Giáo án lớp 12 môn Đại số - Phương trình – bất phương trình cơ bản

Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 1 -- 1.ph−ơng trình –bất ph−ơng trình cơ bản a.ph−ơng trình cơ bản: Dạng ph−ơng trình:    ≥ ≥ ⇔= )()( 0)( )()( 2 xgxf xg xgxf (nếu g(x) có TXĐ là R) b.Bất ph−ơng trình cơ bản: Dạng 1:          ≥ ≥    < ≥ ⇔> )()( 0)( 0)( 0)( )()( 2 xgxf xg xg xf xgxf Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( )    < ≥ > ⇔< xgxf xf xg xgxf 2 0 0 )()( Chú ý: Khi hệ chứa từ hai biểu thức căn bậc hai trở lên , để có thể đ−a về dạng cơ bản , ta làm nh− sau: + Đặt một hệ điều kiện cho tất cả các căn đều có nghĩa . + Chuyển vế hoặc đặt điều kiện để hai vế đều không âm . + Bình ph−ơng hai vế . + Tiếp tục cho đến khi hết căn . bài tập áp dụng Bài 1.1: Giải các ph−ơng trình sau: )1(3253.1 −=+ xx )2(632.2 xx −=+ Giải1: Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với:         = = ⇔ =+− ≥ 2 7 2 014154 2 3 2 x x xx x Giải2: Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: 3 113 6 03314 6 2 =⇔    =∨= ≤ ⇔    =+− ≤ x xx x xx x Bài 1.2 Giải ph−ơng trình sau )1(1266.1 2 −=+− xxx (ĐH Xây Dựng -2001). Giải: Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 2 -- 1 1 2 1 )12(66 2 1 22 =⇔     = ≥     ⇔ −=+− ≥ x x x xxx x Bài 1.3 Giải ph−ơng trình 321 =++− xx Giải:Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với hệ: 2 )4()2)(1(_ 41 4)2)(1( 1 2 =⇔       −=−− ≤≤ ⇔ −=+− ≥ ⇔ x xxx x xxx x Bài 1.4: Giải ph−ơng trình 231 −=−−− xxx Giải:Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với hệ: 3 326 3 326 3 326 43 0883 43 6524 3 231 3 22 + =⇔      − =∨ + = ≤≤ ⇔    =+− ≤≤ ⇔    +−=− ≥ ⇔    −+−=− ≥ x xx x xx x xxx x xxx x -- Bài 1.5: Giải ph−ơng trình xxxx −+=−+ 1 3 2 1 2 (ĐHQG Hà Nội 2000) Giải:Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với hệ:         −=− ≤≤ ⇔ −+=−+−+ ≤≤ 22222 3 2 3 2 3 2 10 21 3 4 3 2 3 2 1 10 xxxx x xxxxxx x    = = ⇔    =∨= ≤≤ ⇔    =−−− ≤≤ ⇔ 1 0 10 10 0)1( 10 22 x x xx x xxxx x Bài 1.6: Giải ph−ơng trình ( ) 3428316643 −=−−+ xx Giải:Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với hệ: ( ) 2 2 2 2 4 3 3428316643 4 3 =⇔       = ≥ ⇔     −=−−+ ≥ x x x xx x Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 3 -- Bài 1.7: Giải bất ph−ơng trình: 27593137 −≤−−− xxx (ĐH DL Ph−ơng Đông -2001) Điều kiện: 5 27 ≥x Bất ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với:     −+−≤− ≥ 93275137 5 27 xxx x ( )( ) ( )( ) 23 59 65762229 044345859 23 5 27 23275932 5 27 275932368137 5 27 2 ≤≤ + ⇔     ≥+− ≤≤ ⇔      −≥−− ≥ ⇔      −−+−≤− ≥ ⇔ x xx x xxx x xxxx x Bài tập làm thêm: Bài 1: (PP BĐ TĐ) 2 2 2 2 2 2 1. 3 2 2 1; 2. 3 9 1 2 3. 4 6 4; 4. 2 4 2 5. 3 9 1 | 2 |; 6. 2 3 0; 7. 1 1; x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + = − − + = − − + = + + + = − − + = − − + = + + = Bài 2: (PP BĐ TĐ) 1. 