Giáo án lớp 12 môn Hình học - Chương II: Phương pháp tọa độ trong không gian

CHƯƠNG II : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM Lí thuyết cần nhớ: 1.Tọa độ của vectơ Định nghĩa: Trong kg(Oxyz ) cho vectơ tùy ý ,do ,,không đồng phẳng nên tồn tại bộ ba số thực (x ; y ; z) sao = x+ y+ z Bộ ba số (x ; y ; z) gọi là tọa độ của vectơ , kí hiệu:= ( x ; y ; z ) Vậy = ( x ; y ; z ) Û = x+ y+ z Các tính chất: = ( x ; y ; z ) , = ( x’ ; y’ ; z’ ) + = ( x + x’ ; y + y’; z + z’ ) - = ( x – x’ ; y – y’; z – z’ ) k = ( kx ; ky ; kz ) 2. Tọa độ của điểm : Định nghĩa : Trong kg(Oxyz ) cho điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa của điểm M . Vậy nếu = (x ; y ; z) thì bộ ba số (x ; y ; z) là tọa độ của điểm M , Ta viết : M ( x ; y ; z ) M ( x ; y ; z ) Û = x+ y+ z Các tính chất : A ( xA ; yA ; zA ) , B ( xB ; yB ; zB ) ta có ; AB = ( xB – xA ; yB – yA ; zB – zA ) AB = M là trung điểm của đoạn AB Û G(xG;yG; zG) là trọng tâm tứ diện ABCD Û 3 .Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ : Cho hai vectơ = ( x1; y1 ; z1 ) , = ( x2 ; y2 ; z2 ) ta có : . = x1x2 + y1y2 + z1z2 Û x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0 | | = cos = và cùng phương với nhau Û x1: y1: z1= x2 : y2: z2 4 . Tích có hướng của hai vectơ: a. Định nghĩa : Cho hai vectơ = ( x1; y1 ; z1 ) , = ( x2 ; y2 ; z2 ). Tích có hướng của hai vectơ và là một vectơ kí hiệu là [, ] và [,] = b. Các tính chất : cùng phương với Û [,] = [,] , [,] |[,]| = ||.||sin c.Diện tích tam giác : Diện tích tam giác ABC được tính bởi công thức: S = |[AB, AC ]| d.Thể tích : Thể tích V của hình hộp ABCD. A’B’C’D’ được tính bởi công thức: V = |[AB, AD ].AA’| Thể tích V của tứ diện ABCD được tính bởi công thức : V = |[AB , AC ]AD | e. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ : Ba vectơ ,, đồng phẳng Û [,].= 0 Ba vectơ ,, không đồng phẳng Û [,].¹ 0 Bốn điểm A,B,C,D đồng phẳng Û đồng phẳng Bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng Û không đồng phẳng Bài Tập 1/ Cho ba vectơ = ( 2;1 ; 0 ),= ( 1; -1; 2) , = (2 ; 2; -1 ). Tìm tọa độ của vectơ : = 4- 2+ 3. Chứng minh rằng 3 vectơ ,,không đồng phẳng . Hãy biểu diển vectơ = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ ,,. 2/ Cho 3 vectơ = (1; m; 2),= (m+1; 2;1 ) ,= (0 ; m-2 ; 2 ) .Định m để Vectơ đó đồng phẳng . 3/ Cho 3 điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ). Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành . Tìm tọa độ giao điểm của hai đường chéo. c.Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đó đường cao tam giác ABC vẽ từ A. d.Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC . 4/ Cho 4 điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ). a.Chứng minh 4 điểm A, B , C , D không đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD b.Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD . c.Tính diện tích tam giác ABC , từ đó suy ra chiều cao của tứ diện vẽ từ D. d.Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện vẽ từ D . 