Giáo án lớp 12 môn Đại số - Phương trình và bất phương trình bậc 2

Phương trình và bất phương trình bậc 2 Phương trình bậc 2 Định lí viét Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) Nếu phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thì Một số ứng dụng của định lí viét + Nhẩm nghiệm : Nếu a + b + c = 0 thì (1) có 2 nghiệm x = 1 và x = Nếu a – b + c = 0 thì (1) có 2 nghiệm x = -1 và x = - + So sánh các nghiệm của phương trình với 0 (dấu các nghiệm của phương trình ) Phương trình (1) có các nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 P < 0 (không cần đk ∆ ≥ 0) 0 x1 chú ý : khi sử dụng định lí viét tuyệt đối không được quên điều kiện phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0) ví dụ 1 : tìm m để phương trình 3x2 + 4(m-1)x + m2 -4m +1 = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn Giải Phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 ≠ 0 ví dụ 2 : cho phương trình x2 - (m+5)x + m = 0 CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức A = x12 + x22 , B = ví dụ 3 : cho phương trình mx2 -(2m+3)x + m - 4 = 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m So sánh 1 số với các nghiệm của phương trình Để so sánh α với các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta có các cách + đặt t = x ± α đưa về so sánh nghiệm của phương trình ẩn t với 0 + tính các nghiệm của phương trình rồi so sánh với 0 + lập bảng biến thiên của hàm số f(x) = ax2 + bx + c ví dụ 1 : xét dấu các nghiệm của phương trình x2 – mx +3m -8 = 0 Giải Ta có ∆ = m2 – 12m + 32 , ∆ = 0 Nếu phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thì theo định lí viét S = x1 + x2 = m , P = x1x2 = 3m – 8 => x1 + x2 = 0 m = 0 và x1x2 = 0 Bảng xét dấu các nghiệm của phương trình m ∆ S P Dấu các nghiệm của phương trình - ∞ 0 4 8 +∞ + - - Phương trình có hai nghiệm trái dấu 32 0 -8 Phương trình có hai nghiệm trái dấu + + - Phương trình có hai nghiệm trái dấu + + 0 Phương trình có nghiệm bằng 0 và nghiệm lớn hơn 0 + + + Phương trình có hai nghiệm dương 0 + + Phương trình có nghiệm kép dương - Phương trình vô nghiệm 0 + + Phương trình có nghiệm kép dương + + + Phương trình có hai nghiệm dương ví dụ 2 : tìm m để phương trình (m-1) x2 + mx - m = 0 có 2 nghiệm trái dấu 2 nghiệm dương 1 nghiệm > 1 Giải Phương trình có 2 nghiệm trái dấu Phương trình có 2 nghiệm dương ví dụ 3 : biện luận theo m số nghiệm của các phương trình x4 -2mx2 + m + 12 = 0 x2 -2x + m + m2 -2 = 0 Bất phương trình bậc 2 Định lí về dấu của tam thức bậc 2 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có biệt số ∆ = b2 - 4ac Khi đó nếu + ∆ 0 (dấu của f(x) cùng dấu với dấu của a ) ∀ x + ∆ = 0 thì af(x) > 0 ( dấu của f(x) cùng dấu với dấu của a ) ∀ x ≠ - Tại x= - f(x) = 0 tức f(x) không mang dấu + ∆ > 0 thì tam thức có 2 nghiệm x1 , x2 và af(x) 0 Tức là trong khoảng 2 nghiệm của f(x) dấu của f(x) trái dấu với dấu của a , ngoài khoảng 2 nghiệm của f(x) dấu của f(x) cùng dấu với dấu của a Bất phương trình bậc 2 + Giải bất phương trình bậc 2 nói riêng và bất phương trình bất kì (có dạng g(x) > 0 ) nói chung là ta xét dấu của f(x) (hoặc g(x)) rồi