Giáo án Lớp 12 môn Đại số - Phương trình mặt cầu

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Phương trình mặt cầu A. Tóm tắt lý thuyết * Phương trình      2 2 2 20 0 0x x x x x x R      , với 0R  , là phương trình chính tắc của mặt cầu tâm  0 0 0I x ; ;y z , bán kính R . * Phương trình 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d       , với điều kiện 2 2 2a b c d   , là phương trình tổng quát của mặt cầu tâm  ; ;I a b c , bán kính 2 2 2R a b c d    . B. Các dạng toán hay gặp Dạng 1. Lập phương trình mặt cầu  Nguyên tắc chung Để lập phương trình mặt cầu ta có hai phương pháp sau. Phương pháp 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu. Phương pháp 2: Xác định các hằng số a , b , c , d trong phương trình tổng quát.  Một số ví dụ Ví dụ 1. Viết phương trình mặt cầu  S có tâm là điểm  1;1;1I và tiếp xúc với mặt phẳng   : 10 0P x y z    . Giải Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  P nên bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng  P , tức là    7, 3 R d I P  . Vậy        2 2 2 49: 1 1 1 3 S x y z      . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 Ví dụ 2. Cho  0; 3;0A  ,  4;0;0B ,  0;3;0C ,  4;0;4D . Viết phương trình mặt cầu  S có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng  BCD . Giải Ta có  4;3;0BC   ,  0;0;4BD  .  BCD là mặt phẳng đi qua điểm  4;0;0B và có véc-tơ pháp tuyến là  , 12;16;0n BC BD       . Lại có véc-tơ n  cùng phương với véc-tơ  ' 3;4;0n  . Do đó    : 3 4 4 0P x y   , hay   : 3 4 12 0P x y   . Bán kính R của mặt cầu chính là khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng  BCD . Do đó    12, 5 R d A BCD  . Vậy    22 23 25 144: x y zS     . Ví dụ 3. Cho bốn điểm  1;2;2A ,  1;2; 1B   ,  1;6; 1C  và  1;6;2D  . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . ĐS:    222 12 294 4 x y z     . Ví dụ 4. [D04] Cho ba điểm  2;0;1A ,  1;0;0B ,  1;1;1C và mặt phẳng   : 2 0P x y z    . Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A , B , C và có tâm thuộc mặt phẳng  P . ĐS:    2 2 21 1 1x y z     . Ví dụ 5. [D08] Cho bốn điểm  3;3;0A ,  3;0;3B ,  0;3;3C và  3;3;3D . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 Đáp số: 2 2 23 3 3 27 2 2 2 4 x y z                      . Ví dụ 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , biết các đỉnh  S 3;2;4 ,  A 1;2;3 ,  C 3;0;3 . Gọi H là tâm hình vuông ABCD . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 Dạng 2. Sự tương giao của mặt cầu và mặt phẳng Ví dụ 7. Cho   :16 15 12 75 0P x y z    . 1) Lập phương trình mặt cầu  S có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc mặt phẳng  P . 2) Hãy tìm tọa độ tiếp điểm H của  P với  S . Ví dụ 8. Cho mặt cầu   2 2 2: 4S x y z   và mặt phẳng   : 2P x z  . Chứng minh rằng mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S . Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn  C là giao tuyến giữa  P và  S . Ví dụ 9. Cho mặt cầu        2 2 2: 1 1 1 9S x y z      và họ mặt phẳng   2: 2 2 3 0mP x y z m m     ( m là tham số). 1) Cho 2m  . Chứng minh rằng mặt phẳng  2P tiếp xúc với  S . Tìm tọa độ tiếp điểm. 2) Xác định m để  mP cắt  S theo một đường tròn có bán kính 2 2r  . Ví dụ 10. Cho các đường thẳng 1 1 2 3: 1 2 3 x y zd     , 2 1 2 3: 1 1 1 x y zd     và mặt cầu    2 2 2: 1 1 S x y z    . Lập phương trình mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S biết rằng  P song song với cả hai đường thẳng 1d và 2d . Ví dụ 11. Cho đường thẳng 1 2 3: 2 1 2 x y zd     và các mặt phẳng  1 6 : 2 0P x y z    ,  2 : 2 2 1 0P x y z    . Lập phương trình mặt cầu  S có tâm nằm trên d và tiếp xúc với hai mặt phẳng  1P ,  2P . Ví dụ 12. Hỏi tương tự bài 11 với đường thẳng 1 1 1: 2 2 1 x y zd      và các mặt phẳng  1 6 : 2 0P x y z    ,  2 : 2 2 0P x y z    . Ví dụ 13. Hãy viết phương trình mặt phẳng: 1) Tiếp xúc với mặt cầu   2 2 2: 2 4 6 2 0S x y z x y z       và song song với mặt phẳng  P : 4x 3y 12z 1 0    . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 2) Chứa 2 1 0 : 1 0 x y d x y z         và tiếp xúc với mặt cầu   2 2 2: 2 4 6 2 0S x y z x y z       . Tìm toạ độ tiếp điểm. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 Dạng 3. Sự tương giao của mặt cầu và đường thẳng Ví dụ 14. Cho đường thẳng 5 4 3 20 0 : 3 4 8 0 x y z x y z           và điểm  2;3; 1I  . 1) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng  . 2) Viết phương trình mặt cầu  S tâm I và cắt đường thẳng  tại hai điểm phân biệt A , B sao cho 8AB  . Ví dụ 15. Cho mặt cầu   2 2 2: 2 6 4 13 0S x y z x y z       . Viết phương trình đường thẳng d qua O , nằm trong mặt phẳng  P : x y z 0   và tiếp xúc với  S . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 Dạng 4. Bài tập tổng hợp Ví dụ 16. [B07] Cho mặt cầu   2 2 2: 2 4 2 3 0S x y z x y z       và mặt phẳng   : 2 2 14 0P x y z    . 1) Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa trục Ox và cắt  S theo một đường tròn có bán kính bằng 3 . 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu  S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P lớn nhất. Đáp số: 1)   : 2 0Q y z  . 2)  1; 1; 3M    . Ví dụ 17. Cho mặt phẳng   : 2 2 5 0P x y z    và điểm  1;2; 1I  . 1) Lập phương trình mặt cầu  S tâm I sao cho giao tuyến của mặt cầu  S và mặt phẳng  P là đường tròn có chu vi bằng 8 . 2) Chứng minh rằng mặt cầu  S nói trên tiếp xúc với đường thẳng : 2 2 3x y z     . 3) Lập phương trình mặt phẳng đi qua  và tiếp xúc mặt cầu  C . Ví dụ 18. Cho mặt phẳng  P : x y z 1 0    và đường thẳng 11 1 1: yx zd   . 1) Tính thể tích của khối tứ diện ABCD , biết A , B , C là giao điểm tương ứng của  P với các trục Ox , Oy , Oz , D là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng Oxy . 2) Viết phương trình mặt cầu  S qua các điểm A , B , C , D . 3) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu  S với mặt phẳng  ACD . Ví dụ 19. Cho hai mặt cầu:   2 2 21 : 2 4 1 0S x y z x z      ,   2 2 22 : 2 3 0S x y z x     . 1) Chứng minh rằng  1S có giao với  2S . 2) Lập phương trình mặt cầu qua giao tuyến của  1S và  2S đồng thời qua điểm  M 3;0;0 .