Giáo án lớp 12 môn Đại số - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Tính đơn điệu của hàm số I. Phần lý thuyết 1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số Giả sử I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên I gọi là a. Đồng biến (tăng) trên I nếu với "x1; x2 ẻ I mà : x1 < x2 ị f(x1) < f(x2) b. Nghịch biến(giảm) trên I nếu với "x1; x2 ẻ I mà : x1 f(x2) 2. Các chú ý ã Giải thích từ "đồng biến, nghịch biến" ã Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên I gọi là hàm số đơn điệu trên I . ã Đồ thị của hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng I (phát biểu thành lời) . 3. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định và có đạo hàm trên I ã Nếu hàm số f đồng biến trên I thì f'(x) ³ 0 "x ẻ I . ã Nếu hàm số f nghịch biến trên I thì f'(x) ≤ 0 "x ẻ I . 4. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu a. Định lý 1 Giả sử I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định và có đạo hàm trên I ã Nếu f'(x) > 0 với "x ẻ I thì hàm số f đồng biến trên I ã Nếu f'(x) < 0 với "x ẻ I thì hàm số f nghịch biến trên I ã Nếu f'(x) = 0 với "x ẻ I thì hàm số f không đổi trên I (hàm hằng trên I) * Chú ý : Bảng biến thiên của hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng I ( phát biểu thành lời) b. Định lý 2 (mở rộng của định lý 1) Giả sử I là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định và có đạo hàm trên I ã Nếu f'(x) ³ 0 với "x ẻ I và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn trên I thì hàm số f đồng biến trên I . ã Nếu f'(x) ≤ 0 với "x ẻ I và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn trên I thì hàm số f nghịch biến trên I . * Chú ý + Hình ảnh trục số minh hoạ + Bài toán xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số là bài toán xác định các khoảng đơn điệu của hàm số . II. Phần áp dụng Bài toán 1 : Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số 1. Các bước xác định các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) ã Bước 1 : Tìm tập xác định D ã Bước 2 : Tính đạo hàm y' + Giải phương trình y' = 0 tìm các nghiệm xi + Tìm các điểm xj làm cho ý không xác định . ã Bước 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên tập xác định D + Dòng 1 (dòng biến x) : Điền TXĐ , các điểm xi ; xj theo thứ tự từ trái qua phải từ nhỏ đến lớn . + Dòng 2 (dòng y' hay f'(x)) : Tại các điểm xi là nghiệm của y' điền số 0 , tại các điểm xj làm cho y' không xác định ta đánh hai sổ dọc song song . Sau đó xét dấu y' và điền dấu vào các khoảng . ã Bước 4 : Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho . 2. Bài tập áp dụng Xác định các khoảng đơn điệu của các hàm số sau Bài 1: Hàm bậc hai 1/ y = x2 - 2x + 5 2/ y = - 2x2 + x Bài 2 : Hàm bậc ba 1/ y = 2x3 - 9x2 + 12x + 3 3/ y = 4x3 + x - 1 2/ y = - x3 + x2 + 6x - 3 4/ y = - 5x3 + x2 - 4x + 7 Bài 2 : Hàm số trựng phương 1/ y = - x4 + 2x2 3/ y = 2x4 - x2 + 5 2/ y = x4 + x2 - 3 4/ y = - 3x4 - 2x2 + 1 Bài 3 : Hàm bậc nhất / bậc nhất 1/ y = 3/ y = 2/ y = 4/ y = Bài 4 : Hàm bậc hai / bậc nhất 1/ y = 4/ y = x+1 - 2/ y = 5/ y = 3/ y = 6/ y = Bài 5 : Hàm số vô tỉ 1/ y = 6/ y = x + 2/ y = 7/ y = 2x - 1 - 3/ y = 8/ y = 1 + 4/ y = x + 1 - 9/ y = 5/ y = 10/ y = 11/ y = Bài 6 : Hàm số lượng giác 1/ y = x - sinx trên đoạn [0;2p] 3/ y = sin với x > 0 2/ y = x + 2cosx với x ẻ 4/ y = sin2x + cosx trên đoạn Bài 7 : Các hàm số khác 1/ y = 6/ y = 9x7 - 7x6 + 2/ y = 7/ y = 3/ y = 8/ y = 4/ y = x3 - 9/ y = 5/ y = 10/ y = Bài toán 2 : Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định D của nó 1. Phương pháp ã Bước 1 : Tìm tập xác định D của hàm số ã Bước 2 : Lập bảng biến thiên và chỉ ra đạo hàm y' luôn mang một dấu trên D ã Bước 3 : Kết luận 2. Bài tập áp dụng Chứng minh rằng 1/ Hàm số y = nghịch biến trên đoạn [1;2] . 2/ Hàm số y = đồng biến trên nửa khoảng [3; + Ơ) 3/ Hàm số y = x + nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2;0) và (0;2] 4/ Hàm số y = nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 5/ Hàm số y = đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 6/ Hàm số y = nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 7/ Hàm số y = đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 8/ Hàm số y = nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 9/ Hàm số y = đồng biến trên R . 10/ Hàm số y = x3 - x2 + 2x + 3 đồng biến trên R 11/ Hàm số y = nghịch biến trên đoạn . 12/ Hàm số y = đồng biến trên nửa khoảng [-1; + Ơ) . 13/ Hàm số y = nghịch biến trên R 14/ Hàm số y = x + sin2x đồng biến trên R 15/ Hàm số y = sinx - x3 - x + nghịch biến trên R . 16/ Hàm số y = x + cos2x đồng biến trên R . 17/ Hàm số y = 2x2 đồng biến trên nửa khoảng [2; + Ơ) . 18/ Hàm số y = x3 - 6x2 + 17x + 4 đồng biến trên R 19/ Hàm số y = x3 + x - cosx - 4 đồng biến trên R . 20/ Hàm số y = cos2x - 2x + 3 nghịch biến trên R . 21/ Hàm số y = 2sinx + tanx - 3x đồng biến trên nửa khoảng . Bài toán 3 : Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập D nào đó . 1. Phương pháp ã Bước 1 : Tìm tập xác định D của hàm số (đã cho ) ã Bước 2 : Điều kiện + Hàm số y = f(x) đồng biến trên D Û y' ³ 0 với "x ẻ D + Hàm số y = f(x) nghịch biến trên D Û y' ≤ 0 với "x ẻ D ã Bước 3 : Từ điều kiện ở bước 2 ta suy ra điều kiện của tham số * Chú ý : Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c ( với a ≠ 0 ) . Khi đó + f(x) > 0 với "x ẻ R Û + f(x) ³ 0 với "x ẻ R Û + f(x) < 0 với "x ẻ R Û + f(x) ≤ 0 với "x ẻ R Û 2. Bài tập áp dụng 1/ Với giá trị nào của m để hàm số y = x + 2 + đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 2/ Với giá trị nào của m để hàm số y = a/ Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . b/ Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 3/ Với giá trị nào của m để hàm số y = a/ Nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . b/ Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 4/ Tìm a để hàm số y = luôn luôn đồng biến . 5/ Tìm m để hàm số y = -(m2+5m)x3 + 6mx2 + 6x - 5 đơn điệu trên R . Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao ? 6/ Tìm a để hàm số y = nghịch biến trên R ? 7/ Tìm a để hàm số y = x3 + ax2 + 3x - 5a + 2 đồng biến trên R ? 8/ Với giá trị nào của a, hàm số y = 2ax - x2 + a2 nghịch biến trên nửa khoảng [-1;+ Ơ) . 9 / Cho hàm số y = 3ax - x3 + 2a + 1 . Với giá trị nào của a thì hàm số a/ Nghịch biến trên R b/ Nghịch biến trên nửa khoảng [2;+ Ơ) . 