5/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3),C(-3;5;4) Tìm độ dài các cạnh của tm giác ABC. Tính cosin các góc A,B,C . Tính diện tích tam giác ABC II . PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG A. Lí thuyết cần nhớ : 1. Định nghĩa : Vectơ ¹ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với ( a ). Kí hiệu : ^ ( a ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu hai vectơ ,¹ ,không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song hoặc nằm trong (a ) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( a ). Chú ý : Nếu ( a ) có cặp vectơ chỉ phương ,thì (a ) có một vectơ pháp tuyến= [,] 2.Phương trình mặt phẳng: M ặt phẳng ( a ) qua M0( x0 ;y0 ; z0 ) có vtpt = ( A; B; C ) có phương trình là : A ( x – x0 ) + B (y – y0) + C ( z – z0 ) = 0 3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng : Cho hai mặt phẳng : (a) Ax + By + Cz +D = 0 và (a’) A’x + B’y + C’z + D’= 0 Khi đó hai mặt phẳng (a) và (a’) lần lượt có VTPT : = (A;B; C),=(A’;B’;C’) (a) và (a’) cắt nhau Û và không cùng phương Û A:B:C ¹ A’: B’: C’ (a) // (a’) Û (a) º (a’) Û 4/ Chùm mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (a) Ax + By + Cz +D = 0 (a’) A’x + B’y + C’z + D’= 0 a.Định lí : Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của (a) và (a’) đều có phương trình dạng: l( Ax + By + Cz +D) +m ( A’x + B’y + C’z + D’) = 0 , l2+m2 ¹ 0 (1). Ngược lại mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao tuyến của (a) và (a’) b.Định nghĩa: Tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt (a) và (a’) gọi là chùm mặt phẳng. Phương trình (1) gọi là phương trình chùm mặt phẳng. B.Phương pháp chung lập phương trình của mặt phẳng : Để lập phương trình của một mặt phẳng ta cần tìm một điểm thuộc mặt phẳng và vtpt của nó hay tìm cặp vtcp của nó Sử dụng phương trình chùm mặt phẳng. 1/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( a ) trong các trườnghợp sau: (a) đi qua M (3; 2; -5 ) và vuông góc với trục Oz . (a) là mặt trung trực của đoản AB với A( 3; -5; 4 ), B( 1 ; 3; -2 ). (a) qua N( 3; 2;-1 ) và song song với mặt phẳng Oxz . 2/Viết phương trình mặt phẳng (a) trong các trường hợp sau: a. (a) đi qua hai điểm M( 1; -1; 2 ) , N( 3; 1; 4 ) và song song với trục Oz . b. (a) đi qua ba điểm A(1; 6; 2 ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; 6 ) . (a) đi qua hai điểm D( 1; 0; 0 ) ,E( 0; 1; -1 ) và vuông góc với mặt phẳng : (P): x + y – z = 0 . (a) qua điểm I( 3; -1; -5 ) và vông góc với hai mặt phẳng : ( a1): 3x –2y + 2z +5 = 0 , (a2 ): 5x – 4y + 3z +1 = 0 . 3/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng : (a1): 2x + 3y – 4 = 0 , (a2) : 2y – 3z – 5 = 0 , (a3) : 2x + y – 3z –2 = 0. a. Viết phương trình mặt phẳng ( a ) quađiểm M( 1;3; -4 ) giao tuyến của(a1) ,(a2) b. Viết phương trình mặt phẳng ( b ) qua giao tuyến của (a1) ,(a2) đồng thời vuông góc với (a3) . 4/Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : d1:: , (d2) : . Viết phương trình mặt phẳng (a) qua (d1) và song song với (d2). Viết phương trình mặt phẳng (a1) qua M (1 ;–3; 5 ) và song song với hai đường thẳng (d1), (d2) . 5/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho điểm M( 2;-1 ; 1) và đường thẳng d: . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d. 6/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: và vuông gócvới mặt phẳng (Q): 2x – 3y + z + 3 = 0 II. ĐƯỜNG THẲNG A. Lí thuyết cần nhớ Vectơ ¹ nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đưỡng thẳng (d) gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d). Đường thẳng (d) đi qua điểm M0( x0; y0 ; z0 ) có vectơ chỉ phương = ( a; b; c) có phương trình tham số là : t Ỵ R Phương trình chính tắc : . Phương trình tổng quát của đường thẳng : (1) trong đó A2+B2+C2 ¹ 0, A’2+B’2+C’2¹ 0 , A:B:C ¹ A’:B’:C’. Chú ý: Nếu đường thẳng có phương trình dạng (1) thì nó có một vectơ chỉ phương = () B.Phương pháp chung để lập phương trình của đường thẳng: Để lập phương trình của một đường thẳng ta sử dụng một trong hai cách sau: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng và một điểm thuộc đường thẳng. Viết phương trình hai mặt phẳng phân biệt và chứa đường thẳng đó. Chú ý : Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó nhận vtpt của mặt phẳng làm vtcp. C.Một số cách viết phương trình đường thẳng thường gặp: 1/ Bài toán 1:Viết phương trình hình chiếu vông góc của đường thẳng (d) trên mặt phẳng (a ). Cách giải : Viết phương trình mặt phẳng (b ) qua đường thẳng (d ) và vuông góc với (a ). ( Mặt phẳng (b ) nhận vtcp của(d) và vtpt của (a ) làm cặp vtcp ) Hình chiếu vuông góc (d’) của (d) trên (a ) là giao tuyến của (a ) và (b ). 2/ Bài toán 2: Viết phương trính đường thẳng (d) đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng (d1) , (d2) cho trước .( M Ï (d1),(d2)) . Cách giải : Viết phương trình mặt phẳng ( M,(d1)) Viết phương trình mặt phẳng (M,(d2)) (d) = (M,(d1)) Ç (M,(d2)). 3/ Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng (d ) qua M cắt đường thẳng (d1) và vuông góc với (d2). Cách giải : Viết phương trình mặt phẳng (a ) qua M và (d1). Viết phương trình mặt phẳng (b ) qua M và (b )^ (d2). (d) = (a) Ç (b). 4/ Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d ) đi qua điểm M cắt đường thẳng () và vuông góc với (). Cách giải: Viết phương trình mặt phẳng (a) qua M và vuông góc với (). Viết phương trình mặt phẳng (b) qua M và (). (d) = (a) Ç (b) . Ghi chú :Ta có thể giải bài toán như sau. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua M và vuông góc với (). Tìm giao điểm N của () và(a ). Viết phương trình đường thẳng MN đó là đường thẳng (d) cần tìm. 5/ Bài toán 5: Cho đường thẳng () và mặt phẳng (a ) cắt nhau tại điểm M .Viết phương tình đường thẳng (d) đi qua M nằm trong (a ) và (d)^ (). Cách giải : Viết phương trình mặt phẳng (b) qua M và (b)Vuông góc với (d) . (d) = (a)Ç (b). 6/ Bài toán 6 : Viết phương trình đường thẳng () có vtcp và cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) cho trước. Cách giải : Viết phương trình mặt phẳng (a) qua (d1) và nhận làm một vtcp. Viết phương trình mặt phẳng (a) qua (d2) và nhận làm một vtcp. (c) = (a)Ç (b). Chú ý : Nếu () là đường vuông góc chung của (d1) ,(d2) thì () có vtcp là tích có hướng của hai vtcp của (d1), (d2) . Nếu (D) ^ mp(a) thì (D) nhận VTPT của (a) làm VTCP D.Bài tập : 1/ Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng (): Qua hai điểm M( 2; -3; 5), N( 1; -2; 3). Qua A(1; -1; 3) và song song với BC trong đó B(1; 2; 0 ),C(-1; 1; 2) Qua D(3; 1; -2) và vuông góc với mặt phẳng 3x + 4y – zz +5 = 0 2/ Cho đường thẳng (d) có phương trình tổng quát . Hãy viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của (d). 3/ Cho đường thẳng (d) : và mặt phẳng (a): x –2y + z +5 = 0. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (a). 4/ Cho hai đường thẳng: (d1) , (d2): . a.Viết phương trình đường thẳng (d) qua A( 0; 1; 1) vuông góc với (d1) và cắt (d2). b. Viết phương trình đường thẳng (D )Qua điểm M(1; 0; -2 )và vuông góc với hai đường thẳng (d1), (d2). 