3 6 3; 2. 3 2 1 3; 3. 3 2 1; 4. 9 5 2 4; 5. 3 4 2 1 3; 6. 5 1 3 2 1 0; x x x x x x x x x x x x x x + + − = − + − = + − − = + = − + + − + = + − − − − − = 7. 3 4 4 2 ;x x x+ + + = 8. 5 5 10 5 15 10;x x x− + − = − 9. 4 1 1 2 ;x x x+ − − = − Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 4 -- 210. 3 2 1 2; 11. 1 5 1 3 2 x x x x x x − + − + + = − − − = − 12. 1 9 2 12x x x+ − − = − 2 213. 5 8 4 5x x x x+ − + + − = 2 214. 3 5 8 3 5 1 1x x x x+ + − + + = 2 215. 9 7 2 5 1 3 2 1x x x x x+ − − = − − − − − 2 2 2 2 16. 3 6 16 2 2 2 4 3 1 1 4 2 17. 3 9 9 x x x x x x x x x x + + + + = + + + = + + 218. 1 2 5x x x− = − − 19. 11 11 4x x x x+ + + − + = 20. 1 1 8x x x+ − = − + -------------------------------------------------------------------------- 2.ph−ơng pháp Đặt một ẩn phụ Dạng 1: Giải ph−ơng trình: ( ) ( ) 0=++ CxfBxAf Ph−ơng pháp giải : Đặt ( ) ( ) ( ) 20 txfttxf =⇔≥= ; Ph−ơng trình đH cho trở thành : ( )002 ≥=++ tCBtAt Làm t−ơng tự với bất ph−ơng trình dạng: ( ) ( ) 0≥++ CxfBxAf Dạng 2:Giải ph−ơng trình: ( ) ( )( ) ( )( ) 0)(2 =++++ CDxgxfBxgxfA (Với ( ) Dxgxf =+ )( ) Ph−ơng pháp giải : Đặt ( ) ( ) ( ) ( )xgxfDtttxgxf 20)( 2 +=⇔≥=+ Ph−ơng trình đH cho trở thành : ( )002 ≥=++ tCAtBt Làm t−ơng tự với bất ph−ơng trình dạng: ( ) ( )( ) ( )( ) 0)(2 ≥++++ CDxgxfxgxfA bài tập áp dụng: Bài 2.1: Giải các ph−ơng trình )1(75553,1 22 +−=+− xxxx Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 5 -- )2(3012.2,2 22 =++ xx (ĐH DL Hồng lạc-2001) Giải1: )1(75553,1 22 +−=+− xxxx Đặt )0(55 2 ≥=+− ttxx Ph−ơng trình đH cho trở thành:         ± = = = ⇔     =+− =+− ⇔   = = ⇔=+− 2 215 4 1 455 155 2 1 023 2 2 2 x x x xx xx t t tt Giải2: )2(30122,2 22 =++ xx Đặt )0(12 2 >+= txt Ph−ơng trình đH cho trở thành:    −= = ⇔=−+ )(7 )(6 0422 Lt tmt tt Vậy 62612 2 ±=⇔=+ xx -------------------------------------------------------------------------- Bài 2.2: Giải các ph−ơng trình )1(4 2 47 .1 2 x x xx = + ++ (ĐH Đông đô-2000). )2(4324.2 22 xxxx −+=−+ (ĐH Mỏ -2001) Giải2: Đặt )0(4 2 ≥−= yxy Ph−ơng trình đH cho trở thành:    =−+ =−+ ⇔    +=+ =+ 23 42)( 32 4 222 xyyx xyyx xyyx yx Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 6 -- Giải hệ đối xứng này ta đ−ợc nghiệm:         + −= = = ⇔   =∧= =∧= 3 142 2 0 02 20 x x x yx yx Giải1:Điều kiện: 0≥x Đặt )0( ≥= ttx Ph−ơng trình đH cho trở thành: 04874 234 =+−+− tttt Giải ph−ơng trình bậc 4 : Xét t=0 không là nghiệm Xét t ≠ 0 ,chia hai vế cho t2 và đặt )22( 2 ≥+= u t tu Ta đ−ợc ph−ơng trình    = = ⇔   = = ⇔   = = ⇔=+− 4 1 2 1 3 )(1 0342 x x t t u Lu uu Bài 2.3: Giải các bất ph−ơng trình sau 123342.1 22 >−−++ xxxx (ĐHDL Ph−ơng Đông -2000) 2)2(4)4(.2 22 <−++−− xxxxx (ĐH QG HCM -1999) Giải1: Điều kiện: 13 ≤≤− x Đặt: )0(23 2 ≥−−= txxt Bất ph−ơng trình đH cho trở thành: 2 5 0 0 2 5 1 0 