Nguyên hàm: HĐ1:Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f (x). Biết a/f(x)=3x với xÎ b/f(x)=;xÎ Giải: a) Xét trên khoảng F’(x) = f(x) = 3x2 F(x) = x3 b) Xét trên khoảng F’(x) = f(x) = F(x) = tan x Định nghĩa: “Cho hàm số xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f (x) với mọi x thuộc K” Ví dụ: (x2)’=2x, vậy x2 là nguyên hàm của 2x trên (lnx)’= , vậy lnx là nguyên hàm của trên F(x) = sinx là ng/hàm của h/số : f(x) = cosx trên (-∞; +∞) F(x) = x3+3x2+4 là nguyên hàm của h/s: f(x) = 3x2 + 6x./ (-∞; +∞) Định lý1: “Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm f(x) trên K” Chứng minh: ta có F’(x)= f(x) (F(x)+C)’= F’(x)+C’ = f(x), xK(đpcm) Định lý 2: “Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là hằng số” C/M: (G(x) – F(x))’= G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 G(x) – F(x) = C hay G(x) = F(x) + C Từ định lý 1 và 2 ta có: nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F(x) + C là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K Kí hiệu Với f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx. 2. Tính chất của nguyên hàm: + Tính chất 1: + Tính chất 2: + Tính chất 3: VD3: VD4: với x ta có HĐ4 : Gợi ý: Từ định nghĩa nguyên hàm ta có 3.Sự tồn tại của nguyên hàm: Định lý 3: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K” VD5: 4. Bảng các nguyên hàm của một số hàm số thường gặp: Lập bảng theo mẫu f’(x) f(x) + C 0 C 1 x + C axa - 1 xa + C lnx + C ex ex + C axlna (a > 0, a ¹ 1) ax + C cosx sinx + C - sinx cosx + C tanx + C cotx + C Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp Hoạt động của Gv Hoạt động của Hs Ghi bảng Cho HS giải VD6 Cho HS đọc chú ý SGK II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM. 1. Phương pháp đổi biến số: Hoạt động 6 : Hãy hoàn thành các công việc sau: a/ Cho . Đặt u = x – 1, hãy viết (x – 1)10dx theo u và du. b/ Cho . Đặt x = et, hãy viết theo t và dt. Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý: Gv giới thiệu với Hs nội dung chứng minh định lý (SGK, trang 98) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu. Giới thiệu hệ quả Cho HS giải VD7 Hướng dẫn HS giải VD8 2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần : Hoạt động 7 : Hãy tính Từ hoạt động 7 nếu xem u = x và v = cosx thì ta có điều gì ? GV đẫn dắt H /S đến định lý 2. Giới thiệu với Hs nội dung định lý 2 Hướng dẫn về nhà xem chứng minh sgk Chia hs thành 3 nhóm mỗi nhóm giải 1 câu tronh VD9 Hoạt động 8 : Cho P(x) là đa thức của x. Qua ví dụ 9, em hãy hoàn thành bảng sau: Giải VD6 Thảo luận nhóm để hoàn thành HĐ6 dy = y’dx từ đó d(x – 1) = (x – 1)’dx =dx dx = d(et) = (et)’dt = etdt Hiểu rỏ nội dung định lý và thực hiện phép chứng minh. Hiểu và tiếp nhận hệ quả Giải VD7 Giải VD8 theo hướng dẫn của GV Thực hiện trả lời hoạt đông 7. Tiếp nhận định lý Tiến hành hoạt động nhóm Cử đại diện lên bảng Nhận xét bài làm Tiến hành HĐ8 qua đó rút ra cách tính nguyên hàm từng phần Ví dụ 6. Tính: a) b) II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM. 1. Phương pháp đổi biến số HĐ6. a) Xét nguyên hàm Đặt u = x-1 du = u’dx = dx Ta có: (x-1)10dx = u10du b)Xét ; đặt x = et dx = (et)’dt = = Định lý 1: Nếu và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì: Chứng minh : sgk Hệ quả : với u = ax +bb (a), ta có VD7: VD8 :Tính A = Giải. Đặt u = x + 1 x = u – 1; du = dx A = 2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần : + HĐ7: Ta có: (xcosx)’ = cosx – xsinx (1) Hay : - xsinx = (xcosx)’ – cosx. Tính : = xcosx+ C1 và = sinx +C2 Þ = -x cosx +sinx +C (C = - C1+C2 ) Định lý 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì: Chứng minh: sgk Chú ý: Vì v’(x)dx = dv, u’(x)dx = du nên công thức trên còn được viết dưới dạng : VD9: Tính a) b) c) u p(x) p(x) lnx dv exdx cosxdx p(x)dx V. Củng cố: +Định nghĩa nguyên hàm +Cho biết các tính chất của nguyên hàm +Kể tên các phương pháp tính nguyên hàm + Dặn BTVN: 1..4 SGK, trang 100, 101. -Học thuộc bảng nguyên hàm