Giáo án lớp 12 môn Hình học - Khối Đa diện – Khối tròn xoay (tiếp)

A. KHÁI NIỆM CƠ BẢN I. KĨ NĂNG CƠ BẢN 1. Xác định hình chiếu của một điểm A trên một mặt phẳng(P) +chọn mf(Q) hợp lí + trong mf(Q) dựng 2. Xác định khoảng cách của A tới đường thẳng ∆ +Chọn mf(P) chứa A, ∆ +Trong mf (P) dựng + d(A;∆)=AH 3. Xác định khoảng cách của A tới mặt phẳng (P) +Xác định + d(A,(P))=AH 4. Xác định góc của đường thẳng ∆ và mặt phẳng(P) + Xác định +Với Xác định + Xác định 5. Xác định góc của mặt phẳng (P) và mặt phẳng(Q) +Xác định giao tuyến của +Với Xác định +Trong mf(P). Xác định + Xác định 6. Xác định hình trụ qua thiết diện chứa trục + Xác định thiết diện một hình chữ nhật chứa trục OO’ + Trong hình chữ nhật thiết diện . Xác định các yếu tố giả thiết cho và các đại lượng cần tìm nhiều nhất 7. Xác định hình nón qua thiết diện chứa trục + Xác định thiết diện một tam giác cân chứa trục OO’ + Trong hình tam giác cân thiết diện . Xác định các yếu tố giả thiết cho và các đại lượng cần tìm nhiều nhất 8. Xác định tâm mặt cầu qua trục của đường tròn ngoại tiếp + Xác định đường thẳng (∆)vuông góc tâm đường tròn ngoại tiếp đáy + Xác định mf trung trực(P) của cạnh bên hợp lí + Xác định giao điển của mf (P) với trục(∆): tâm mặt cầu B. BÀI TẬP I. KHỐI CHÓP 1.Khối chóp tam giác Bài 1.1 Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA=2a vuông góc với (ABC). Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của A trên SB,SC. Tính V của A.BCNM Bài giải Ta có Trong tam giác vuông SAB ta có B S A C N M I J Vậy Mặt khác Vậy Bài 1.2 Cho tam giác ABC vuông,cân tại A BC=2a. M trong không gian sao cho MA=MB=MC=b. B A M C H Tính V của hình chóp M.ABC Bài giải Gọi Từ Ta có Nên H trung điểm BC Vậy ta có Nên Bài 1.3 Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA=SB=SC=a. . CMR ∆ACB vuông và tính V của S.ABC theo a Bài giải Trong tam giác đều SCB: BC=a Trong tam giác vuông SCA : Trong tam giác cân SAB: Vậy tam giác ABC vuông tại C Dựng A B C S H Hay H trung điểm B Bài 1.4 Cho đường tròn (C ) có đường kính AB=2R. M trung điểm của cung AB. Trên tia Ax vuông góc với (C) lấy S sao cho SA=h. Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SB, cắt SB và SM tại H và K. Tính V của S.AHK theo R và h • M A S B H • K • I • O Bài giải Trong Trong (C ) dựng At//MO cắt BM tại I Trong (SBM) dựng IH cắt SM tại K Ta có Ta có Bài 1.5 Cho ∆ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc (ABC) tại A lấy S sao cho SA= h. Đường thẳng đi qua trực tâm H của ∆SBC và vuông góc với (SBC) cắt (ABC) tại O cắt d tại K. CMR O là trực tâm của ∆ABC b. Tính SA.SK và từ đó xác định h theo a để SK ngắn nhất Bài giải a. Ta có Tương tự Vậy C I K S A B H • • O M N b. Trong ∆ SIK Mặt khác Xét Dựa BBT ta có h f’ f 0 0 + + 0 m Bài 1.6 ( Tương tự) Cho ∆ABC cân có đáy là BC nằm trong mf(P). Gọi H hình chiếu của A trên (P) và ∆HCB vuông . Tính S của ∆ABC biết BC=16,HA=6 2. Hình chóp tứ giác đều Bài 1.8 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có trung đoạn bằng a. Góc giữa cạnh bên với cạnh đáy bằng ά. Tính thể tích của S.ABCD theo a và ά Bài giải Hãy xác định a và Từ S.ABCD là một hình chóp tứ giác đều nên: Dựng Vậy SM=a, Ta có Vậy S A B C D H M Bài 1.9 Cho hình chóp có đáy là một hình vuông tâm O cạnh .Các cạnh bên SA=SB=SC=SD= 2a. Tính thể tích của S.ABCD và tìm tâm (S) ngoại tiếp S.ABCD S A B C D H M O • Bài giải Từ S.ABCD là một hình chóp tứ giác đều nên: Dựng Vậy + + Xét (S) ngoại tiếp S.ABCD M trung điểm SA Vậy O tâm của (S) Ta có Từ Bài 1.10 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm CB. CMR MN vuông góc DB. Tính khoảng cách MN,AC theo a Bài giải Từ S.ABCD là một hình chóp tứ giác đều nên: Dựng B N S A C D H M E I Gọi I trung điểm SA SEAD hình bình hành nên MI//AD N trung điểm BC Vậy ta có MICN là hình bình hành Từ MN//CI Vậy d(MN,AC)=d[MN,(SAC)] +Trong (ABCD) dựng Vì Vậy 3. Hình chóp tứ giác Bài 1.11 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a. đường cao SB=. Gọi M hình chiếu của B trên SD, (BCM) cắt SA tại N. Tính khoảng cách của B đến mf(SAD) và thể tích của S.BMN Bài giải ABCD hình vuông cạnh a trung điểm SD Ta có S B A C D N M Bài 1.12 Cho hình chóp S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh a, . Gọi M,N lần lượt thuộc BC,CD: S A B D C N M E Bài giải Ta có E trung điểm CD M trung điểm BC Vậy Vậy Bài 1.13 S A B N C D M I Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật AB=a, AD=. SA=a và vuông góc (ABCD). Gọi M,N lần lượt trung điểm AD và SC, I giao điểm BM với AC. CMR , Tính VANIB Bài giải Ta có Vậy Vậy Ta có Từ Bài 1.14 Cho hình chóp đáy là một hình thang vuông tại A,D SAđáy. Biết AD=DC=a, AB=2a S A D C B M . Tính góc của (SB;DC) và (SD;BC) Bài giải Ta có AB//CD Trong Vậy (SB,CD)=300 Gọi M trung điểm AB. Vậy DM//BC (SD,CB)=(SD,DM)= DS=SM MD=a Trong ∆SMD ta có Bài 1.15 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật AB=a, AD=b. SA=2a. M,N trung điểm SA,SD Tìm a,b để Bài giải S A B N C D M Bài 1.16 S A B H C D N M K Cho hình chóp S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh 2a,SA=a ; và (SAB) vuông góc đáy. Gọi M,N lần lượt trung điểm AB,BC. Tính theo a V(S.BMDN) và cosin (SM,DN) Bài giải Từ Từ Trong ∆SAB Vậy Vậy Trong (ABCD) MK//DN Ta có SM=SA=a; Vậy cos(DN,SM)= Bài 1.17 Cho hình chóp S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh a. SA tạo đáy một góc . Tính V(S.ABCD) Hướng dẫn Bài 1.18 Cho hình chóp S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh a. ∆SAD đều và vuông góc đáy D S A H B C M N P Gọi M,N P lần lượt trung điểm SB,SC,SD . