Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Định lý giới hạn hàm và các hướng mở rộng

Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Định lý giới hạn hàm và các hướng mở rộng Phạm Đào Thanh Tú Lớp cao học xác suất thống kê phamdaothanhtu2002@gmail.com Ngày 23 tháng 9 năm 2012 Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Tài liệu tham khảo 1. Svetlozar Rachev, Lecture 2 Continuous Time Finance Central Limit Theorem and Functional Limit Theorem. 2. Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất và ứng dụng phần II, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2001. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng 1 Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown 2 Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm 3 Mở rộng Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Hội tụ theo phân phối Cho {𝑋𝑛}𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên xác định trên cùng một không gian xác suất với biến ngẫu nhiên 𝑋, dãy {𝑋𝑛}𝑛≥1 gọi là hội tụ theo phân phối về 𝑋, kí hiệu 𝑋𝑛 𝑑 =⇒ 𝑋, nếu 𝐹𝑋𝑛(𝑥) = 𝑃 (𝑋𝑛 ≤ 𝑥) 𝑛→∞ // 𝐹𝑋(𝑥) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥) với mọi 𝑥 ∈ R mà hàm 𝐹𝑋(𝑥) liên tục tại điểm đó. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Hội tụ theo phân phối Cho {𝑋𝑛}𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên xác định trên cùng một không gian xác suất với biến ngẫu nhiên 𝑋, dãy {𝑋𝑛}𝑛≥1 gọi là hội tụ theo phân phối về 𝑋, kí hiệu 𝑋𝑛 𝑑 =⇒ 𝑋, nếu 𝐹𝑋𝑛(𝑥) = 𝑃 (𝑋𝑛 ≤ 𝑥) 𝑛→∞ // 𝐹𝑋(𝑥) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥) với mọi 𝑥 ∈ R mà hàm 𝐹𝑋(𝑥) liên tục tại điểm đó. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Hội tụ theo phân phối Cho {𝑋𝑛}𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên xác định trên cùng một không gian xác suất với biến ngẫu nhiên 𝑋, dãy {𝑋𝑛}𝑛≥1 gọi là hội tụ theo phân phối về 𝑋, kí hiệu 𝑋𝑛 𝑑 =⇒ 𝑋, nếu 𝐹𝑋𝑛(𝑥) = 𝑃 (𝑋𝑛 ≤ 𝑥) 𝑛→∞ // 𝐹𝑋(𝑥) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥) với mọi 𝑥 ∈ R mà hàm 𝐹𝑋(𝑥) liên tục tại điểm đó. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Định lý giới hạn trung tâm Nếu (𝑋𝑛)𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với 𝐸𝑋𝑖 = 𝜇 và 𝑉 𝑎𝑟𝑋𝑖 = 𝜎 2 thì: 𝑆𝑛√ 𝑛 𝑑 =⇒ 𝑍 ∼ 𝑁(0, 1) trong đó 𝑆𝑛 = 𝑛∑︁ 𝑖=1 𝑋0𝑖 , với 𝑋 0 𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝜇 𝜎 ∼ 𝑁(0, 1) Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Định lý giới hạn trung tâm Nếu (𝑋𝑛)𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với 𝐸𝑋𝑖 = 𝜇 và 𝑉 𝑎𝑟𝑋𝑖 = 𝜎 2 thì: 𝑆𝑛√ 𝑛 𝑑 =⇒ 𝑍 ∼ 𝑁(0, 1) trong đó 𝑆𝑛 = 𝑛∑︁ 𝑖=1 𝑋0𝑖 , với 𝑋 0 𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝜇 𝜎 ∼ 𝑁(0, 1) Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Quá trình ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (Ω,ℱ , 𝑃 ), xét hàm giá trị thực 𝑋(𝜔, 𝑡) với 𝜔 ∈ Ω và 𝑡 ∈ 𝑇 . Nếu cố định 𝑡 ∈ 𝑇 thì ta được 𝑋(𝜔, ∙) là một biến ngẫu nhiên. Nếu cố định 𝜔 ∈ Ω thì ta được 𝑋(∙, 𝑡) là một hàm của biến 𝑡 ∈ 𝑇 . Khi 𝑇 ⊆ R thì ta gọi 𝑋(𝑡) là quá trình ngẫu nhiên với 𝑡 là biến thời gian và 𝑇 là tập chỉ số thời gian. Với mỗi 𝜔 ∈ Ω cố định, hàm 𝑋𝜔 : 𝑡 ↦−→ 𝑋𝜔(𝑡) được gọi là một quĩ đạo của 𝑋(𝑡). Quá trình ngẫu nhiên 𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇 được gọi là quá trình ngẫu nhiên liên tục nếu hầu hết các quĩ đạo của nó là hàm liên tục, tức là 𝑃{𝜔 ∈ Ω |𝑋𝜔(𝑡) là hàm liên tục của 𝑡 ∈ 𝑇} = 1. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Quá trình ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (Ω,ℱ , 𝑃 ), xét hàm giá trị thực 𝑋(𝜔, 𝑡) với 𝜔 ∈ Ω và 𝑡 ∈ 𝑇 . Nếu cố định 𝑡 ∈ 𝑇 thì ta được 𝑋(𝜔, ∙) là một biến ngẫu nhiên. Nếu cố định 𝜔 ∈ Ω thì ta được 𝑋(∙, 𝑡) là một hàm của biến 𝑡 ∈ 𝑇 . Khi 𝑇 ⊆ R thì ta gọi 𝑋(𝑡) là quá trình ngẫu nhiên với 𝑡 là biến thời gian và 𝑇 là tập chỉ số thời gian. Với mỗi 𝜔 ∈ Ω cố định, hàm 𝑋𝜔 : 𝑡 ↦−→ 𝑋𝜔(𝑡) được gọi là một quĩ đạo của 𝑋(𝑡). Quá trình ngẫu nhiên 𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇 được gọi là quá trình ngẫu nhiên liên tục nếu hầu hết các quĩ đạo của nó là hàm liên tục, tức là 𝑃{𝜔 ∈ Ω |𝑋𝜔(𝑡) là hàm liên tục của 𝑡 ∈ 𝑇} = 1. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Quá trình ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (Ω,ℱ , 𝑃 ), xét hàm giá trị thực 𝑋(𝜔, 𝑡) với 𝜔 ∈ Ω và 𝑡 ∈ 𝑇 . Nếu cố định 𝑡 ∈ 𝑇 thì ta được 𝑋(𝜔, ∙) là một biến ngẫu nhiên. Nếu cố định 𝜔 ∈ Ω thì ta được 𝑋(∙, 𝑡) là một hàm của biến 𝑡 ∈ 𝑇 . Khi 𝑇 ⊆ R thì ta gọi 𝑋(𝑡) là quá trình ngẫu nhiên với 𝑡 là biến thời gian và 𝑇 là tập chỉ số thời gian. Với mỗi 𝜔 ∈ Ω cố định, hàm 𝑋𝜔 : 𝑡 ↦−→ 𝑋𝜔(𝑡) được gọi là một quĩ đạo của 𝑋(𝑡). Quá trình ngẫu nhiên 𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇 được gọi là quá trình ngẫu nhiên liên tục nếu hầu hết các quĩ đạo của nó là hàm liên tục, tức là 𝑃{𝜔 ∈ Ω |𝑋𝜔(𝑡) là hàm liên tục của 𝑡 ∈ 𝑇} = 1. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Quá trình ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (Ω,ℱ , 𝑃 ), xét hàm giá trị thực 𝑋(𝜔, 𝑡) với 𝜔 ∈ Ω và 𝑡 ∈ 𝑇 . Nếu cố định 𝑡 ∈ 𝑇 thì ta được 𝑋(𝜔, ∙) là một biến ngẫu nhiên. Nếu cố định 𝜔 ∈ Ω thì ta được 𝑋(∙, 𝑡) là một hàm của biến 𝑡 ∈ 𝑇 . Khi 𝑇 ⊆ R thì ta gọi 𝑋(𝑡) là quá trình ngẫu nhiên với 𝑡 là biến thời gian và 𝑇 là tập chỉ số thời gian. Với mỗi 𝜔 ∈ Ω cố định, hàm 𝑋𝜔 : 𝑡 ↦−→ 𝑋𝜔(𝑡) được gọi là một quĩ đạo của 𝑋(𝑡). Quá trình ngẫu nhiên 𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇 được gọi là quá trình ngẫu nhiên liên tục nếu hầu hết các quĩ đạo của nó là hàm liên tục, tức là 𝑃{𝜔 ∈ Ω |𝑋𝜔(𝑡) là hàm liên tục của 𝑡 ∈ 𝑇} = 1. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Quá trình ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (Ω,ℱ , 𝑃 ), xét hàm giá trị thực 𝑋(𝜔, 𝑡) với 𝜔 ∈ Ω và 𝑡 ∈ 𝑇 . Nếu cố định 𝑡 ∈ 𝑇 thì ta được 𝑋(𝜔, ∙) là một biến ngẫu nhiên. Nếu cố định 𝜔 ∈ Ω thì ta được 𝑋(∙, 𝑡) là một hàm của biến 𝑡 ∈ 𝑇 . Khi 𝑇 ⊆ R thì ta gọi 𝑋(𝑡) là quá trình ngẫu nhiên với 𝑡 là biến thời gian và 𝑇 là tập chỉ số thời gian. Với mỗi 𝜔 ∈ Ω cố định, hàm 𝑋𝜔 : 𝑡 ↦−→ 𝑋𝜔(𝑡) được gọi là một quĩ đạo của 𝑋(𝑡). Quá trình ngẫu nhiên 𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇 được gọi là quá trình ngẫu nhiên liên tục nếu hầu hết các quĩ đạo của nó là hàm liên tục, tức là 𝑃{𝜔 ∈ Ω |𝑋𝜔(𝑡) là hàm liên tục của 𝑡 ∈ 𝑇} = 1. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Quá trình ngẫu nhiên Cho không gian xác suất (Ω,ℱ , 𝑃 ), xét hàm giá trị thực 𝑋(𝜔, 𝑡) với 𝜔 ∈ Ω và 𝑡 ∈ 𝑇 . Nếu cố định 𝑡 ∈ 𝑇 thì ta được 𝑋(𝜔, ∙) là một biến ngẫu nhiên. Nếu cố định 𝜔 ∈ Ω thì ta được 𝑋(∙, 𝑡) là một hàm của biến 𝑡 ∈ 𝑇 . Khi 𝑇 ⊆ R thì ta gọi 𝑋(𝑡) là quá trình ngẫu nhiên với 𝑡 là biến thời gian và 𝑇 là tập chỉ số thời gian. Với mỗi 𝜔 ∈ Ω cố định, hàm 𝑋𝜔 : 𝑡 ↦−→ 𝑋𝜔(𝑡) được gọi là một quĩ đạo của 𝑋(𝑡). Quá trình ngẫu nhiên 𝑋(𝑡), 𝑡 ∈ 𝑇 được gọi là quá trình ngẫu nhiên liên tục nếu hầu hết các quĩ đạo của nó là hàm liên tục, tức là 𝑃{𝜔 ∈ Ω |𝑋𝜔(𝑡) là hàm liên tục của 𝑡 ∈ 𝑇} = 1. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Hội tụ yếu Cho dãy {𝑋𝑛}𝑛≥1 là các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian 𝐶[0, 1], ta nói 𝑋𝑛 hội tụ yếu về X, kí hiệu 𝑋𝑛 𝑊 =⇒ 𝑋, trong đó 𝑋 là một quá trình liên tục trên [0, 1], nếu với mọi hàm liên tục 𝑓 : 𝐶[0, 1] −→ R, ta có 𝑓(𝑋𝑛) =⇒ 𝑓(𝑋) khi𝑛 −→∞ . Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Hội tụ yếu Cho dãy {𝑋𝑛}𝑛≥1 là các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian 𝐶[0, 1], ta nói 𝑋𝑛 hội tụ yếu về X, kí hiệu 𝑋𝑛 𝑊 =⇒ 𝑋, trong đó 𝑋 là một quá trình liên tục trên [0, 1], nếu với mọi hàm liên tục 𝑓 : 𝐶[0, 1] −→ R, ta có 𝑓(𝑋𝑛) =⇒ 𝑓(𝑋) khi𝑛 −→∞ . Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Chuyển động Brown Quá trình ngẫu nhiên (𝐵(𝑡))0≤𝑡≤1 là một chuyển động Brown nếu (𝐵(𝑡))0≤𝑡≤1 là một quá trình với quĩ đạo liên tục có các tính chất sau: 𝐵(0) = 0; 𝐵(𝑡) là một quá trình với số gia độc lập, tức là với 0 < 𝑡0 < 𝑡1 < . . . < 𝑡𝑛, các số gia 𝐵(𝑡1)−𝐵(𝑡0), . . . , 𝐵(𝑡𝑛)−𝐵(𝑡𝑛−1) là các biến ngẫu nhiên độc lập; 𝐵(𝑡)−𝐵(𝑠) ∼ 𝑁(0, 𝑡− 𝑠), với 𝑡 > 𝑠 ≥ 0. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Chuyển động Brown Quá trình ngẫu nhiên (𝐵(𝑡))0≤𝑡≤1 là một chuyển động Brown nếu (𝐵(𝑡))0≤𝑡≤1 là một quá trình với quĩ đạo liên tục có các tính chất sau: 𝐵(0) = 0; 𝐵(𝑡) là một quá trình với số gia độc lập, tức là với 0 < 𝑡0 < 𝑡1 < . . . < 𝑡𝑛, các số gia 𝐵(𝑡1)−𝐵(𝑡0), . . . , 𝐵(𝑡𝑛)−𝐵(𝑡𝑛−1) là các biến ngẫu nhiên độc lập; 𝐵(𝑡)−𝐵(𝑠) ∼ 𝑁(0, 𝑡− 𝑠), với 𝑡 > 𝑠 ≥ 0. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Chuyển động Brown Quá trình ngẫu nhiên (𝐵(𝑡))0≤𝑡≤1 là một chuyển động Brown nếu (𝐵(𝑡))0≤𝑡≤1 là một quá trình với quĩ đạo liên tục có các tính chất sau: 𝐵(0) = 0; 𝐵(𝑡) là một quá trình với số gia độc lập, tức là với 0 < 𝑡0 < 𝑡1 < . . . < 𝑡𝑛, các số gia 𝐵(𝑡1)−𝐵(𝑡0), . . . , 𝐵(𝑡𝑛)−𝐵(𝑡𝑛−1) là các biến ngẫu nhiên độc lập; 𝐵(𝑡)−𝐵(𝑠) ∼ 𝑁(0, 𝑡− 𝑠), với 𝑡 > 𝑠 ≥ 0. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Chuyển động Brown Quá trình ngẫu nhiên (𝐵(𝑡))0≤𝑡≤1 là một chuyển động Brown nếu (𝐵(𝑡))0≤𝑡≤1 là một quá trình với quĩ đạo liên tục có các tính chất sau: 𝐵(0) = 0; 𝐵(𝑡) là một quá trình với số gia độc lập, tức là với 0 < 𝑡0 < 𝑡1 < . . . < 𝑡𝑛, các số gia 𝐵(𝑡1)−𝐵(𝑡0), . . . , 𝐵(𝑡𝑛)−𝐵(𝑡𝑛−1) là các biến ngẫu nhiên độc lập; 𝐵(𝑡)−𝐵(𝑠) ∼ 𝑁(0, 𝑡− 𝑠), với 𝑡 > 𝑠 ≥ 0. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Trọng tâm: Định lý giới hạn hàm Cho (𝑋𝑛)𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với 𝐸𝑋𝑖 = 𝜇 và 𝑉 𝑎𝑟𝑋𝑖 = 𝜎 2 <∞, đặt 𝑆𝑛 = 𝑛∑︁ 𝑖=1 𝑋0𝑖 , với 𝑋0𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝜇 𝜎 ∼ 𝑁(0, 1). Xét đường gấp khúc ngẫu nhiên với các đỉnh (︂ 𝑘 𝑛 , 𝑆𝑘√ 𝑛 )︂ , 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑛, kí hiệu 𝐵𝑛(𝑡) = (︂ 𝑘 𝑛 , 𝑆𝑘√ 𝑛 )︂ , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, khi đó (𝐵𝑛(𝑡))0≤𝑡≤1 𝑊 =⇒ (𝐵(𝑡))0≤𝑡≤1 Trong đó 𝐵(𝑡) là một chuyển động Brown. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Trọng tâm: Định lý giới hạn hàm Cho (𝑋𝑛)𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với 𝐸𝑋𝑖 = 𝜇 và 𝑉 𝑎𝑟𝑋𝑖 = 𝜎 2 <∞, đặt 𝑆𝑛 = 𝑛∑︁ 𝑖=1 𝑋0𝑖 , với 𝑋0𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝜇 𝜎 ∼ 𝑁(0, 1). Xét đường gấp khúc ngẫu nhiên với các đỉnh (︂ 𝑘 𝑛 , 𝑆𝑘√ 𝑛 )︂ , 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑛, kí hiệu 𝐵𝑛(𝑡) = (︂ 𝑘 𝑛 , 𝑆𝑘√ 𝑛 )︂ , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, khi đó (𝐵𝑛(𝑡))0≤𝑡≤1 𝑊 =⇒ (𝐵(𝑡))0≤𝑡≤1 Trong đó 𝐵(𝑡) là một chuyển động Brown. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Trọng tâm: Định lý giới hạn hàm Cho (𝑋𝑛)𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với 𝐸𝑋𝑖 = 𝜇 và 𝑉 𝑎𝑟𝑋𝑖 = 𝜎 2 <∞, đặt 𝑆𝑛 = 𝑛∑︁ 𝑖=1 𝑋0𝑖 , với 𝑋0𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝜇 𝜎 ∼ 𝑁(0, 1). Xét đường gấp khúc ngẫu nhiên với các đỉnh (︂ 𝑘 𝑛 , 𝑆𝑘√ 𝑛 )︂ , 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑛, kí hiệu 𝐵𝑛(𝑡) = (︂ 𝑘 𝑛 , 𝑆𝑘√ 𝑛 )︂ , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, khi đó (𝐵𝑛(𝑡))0≤𝑡≤1 𝑊 =⇒ (𝐵(𝑡))0≤𝑡≤1 Trong đó 𝐵(𝑡) là một chuyển động Brown. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Trọng tâm: Định lý giới hạn hàm Cho (𝑋𝑛)𝑛≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với 𝐸𝑋𝑖 = 𝜇 và 𝑉 𝑎𝑟𝑋𝑖 = 𝜎 2 <∞, đặt 𝑆𝑛 = 𝑛∑︁ 𝑖=1 𝑋0𝑖 , với 𝑋0𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝜇 𝜎 ∼ 𝑁(0, 1). Xét đường gấp khúc ngẫu nhiên với các đỉnh (︂ 𝑘 𝑛 , 𝑆𝑘√ 𝑛 )︂ , 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑛, kí hiệu 𝐵𝑛(𝑡) = (︂ 𝑘 𝑛 , 𝑆𝑘√ 𝑛 )︂ , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, khi đó (𝐵𝑛(𝑡))0≤𝑡≤1 𝑊 =⇒ (𝐵(𝑡))0≤𝑡≤1 Trong đó 𝐵(𝑡) là một chuyển động Brown. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Mở rộng Định lý giới hạn hàm cho các biến ngẫu nhiên trong miền hấp dẫn chuẩn của một phân phối ổn định: Chuyển động ổn định. Định lý giới hạn hàm Phạm Đào Thanh Tú Nội Dung Kiến thức chuẩn bị Hội tụ theo phân phối Định lý giới hạn trung tâm Quá trình ngẫu nhiên Hội tụ yếu Chuyển động Brown Kiến thức trọng tâm Định lý giới hạn hàm Mở rộng Mở rộng Định lý giới hạn hàm cho các biến ngẫu nhiên trong miền hấp dẫn chuẩn của một phân phối ổn định: Chuyển động ổn định.