lấy những giá trị của x sao cho phù hợp với chiều của bất phương trình + Khi muốn so sánh các nghiệm của bất phương trình với số ta làm như so sánh các nghiệm của phương trình với ví dụ 1 Biện luận theo m các bất phương trình sau x2 - 2(m-1)x + 1 > 0 (m+1)x2 - 2mx + m ≤ 0 ví dụ 2 tìm m để các bất phương trình sau x2 - 2mx - m2 – m > 0 có nghiệm thuộc (1 ;2) (m+1)x2 - 2mx + m ≤ 0 có nghiệm x > 1 Bài Tập Bài 1 : Cho phương trình 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m +3 = 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 Tìm m để biểu thức A = đạt giá trị lớn nhất Bài 2 : cho phương trình x2 - mx + (m-2)2 = 0 Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức F = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài 3 : Tìm m sao cho x2 -2(m+1)x + m2 – 7 = 0 có nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 = 9x2 b) x2 - (m+2)x + m2 + 1 = 0 có nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22 = 3x2x2 x2 - mx + 1 = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x17 + x27 = - 7m x2 - mx + 1 = 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 x2 + 2 mx + 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn Bài 4 : Tìm m để phương trình mx2 -2(3-m)x + m – 4 = 0 có đúng một nghiệm âm Phương trình , bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối và phương trình , bất phương trình vô tỉ Phương trình , bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối Khi giải phương trình, bất phương trình có chứa dấu trị tuyệt đối ta thường phá dấu trị tuyệt đối dựa vào + vậy để phá dấu trị tuyệt đối của 1 biểu thức ta chỉ cần xét dấu của biểu thức đó + ví dụ 1 : Giải các phương trình sau ví dụ 2 : Giải và biện luận các phương trình sau ví dụ 3 : Giải các bất phương trình sau Phương trình , bất phương trình vô tỉ Khi giải phương trình , bất phương trình vô tỉ (phương trình , bất phương trình có chứa dấu căn ) ta thường làm mất dấu căn dựa vào + + Một số dạng phương trình vô tỉ thường gặp + + Một số dạng bất phương trình vô tỉ thường gặp + + Chú ý : + Khi bình phương hai vế của A = B (A > B ) thì A và B phải cùng dấu ( A và B cùng dấu dương ) + khi tách và ví dụ 1 : Giải các phương trình sau ví dụ 2 : Tìm m để các phương trình sau có nghiệm a) b) x = m - ví dụ 3 : cho phương trình Giải phương trình với m = 9 Tìm m để phương trình có nghiệm ví dụ 4 : Giải các bất phương trình sau ví dụ 4 : tìm m để bất phương trình nghiệm đúng Bài Tập Bài 1 : Giải các phương trình sau Bài 2 : Tìm m để các phương trình sau có nghiệm x-m = Bài 3 : cho phương trình Giải phương trình với m = 3 Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 4 : Giải các bất phương trình sau Bài 5 : Cho bất phương trình Giải bất phương trình với m = -2 Tìm m để bất phương trình có nghiệm Phương trình , bất phương trình bậc cao I . Phương trình bậc cao Để giải phương trình bậc cao ta có thể Đưa về phương trình tích Cho phương trình anxn + an-1xn-1 + .. + a1x + a0 = 0 (an ≠ 0 , n ≥ 3) (1) để giải phương trình (1) ta có thể đưa về phương trình tích bằng cách áp dụng các lý thuyết + Nếu f(x) = anxn + an-1xn-1 + .. + a1x + a0 