0532 2 <≤⇔     ≤ <<− ⇔    ≤ >++− t t t t tt Thay vào cách đặt: 13 0 4 13 2 13 2 ≤≤−⇔     ≥++ ≤≤− x xx x Giải2: 2)2(4)4(.2 22 <−++−− xxxxx Điều kiện: 40 ≤≤ x Đặt: 04 2 ≥+−= xxt Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 7 -- Thay vào BPT ĐH cho và giải ra ta đ−ợc 1>t Thay vào cách đặt ta đ−ợc: 3232 +<<− x Bài 2.4: Giải các bất ph−ơng trình sau 7 2 1 2 2 3 3.1 −+<+ x x x x (ĐH Thái Nguyên -2000) 3)7)(2(72.2 ≤−++−++ xxxx Giải1: Biến đổi bất ph−ơng trình đH cho trở thành: ( ) 09 2 1 3 2 1 2 9 2 1 12) 2 1 (3 2 2 2 >−      +−      +⇔ −         ++<+ x x x x x x x x Đặt: 2 2 1 ≥⇒+= t x xt BPT đH cho trở thành:       +> −<< ⇔>+⇔ >⇔     >−− ≥ 7 2 3 4 7 2 3 40 3 2 1 3 0932 2 2 x x x x t tt t Giải 2: Điều kiện: 72 ≤≤− x Đặt )0(72 ≥−++= txxt Vậy 2 9 )7)(2( 2 − =−+ t xx Bất ph−ơng trình đH cho trở thành:    = −= ⇔     ≤−++ ≤≤− ⇔ ≤≤⇔≤−+ 7 2 9)7)(2(29 72 3001522 x x xx x ttt Bài tập. Giải các PT sau: Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 8 -- Bài 1: 2 2 2 2 2 2 2 1. 3 5 5 5 7; 2. 2 12 30; 3. 13 7; 4. ( 5)(2 ) 3 3 ; x x x x x x x x x x x x x x − + = − + + = − − − + = + − = + 26. ( 4)( 1) 3 5 2 6;x x x x+ + − + + = 2 211. 2( 2 ) 2 3 9;x x x x− + − − = 2 212. ( 3) 3 22 3 7;x x x x− + − = − + ( )( ) 215. 1 2 1 2 2 ;x x x x+ − = + − ( )2 216. 2 2 2 3 9 0;x x x x− + − − − = 2 217. 3 15 2 5 1 2;x x x x+ + + + = Bài 2: 2 25. 3 3 3 6 3;x x x x− + + − + = 2 27. 5 2 2 5 9 1;x x x x+ + + + − = 9. 1 4 ( 1)(4 ) 5;x x x x+ + − + + − = 2 210. 4 2 3 4 ;x x x x+ − = + − 2 213. 2 5 2 2 5 6 1;x x x x+ + − + − = 2 214. 3 2 2 6 2 2;x x x x+ + − + + = − 2 2 218. 4 1 2 2 9;x x x x x x+ + + + + = + + 2 2 28. 4 8 4 4 2 8 12;x x x x x x+ + + + + = + + 2 219. 1 2 1 2;x x x x− − + + − = 2 220. 17 17 9;x x x x+ − + − = 2221.1 1 ; 3 x x x x+ − = + − 24 422. 16 6; 2 x x x x + + − = + − − 223. 3 2 1 4 9 2 3 5 2;x x x x x− + = = − + − + Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 9 -- 224. 2 3 1 3 2 2 5 3 16;x x x x x+ + + = + + + − 25. 2 2 5 2 3 2 5 7 2;x x x x− + − + + + − = ( ) ( )3 35 526. 7 3 8 7 3 7;x x −− − − = 2 27. 2 3 2 ; 2 3 x x x x + + = + 4 2 228. 1 1 2;x x x x− − + + − = 2 229. 5 14 9 20 5 1;x x x x x+ + − − − = + ( )3 230.10 8 3 6 ;x x x+ = − − 3 231. 1 3 1;x x x− = + − 232. 1 ( 1) 0;x x x x x x− − − − + − = Đặt ẩn phụ để trở thành ph−ơng trình có 2 ẩn: * Là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển để chuyển PT ban đầu thành 1 PT với 1 ẩn phụ nh−ng các hệ số vẫn còn chứa x * PP này th−ờng đ−ợc SD đối với những PT khi lựa chọn 1 ẩn phụ cho1 BT thì các BT còn lại không BD đ−ợc triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu BD đ−ợc thì công thức BD quá phức tap. * Khi đó th−ờng ta đ−ợc 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số ∆ là 1 số chính ph−ơng. Bài tập. Giải các PT sau: Bài 1: 2 21. 