5/ Viết phương trình đường thẳng qua A( 3; -2; - 4),song song với mặtt phẳng : 3x – 2y – 3z – 7 = 0 đồng thời cắt đường thẳng (d): 6/ Lập phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai đường thẳng : (d1): , (d2):. 7/ Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng : (d1): , (d2): IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. LÍ THUYẾT : 1/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng : (d) :,( d’ ): (d) qua M0(x0 ;y0 ;z0) ,có VTCP = ( a; b; c) (d’) qua M’0(x’0 ;y’0 ;z’0) ,có VTCP = ( a’; b’; c’) (d) và (d’) đồng phẳng Û (d) và (d’) cắt nhau Û và a:b:c ¹ a’:b’:c’ (d)//(d’) Û a:b:c = a’:b’:c’¹ (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0) (d) º (d’) Û a:b:c = a’:b’:c’ = (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0) (d) và (d’) chéo nhau Û 2/ Vị trí tương đối của đường thẳng và của mặt phẳng : Cho đường thẳng (d) có pt: và Mặt phẳng (a ) có phương trình : Ax + By +Cz + D = 0 Đường thẳng (d) qua M0(x0 ;y0 ;z0) , có VTCP = ( a; b; c) .Mặt phẳng (a ) có VTPT (d) cắt (a ) Û . ¹ 0 Û Aa +Bb +Cc ¹ 0 . Û (d) Ì (a ) Û Û Chú ý : Khi (d) cắt (a ) để tìm tọa độ giao điểm của (d) và (a ) ta giải hệ gồm các phương trình của (d) và (a ) BÀI TẬP : Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau ,nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm : a/ d: và d’ b/ d: và d’: c/ d: và d’: d/ d: và d’: Bài 2 : Xét vị trí tương đố cảu đường thẳng và mặt phẳng sau , nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm của chúng: a/ d: và (a) : 3x + 5y – z – 2 = 0 b/ d: và (a): 5x – z – 4 = 0 c/ d: và (a) : 4x + 2y – 8z +2 = 0 d/ d: và (a) : 2x + y – z –3 = 0 Hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng , trên đường thẳng: 1/ Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (a) Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm M và (D)^ (a) Tìm giao điểm của (D) với (a) đó là điểm cần tìm. 2/ Tìm điểm M’ đối xưng với điểm M qua mặt phẳng (a) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (a) . M’ đối xứng với M qua (a) Û H là trung điểm đoạn MM’. 3/ Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường đương thẳng (d). Viết phương trình mặt phẳng (a) qua M và (a) ^ (d). Tìm giao điểm của (a) với (d) , đó là tọa độ H cần tìm. 4/ Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d) . Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d). M’ đối xứng với M qua (d) Û H là trung điểm đoạn MM’. Bài tập : 1/ Cho điểm M(2; 1; 4) và đường thẳng (d) :. Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d). Tìm điểm M’ đối xưng với M qua (d). 2/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho N( 2; -3; 1 ) và mặt phẳng (a) : x + 2y – z + 4 = 0. Tìm hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng . b.Tìm điểm N’ đối xứng với N qua (a). 3/ Cho mặt phẳng (a) : 2x + y + x – 2 = 0 , và đường thẳng (d) :. a. Chứng minh (d) cắt (a) . b. Tìm tọa độ giao điểm A của (d) với (a). c.Viết phương trình đường thẳng (D) qua A vuông góc với (d) đồng thời nằm trong mặt phăng (a). 