có nghiệm x0 f(x0) = 0 f(x) x – x0 f(x) = (x-x0)g(x) (g(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của f(x) 1 bậc ) , để tìm g(x) ta lấy f(x) chia cho g(x) , khi chia có thể dùng lược đồ sau + Lược đồ Hoocne an an-1 .. . a1 a0 x0 bn-1 = an bn-2 = x0bn-1 + an-1 . . . b0 = x0b1 + a1 dư (thực chất là chia đa thức cho đa thức bậc nhất x – x0) + Nếu phương trình (1) có nghiệm hữu tỉ thì p là ước của a0 , q là ước của an ví dụ 1 : Giải các phương trình sau 2x3 + 7x2 - 28x + 12 = 0 x3 -12x + 16 = 0 x4 + x3 - 7x2 – x + 6 = 0 36x5 - 72x4 - 25x3 + 50x2 + 4x – 8 = 0 ví dụ 2 : Tìm m để các phương trình sau x3 + (m-1)x2 - (m-2)x + 2 = 0 có nghiệm x > 1 x3 - x2 - (m2- m -1)x - m = 0 có nghiệm âm Đổi biến số Giải phương trình theo phương pháp đổi biến có thể thực hiện theo các bước sau + B1 : đổi biến , tìm điều kiện cho biến mới (tìm đk đúng hoặc thừa ) hoặc có thể không cần tìm điều kiện cho biến mới + B2 : Giải phương trình với biến mới + B3 : Trả lại biến ban đầu Chú ý : + có 2 hướng đổi biến là : đổi hết biến hoặc trong phương trình vẫn còn biến cũ + Tìm điều kiện cho biến mới thực chất là tìm tập giá trị của hàm số đối với biến mới vì vậy khi tìm điều kiện cho biến mới ta có tất cả các phương pháp tìm tập giá trị của một hàm số Một số dạng phương trình giải bằng phương pháp đổi biến (x + a)4 + (x + b)4 = c đặt t = x + ax4 + bx2 + c = 0 đặt t = x2 ≥ 0 ax 4 + bx3 + cx2 ± bx + a = 0 ( a ≠ 0) đặt t = x ± hoặc t = x2 ± 1 x 4 + ax3 + bx2 + cx + = 0 ( a ≠ 0) đặt t = x2 + a2x 4 + 2abx3 +(±a+ b2)x2 ± bx + c = 0 ( a ≠ 0) đặt t = ax2 + bx (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m với a+ b = c + d đặt t = x2 + (a + b)x + ab af(x)2 + bf(x)g(x) + cg(x)2 = 0 đặt t = ví dụ 1 : Giải các phương trình sau (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 9 (x + 2)4 + x4 = 82 x4 -10x3 + 23x2 -10x +1 = 0 x4 + 2x3 - 20x2 +4x + 4 = 0 4x4 +52x3 + 171x2 +13x - 30 = 0 Ví dụ 2 : tìm m để các phương trình sau x(x+1)(x+4)(x+3) = m có nghiệm x4 + 3x3 + 5mx2 +3x + 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt (x-1)4 + (x+3)4 = m + 1 có nghiệm Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình Ví dụ : Giải các phương trình sau a) b) x2 - = 5 c) Đánh giá (sử dụng bất đẳng thức , khảo sát hàm số .) Khi giải phương trình f(x) = g(x) ta đánh giá hoặc Khi đó f(x) = g(x) nghiệm của hệ là nghiệm của phương trình Ví dụ : Giải phương trình Lượng giác hoá Khi giải phương trình nếu biến x của phương trình có đặc điểm với k > 0 thì luôn sao cho Nếu a2x + b2x = c2 (a , b, c > 0) thì luôn sao cho Nếu trong pt có biểu thức thì đặt với Nếu trong pt có biểu thức thì đặt với Nếu trong pt có biểu thức thì đặt với Ví dụ : Giải các phương trình Chú ý : Ngoài các phương pháp trên còn có thể sử dụng một số mẹo giải sau Đồng nhất thức (tham số hoá ) ví dụ : Giải phương trình x4 = 3x2 + 10x + 4 Giải Tìm a , b sao cho x4 – 3x2 -10x – 4 = (x2 + ax + b)(x2 – ax - ) Nhân biểu thức liên hợp ví dụ : Giải phương trình Tìm nghiệm cố định (coi tham số là biến ) Ví dụ : Giải và biện luậnphương trình x3 – (m-1)x2 + 3mx – 2m – 2 = 0 Tìm trục đối xứng ví dụ : Giải phương trình x4 - 4x3+3x2+2x -1= 0 II. Bất phương trình bậc cao + Để xét dấu biểu thức f(x) ta thực hiện các bước Giải phương trình f(x) = 0 ta được các nghiệm x1 , x2 , .. xn Sắp xếp các nghiệm x1 , x2 , .. xn trên trục số giả sử : x1 < x2 <, ..