1 2 2 ;x x x x− = − 2 22. 1 2 2;x x x− = + 2 23. (4 1) 1 2 2 1;x x x x− + = + + 2 24. 4 4 (2 ) 2 4;x x x x x+ − = + − + 2 25. 3 1 (3 ) 1;x x x x+ + = + + 2 26. (4 1) 4 1 8 2 1;x x x x− + = + + 27. 4 1 1 3 2 1 1 ;x x x x+ − = + − + − Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 10 -- 2 2 2 2 2 8. 2(1 ) 2 1 2 1; 9. 1 2 4 1 2 1; 10. 12 1 36; 1 1 1 11. 2 1 3 0; x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + − = − − + − = − − + + + + = − + − − − − = 3.Ph−ơng pháp Đặt hai ẩn phụ Dạng 1: Giải ph−ơng trình: ( ) ( )( ) ( ) 0)( =+++ CxgxfBxgxfA nnn (Với ( ) Dxgxf =+ )( ) Ph−ơng pháp giải : Đặt: ( ) ( ) Dvu vxg uxf nn n n =+⇒     = = Ph−ơng trình đH cho trở thành: ( )    =+ =+++ Dvu CBuvvuA nn 0 Dạng 2: Giải ph−ơng trình: ( ) ( )( ) ( ) 0)( =++− CxgxfBxgxfA nnn (Với ( ) ( ) Dxgxf =− ) Ph−ơng pháp giải : Đặt: ( ) ( ) Dvu vxg uxf nn n n =−⇒     = = Ph−ơng trình đH cho trở thành: ( )    =− =++− Dvu CBuvvuA nn 0 bài tập áp dụng: Bài 3.1: Giải ph−ơng trình: )x6)(2x(x62x −+=−++ (ĐH Ngoại Ngữ-2001) Giải : Đặt )0v,u( vx6 u2x ≥     =− =+ Ph−ơng trình đH cho trở thành: 2vu 08uv2)uv( vuuv vuuv 8vu 2 22 ==⇔    =−− += ⇔    += =+ Vậy: Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 11 -- 2x2x62x =⇔=−=+ Bài 3.2:Giải ph−ơng trình: 13x22x 33 =+−+ (An Ninh-01) Giải : Đặt:     =+ =+ v3x u22x 3 3 Ph−ơng trình đH cho trở thành:    −= = ⇔   −== == ⇔    = =− 30x 5x 2u;3v 3u;2v 6uv 1vu Bài 3.3: Giải ph−ơng trình 541xx56 44 =++− Đặt: )0uv( v41x ux56 4 4 ≥     =+ =− Ph−ơng trình đH cho trở thành:    = −= ⇔   == == ⇔    =+ =+ 40x 25x 2v;3u 3v;2u 97vu 5vu 44 Bài tập làm thêm: Giải các pt: 20 20 1. 6; x x x x + − − = 42. 6 2 2(1 (6 )( 2);x x x x− + − = − − − 3 3 3 2 2 33 3. 2 1 1; 4. 9 2 1; 5. 9 1 7 1 4; 6. 3 10 5; 7. 9 ( 3) 6; x x x x x x x x x x − = − − − = − − − + + + + = + + − = − = − + 3 3 4 4 2 2 8. 24 12 6; 9. 7 1; 10. 5 1 2; 11. 3 3 3 6 3; 12. 1 8 ( 1)(8 ) 3; x x x x x x x x x x x x x x + + − = + − = − = − = − + + − + = + + − + + − = Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 12 -- 3 3 3 3 2 3 3 2 2 23 3 3 (34 ) 1 ( 1) 34 13. 30; 34 1 14. 1 2 (1 ) 1; 15. 1 1 (1 ) 1 2 1 ; 16. 2 2 4; x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + − + − = − − + + − − − = −  + − − − + = + −   + + + − − = 2 3 3 244 4 417. (1 ) (1 ) 1 (1 );x x x x x x x x+ − + − = − + + − 3 3 3 3 7 5 18. 6 ; 7 5 x x x x x − − − = − − + − 2 2 3 3 sin cos 2 23 3 3 2 2 2 24 4 19. 7 2 3; 20. 81 81 30; 21. sin cos 4; 22. sin 2 sin sin 2 sin 3; 23. 10 8sin 8 s 1 1; x x tgx tgx x x x x x x x co x + + − = + = + = + − + − = + − − = 4 4 1 1 24. cos2 cos2 2; 2 2 x x− + + = 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 25. 5 7 5 12 1; 26. 24 5 1; 27. 47 2 35 2 4; 28. 47 10 5; 29. 12 14 2; x x x x x x x x x x + − − = + − + = − + + = − + + = − + − = 3 3 4 4 30. 