Giáo án lớp 12 môn Giải tích - Một số phép biến đổi đồ thị

Chuyên ñề Giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ Bài 08. Một số phép biến ñổi ñồ thị Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài 1: Cho (C): 4 22 1y x x= − − . Tìm m ñể phương trình: 4 2 42 1 logx x m− − = có 6 nghiệm phân biệt. Giải: • Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C): 4 22 1y x x= − − • Ta vẽ ñồ thị hàm y = 4 22 1x x− − như sau: - Giữ nguyên ñồ thị (C1) của (C) nằm trên Ox. - Lấy ñối xứng phần vừa bỏ của (C) qua Ox ta ñược phần (C2) Vậy (C’) = (C1)∪ (C2) Nhìn vào (C’) ta thấy ñể PT: 4 2 42 1 logx x m− − = có 6 nghiệm phân biệt thì: 40 log 2 1 16m m< < ⇔ < < Bài 2: (HVHCQG – A) Cho (C): y = x3 – 6x2 + 9x. Biện luận số nghiệm của phương trình: 3 26 9 3 0 (*)x x x m− + − + = Giải: • Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C): 3 26 9y x x x= − + • Ta vẽ ñồ thị hàm (C): 3 26 9 ( )y x x x f x= − + = như sau: - Giữ phần ñồ thị (C1) của (C) nằm bên phải Oy. - Lấy ñối xứng phần (C1) vừa lấy của (C) qua Oy ta ñược phần (C2) Vậy (C’) = (C1)∪ (C2) Nhìn vào ñồ thị ta có: + Nếu 3 0 3m m− ⇒ (*) vô nghiệm. + Nếu { }3 0 3 3;0m m S− = ⇔ = ⇒ = ± ⇒ PT (*) có 3 nghiệm phân biệt. + Nếu 0 3 4 1 3m m< − < ⇔ − < < ⇒PT (*) có 6 nghiệm. + Nếu { }3 4 1 1; 4m m S− = ⇔ = − ⇒ = ± ± ⇒ PT (*) có 4 nghiệm phân biệt. + nếu 3 4 1m m− > ⇔ < − ⇒PT (*) có 2 nghiệm phân biệt. BÀI GIẢNG 08. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ðỔI ðỒ THỊ (HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN) Chuyên ñề Giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ Bài 08. Một số phép biến ñổi ñồ thị Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Bài 3: (ðH Vinh – A) Cho (C): 2 1 1 x x y x − − = + . Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x2 – (1+m) x - m - 1 = 0 Giải: Ta có x2 – (1+m) x - m - 1 = 0 2 1 ( ) 1 x x m f x x − − ⇔ = = + • Trước hết ta Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C): 2 1 1 x x y x − − = + . • Ta vẽ ñồ thị hàm 2 1 ( ) 1 x x f x x − − ⇔ = + như sau: - Giữ phần ñồ thị (C1) của (C) nằm bên phải Oy. - Lấy ñối xứng phần (C1) vừa lấy của (C) qua Oy ta ñược phần (C2) Vậy (C’) = (C1)∪ (C2) Nhìn vào ñồ thị ta thấy: + Nếu m < - 1⇒ PT vô nghiệm. + Nếu m = -1 ⇒ PT có 1 nghiệm + Nếu m > - 1⇒ PT có 2 nghiệm phân biệt Bài 4: Cho (C): y = 2x4 – 4x2. Tìm m ñể phương trình: 2 2 2x x m− = có ñúng 6 nghiệm phân biệt. Giải: Ta có: 2 2 2 2 4 22 2 2 2 2 4 ( )x x m m x x x x f x− = ⇔ = − = − = • Trước hết ta Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C): 4 22 4y x x= − • Ta vẽ ñồ thị hàm 4 2( ) 2 4f x x x= − như sau: - Giữ nguyên ñồ thị (C1) của (C) nằm trên Ox. - Lấy ñối xứng phần vừa bỏ của (C) qua Ox ta ñược phần (C2) Vậy (C’) = (C1)∪ (C2) Nhìn vào (C’) ta thấy ñể PT: 4 22 4 2x x m− = có 6 nghiệm phân biệt thì 0 2 2 0 1m m< < ⇔ < < Bài 5: Cho (C): 22 4 3 2( 1) x x y x − − = − . Tìm m ñể phương trình: 22 4 3 2 1 0 (*)x x m