< xn Xét dấu f(x) trên 1 khoảng bất kì chẳng hạn (x1 ; x2) dựa vào nguyên tắc dấu của f(x) / (x1 ; x2) là dấu của f(x0) với x0 ∈ (x1 ; x2) Dấu của f(x) trên các khoảng còn lại có được bằng cách áp dụng nguyên tắc dấu của f(x) trên 2 khoảng liền kề nhau là trái dấu nhau + Giải bất phương trình f(x) > 0 ta thực hiện theo các bước Xét dấu f(x) Nghiệm của bất phương trình là những giá trị x sao cho f(x) > 0 ví dụ 1 : Giải các bất phương trình sau 2x3 – 13x2 -3x + 2 > 0 9x4 – 9x3 – 10x2 + x + 1 ≤ 0 Bài Tập Bài 1 : Giải các phương trình sau x4 -5x2 - 2x + 3 = 0 (x2-2x+2)4 -20x2(x2-2x+2)2 + 64x4 = 0 x4 - x3 - 10x2 – x + 1 = 0 x4 +2x3 - 17x2 -2x + 4x +1 = 0 x4 - 9x3 + 16x2 +18x + 4 = 0 (x+4)4 + (x+6)4 = 82 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 3 (4x+1)(12x-1)(3x+2)(x+1) = 4 Bài 2 : Tìm m để các phương trình sau (x-1)(x+1)(x+3)(x+5) = m có nghiệm x4 + mx3 + 2mx2 +mx + 1 = 0 có nghiệm (x+2)4 + (x+6)4 = m2 - 2 có nghiệm Bài 3 : giải các bất phương trình sau Sự tương giao giữa hai đường (hai đồ thị của hàm số) y=g(x) Cho hai hàm số y= f(x) (C) và y = g(x) (C1) y = f(x) A Gọi A(x0 ; y0) là giao của hai đường (C) và (C1) khi đó A (C) =>y0 = f(x0) => (x0;y0) là nghiệm của phương trình 2 biến y = f(x) tương tự A (C1) => =>y0 = g(x0) => (x0;y0) là nghiệm của phương trình 2 biến y = g(x) do đó (x0 ;y0) là nghiệm của hệ phương trình (I) Từ đó ta có hai bài toán ngược nhau Bài toán 1 : +Muốn tìm số giao điểm (tọa độ giao điểm )của (C) và (C1) ta giải hệ phương trình (I) (nghiệm của hệ chính là tọa độ giao điểm) +Muốn tìm số giao điểm (hoành độ giao điểm )của (C) và (C1) ta giải hệ phương trình f(x) = g(x) (gọi là phương trình hoành độ)(nghiệm của pt chính là hoành độ giao điểm) Bài toán 2 : +Muốn tìm số nghiệm của hệ pt (I) (nghiệm của hệ pt(I)) ta tìm số giao điểm của (C) và (C1) (tọa độ giao điểm của (C) và (C1) chính là nghiệm của hệ) +Muốn tìm số nghiệm của pt f(x) = g(x) (nghiệm của pt f(x) = g(x)) ta tìm số giao điểm của (C) và (C1) (hoành độ giao điểm của (C) và (C1) chính là nghiệm của pt) Nhận xét : +(C) và (C1) có thể là đường cong hoặc đường thẳng +phương trình 2 biến học ở lớp 10 + một điểm thuộc 1 đường khi tọa độ của điểm thỏa mãn pt của đường đó (đúng trong cả đại ,cả hình ) đã học ở hình học 10 +trong giải phương trình và hệ phương trình còn có 1 phương pháp dựa vào sự tương giao giữa các đường (thường áp dụng cho các pt , hpt có chứa tham số m) ví dụ 1 cho phương trình x3 + 4x2 – 11x - 2m + 5 = 0 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình Giải x3 + 4x2 – 11x - 2m +5 = 0 (1) x3 + 4x2 – 11x = 2m – 5 đặt y = f(x) = x3 + 4x2 – 11x ta có f’(x) = 3x2 + 8x -11 , f’(x) = 0 x= 1 , x = -113 bảng biến thiên x -∞ -113 1 +∞ y’ +∞ + 0 - 0 + y -∞ -6 121027 đồ thị Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số 2 2 2m-5 -6 121027 y = x3 + 4x2 – 11x (C)và đường thẳng(d) y = 