1 7 2; 31. 97 15 4; x x x x + + − = − + − = -------------------------------------------------------------------------- 4.Ph−ơng pháp Nhân liên hợp Dạng : Giải ph−ơng trình: ( ) ( ) ( )xhCxgBxfA .=− Với ( ) ( ) ( )xhDxgBxfA .22 =− Ph−ơng pháp giải : Nhân hai vế với biểu thức: ( ) ( )xgBxfA + Ta đ−ợc ph−ơng trình ( ) ( ) ( ) ( )( )xgBxfAxhCxhD += .. Nhóm nhân tử chung và giải hai ph−ơng trình: Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 13 -- ( ) ( ) ( )( )  =+ = DxgBxfAC xh 0 bài tập áp dụng: Bài 4.1: Giải các ph−ơng trình sau: )1( 5 3 2314.1 + =−−+ x xx (ĐH B−u Chính-2001) )2(62)22(3.2 ++=−+ xxx (ĐH Quân Sự -2001) Giải1: )1( 5 3 2314.1 + =−−+ x xx Điều kiện: 3 2 ≥x Nhân hai vế với biểu thức liên hợp: 2314 −++ xx , Ph−ơng trình đH cho trở thành: ( ) 2 )(342 2 0684344 7 26 3 2 3 2 72623142 3 2 52314 3 2 2314 5 3 3 2 =⇔   = = ⇔     =+− ≤≤ ⇔ ≥∧−=−+⇔ ≥∧=−++⇔ ≥∧−++ + =+ x Lx x xx x xxxx xxx xxx x x Giải2: )2(62)22(3.2 ++=−+ xxx Điều kiện: 2≥x ; Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: 62623 −=+−− xxx Nhân hai vế với biểu thức liên hợp 623 ++− xx Làm t−ơng tự nh− phần 1) ta đ−ợc tập nghiệm:       − = 2 5311 ;3T Bài 4.2: Giải các bất ph−ơng trình sau xxx ≥−−+ 11 (ĐH Ngoại th−ơng HCM-2001). Giải1: Điều kiện: 11 ≤≤− x Nhân hai vế với biểu thức liên hợp xx −++ 11 thì bất ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 14 --           −++> ≤<    −++< ≤≤− ⇔    ≥−−+− ≤≤− ⇔     ≥ −++ ≤≤− xx x xx x xxx x x xx x x 112 10 112 01 0)112( 11 11 2 11 10 10 0 01 ≤≤⇔           ∀ ≤<    = ≤≤− ⇔ x x x x x Bài làm thêm: (Nhân liên hợp) 2 2 2 2 1. 1 4 9 0; 3 2. 4 1 3 2 ; 5 3. 3(2 2) 2 6; 4. 3 7 3 2 3 5 1 3 4; 5. 21 21 21; 6. 21 21 ; 2 2 7. 2 2; 2 2 2 2 8. 2 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + − + + + = + + − − = + − = + + − + − − = − − − − + + + − = + − − = + − + = + + − + − − + = − -------------------------------------------------------------------------- 5.Ph−ơng pháp Phân chia miền xác định Dạng : Giải ph−ơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxhxfBxgxfA =+ Ph−ơng pháp giải : Xét ba tr−ờng hợp : Tr−ờng hợp 1: ( ) ( )tmxf 0= Tr−ờng hợp 2: ( ) 0>xf Khi đó phải có ( ) ( )   ≥ ≥ 0 0 xh xg Ph−ơng trình đH cho trở thành ( ) ( ) ( )xfxhBxgA =+ (Ph−ơng trình cơ bản) Tr−ờng hợp 3: ( ) 0<xf Khi đó phải có ( ) ( )   ≤ ≤ 0 0 xh xg Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 15 -- Ph−ơng trình đH cho trở thành ( ) ( ) ( )xfxhBxgA −=−+− (Ph−ơng trình cơ bản) bài tập áp dụng: Bài 5.1: Giải ph−ơng trình sau )1(221682.1 22 +=−+++ xxxx (ĐH Bách khoa Hà Nội -2001). Giải1: 2 21. 