x− − + − = có 2 nghiệm phân biệt. Chuyên ñề Giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ Bài 08. Một số phép biến ñổi ñồ thị Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Giải: Ta có 2 2 2 4 3 ( )2 4 3 2 1 0 ( ) 2 1 ( ) x x P x x x m x m f x x Q x − − − − + − = ⇔ − = = = − • Trước hết ta khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C): 22 4 3 2( 1) x x y x − − = − . Sau ñó vẽ ñồ thị hàm số 2( ) 2 4 3 ( ) ( ') ( ) 2 1 P x x x f x C Q x x − − = = − như sau: ▪ Giữ phần ñồ thị của (C) ứng với 1 0 1x x− > ⇔ > là (C1) ▪ Lấy ñối xứng qua Ox phần (C2) = (C) \ (C1) ta ñược (C’2) Vậy (C’) = (C1) ∪ ' 2( )C Nhìn vào ñồ thị ta thấy ñường thẳng y = -2m luôn cắt (C’) tại 2 ñiểm phân biệt với mọi m. Vậy bài toán thỏa mãn với mọi m. Bài 6. a) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C): 3( ) 4 3 1y f x x x= = − − b) Tìm m ñể 3 4 3 1 0x x mx m− − + − = có 4 nghiệm phân biệt. Giải: a) 2 1 '( ) 12 3 0 2 f x x x= − = ⇔ = ± ''( ) 24 0 0f x x x= = ⇔ = ⇒Cực ñại 1 ;0 ; 2  −    cực tiểu 1 ; 2 2  −    ðiểm uốn U(0; -1) b) ( )3 34 3 1 0 4 3 1 ( 1) (*)x x mx m f x x x m x− − + − = ⇔ = − − = − ðồ thị (C’): ( )y f x= ñược vẽ từ ñồ thị (C): ( )y f x= theo qui tắc: - Giữ nguyên phần ñồ thị (Ca) của (C) ứng với x ≥ 0. - Lấy (C’a) ñối xứng với (Ca) qua Oy, khi ñó (C’) = (Ca) ∪ (C’a) Nghiệm của (*) là hoành ñộ giao ñiểm của ñường thẳng (dm): y = m(x – 1) với ñồ thị (C’): ( )y f x= . Ta thấy (dm) luôn ñi qua ñiểm A(1; 0) ∈(C’) và (dm) qua B(0; -1) là (AB): y = x – 1 có hệ số góc k1 = 1. ðường thẳng của họ (dm) tiếp xúc với (C’a) tại ñiểm có hoành ñộ x0 < 0 là nghiệm của phương trình: 3 2 2 2 2 4 3 1 ( 1) 3(1 4 ) x x k x x k − + − = − ⇒ − = 3 24 3 1 3(1 4 )( 1)x x x x− + − = − − 2 2(1 4 ) 2 1 3(1 4 )( 1)x x x x x⇔ − + − = − − 22(2 1)(2 2 1) 0.x x x⇔ − − − = Chuyên ñề Giải tích – Thầy Nguyễn Thượng Võ Bài 08. Một số phép biến ñổi ñồ thị Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Do x0 < 0 nên 0 2 1 3 6 3 9 2 x k − = ⇒ = − Nhìn vào ñồ thị (C’) ta thấy: ðể phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì (dm): y = m(x – 1) phải cắt ñồ thị (C’): y = ( )f x tại 4 ñiểm phân biệt 1 2 1 6 3 9k m k m⇔ < < ⇔ < < − Bài 7. Giải biện luận BPT: 2 5 4x x a− + < Giải: { } [ ] 2 2 2 5 4 \ 1;4 ( ) : 5 4 5 4 1; 4 x x khi x R C y x x x x khi x  − + ∈ = − + =  − + − ∈ Gọi (C1) là phần ñồ thị nằm ở phía trên trục hoành của y = x 2 – 5x + 4 còn (C2) là phần ñồ thị ñối xứng qua Ox với phần ñồ thị nằm ở phía dưới Ox của y = x2 – 5x + 4. Khi ñó 1 2( ) ( ) ( )C C C= ∪ . Xét 2 1( ) ( ) : 5 4C y a x x a∩ = − + = 1 2 5 9 4 5 9 4 ; 2 2 a a x x x x − + + + ⇔ = = = = Xét 22( ) ( ) : 5 4C y a x x a∩ = − + = 3 4 5 9 4 5 9 4 ; 2 2 a a x x x x − − + − ⇔ = = = = Nhìn vào ñồ thị ta có: • Nếu a ≤ 0 thì BPT vô nghiệm. • Nếu 9 0 4 a< ≤ thì BPT có nghiệm 1 3 4 2( ; ) ( ; )x x x x x∈ ∪ • Nếu 9 4 a > Thì bất phương trình có nghiệm 1 2( ; )x x x∈ Giáo viên : Nguyễn Thượng Võ Nguồn : Hocmai.vn