2m – 5 ta có + nếu 2m-5 > 121027 hoặc 2m – 5 134554 hoặc m < -12 (d) cắt (C) tại 1 điểm + nếu 2m-5 = 121027 hoặc 2m – 5 = -6 hay m = 134554 hoặc m = -12 (d) và (C) có 2 điểm chung + nếu 2m-5 -6 hay -12 < m < 134554 (d) cắt (C) tại 3 điểm Kết luận + m > 134554 hoặc m < -12 phương trình có 1 nghiệm + m = 134554 hoặc m = -12 phương trình có 3 nghiệm (trong đó có 2 nghiệm trùng nhau hay có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép 1 nghiệm đơn ) + -12 < m < 134554 phương trình có 3 nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt Giải Phương trình có 3 nghiệm phân biệt -12 < m < 134554 Tìm m để phương trình có 3 nghiệm Giải Phương trình có 3 nghiệm -12 ≤ m≤ 134554 Tìm m để phương trình có nghiệm x>2 Giải Phương trình có nghiệm x>2 2m – 5 > 2 m > 72 (đường thẳng (d)phải cắt (C)tại điểm có hoành độ > 2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm Giải Phương trình có đúng 2 nghiệm âm 2m – 5>0 m > 52 Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm âm Giải Từ đồ thị hàm số ta thấy nếu phương trình có 2 nghiệm âm thì sẽ có 1 nghiệm dương Nên không có giá trị nào của m để phương trình có đúng 2 nghiệm âm Tìm m để phương trình có 2 nghiệm không dương Giải Phương trình có đúng 2 nghiệm âm 2m – 5>0 m > 52 Nhận xét: + bài toán biện luận là bài toán tổng quát của bài toán tìm m nên khi giải các bài toán tìm m (chủ yếu gặp trong thi) ta chỉ trình bày 1 phần nhỏ trong bài toán biện luận + trong giải phương trình lưu ý phân biệt thật rõ các từ ít nhất nghiệm , có nghiệm , có nghiệm phân biệt , nghiệm âm , nghiệm không âm , nghiệm dương , nghiệm không dương vv .. + đối với các bài toán như trên ta có thể quy về giao của nhiều đường khác nhau ví dụ như - y = x3 + 4x2 và y = 11x + 2m -5 y = x3 + 4x2 -11x +a và y = 2m -5 + a với a là hằng số do người giải chọn tuy nhiên ta thường chuyển hết phần biến về một phía và phần tham số về 1 phía rồi thêm bớt các số để được hàm số như mong muốn +đối với các bài toán như trên ta có thể quy về giao của 2 đường y = x3 + 4x2 – 11x - 2m + 5 và y = 0 (tức trục ox) khi đó ta có bảng biến thiên x -∞ -113 1 +∞ y’ +∞ + 0 - 0 + y -∞ -6-2m+5 121027-2m+5 Phương trình có 3 nghiệm phân biệt trục ox cắtđồ thị tại 3 điểm phân biệt -6-2m+5 < 0 < 121027-2m+5.... + trong thi để tiếp kiệm thời gian ta có thể không vẽ đồ thị của hàm số mà kết quả trên có thể dựa vào bảng biến thiên của hàm số ví dụ 2 biện luận theo m số giao điểm của đồ thị(Cm) của hàm y = mx3 – 2(m + 1)x2 +5x + m – 3 và trục ox Giải Số giao điểm của đồ thị hàm số y = mx3 – 2(m + 1)x2 +5x + m – 3 và trục ox(y =0) là số nghiệm của phương trình mx3 – 2(m + 1)x2 +5x + m –3 = 0 (1) (x - 1)[mx2-(m+2)x+3-m] = 0 Giải phương trình (2) + nếu m = 0 phương trình (2) trở thành -2x+3=0 x = phương trình (1) có 2 nghiệm + nếu m ≠ 0 xét (2) có nghiệm x = 1 -m +1 = 0 m = 1 khi đó (2) có nghiệm x = 1 và x = 2 => (1) có 3 nghiệm (trong đó có 2 nghiệm trùng nhau ) xét m ≠ 1 ta có = 5m2 – 8m + 4 > 0 m => (1) có 3 nghiệm phân biệt kết luận : + nếu m = 0 (Cm) cắt ox tại 2 điểm + nếu m = 1 (Cm) cắt ox tại 1 điểm và tiếp xúc tại 1 điểm + nếu (Cm) cắt ox