2x 8x 6 x 1 2x 2 (1)+ + + − = + Điều kiện :    −= ≥ ⇔      ≥+ ≥− ≥++ 1 1 022 01 0682 2 2 x x x x xx Nhận thấy x=-1 là một nghiệm của ph−ơng trình đH cho Với 1≥x : Ph−ơng trình t−ơng đ−ơng với: 1 16422 1 121)3(2 1 )1(2)1)(1()3)(1(2 1 2 =⇔     −=−+ ≥ ⇔     +=−++ ≥ ⇔     +=+−+++ ≥ ⇔ x xxx x xxx x xxxxx x Vậy ph−ơng trình đH cho có hai nghiệm là x=1 và x=-1 Bài 5.2: Giải các bất ph−ơng trình sau 113234.1 22 −≥+−−+− xxxxx (ĐH Kế toán Hà Nội -2001) 4523423.2 222 +−≥+−++− xxxxxx (ĐH Y HCM -2001) Giải1: 113234.1 22 −≥+−−+− xxxxx Điều kiện:        ≤ ≥ = ⇔    ≥−− ≥−− 2 1 3 1 0)12)(1( 0)3)(1( x x x xx xx Nhận thấy x=1 là một nghiệm của bất ph−ơng trình Với 3≥x Ta tách căn của bất ph−ơng trình đH cho và đ−ợc    −≥−−− ≥ 1123 3 xxx x Hệ này vô nghiệm vì 13 −<− xx Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 16 -- Với 2 1 ≤x Ta tách căn của bất ph−ơng trình đH cho và đ−ợc 2 1 3)1)(3(2 2 1 1213 2 1 ≤⇔      −≥−− ≤ ⇔     −−≥−−− ≤ x xx x xxx x Kết luận: Tập nghiệm { }      ∞−∪ 2 1 ;1 Giải2: 4523423.2 222 +−≥+−++− xxxxxx Điều kiện:    ≤ ≥ 4 1 x x Nhận thấy x=1 là một nghiệm của bất ph−ơng trình Với 4≥x Ta tách căn của bất ph−ơng trình đH cho và đ−ợc bpt 4232 −≥−+− xxx BPT thoả mHn với 4≥x vì: 432 −>−>− xxx Với 1≤x Ta tách căn của bất ph−ơng trình đH cho và đ−ợc bpt xxx −≥−+− 4232 BPT vô nghiệm vì xxx −<−<− 432 Kết luận: Tập nghiệm { } [ )+∞∪ ;41 Bài tập làm thêm: Bài 3: (PP phân chia MXĐ) 2 2 2 2 2 1. 1 1 1; 2. ( 3) (2 1); 3. ( 1)(2 7) 3( 1)( 6) ( 1)(7 1); 4. ( 1) ( 2) 2 5. 2 5 2 2) 3 6; x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − + = + + − = − − + + − − = − + − + + = + + − + − = + 2 2 2 2 2 2 6. 1 1; 7. 2 8 6 1 2 2; 8. 4 1 4 1 1 9.( 3) 10 12 x x x x x x x x x x x x − = + + + + − = + − + − = + − = − − 6.Ph−ơng pháp Khai căn Dạng : Giải ph−ơng trình: Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 17 -- ( )( ) ( )( ) ( )xgBAxfAxf .22 =−++ Ph−ơng pháp giải : Khai căn và lấy đấu giá trị tuyệt đối ta đ−ợc ph−ơng trình ( ) ( ) ( )xgBAxgAxf .=−++ Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách phân chia miền xác định ta đ−ợc một tuyển hai hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )            = ≤     = ≥ xgBA Axf xgBxf Axf .2 .2 Giải hai hệ này ta sẽ tìm đ−ợc nghiệm của ph−ơng trình đH cho. bài tập áp dụng: Bài 6.1: Giải ph−ơng trình sau 294444.1 2 +−=−−+−+ xxxxxx 2 5 2122122 + =++−++++ x xxxx Giải 1: 294444.1 2 +−=−−+−+ xxxxxx 2492424 2 +−=−−++−⇔ xxxx Nếu 8≥x pt trở thành: ( )( ) ( ) 42 4 2 54 1 45442 42094224942 22 − + −− =⇔ +−−=−⇔ ++−=−⇔+−=− x xx xxx xxxxxx Vì 8≥x Nên ( ) 3 42 4 2 54 ≥ − + −− x xx vậy ph−ơng trình này vô nghiệm Nếu 84 <≤ x pt trở thành: 542494 2 =∨=⇔+−= xxxx Vậy pt đH cho có nghiệm là x=4 và x=5. Giải 2: 2 5 2122122 + =++−++++ x xxxx Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 18 -- 2 5 1111 + =−++++⇔ x xx Giải t−ơng tự ta đ−ợc nghiệm là x=-1 và x=3. Bài 6.2: Giải ph−ơng trình sau 21212 =−−−−+ xxxx Giải: Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: 