4/ Cho (d) : , (a) : x +3y – 2z – 5 = 0. Định m để: a). (d) cắt (a) b). (d) // (a) c). (d) ^ (a). V. KHOẢNG CÁCH , GÓC : LÍ THUYẾT : Cần học thuộc các công thức : khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và đến đường thẳng , khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Góc giữa hai đường thẳng , góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , góc giữa hai mặt phẳng . BÀI TÂP: 1/ Tính khoảng cách từ các điểm M1(1;-3;4) , M2( 0;4 ;1) , M3( 2;-1;0 ) đến mặt phẳng (a) : 2x –2y + z – 5 = 0 2/ Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng D: 3/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : (D1): và (D2): 4/ Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (a):x+ y + 2z – 4 = 0 . Tính góc giữa d và (a) 5/ Tìm trên Oz điểm M cách đều điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 = 0 6/ Cho đường thẳng (d):và mặt phẳng (a) : 2x – y – 2z +1 = 0. Tìm các điểm M Ỵ (d) sao cho khoảng cách từ M đến (a) bằng 3 . 7/ Cho hai đường thẳng (d1): và (d2): Tìm hai điểm M,N lần lượt trên (d1) và (d2) sao cho độ dài đoạn MN nỏ nhất. VI. MẶT CẦU: Lí thuyết cần nhớ: 1/ Phương trình Mặt cầu: a.Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) có bán kính R có phương trình là: ( x- a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R2 b.Phương trình : x2+y2+z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 ,a2+b2+c2- d > 0 là phương trình của mặt cầu có tâm I(a;b;c) , bán kính R = 2/ Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng : Cho mp(a) :Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S) có phương trình: (x – a)2+ (y – b)2 + (z – c)2 = R2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I(a;b;c) của (S) trên (a) Vậy Nếu IH < R thì (a) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn ( C)có tâm H ,có bán r = Phương trình của đường tròn (C) : Nếu IH = R thì (a) tiếp xúc với (S) tại H .(a) gọi là mặt tiếp diện của mc(S) Nếu IH > R thì (a) và (S) không có điểm chung B.Các dạng bài tập thường gặp: 1/ Tìm tâm và bán kính của mặt cầu sau : a) x2 + y2 + z2 – 8x + 2y +1 = 0 b) x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – 4 = 0 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 9y + 12z – 4 = 0 2/ Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau : (S) có tâm I ( 1; -2 ; 3 ) và đi qua điểm M( 3 ; 2 ; 4 ). (S) có đường kính AB với A(1; 4 ; 5), B ( 3; -2; 7 ). (S) có tâm I( 0 ; 4; 3 ) và tiếp xúc với mặt phẳng (a) : 2x + y – 2z + 8 = 0 (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( 3; 2; 6 ), B( 3; -1; 0 ),C( 0; -7; 3 ),D(-2;1; -1). 3/ Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A( 1; 2; - 4 ) , B( 1; - 3; 1 ) C( 2; 2; 3 ) và có tâm I nằm trên mặt phẳng Oxy. 4/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2+y2+z2 = 4và mặt phẳng (a): x + z = 2. Chứng minh rằng mp(a) cắt mặt cầu (S). Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của (a) với (S). 5/ Cho (d) : và mặt phẳng (a) :2x - y – 2z –2 = 0 .Viết phương trình mặt cầu có tâm I Ỵ (d) cách (a) một đoạn bằng 2 và cắt mặt phẳng (a) theo giao tuyến là đườngtròn có bán kính bằng 3 . 6/ Cho đường thẳng (d): và hai mặt phẳng(a): x+ y -2z +5 = 0 , (b) : 2x – y + z + 2 = 0 .Viết phương trình mặt cầu có tâm trên (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (a) , (b). 7/ Cho dường tròn ( C ) : Tìm tâm và bán kinh của ( C ). Lập phương trình mặt cầu (S) chứa đường tròn ( C ) và có tâm trên mặt phẳng (p): x + y + x + 3 = 0. 8/ Lập phương trình mặt tiếp diện của mặt cầu (S):x2+y2+z2 – 6x– 2y+4z+5 =0. Tại điểm M(4; 3; 0 ). 9/ Lập phương trình mặt (a) tiếp xúc với mặt cầu x2+y2+z2 –26x– 2y-2z –22= 0 biết (a) song song với ( b ): 3x – 2y + 6z +14 = 0. 