Giáo án lớp 12 môn Đại số - Vấn đề 1: Phương trình bậc hai - định lý víet

VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI _ ĐỊNH LÝ VÍET Bài 1: Cho phương trình: . 1) Tìm m để (1) có nghiệm. 2) Tìm m để (1) có 1 nghiệm duy nhất. Bài giải: Tìm m để (1) có nghiệm. a) , thử lại ta có với m=2 thì phương trình (1) có nghiệm. b) , (1) có nghiệm . Vậy là giái trị cần tìm. Tìm m để (1) có 1 nghiệm duy nhất. (1) có nghiệm duy nhất . Vậy là giá trị cần tìm. Bài 2: Biện luận số nghiệm số các phương trình: 1) theo m. 2) theo a và b. Bài giải: 1) . Ta biện luận số nghiệm số của (2) theo m. Ta có: T/h 1: m<3, (2) vô nghiệm, nên (1) có 1 nghiệm x = -2. T/h 2: m=3, khi đó và (2) có 1 nghiệm kép x=1. Vậy (1) có 2 nghiệm T/h 3: m>3, (2) có 2 nghiệm phân biệt. Nếu , khi đó f(-2)=0, nên (2) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm , nên m=12 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm Nếu , (2) có 2 nghiệm phân biệt khác -2, nên (1) có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm 2) . Nhận xét: Biện luận: a) . b) c) : Bài 3: Bài giải: Bài 4: Bài giải: VẤN ĐỀ 2: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI _ SO SÁNH MỘT SỐ VỚI CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1: Cho . Tùy theo m hãy biện luận dấu của f(x)? Bài giải: Ta có a=1>0, . , dấu bằng xảy ra khi x=4. có 2 nghiệm phân biệt . Khi đó: Bài 2: Cho . Với giá trị nào của a thì: . Bài giải: Khi , vì f(x) là nhị thức bậc nhất nên không thể xảy ra (1), hoặc (2). Khi 1) 2) Bài 3: Với những giá trị nào của m thì bất phương trình sau có nghiệm . Bài giải: a) có nghệm. b) khi đó f(x) luôn âm hoặc chỉ dương trên 1 khoảng hữu hạn, nên (1) có nghiệm. c) , (1) có nghiệm Kêt hợp các trường hợp trên ta có hoặc Bài 4: Cho bất phương trình , với giá trị nào của m thì (1): a) Vô nghiệm? b) Có đúng 1 nghiệm? c) Có nghiệm là 1 đoạn có độ dài bằng 1. Bài giải: Ta có: (1) vô nghiệm (1) có đúng 1 nghiệm Khi m=2, (1): có đúng 1 nghiệm x=-3. Đkbt , , thỏa (2). Vậy là giá trị cần tìm. Bài 5: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau vô nghiệm. Bài giải: . Tập nghiệm của (1) là . Ta có nghiệm của là 1 và 2. T/h 1: a=1 hoặc a=2: (3): 0x>2, nên , do đó (I) vô nghiệm. T/h 2: a2: ,(I) vô nghiệm .Vậy hoặc (I) có nghiệm. T/h 3: 1<a<2: , (I) vô nghiệm , điều này luôn đúng. Kết hợp cả 3 trường hợp trên ta có giá trị a cần tìm: Bài 6: Cho hệ . a) Với giá trị nào của m thì (I) có nghiệm? b) Với giá trị nào của m thì (I) có 1 nghiệm duy nhất? Bài giải: Phương trình (I) có tập nghiệm , (2) có tập nghiệm với ( hoặc với ) (I) có nghiệm : hoặc * , chẳng hạn và . Vậy (I) có nghiệm. * , vậy (I) vô nghiệm. Vậy giá trị cần tìm Theo kết quả câu a). Để (I) có 1 nghiệm duy nhất thì đoạn chỉ có 1 điểm chung duy nhất với đoạn . Ta xét các khả năng: Nếu , tức là , khi đó (2) có 1 nghiệm duy nhất , nên (I) có nghiệm . Rõ ràng chỉ có m=0 (I) có 1 nghiệm duy nhất x=0. Nếu hoặc , khi đó có 1 điểm chung duy nhất với đoạn (vì không xảy ra khả năng ), nhưng giá trị này không thỏa điều kiện hoặc . Nếu , khi đó đoạn có 1 điểm chung duy nhất với khi và chỉ khi (vì không xảy ra m=-2, do m>0) (loại giá trị ), hay (I) có 1 nghiệm duy nhất. Kết hợp kết quả các trường hợp trên ta có các giá trị cần tìm là hoặc Bài 7: Tùy theo m hãy so sánh các nghiệm của phương trình với 4. Bài giải: Ta có a=1>0 , có nghiệm m=4, m=8. , có nghiệm m=8. , có nghiệm m=8. Lập bảng sau: m af(4) Kết luận 8 4 - + 0 - 0 + + + + 0 - - - - 0 + (1) vô nghiệm Bài 8: Cho . 