tại 3 điểm phân biệt Nhận xét : + mx3 – 2(m + 1)x2 +5x + m –3 = 0 là phương trình dạng bậc 3 đầy đủ khi m ≠ 0 không có cách giải muốn biết được số nghiệm của phương trình này ta phải biến đổi m(x3-2x2+1) = 2x2 – 5x +3 m = ... (sau khi đã xét điều kiện ) dẫn đến khảo sát hàm số tuy nhiên các này tương đối phức tạp + khi gặp pt dạng trên ta thường tìm nghiệm không đổi bằng cách biến đổi m(x3-2x2+1) –( 2x2 – 5x +3) = 0 coi pt với ẩn là m tìm x để phương trình đúng m => => x = 1 tức pt luôn có nghiệm x = 1tadùng nhóm nhân tử để xuất hiện x-1 hoặc chia hoặc dùng lược đồ chia Bài tập Bài 1 cho phương trình x2 - 2(m+1)x + 1 = 0 tìm m sao cho phương trình chỉ có một nghiệm x > 1 Phương trình có ít nhất 1 nghiệm thoả mãn x > 1 + 2 x2 + m2– 4m -2 = 0 có 4 nghiệm phân biệt 2 x3 + x2 – x + 3m + 2 = 0 có nghiệm không dương có nghiệm Bài 2 tìm m để các phương trình sau x4 + 2 x2 – 3m = 0 có nghiệm dương - x3 + 6x2 – 3m + 2 = 0 có nghiệm x > 1 + 2 x2 + m2– 4m -2 = 0 có 4 nghiệm phân biệt 2 x3 + x2 – x + 3m + 2 = 0 có nghiệm không dương có nghiệm phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt Bài 2 biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị sau y = x3 + 2mx2 – x + 2 và y = x3 + 3x2 – 2 y = 2x3 + (m+1)x2 + 7m -2 và y = x2 -4mx + 4m - 4 y = 2x4 + (3m-1)x2 – 3m2 và y = x4 + mx2 – m Bài3 cho hàm số y = x3 - 3mx2 +(m2 - 1) x – m2 + 1với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương Bài 4 cho hàm số y = có đồ thị là (C) và đường thẳng (d) 2x – y + m = 0 CMR (d) luôn cắt (C) tại 2 điểm A , B thuộc 2 nhánh của (C) . Tìm m để AB nhỏ nhất Bài 5 : Tìm m để các phương trình sau có nghiệm (x2 + x + 1 )2 – 3x2 – 3x + m = 0 có nghiệm thuộc [-1;1] Bài 6 : Tìm m để các bất phương trình sau (x+1)(x-3) + 4(x-3) ≤ m có nghiệm Hệ phương trình Hệ phương trình đối xứng loại 1 Nhận biết : là hệ mà khi thay x và y cho nhau thì mỗi phương trình trong hệ không thay đổi (mỗi phương trình là phương trình đối xứng 2 ẩn ) Cách giải : đặt S = x + y , P = xy với S2 ≥ 4P (*) Thay S , P vào hệ ban đầu , giải hệ ta có được S , P thoả mãn đk (*) , khi đó x , y là nghiệm của phương trình t2 –St + P = 0 giải phương trình được nghiệm t = > x và y Chú ý : nếu hệ đối xứng loại 1có nghiệm (x0 ; y0) thì hệ cũng có nghiệm (y0 ; x0) => điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là x0 = y0 ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau ví dụ 2 : Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm ví dụ 3 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất Hệ phương trình đối xứng loại 2 Nhận biết : là hệ mà khi thay x và y cho nhau thì phương trình (1) của hệ trở thành phương trình (2) của hệ và ngược lại Cách giải : cho hệ đối xứng loại 2 lấy (1) – (2) ta được (x-y)h(x,y) = 0 từ đó dẫn đến hệ tương đương với 2 hệ và ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau ví dụ 2 : Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất Bài tập Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau Bài 2 : Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất Bài 3 : Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm Bài 4 : Giải