10/ Tìm m để hàm số y = x3 - 3mx2 + 3(2m-1)x + 1 đồng biến trên tập xác định ? 11/ Tìm a để hàm số y = ax - x3 nghịch biến trên R . 12/ Tìm m để hàm số y = x3 + ax2 + 4x + 3 đồng biến trên R . 13/ Với giá trị nào của m để hàm số y = 2ax - sin2x đồng biến trên R . 14/ Tìm b để hàm số y = sinx - bx + c nghịch biến trên toàn trục số . Bài toán 4 : Chứng minh phương trình f(x) = a (1) có nghiệm duy nhất trên D 1. Phương pháp ã Bước 1 : Tìm tập xác đinh D của hàm số f(x) ã Bước 2 : Chứng minh hàm số y = f(x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D ã Bước 3 : Lý luận + Số nghiệm của (1) trên D bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) (C) và đường thẳng d : y = a trên D . + Do hàm số y = f(x) đơn điệu trên D nên d cắt (C) nhiều nhất tại một điểm . Do đó phương trình (1) nếu có nghiệm trên D thì có nghiệm duy nhất . (Hình vẽ minh hoạ) * Chú ý : Đường thẳng d : y = a là đường thẳng // với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng a . Khi a = 0 thì d : y = 0 là phương trình của trục hoành . 2. Bài tập Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm duy nhất . 1/ x3 - x2 + 2x + 3 = 0 2/ x - cosx = 0 3/ x = m - 2sin với mọi m 4/ sin2x + cosx = m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn [0; p] với m ẻ(-1;1) . 5/ 2x2 = 11 6/ x3 - 3x + c = 0 không thể có hai nghiệm thực trong đoạn [0;1] . Bài toán 5 : Chứng minh bất đẳng thức nhờ sử dụng tính đơn điệu của hàm số 1. Nhận dạng : Bất đẳng thức chứa hai loại hàm khác nhau (lượng giác và đa thức) 2. Cách làm Chứng minh bất đẳng thức : A(x) > B(x) với x ẻ D ã Biến đổi : A(x) > B(x) Û A(x) - B(x) > 0 ã Đặt f(x) = A(x) - B(x) với x ẻ D và tính đạo hàm f'(x) ã Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên D . Khi đó x > x1 Û f(x) > f(x1) hoặc f(x) < f(x1) với x1 ẻ D và f(x1) = 0 3. Bài tập Chứng minh các bất đẳng thức sau nhờ tính đơn điệu của hàm số 1/ 2x < sin2x + tanx với x ẻ 7/ với "x > 0 Gợi ý : Chứng minh sinx > x - với "x > 0 2/ sinx > x - với "x > 0 8/ Tam giác ABC có ba góc nhọn . Chứng minh SinA + sinB + sinC + tanA + tanB + tanC > 2 Gợi ý : Chứng minh sinx + tanx > 2x với x ẻ . 3/ xcosx - sinx < 0 với "x ẻ 9/ tanx > x với x ẻ 4/ với "x ẻ 10/ tanx > x + với x ẻ 5/ với "x ẻ 11/ cosx > 1 - với "x ≠ 0 6/ tanx > sinx với "x ẻ 12/ 1+ với x>0 Cực trị của hàm số I. Phần lý thuyết 1. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D có đồ thị (C) . a/ Điểm x1 ẻ D được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) è D sao cho : + (a;b) chứa x1 + f(x1) > f(x) với "x ẻ(a;b)\{x1} Khi đó : ã Điểm x1 gọi là điểm cực đại của hàm số f ã Giá trị y1 = f(x1) gọi là giá trị cực đại của hàm số f tại điểm x1 . Kí hiệu xCĐ = x1 ; yCĐ = y1= f(x1) ã Điểm A(xCĐ ; yCĐ) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số (C) . b/ Điểm x2 ẻ D được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (c;d) è D sao cho : + (c;d) chứa x1 + f(x2) < f(x) với "x ẻ(c;d)\{x2} Khi đó : ã Điểm x2 gọi là điểm cực tiểu của hàm số f ã Giá trị y2 = f(x2) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f tại điểm x2 . Kí hiệu xCT = x2 ; yCT = y2= f(x2) ã Điểm A(xCT ; yCT) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (C) . Hìnhvẽ minh hoạ đồ thị 2. Các chú ý ã Điểm cực đại, cực tiểu của hàm số gọi chung là điểm cực trị của hàm số. ã Một hàm số có thể có một điểm cực trị (hàm bậc hai) hoặc có nhiều điểm cực trị(hàm sin,cos) hoặc không có cực trị nào (hàm bậc nhất , hàm hằng, hàm luôn đồng biến , nghịch biến trên TXĐ) . ã Hàm số có cực trị thì đồ thị của hàm số có sự lồi lõm . Hình vẽ minh hoạ 3. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị a/ Định lý 1 : Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, x0 là điểm cực trị của hàm số . Nếu hàm số f tồn tại đạo hàm tại điểm x0 thì f'(x0) = 0 . b/ ý nghĩa hình học Cho hàm số y = f(x) xác định trên D có đồ thị (C) . Điểm x0 là điểm cực trị của hàm số .Điểm M0(x0;y0) là điểm cực trị của đồ thị hàm số . Nếu đồ thị (C) có tiếp tuyến tại điểm M0 thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành . Vậy : Nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm cực trị thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành . Hình ảnh minh họa 4.Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị a/ Định lý 2 : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) ; x0 ẻ (a;b); hàm số f có đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và (x0;b) . Khi đó khi đi từ trái qua phải : ã Nếu f '(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 và yCT = f(x0) . Bảng biến thiên x a x0 b y' = f'(x) - + y = f(x) yCT = f(x0) ã Nếu f '(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 và yCĐ = f(x0) . Bảng biến thiên x a x0 b y' = f'(x) + - y = f(x) yCĐ = f(x0) Quy tắc 1 : Tìm cực trị của hàm số (áp dụng cho hàm đa thức bậc ≤ 4 ; hàm phân thức ; hàm vô tỉ) Cho hàm số y = f(x) ã Tìm tập xác định D ã Tính đạo hàm y' = f'(x) ã Tìm các điểm xi thoả mãn điều kiện : xi ẻ D và là nghiệm của y' hoặc làm cho y' không xác định . ã Lập bảng biến thiên của hàm số trên D và kết luận b/ Định lý 3 : Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa x0 ; f'(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 . ã Nếu f''(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và yCĐ = f(x0) ã Nếu f''(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và yCT = f(x0) Quy tắc 2 : Tìm cực trị của hàm số (áp dụng cho hàm đa thức bậc ³ 5 ; hàm số lượng giác) Cho hàm số y = f(x) ã Tìm tập xác định D ã Tính đạo hàm y' = f'(x) ã Giải phương trình y' = 0 để tìm các nghiệm xi ã Tính đạo hàm cấp hai y'' = f''(x) ; tính f''(xi) và nhận xét dấu : + Nếu f''(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và yCĐ = f(x0) + Nếu f''(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và yCT = f(x0) II . phần áp dụng Bài toán 1 : Tìm cực trị của hàm số Sử dụng quy tắc 1 để tìm cực trị của các hàm số sau : Bài 1: Hàm bậc hai 1/ y = 2x2 - 2x + 5 2/ y = - 3x2 + 2x Bài 2 : Hàm bậc ba 1/ y = 2x3 - 9x2 + 12x + 3 3/ y = 4x3 + x - 1 2/ y = - x3 + x2 + 6x - 3 4/ y = - 5x3 + x2 - 4x + 7 Bài 2 : Hàm số trựng phương 1/ y = - x4 + 2x2 3/ y = 2x4 - x2 + 5 2/ y = x4 + x2 - 3 4/ y = - 3x4 - 2x2 + 1 Bài 3 : Hàm bậc nhất / bậc nhất 1/ y = 3/ y = 2/ y = 4/ y = Bài 4 : Hàm bậc hai / bậc nhất 1/ y = 4/ y = x+1 - 2/ y = 5/ y = 3/ y = 6/ y = Bài 5 : Hàm số vô tỉ 1/ y = 8/ y = x + 2/ y = 9/ y = 2x - 1 - 3/ y = 10/ y = 1 + 4/ y = x + 1 - 11/ y = 5/ y = 12/ y = 6/ y = x2 13/ y = 7/ y = x- 6 14/ y = (7-x) Bài 7 : Các hàm số khác 1/ y = 8/ y = (x-1)8 + 1000 2/ y = x4 - 8x3 + 22x2 - 24x + 10 9/ y = 3/ y = 10/ y = 4/ y = x3 - 11/ y = 5/ y = 12/ y = 6/ y = (x+2)2(x-3)3 13/ y = 7/ y = 14/ y = x-3 + Bài 8 : Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 1/ y = ỗxỗ 3/ y = x ỗx-2ỗ 2/ y = ỗxỗ(x+2) 4/ y = x2 - 2 ỗxỗ + 2 Sử dụng quy tắc 2 để tìm cực trị của các hàm số sau : Bài 9 1/ y = 1/ y = 2/ y = 9x7 - 7x6 + 2/ y = 3/y = (x-2008)9 + 2009 3/ y = Bài 10 : Hàm số lượng giác 1/ y = x + cox2x 6/ y = x - sin2x + 2 2/ y = sinx 7/ y = 3 - 2cosx - cos2x 3/ y = sinx - cosx 8/ y = 2sin2x - 3 4/ y = 2sinx + cos2x , x ẻ[0; p] 9/ y = sinx + cosx , x ẻ(- p ;p) 5/ y = cos2x 10/ y = sin2x - cosx , x ẻ [0; p] Bài toán 2 : Điều kiện để hàm số có cực trị tại một điểm A. Kiến thức cần nhớ Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa x0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 . 1. Hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Û f '(x0) = 0 . 2. Hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 Û Hệ phương trình có nghiệm . 3. Hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 Û Hệ phương trình có nghiệm . B. Bài tập vận dụng 1/ Cho hàm số y = x3 - mx2 + + 5 . Tìm m để hàm số có cực trị tại điểm x = 1. Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu . Tính cực trị tương ứng ? 2/ Cho hàm số y = - (m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x - 5 . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 . 3/ Cho hàm số y = . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 . 4/ Cho hàm số y = x3 + ax2 - a2x + 5a - 1 . Tìm a để hàm số đạt cực đại tại điểm x = - 1 5/ Cho hàm số y = mx3 - mx2 + 1 . Tìm m để hàm số có điểm cực tiểu khác 0 . 6/ Tìm các hệ số m, n sao cho đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + mx + n nhận điểm (3;-32) làm điểm cực tiểu . 7/ Tìm m để hàm số y = đạt cực đại tại điểm x = 2 . 8/ Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = đều là những số dương và x0 = - là điểm cực đại . 9/ Tìm các hệ số a,b,c,d của hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x = 0 , f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1 , f(1) = 1 . 10/ Xác định các hệ số a,b,c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = - 2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;0) . 11/ Tìm các hệ số a;b;c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu tại x= 1; f(1) = - 3 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 . 12/ Tìm các số thực m, n sao cho hàm số : f(x) = x + m + đạt cực đại tại điểm x = - 2 và f(-2) = - 2 . 13/ Tìm m để hàm số y = x3 - 2mx2 + m2x - 2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1 . 14/ Cho hàm số y = . Tìm a,b,c biết rằng hàm số đạt cực trị bằng 1 tại điểm x = 1 và đường tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = . 15/ Cho hàm số y = (x-m)3 - 3x . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0 . 16/ Tìm các hệ số m,n sao cho hàm số y = - x3 + mx + n đạt cực tiểu tại điểm x = - 1 và đồ thị của nó đi qua điểm (1;4) . 