Giáo án lớp 12 môn Đại số - Phương trình, bất phương trình vô tỷ

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Mục lục Bản quyền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84 Từ khóa : pham hong phong, Phuong trinh vo ty Phương pháp lũy thừa Nội dung phương pháp Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - phương pháp lũy thừa. Sau đây là các quy tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp này. * Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ +) . +) . * Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình vô tỷ . . . . . . Một số ví dụ GPT . Giải Ta có . . Vậy tập nghiệm của là . [ĐHD06] GPT . Giải Ta có . . . Tập nghiệm của là . [ĐHA05] GBPT . Giải ĐK: . Ta có: (do ) Kết hợp điều kiện tập nghiệm của là . [ĐHA04] GBPT . Giải ĐK: . Ta có: (TMĐK). Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . GPT . Giải ĐK: . Ta có (không TMĐK). Vậy vô nghiệm. GPT . Giải ĐK: . Ta có . Thử lại ta thấy chỉ là nghiệm của . Vậy có nghiệm duy nhất . Nhận xét: +) Hai phương trình: và nói chung là không tương đương. Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại. +) Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng. Trong ví dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế. Nhờ thế mà sau khi bình phương, ta giản ước được ở hai vế. Biện luận số nghiệm của PT . Giải Ta có . Do đó số nghiệm của bằng số nghiệm thỏa mãn của nên bằng số điểm chung của đường thẳng với đồ thị hàm số (). Ta có . . Kết luận: * : vô nghiệm. * : có nghiệm. * : có nghiệm. * : có nghiệm. [ĐHB06] Tìm để PT sau đây có hai nghiệm phân biệt . Giải Ta có . là phương trình bậc hai có luôn có hai nghiệm phân biệt , . Theo định lý Vi-ét thì . có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng . Thay vào ta thu được . Vậy có hai nghiệm phân biệt . Chú ý: Ví dụ trên có thể được làm bằng cách khác như sau: Biến đổi về dạng: . có hai nghiệm phân biệt có hai điểm chung với ĐTHS , . Bài tập Giải các phương trình sau . . . . . . Giải các phương trình sau . . . Giải các phương trình sau . . . Giải các bất phương trình sau . . . . . . Giải và biện luận theo các phương trình . . [ĐHB07] Chứng minh với mọi , phương trình có hai nghiệm phân biệt. Giải và biện luận theo các bất phương trình sau . . Đáp số Bài 1 1) . 2) 3) . 4) , . 5) , . 6) . Bài 2 1) . 2) vô nghiệm. 3) . Bài 3 1) , . 2) , . 3) , , . Bài 4 1) . 2) hoặc . 3) . 4) hoặc . 5) . 6) . Bài 5 1) hoặc : vô nghiệm, hoặc : . 2) hoặc : vô nghiệm, : , : . Bài 7 1) : , : hoặc . 2) : , : , : . Phương pháp ẩn phụ Nội dung phương pháp Dùng ẩn phụ là một phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng. Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau: +) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ. +) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ. +) Đặt một ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ. +) Đặt hai ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ. Một số ví dụ Giải các PT . . Giải Đặt , ta thu được phương trình Thay vào ta có . Vậy tập nghiệm của phương trình là . . Đặt , ta thu được phương trình . Thay vào ta có . Vậy tập nghiệm của phương trình là . Giải các phương trình . . Giải Ta thấy không phải nghiệm của nên . Đặt , ta thu được phương trình . Thay vào ta có . Vậy tập nghiệm của phương trình là . Ta thấy không phải nghiệm của nên . Đặt , ta thu được phương trình (do )                      . Thay vào ta có . Vậy tập nghiệm của phương trình là . Giải các phương trình . . Giải Đặt . Với phép đặt ẩn phụ như trên trở thành . Thay vào ta được . Xét : ĐK: . * Dễ thấy là nghiệm của . * không phải nghiệm của . Vậy có nghiệm duy nhất . . Đặt . Với phép đặt ẩn phụ như trên trở thành . Thay vào ta được . Xét : ĐK: . * Dễ thấy là nghiệm của . * không phải nghiệm của . * không