21111 =−−−+−⇔ xx ( ) 2 2 1111 21 21111 2 ≥⇔        =    −−+− <≤    =−−−+− ≥ ⇔ x xx x xx x Tập nghiệm: [ )+∞;2 7.Ph−ơng pháp Đạo hàm Dạng : Bài toán tìm m để ph−ơng trình f(x)=m có nghiệm, Bài toán chứng minh ph−ơng trình f(x)=A có nghiệm duy nhất, Bài toán biện luận số nghiệm của ph−ơng trình f(x)=m theo tham số m. Ph−ơng pháp giải : * Tìm tập xác định D của hàm số y=f(x) * Tính đạo hàm f’(x) ,lập bảng biến thiên . * Dựa vào bảng biến thiên để biện luận số nghiệm của ph−ơng trình . bài tập áp dụng: Bài 7.1:Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm )45(12 xxmxxx −+−=++ Giải: Nhân hai vế với biểu thức liên hợp: xx −−− 45 ta đ−ợc: mxxxxx =−−−++ )45)(12( Xét )(xfVT = TXĐ [ ]4;0=D 12)( ++= xxxxg ; 0 122 1 2 3 )( > + +=′ x x xg )(xg⇒ đồng biến và luôn d−ơng trên D. xxxh −−−= 45)( ; 0 452 45 )( > −− −−− =′ xx xx xh ( )xh⇒ đồng biến và luôn d−ơng trên D. Suy ra hàm số )()()( xhxgxf = cũng sẽ là hàm số đồng biến trên D. Từ đó ( ) 44512)4()0( ≤≤−⇔≤≤ VTfVTf Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 19 -- Vậy để ph−ơng trình đH cho có nghiệm thì: ( ) 44512 ≤≤− m 8.Ph−ơng pháp đánh giá hai vế Ph−ơng pháp: Sử dụng bất đẳng thức để chứng minh VPVTVPVT ≤∨≥ và tìm điều kiện để dấu bằng xảy ra bài tập áp dụng: Bài 8.1: Giải các ph−ơng trình sau: 2152.1 2 =−++− xxx 11414.2 2 =−+− xx (ĐHQG Hà Nội-2001) Giải1: )1(2152.1 2 =−++− xxx Điều kiện: 101 0522 ≥⇔    ≥− ≥+− x x xx Ta có: ( ) xxxx ∀≥+−=+− 44152 22 VPxxxVT =≥−++−=⇒ 21522 Dấu bằng xảy ra khi x=1. Vậy pt đH cho có nghiệm duy nhất x=1 Giải 2: 11414.2 2 =−+− xx Điều kiện: 2 1 2 1 4 1 ≥⇔       ≥ ≥ x x x Vậy VPxxVT =≥−+−= 11414 2 Dấu bằng xảy ra khi 2 1 014 114 2 =⇔    =− =− x x x Vậy pt đH cho có nghiệm: 2 1=x Bài 8.2: Giải các ph−ơng trình sau: xxxxxxx 32 +++=++ Giải: Điều kiện: 0≥x Nhận thấy x=0 là một nghiệm của ph−ơng trình Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 20 -- Với x>0 xxxxxxx xxxx xxx 32 32 +++<++⇒     +<+ +< Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x>0 Kết luận:nghiệm x=0 Bài 8.3: Giải các ph−ơng trình sau: 0321 333 =+++++ xxx Giải: Nhận thấy x=-2 là một nghiệm Với x>-2 thì x+1>-1 0 13 02 11 3 3 3 >⇒       >+ >+ −>+ ⇒ VT x x x Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x>-2 T−ơng tự với x<-2 0 13 02 11 3 3 3 <⇒       <+ <+ −<+ ⇒ VT x x x Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x<-2 Kết luận : nghiệm x=0 Bài tập làm thêm : Căn bậc ba. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1. 1 2 2 3; 2. 5 6 2 11; 3. 1 3 1 1; 4. 1 1 2 5. 2 1 2 1 2; x x x x x x x x x x x x x x x − + − = − + + + = + + + + = − + + − = + − + − − = Bài tập. Giải các PT sau: 2 3 2 2 2 2 1. 2 5 1 2; 2. 2 7 11 25 12 6 1; 1 1 3. 2 2 4 ; 4. 