1) Tìm m để f(x) có 2 nghiệm và số 4 nằm trong khoảng 2 nghiệm. 2) Tìm m để f(x) có 2 nghiệm và cả 2 nghiệm đều lớn hơn 3. Bài giải: Đkbt Đkbt Bài 9: Với giá trị nào của m thì cả hai nghiệm của phương trình đều thuộc khoảng ? Bài giải: Đkbt Bài 10: Với giá trị nào của m thì các phương trình và đều có 2 nghiệm và nghiệm của phương trình này xen kẽ với các nghiệm của phương trình kia? Bài giải: HD: Tìm nghiệm của phương trình 1, tìm điếu kiện để (1) có 2 nghiệm phân biệt. sau đó tìm điều kiện để phương trình (2) có đúng một nghiệm thuộc khoảng tạo bởi các nghiệm của (1) và 1 nghiệm nằm ngoài đoạn tạo bởi các nghiệm của (1). Phương trình (1) có 2 nghiệm x=1 và x=m, (1) có 2 nghiệm phân biệt Đặt f(x)=, khi đó Đkbt f(x) có 2 nghiệm trong đó có đúng một nghiệm thuộc khoảng tạo bởi các nghiệm của (1) và 1 nghiệm nằm ngoài đoạn tạo bởi các nghiệm của (1) thỏa điều kiện (*). Vậy Bài 11: Cho phương trình . Với giá trị nào của m thì (1): 1) Vô nghiệm? 2) Có đúng 1 nghiệm? 3) Có đúng 2 nghiệm phân biệt? 4) Có đúng 3 nghiệm phân biệt? 5) Có đúng 4 nghiệm phân biệt? Bài giải: Đặt . Số nghiệm của (1) phụ thuộc vào số nghiệm không âm của (2). Ta có (1) vô nghiệm (2) vô nghiệm hoặc (2) có 2 nghiệm đều âm . Vậy ta có kết quả: hoặc (1) có đúng 1 nghiệm (2 ) có 1 nghiệm kép hoặc (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt (2 ) có 1 nghiệm kép dương hoặc (2) có 2 nghiệm trái dấu (1) có đúng 3 nghiệm phân biệt (2 ) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương (1) có đúng 4 nghiệm phân biệt (2 ) có 2 nghiệm dương phân biệt Bài 12: Với giá trị nào của m thì 1 nghiệm bất kỳ của bất phương trình , đều lớn hơn 1 nghiệm bất kỳ của bất phương trình . Bài giải: (1) có tập nghiệm , . Khi đó f(x) có 2 nghiệm phân biệt , nên tập nghiệm của (2) là . Đkbt . Vậy Bài 13: Với những giá trị nào của m thì bất kỳ 1 giá trị x nào cũng đều là nghiệm của ít nhất 1 trong 2 bất phương trình sau . Bài giải: (1) có tập nghiệm ; tam thức có 2 nghiệm là (vì a+b+c=0). Khi đó nếu 3m-2>1 (hoặc nếu 3m-2<1) Đkbt (vì ) Vậy giá trị cần tìm: . (Nên minh họa cho học sinh trên trục số) Bài 14: 1) Với giá trị nào của a thì mọi nghiệm của bất phương trình đều thỏa bất phương trình . 2) Với giá trị nào của a thì mọi nghiệm của (2) đều là nghiệm của (1). Bài giải: 1)Tập nghiệm của (2) là Nếu a=0: , không thỏa (2) Nếu a<0: Xét , nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt . Khi đó tập nghiệm của (1) là , rõ ràng khi đó Nếu a>0: Lúc đó (1) chỉ có nghiệm khi . Khi đó tập nghiệm của (1) là: . Đkbt . Vậy 2)Đkbt ( học sinh tự chứng minh) Bài 15: Tìm m để: 1) . 