phải nghiệm của . Vậy có nghiệm duy nhất . Tìm để phương trình sau có nghiệm: . Giải Đặt . Phương trình trở thành: Khi đó phương trình trở thành: . Xét hàm . Ta có . Ta thấy , dấu bằng xảy ra ; , dấu bằng xảy ra . Do đó tập giá trị của hàm là , thành thử có nghiệm . Vậy có nghiệm có nghiệm . Chú ý: Điều kiện phương trình có nghiệm: có nghiệm đường thẳng có điểm chung với đồ thị hàm số . có nghiệm thuộc tập giá trị của hàm số . Trong ví dụ trên, ta dùng điều kiện thứ hai để tìm điều kiện phương trình có nghiệm. Về việc tìm tập giá trị của hàm số , ta có thể dùng khẳng định sau: Nếu đạt giá trị nhỏ nhất là tại , đạt giá trị lớn nhất là tại và liên tục trên đoạn với hai đầu mút , thì tập giá trị của là . Giải phương trình . Giải Đặt , trở thành: . Thay vào ta có . Thay vào ta có . Vậy tập nghiệm của phương trình là . Giải phương trình . Giải Đặt . Thay vào , ta có . Ta có hệ gồm hai phương trình và : (thay phương trình dưới vào phương trình trên) (thay phương trình trên vào phương trình dưới) Ta có . Do đó, hệ nói trên tương đương với . Vậy tập nghiệm của là . Chú ý: Định lý Vi-ét đảo Xét hệ và phương trình . Khi đó: có nghiệm có nghiệm. Trong trường hợp có nghiệm và thì: . [ĐHA09] Giải phương trình . Giải Đk: . Đặt . Ta có . Thay vào , ta được . Thay vào , ta có:                                       . Thay vào , ta được . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . Bài tập Giải các phương trình, bất phương trình sau: . . . . . . . . Cho phương trình . Giải phương trình với . Tìm để phương trình có nghiệm. Tìm để BPT có nghiệm . Tìm để BPT nghiệm đúng với mọi . Giải các PT sau: . . . Giải các PT sau: . . . . [ĐHA07] Tìm để phương trình sau có nghiệm: . Giải các phương trình: . . . . . . Với giá trị nào của thì phương trình: có nghiệm. Giải các phương trình sau . . . Đáp số Bài 1 1) . 2) . 3) , . 4) , . 5). 6) . 7) . 8) . Bài 2 1) , . 2) .Bài 3 . Bài 4 .Bài 5 1) . 2) , . 3) , . Bài 6 1) . 2) , . 3) , . 4) Bài 7 . Bài 8 1) , , . 2) . 3) , . 4) , . 5) , . 6) . Bài 9 . Bài 10 1) , . 2) , . 3) . Phương trình và bất phương trình tích Nội dung phương pháp Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích. Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số phép biến đổi đơn giản. Việc sử dụng biểu thức liên hợp đôi khi cho ta lời giải bất ngờ. Về biểu thức liên hợp, ta cũng cần biết: Biểu thức liên hợp của là : . Biểu thức liên hợp của là : . . Một số ví dụ Giải phương trình . Giải (ĐK: ) . Ta thấy cả giá trị và đều thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghĩa. Vậy tập nghiệm của phương trình là . [ĐHD02] Giải bất phương trình . Giải Đk: . hoặc hoặc hoặc . Kết hợp với điều kiện để có nghĩa, ta có tập nghiệm của là: . Giải phương trình . Giải Đk: . Ta có (do = ) (thỏa mãn điều kiện để có nghĩa). Vậy có nghiệm duy nhất . [ĐHB10] Giải phương trình . Giải Đk: . Ta có (do ) (thỏa mãn ). Vậy có nghiệm duy nhất . Bài tập Giải các phương trình . . . . Giải các phương trình, bất phương trình sau: . . . . Đáp số Bài 1 1) , . 2) . 3) , . 4) . Bài 2 1) . 2) . 3) . 4) . Một số phương pháp đặc biệt Một số ví dụ [ĐHD05] Giải phương trình . Giải Đk: . Ta có Do đo (thõa mãn ). Vậy có nghiệm duy nhất . Giải phương trình . Giải Đk: . (thỏa mãn ). Vậy có nghiệm duy nhất . Giải phương trình . Giải ĐK: . Đặt .Ta có đồng biến trên . Do đó nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Ta thấy là nghiệm của nên có nghiệm duy nhất . [ĐHA10] Giải bất phương trình . Giải Ta thấy . Do đó . Điều kiện để có nghĩa: . . Ta có (thõa mãn , ). Vậy có nghiệm duy nhất . Giải phương trình . Giải Đk: . Ta thấy: . Lại có: . Do đó . Vậy có nghiệm duy nhất . Bài tập Giải các phương trình . . . . . . Giải các phương trình sau . . Đáp số Bài 1 1) . 2) , . 3) , . 4) . 5). 6) . Bài 2 1) . 2) .