các phương trình sau (x2 +2x -5)2 + 2(x2 + 2x - 5) = x+5 phương trình lượng giác Để giải được phương trình lượng giác cần nắm được Cách giải phương trình đại số Các công thức lượng giác Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản Cách giải một số phương trình lượng giác thường gặp Chú ý : Khi giải các phương trình lượng giác thường áp dụng 2 nguyên tắc đưa về cùng một hàm số lượng giác đưa về cùng hệ số góc Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Nhận biết : Là phương trình có dạng asinx + bcosx = c (a2 + b2 ≠ 0) (1) Cách giải : + cách 1 (1) đặt => phương trình trở thành (2) giải (2) ta có nghiệm của phương trình , từ (2) ta thấy để phương trình (1) có nghiệm thì + cách 2 nếu a ≠ 0 thì (1) đặt phương trình trở thành + cách 3 xét có là nghiệm của phương trình không Nếu không đặt đưa phương trình về ẩn t ví dụ1 : Giải các phương trình sau cos22x - sin4x = 1+ sin22x 4sin(x+)cosx = 3 + cos2x 4sin3xcos3x + 4cos3xsin3x + 3cos4x = 3 ví dụ2 : Tìm m để các phương trình sau (m-1)sinx – cosx = m có nghiệm thuộc 2sin2x – sinxcosx – cos2x = m có nghiệm Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx Nhận biết : Là phương trình có dạng asin2x + bsinxcosx + c.cos2x= d (1) Cách giải : + cách 1 áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi khi đó phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x + cách 2 xét có là nghiệm của phương trình không Nếu không chia 2 vế của phương trình (1) cho cos2x Chú ý : đối với phương trình đẳng cấp bậc 3 , bậc 4 ta áp dụng cách giải 2 ví dụ1 : Giải các phương trình sau sin3x - cos3x = sinxcos2x - sin2xcosx cos2x - sin2x = 1 + sin2x 3cos4x - 4cos2xsin2x + sin4x = 0 ví dụ2 : Tìm m để các phương trình sau cos2x - sinxcosx -2sin2x – m = 0 có nghiệm (m+3)sin2x +(m+3) sinxcosx + cos2x = 0 có nghiệm Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx Nhận biết : Là phương trình có dạng a(sinx ± cosx ) + bcosxsinx + c = 0 (1) Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = đk Ta có thay vào phương trình ta có phương trình bậc 2 đối với ẩn t ví dụ1 : Giải các phương trình sau Sinx + cosx – 2 sinxcosx + 1 = 0 6(sinx- cosx ) - sinxcosx = 6 Sin2x – 12(sinx - cosx) + 12 = 0 ví dụ2 : Tìm m để các phương trình sau m(sinx + cosx) + sin2x + m – 1 = 0 có nghiệm m(sinx + cosx) + sinxcosx + 1 = 0 có đúng một nghiệm thuộc Một số cách xét điều kiện của phương trình lượng giác ví dụ : giải các phương trình sau Cos3xtan5x = sin7x (1) Giải đk , k ∈ Z cos3x sin5x = sin7xcos5x sin8x = sin12x Kiểm tra điều kiện (pp giải phương trình nghiệm nguyên ) + với xét Bài tập Bài 1 Giải các phương trình sau Sin23x – cos24x = sin25x – cos26x Cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 với x ∈ [0 ;14] 3- tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 5sinx – 2 = 3(1- sinx)tan2x (2cosx - 1)( 2sinx + cosx) = sin2x – sinx Cos23xcos2x – cos2x = 0 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 Cos4x + sin4x + Bài 2 tìm m để phương trình 2(sin4x + cos4x) + cos4x + 2sin2x + m = 0 Có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn Bài 3 tìm m để phương trình Cos2x +2(1-m)cosx + 2m - 1 = 0 có 4 nghiệm trên Bài 4 tìm m để phương trình sau msin2x - 3cosxsinx – m - 1 = 0 có nghiệm thuộc Bài 5 cho phương trình m(sinx + cosx) + sin2x + m -1 = 0 tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc Bài 6 cho phương trình Sin3x + cos3x = msinxcosx tìm m để phương trình có nghiệm Bài 7 cho phương trình Sin3x - cos3x = m tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm x Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 8 cho phương trình Giải phương trình khi m = Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 9 cho phương trình Giải phương trình khi m = 4 Tìm m để phương trình có nghiệm Bài10 cho phương trình Tan3x – cot3x – 3(tan2x + cot2x) – 3(tanx - cotx) + m + 6 = 0 Giải phương trình khi m = 4 Biện luận theo m số nghiệm thuộc của phương trình Bài 11 cho phương trình Giải phương trình với m =1 Tìm m để phương trình có nghiệm Bài12 cho phương trình Giải phương trình với m =1 Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc phương trình mũ và bất phương trình mũ I . phương trình mũ Một số dạng phương trình thường gặp : af(x) = b ( 0 0 ) f(x) = logab af(x) = ag(x) ( 0 f(x) = g(x) af(x) = bg(x) ( 0 f(x) = g(x)logab b3a3f(x) + b2a2f(x) + b1af(x) + b0 = 0 đặt t = af(x) phương trình trở thành b3t3 + b2t2 + b1t + b0 = 0 b2af(x) + b1bf(x) + b0 = 0 với a.b = 1 đặt t = af(x) > 0 => bf(x) = b2a2f(x) + b1 (ab)f(x) + b0 b2f(x) = 0 chia cả 2 vế của phương trình cho b2f(x) > 0 ( hoặc a2f(x) , (ab)f(x) ) ta được đặt > 0 Lưu ý : + Muốn giải được phương trình mũ cần nắm chắc Cách giải phương trình bậc nhất , phương trình bậc 2 , phương pháp giải các phương trình khác như phương trình chứa ẩn ở mẫu , phương trình vô tỉ . Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ , đánh giá .. .. Phần định nghĩa , tính chất lũy thừa , lôgarit + Khi giải phương trình mũ thường áp dụng 2 nguyên tắc đó là: đưa về cùng cơ số và phần biến giống nhau Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau ( phương trình mũ cơ bản ) 6.9x – 13.6x + 6.4x = 0 Ví dụ 2 : Tìm m để các phương trình sau 4x – m.2x+1 + 2m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1 + x2 = 3 Bài tập Bài 1 Giải các phương trình sau 81x – 32x – 72 = 0 II .Bất phương trình mũ Một số dạng bất phương trình mũ thường gặp : giống như phương trình mũ ta chỉ việc thay dấu ‘ = ‘ bằng dấu > , < , ≥ , ≤ Lưu ý : + Muốn giải đượcbất phương trình mũ cần nắm chắc Cách giải bất phương trình bậc nhất ,bất phương trình bậc 2 , phương pháp giải các bấtphương trình khác như bấtphương trình chứa ẩn ở mẫu , bấtphương trình vô tỉ . Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ , đánh giá .. .. Phần định nghĩa , tính chất lũy thừa , lôgarit + Khi giải bất phương trình mũ thường áp dụng 2 nguyên tắc đó là: đưa về cùng cơ số và phần biến giống nhau + hàm số y = ax đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1 Ví dụ 1 : Giải các bất phương trình sau ( bất phương trình mũ cơ bản ) > 1 Giải > 1 x2 – 4x > log21 x2 – 4x > 0 Có thể hiểu > 1 > 20 x2 – 4x > 0 Phân tích : nếu bài này ta thay dấu > thành dấu = thì bất phương trình trở thành phương trình = 1