17/ Cho hàm số y = x3 + (m+3)x2 + 1 - m . Tìm m để hàm số có điểm cực đại là x = - 1 . 18/Tìm m để đạt cực tiểu tại x = 2 19/Tìm m để đạt cực tiểu tại x = 2 Bài toán 3 : Cực trị của hàm số bậc ba A. Kiến thức cần nhớ Cho hàm số bậc ba : y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) 1. Tập xác định : D = R 2. Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c là một tam thức bậc hai ã Hàm số bậc ba có cực trị (CĐ;CT) Û y' có hai nghiệm phân biệt Û Bảng biến thiên ã Hàm số bậc ba không có cực trị (CĐ;CT) Û y' vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Û 3. Các chú ý ã Hàm bậc ba nếu có cực trị thì luôn có CĐ và CT . ã Nếu gọi xCĐ ; xCT lần lượt là hoành độ của điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số thì xCĐ ; xCT chính là nghiệm của phương trình y' = 0 (hay phương trình 3ax2 + 2bx + c = 0 ) Theo định lý Viét, ta có : xCĐ + xCT = - và xCĐ . xCT = ã Phương trình đường thẳng qua điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số bậc ba . + Hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d + Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c Khi đó đường thẳng có phương trình y = mx + n là đường thẳng qua điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số với mx + n là phần dư trong phép chia y cho y' . Hình vẽ minh hoạ ã Tìm toạ độ điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số bậc ba . Giả sử : Điểm CĐ : A(xCĐ;yCĐ) ; điểm CT : B(xCT;yCT) . Tìm yCĐ và yCT + Cách 1 : Thay vào hàm số ban đầu : yCĐ = f(xCĐ) ; yCT = f(xCT) + Cách 2 : Nếu viết được phương trình đường thẳng qua điểm CĐ , CT của đồ thị hàm số y = mx + n thì : yCĐ = mxCĐ + n ; yCT = mxCT + n B. Bài tập áp dụng 1/ Tìm m để hàm số y = x3 + mx2 - 3 luôn có CĐ, CT ? 2/ Chứng minh rằng hàm số sau luôn có cực trị với "m : y = x3 - mx2 - 2x + 1 3/ Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 3(2m-1)x + 1 . Tìm m để hàm số có một CĐ, một CT ? 4/ Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 + 3(1-m2)x + m3 - m2 . Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ? 5/ Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 4m . Chứng minh đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị , Khi đó xác định m để một trong hai điểm cực trị này thuộc trục hoành . 6/ Cho hàm số y = (m2 + 1)x3 - 3(m2 + 1)x có đồ thị (Cm) . Tìm m để tung độ của điểm CT là lớn nhất ? Với m tìm được , nhận xét về tung độ của điểm CĐ của (Cm) . 7/ Cho hàm số y = x3 - 3(m+1)x2 + 3m(m+2)x + 1 . Chứng minh rằng hàm sô luôn có CĐ, CT . Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại các điểm có hoành độ dương ? 8/ Tìm m để các hàm số có cực đại cực tiểu a/ b/ 9/CMR với mọi m hàm số sau luôn đạt cực trị tại x1; x2 với x1 – x2 không phụ thuộc m 10/Tìm m để hàm số sau luôn đạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn x1 < -1 < x2 không phụ thuộc m : 11/Tìm m để không có cực trị 12/Cho hàm số Tìm m để hàm số có CĐ,CT .Viết phương trình đường thẳng đi qua CĐ,CT 13/Cho hàm số Tìm m để hàm số có CĐ,CT .Viết phương trình đường thẳng đi qua CĐ,CT 14/Tìm m để có CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng y = x 15/Tìm m để có CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 2 . 