2) Bài giải: 1) m=-1: , f(x) có 2 nghiệm phân biệt , khi đó . Đkbt . Kết hợp ta có: 2) . Gọi lần lượt là nghiệm nhỏ và nghiệm lớn của f(x). Khi đó . . Vậy Bài 16: Cho và . Định m, biết: (D) cắt (C) tại 1 điểm.. (D) cắt (C) ít nhất tại 1 điểm. (D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. (D) cắt (C) tại 2 điểm trên cùng 1 nhánh của (C). (D) cắt (C) tại 2 điểm trên thuộc 2 nhánh phân biệt của (C). Bài giải: Phương trình hoàng độ giao điểm của (C) và (D): , (điều kiện ). (D) cắt (C) tại 1 điểm (1) có 1 nghiệm đơn . Vậy (D) cắt (C) ít nhất tại 1 điểm (1) có ít nhất 1 nghiệm hoặc (D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt (1) có 2 nghiệm số phân biệt . Vậy: (D) cắt (C) tại 2 điểm trên cùng 1 nhánh của (C) (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa hoặc . Vậy (D) cắt (C) tại 2 điểm trên thuộc 2 nhánh phân biệt của (C) (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa . Vậy m > 2. VẤN ĐỀ 3: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH ĐẠI SỐ THƯỜNG GẶP Tài liệu tham khảo: * Các bài giảng LTĐH môn toán tập 1 và 2. * Phưong pháp chuyên đề Giải Bộ đề thi TSĐH ĐẠI SỐ & LƯỢNG GIÁC phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức. * Vở ghi của học sinh Trương Bá Lưu. Giải và biện luận bằng phương pháp Cramme: Bài 1: Giải và biện luận hệ: (I) .(Đề 75/III) Bài giải: * * Hệ phương trình vô nghiệm. Bài 2: . Cho , giải và biện luận (I) theo a và c. Tìm b để với mọi a, ta tìm được c để hệ có nghiệm. (Đề 43/II) Bài giải: a) : * : Hệ có nghiệm duy nhất * : * : Hệ vô nghiệm * : Hệ có nghiệm * : * : Hệ vô nghiệm * : Hệ có nghiệm b) * : Hệ có nghiệm duy nhất * : . Hệ có nghiệm khi (1) có ngiệm theo c khi * : Bài 3: Tìm m để hệ . (Các bài giảng LTĐH môn Toán tập II-trang 61) Hệ phương trình đối xứng loại I: Bài 1: Cho hệ . Giải hệ khi Tìm m để hệ có nghiệm. (Đề 1/II) Bài 2: Biết rằng là nghiệm của hệ: . Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức . (Các bài giảng LTĐH môn Toán tập I-trang 38) Bài 3: Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của . (Các bài giảng LTĐH môn Toán tập I-trang 39) Bài 4: Biết rằng các số a, b, c thỏa mãn: . Chứng minh: . (Các bài giảng LTĐH môn Toán tập I-trang 40). Bài 5: Giải các hệ phương trình sau: 1. (ĐHAN 01 - A). 2. (ĐHAN -01 - D). 3. (ĐHĐN 01 - A). 4. (ĐHĐN 01-A Đợt 2). 5. (HVHCQG 01 – A). 6. (ĐHBKHN 01 - D). 7. (ĐHNNHN 01). 8. (ĐHNLTpHCM 01). 9. (HVQHQTế 01). 10. (CĐSP Hưng Yên 01) 11*. (VĐHMở HN 01) 12. (ĐHTSản 00) 13*. (ĐHHH 00) 13. (CĐSPMgiáo TW1). 14. (ĐHNThương 98) 15. (ĐHHuế 97 – D) Hệ phương trình đối xứng loại II: Bài 1: Cho hệ . Giải hệ khi . Tìm m để hệ có nghiệm. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. (Các bài giảng LTĐH môn Toán tập II-trang 64) Bài 2: Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: . (Các bài giảng LTĐH môn Toán tập II-trang 66) Bài 3: Giải các hệ phương trình sau: 1. (HVCTQG – 01). 2. (ĐHTLợi 01) 3. (ĐHTNguyên 01). 4. (ĐHQGHNội 97) Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 chứa 2 ẩn: 1. .(Đề 70/II-1) 2. (HVNHTp01– A). 3. (ĐHHHải 01). Hệ phương trình vô tỉ: 1*. (ĐHPCCCháy 01-A) 2*. (ĐHVH 01 – D) 3*. (ĐHDLập Đông đô 01) 4*. (ĐHKTQD 97) Hệ phương trình mũ và lôgarít: Một số hệ phương trình có cách giải lạ: 1*. (ĐH Vinh 01 – D) 2. (ĐHTCKToán 01) 3. (ĐHAN 97 – C) 4. (ĐH Mỏ – ĐC 01). 5*. (ĐHTM 97) 6. (Đề 54/II-2) 7*. (ĐHTMại 01) 8*. (CĐSPHN 01 – A) -----œ­œ-----