2 1 3 4 1 1; x x x x x x x x x x x x x x x x − + + − = − + − = + −  − + − = − +    − − + + − − = Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 21 -- ( ) 2 2 3 2 2 5. 1 1 2; 6. 1 2 2 1 2 2 1; 7. 2 2 1 2 1 3; 8. 2 5 3 3 2 6 1; x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − + + − = − + − − − − − = + − − − − = + + + − = + − 2 6 9. 2 1 19 2 10 24 x x x x − + − = − + − 2 2 3 3 4 43 3 4 410. 1 1 1 1 1 1 6;x x x x x x+ + − + + + − + + + − = 4 4 411. 1 1 2 8;x x x x+ − + + − = + 4 24 2 4 4 34 2 44 4 12. 2 3 4; 13. 2 1; 14. 2 2 4; 5 15. 2 2 1 2 2 1 ; 2 x x x x x x x x x x x x x x x x − = − + − = − + + + − + − = + + + + + + − + = 16. 3 4 1 15 8 1 6; 17. 6 9 6 9 6; 18. 5 4 1 2 2 1 1; 19. 2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4; x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + − + + − − = + − + − − = + − + + + − + = − − − + − − + + − − = 9.Ph−ơng pháp Tam thức bậc hai Dạng : Bài toán biện luận số nghiệm của ph−ơng trình f(x)=m theo tham số m. Trong đó ta đặt đ−ợc: ( ) ( )0≥= ttxu ; Bài toán khi đó trở thành :Biện luận theo m số nghiệm của ph−ơng trình bậc hai 02 =++ cbtat Bảy bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số, hai số: 21 21 21 ,3 ,2 ,1 xx xx xx << << << α α α βα βα βα βα βα <<<    <<< <<< <<< <<< 21 21 21 21 21 ,7 ,6 ,5 ,4 xx xx xx xx xx Ba bài toán cơ bản của tam thức bậc hai: 1, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc R Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 22 -- 2, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc khoảng (α;+∞); 3, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc khoảng (α;β); bài tập áp dụng: -------------------------------------------------------------------------- Bài 9.1:Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm ( )( ) 01562 =−−++− xxmxx (CĐ SP HCM-2001). -------------------------------------------------------------------------- Giải: Điều kiện: 51 ≤≤ x Đặt ( )( ) ( ) 2043415 22 ≤≤⇒≤−−=⇒=−− txttxx Bài toán đH cho trở thành: Tìm m để ph−ơng trình t2-t+5-m=0 có nghiệm [ ]2;0∈t ,nghĩa là      <≤< ≤≤≤ ≤≤≤ 20 20 20 21 21 21 tt tt tt Hệ điều kiện trên t−ơng đ−ơng với: ( ) ( ) ( ) ( )                  << > > ≥∆ ≤ 2 2 0 02 00 0 02.0 s f f ff ( )( ) 7 4 19 2 2 1 0 7 5 4 19 075 ≤≤⇔                     << < < ≥ ≤−− ⇔ m m m m mm -------------------------------------------------------------------------- Bài 9.2:Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm mxxxx ++−=−+ 99 2 (CĐ Y HCM-1997). -------------------------------------------------------------------------- Giải: Điều kiện: 90 ≤≤ x Đặt : ( ) ( ) 4 81 2 9 4 1 09 2 2 ≤      −−=⇒≥=− xtttxx 2 9 0 ≤≤⇒ t Bài toán đH cho trở thành: Tìm m để ph−ơng trình t2-2t+m-9=0 Lê Thị Ph−ơng Hoa Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 23 -- có nghiệm    ∈ 2 9 ;0t ,nghĩa là          <≤< ≤≤≤ ≤≤≤ 2 9 0 2 9 0 2 9 0 21 21