16/Cho (Cm) : Tìm m để (Cm ) có CĐ và CT . CMR khi đó đường thẳng đi qua CĐ, CT luôn đi qua một điểm cố định . 17/Tìm a để hàm số sau luôn đạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn 18/Cho hàm số a/Tìm a để hàm số luôn đồng biến b/Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x1; x2 thoả mãn 19/Tìm m để hàm số Có các điểm CĐ và CT nằm về 2 phía của đường thẳng y = x . 20/ Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 -3x2 + 2 có hai điểm cực trị nằm về hai phía khác nhau của đường tròn : x2 + y2 - 2mx - 4my + 5m2 - 1 = 0 21/ Tìm m để hàm số sau không có cực trị : y = mx3 - 3mx2 + (2m+1)x + 3 - m 22/ Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - mx2 + (2m-1)x + 2 có hai điểm cực trị dương . 23/ Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - mx2 + (m+6)x + 5 có hai điểm cực trị dương . Bài toán 4 : Cực trị của hàm trùng phương A. Kiến thức cần nhớ Cho hàm số trùng phương : y = f(x) = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) 1. Tập xác định : D = R 2. Đạo hàm y' = 4ax3+ 2bx = 2x(2ax2 + b) y' = 0 Û Û ã Hàm số trùng phương có ba cực trị Û y' có 3 nghiệm phân biệt Û Pt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Û - > 0 . Bảng biến thiên ã Hàm trùng phương có một cực trị Û y' có một nghiệm hoặc có nghiệm 0 bội 3 Û - ≤ 0 Bảng biến thiên 3. Các chú ý ã Hàm trùng phương hoặc có một cực trị hoặc có 3 cực trị . ã Trong trường hợp hàm trùng phương có ba cực trị . Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm trùng phương B(x1;y1) ; A(0;c) ; C(-x1;y2) thì luôn có một điểm cực trị thuộc trục tung còn hai điểm còn lại đối xứng với nhau qua trục tung . Do vậy tam giác BAC luôn là tam giác cân tại đỉnh A thuộc trục tung . Hình vẽ minh hoạ ã Đường đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là đường bậc hai y = mx2 + nx + e với mx2 + nx + e là phần dư trong phép chia y cho y' . B. Bài tập vận dụng 1/ Tìm m để hàm số y = x4 + mx2 - m - 5 có ba điểm cực trị . 2/ Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = - x4 + 2mx2 - 2m + 1 . 3/ Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị : y = x4 - 2mx2 + 2m . 4/ Tìm m để hàm số sau chỉ có cực tiểu mà không có cực đại . 5/ Tìm m để có đúng một cực trị . ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của hàm số I . Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D 1. Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của f(x) trên tập D nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau : ã f(x) ≤ M với "x ẻ D ã Tồn tại x0 ẻ D sao cho f(x0) = M . Khi đó , ta kí hiệu là : M = = f(x0) . 2. Số m gọi là giá trị nhỏ nhất ( GTNN )của f(x) trên tập D nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau : ã f(x) ≥ m với "x ẻ D ã Tồn tại x0 ẻ D sao cho f(x0) = m . Khi đó , ta kí hiệu là : m = = f(x0) . II . Xét các trường hợp cụ thể của tập xác định D 1/ Tìm GTLN , GTNN của hàm số y = f(x) trên một khoảng D ã Bước 1 : Tìm đạo hàm y’ và giải phương trình y’ = 0 tìm nghiệm thuộc D, tìm điểm y' không xác định thuộc D . ã Bước 2 : Lập bảng biến thiên của hàm số trên D f(x0) ã Nếu cực trị là CĐ thì đó là GTLN của hàm số trên D . M = = f(x0) . x x0 f’(x) + - f(x) f(x0) ã Nếu cực trị là CT thì đó là GTNN của hàm số trên D . m = = f(x0) . x x0 f’(x) - + f(x) Chú ý : Khoảng D có thể là các khoảng sau : (a ; b) ; ( - Ơ ; a) ; ( a ; + Ơ ) và R = (- Ơ ; + Ơ ) . 