10/ Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d):và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 + y2+ z2 – 2x + 6y+ 2z + 8 = 0 BÀI TẬP RÈN LUYỆN. . Bài 1: Viết tọa độ của các vectơ sau : , , , Bài2 : Cho ba vectơ = ( 2;-5 ; 3 ),= ( 0; -2; 1) , = (-1 ; 6; 2 ). Tìm tọa độ của vectơ : = 2- . Chứng minh rằng 3 vectơ ,,không đồng phẳng . Bài 3 : Cho điểm M( - 1; 2 ; 3) . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M . Trên trục Ox . Trên mặt phẳng Oyz. Bài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 2 ; 1) ,B(-2 ; 1 ; 2) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua Oy. Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua xOy. Tìm điểm M chia đoạn A’B’ theo tỉ số - 3 Bài 5: Cho ba vectơ = ( 0;-2 ; 4 ),= ( 1; 3; -1) , = (2 ; 0; 5 ).Tìm tọa độ của : Vectơ . Vectơ biết . Vectơ biết Tìm , e) , g ) Bài 6 : Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2 ; -3) , B(3 ; 2 ; 0) , C ( -4; 2 ; 5). Chứng minh A , B ,C là ba đỉnh của một tam giác . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành . Tìm a , b để điểm M(a+2 ;2b – 1 ; 1) thuộc đường thẳng AC. Bài 7: Cho bốn điểm A(-3 ; 5 ;15) , B(0 ;0 ;7) , C (- 4 ; 2 ; 5) , D(4 ;-3 ; 0) .Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD cắt nhau . Bài 8 : Cho tam giác ABC có A(1 ; 0 ; 3) ,B( 2 ; 2 ;4) , C( 0 ;3 ; -2). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A, từ đó tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính góc C của tam giác . Bài 9: Cho ba điểm A(2 ; 1 ; 0) ,B(0 ; 0 ; 1) ,C(1 ; 1 ; 2 ) . Tính diện tích tam giác ABC, từ đó suy ra độ dài đường cao vẻ từ A của tam giác . Bài 10: Cho tam giác ABC với A(1 ; 1 ; 0) , B(3 ; -1 ; 1) ,C(5 ; 1 ; 3).Tính độ dài đường phân giác trong của góc A. Bài 11: Cho bố điểm A(0 ; -1 ; 0) , B(0 ; 0 ; 2) ,C( 1 ; 0 ; 0) , D(-1 ; 1 ; -2) . Chứng minh rằng A, B, C , D là 4 đỉnh của tứ diện . Chứng minh rằng AC vuông góc với BD . Tính góc tạo bới hai đường thẳng AB và CD . Tính thể tích của tứ dịen và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ A. Bài 12 : Cho ba điểm A(2 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ;0) , C( 0 ; 0 ; 2) ,D(a ; a ; a) với a là hằng số a ≠ 0 . Chứng minh rằng OD vuông góc với mặt phẳng (ABC) với mọi a. Bài 13: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0 ; 0 ; 0) ,B(1 ; 0 ; 0) ,C (0 ; 2 ;0) , A’( 0 ; 0 ; 3). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp . Goi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của A’B’, BC , CD, DD’ . Chứng minh rằng M,N,P,Q đồng phẳng . Tính khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (MNPQ) Bài 14 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Gọi M,N lần lượt là trunh điểm của A’D’ và B’B . Chứng minh rằng MN vuông góc với AC’ . Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD). Tính góc giữa MN và CC’. Bài 15 : Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( a ) trong các trườnghợp sau: a) (a) đi qua A (1; 0; 2 ) và vuông góc với mặt phẳng Oxy . b) (α) đi qua M(2 ; -1 ; -3) và vuông góc với trụcc Ox . c) (a) là mặt trung trực của đoạn AB với A(1; 3; 2 ), B(-1 ; 1; 0 ). (a) qua I(-1; 2;4 ) và song song với mặt phẳng 2x – 3y + 5z – 1 = 0. Bài 16 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; -1;-3) ,B(2 ;1 ; -2) , C(-5 ; 2 ; -6) . Chứng minh A, B , C là ba đỉnh của tam giác . Tính độ dài phân giác ngoài góc A của tam giác ABC. Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC. Bài 17:Cho mặt phẳng (P) : 2x + 5y – 7x +1 = 0 . Hãy xác định vectơ pháp tuyến của (P). Xác định m để điểm A(2m – 1 ; m +2 ; m – 1) nằm trên (P). Tìm tọa độ giao điểm của (P) với các trục tọa độ . Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi (P) và các mặt phẳng tọa độ . Bài 18 : Viết phương trình mặt phẳng : Đi qua A( 1 ; 0 ; 2) và song song với mặt phẳng xOy. Đi qua M(2 ;-1 ; -3) và vuông góc với trục Ox . Đi qua I( -1 ; 2 ; 4) và song song với mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – 1 = 0 . (α ) là mặt trung tực của đoạn AB với A(1 ; 2 ; 3) , B(-1 ; 1 ; 0). (β ) đi qua ba điểm A(-1 ; 2 ; 3) ,B(2 ; -4 ; 3) , C(4 ; 5 ; 6). Đi qua hình chiếu của điểm N( 1 ; -3 ; 1) trên các trục tọa độ . Bài 19:Cho điểm M(1 ; 2 ; 3) . Viết phương trình mặt phẳng (α ) và cắt ba trục tọa độ tại A, B, C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC . Viết phương trình mặt phẳng (β ) và cắt ba trục tọa độ tại N, P , Q sao cho M là trực tâm của tam giác ABC . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba trục tọa độ tại ba điểm cách đều gốc tọa độ. Bài 20 :Viết phương trình mặt phẳng : Đi qua hai điểm A(1 ;1 ;0) ,B(-1 ; 2 ; 7) và vuông góc với mặt phẳng (α) :2x–3y+z–7 = 0. Đi qua M(0 ;2; -1) , song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (β) x – y +z = 0 . Đi qua N(-3;0;1) và vuông góc với hai mặt phẳng (P):2x–3y+z –2 = 0 ;(Q):x + 5y–2z = 0 Bài 21: Cho tứ diện ABCD có A(5 ; 1 ; 3) ,B(1 ; 6 ; 2) , C(5 ; 0 ; 4) ,D(4 ; 0 ;6) . Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD . Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và song song với mặt phẳng (ABC ) . Bài 22: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau : a) 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và 3x – y +z – 1 = 0 . b) – x +y – z + 4 = 0 và 2x – 2y + 2z – 7 = 0. c) x + y + z – 3 = 0 và 2x – 2 y + 2 z – 3 = 0. d) 3x + 3y – 3z – 12 = 0 và 4 x + 4y – 4z – 16 = 0. Bài 23 : Cho hai mặt phẳng có phương trình :(m2–5)x – 2y + mz + m – 5 = 0 và x + 2y – 3nz +3 = 0 . Tìm m , n để hai mặt phẳng : Song song với nhau . Trùng nhau . Cắt nhau . Bài 24 : Cho hai mặt phẳng : 3x – (m – 3)y +2z – 5 = 0 và (m + 2)x – 2y + mz – 10 = 0 .Tìm m để : Hai mặt phẳng song song với nhau . Hai mặt phẳng trùng nhau . Hai mặt phẳng cắt nhau . Bài 25 : Viết phương trình mặt phẳng : Đi qua A(1 ; 2 ; 1 ) và chứa trục Oy . Đi qua giao tuyến của hai măt phẳng : x – 3z +1 = 0 , 2y +3z – 5 = 0 và vuông góc với mặt phẳng 2x – y – 1 = 0 . Đi qua giao tuyến của hai măt phẳng 3x – y + 3z +8 = 0 , -2x – y +z +2 = 0 và song song với mặt phẳng x – y – 1 = 0. Bài 26 : Viết phưo8ng trình tham số , ptct của đường thẳng đi qua hai điểm A(-1 ; 4 ; 3) ,B(2 ; 1 ; 1). Bài 27 : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng đi qua M(2 ; 5 ; -3) và chứa đường thẳng và mặt phẳng Oxy. Bài 28 : Viết phương trình chính tắc của đường thẳng : a) Có phương trình tổng quát : . b) Đi qua điểm M( 1 ; - 2 ; 3) và song song với đường thẳng : c) Đi qua điểm N( 2 ; 3 ; - 4) và vưông góc với mặt phẳng x -2y + z – 6 = 0 d) Đi qua điểm A( - 2 ; 5 ; 1 ) và song với đường thẳng e) Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (P): x -2y + 3z – 1 = 0 với mặt phẳng yOz . Bài 29: Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau : a) d: và d’: b) d: và d’: c) d: và d’: d) và d’ : . Bài 30 :Chứng minh rằng đường thẳng d: nằm trong mặt phẳng (P):4x – 3y +7z =