2/ Tìm GTLN , GTNN của hàm số y = f(x) trên nửa khoảng D Làm tương tự như đối với một khoảng với chú ý ta tính thêm giá trị của hàm số tại đầu mút lấy và so sánh với f(x0) . Ví dụ : Hàm số f(x) trên nửa khoảng : D = [a ; b ) thì ta phải tính thêm f(a) . ã Chú ý : Một số nửa khoảng hay gặp là : ( - Ơ ; a] ; [b ; + Ơ ) ; (a ; b] ; [a ; b) . 3/ Tìm GTLN , GTNN của hàm số y = f(x) trên một đoạn [a ; b] ã Bước 1 : Tìm đạo hàm y’ và giải phương trình y’ = 0 tìm nghiệm xi thuộc [a ; b] và tại các điểm y' không xác định xk ẻ [a;b] . ã Bước 2 : Giả sử có hai nghiệm x1 ; x2 thuộc đoạn [a ; b] . Tính : f(a) ; f(x1) ; f(x2) ; f(b) và so sánh các giá trị trên ã Bước 3 : Nhận xét ã Số lớn nhất là GTLN của hàm số trên đoạn [a ; b] . ã Số nhỏ nhất là GTNN của hàm số trên đoạn [a ; b] . Chú ý - Nếu trên đoạn [a ; b] mà phương trình y’ = 0 không có nghiệm nào thì chỉ cần tính f(a) , f(b) và so sánh hai số này . - Không cần lập bảng biến thiên . 3/ Một số nhận xét quan trọng 3.1. Khi xét trên khoảng thì thường hàm số chỉ có GTLN hoặc GTNN . 3.2 . Khi xét trên đoạn thì luôn có GTLN và GTNN . 3.3 . Khi cho hàm số y = f(x) mà không nói là xét trên miền nào thì ta phải xét trên TXĐ của hàm số đó . III . Các phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số Phương pháp chiều biến thiên của hàm số a) Phương pháp Xét hàm số y = f(x) ã Tìm TXĐ của hàm số ( Có thể bài cho sẵn hoặc phải đi tìm ) ã Tính đạo hàm f’(x) và giải phương trình f’(x) = 0 để tìm nghiệm trên D . ã áp dụng quy tắc tìm max , min trên khoảng hoặc trên đoạn . b) áp dụng Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) trong các trường hợp sau : 1/ y = x3 + 5x – 4 trên đoạn [- 3 ; 1] 2/ y = x4 – 8x2 + 16 trên đoạn [- 1 ; 3] 3/ y = trên nửa khoảng ( - 2 ; 4] 4/ y = x + 2 + trên khoảng (1 ; + Ơ) 5/ y = (3 – x) trên [0 ; 2] 6/ y = x2ex trên [ - 3 ; 2] 7/ y = trên [ - ; 3] 8/ y = trên đoạn [3 ; 6] . 9/ y = x + trên đoạn [0 ; 5] 10/ y = 1 + trên đoạn [- 3 ; 3] 11/ y = 2sinx + sin2x trên [0 ; ] 12/ y = x + cosx trên [ 0 ; ] 13/ y = trên đoạn [ln2 ; ln4] 14/ y = x6 + 4(1- x2)3 trên [- 1 ; 1] 15/ y = trên [ - 1 ; 2] 16/ y = trên [ 1 ; e3] 17/ y = sin2x – x trên [ - ; ] 18/ y = 5cosx – cos5x trên [ - ; ] 19/ y = 19/ y = 20/ y = trên 21/ y = trên Giải 1/ y = f(x) = x3 + 5x – 4 trên đoạn [- 3 ; 1] ã Đạo hàm : y’ = 3x2 + 5 ã Giải pt : y’ = 0 Û 3x2 + 5 = 0 (vô nghiệm ) ã Ta có : y(-3) = - 46 ; y(1) = 2 ã Vậy : = f(1) = 2 , = f(- 3) = - 46 . 3/ y = f(x) = trên nửa khoảng ( - 2 ; 4] ã Đạo hàm : y’ = ã Giải pt : y’ = 0 trên nửa khoảng ( - 2 ; 4] . Û = 0 (vô nghiệm) ã Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng ( - 2 ; 4] . ( hình bên ) ã Vậy : + ) = f(4) = +) Không tồn tại . f(4) + 4 - 2 y y' x 5/ y = f(x) = (3 – x) trên [0 ; 2] ã Đạo hàm : y’ = - + (3 – x) = = ã Giải phương trình : y’ = 0 trên đoạn [0 ; 2] y' = 0 Û -2x2 + 3x – 1 = 0 Û ã Tính : y(0) = 3 ; y() = ; y(1) = 2 ; y(2) = ã Vậy : = f(0) = 3 ; = f(2) = 6/ y = f(x) = x2ex trên [ - 3 ; 2] ã Đạo hàm : y’ =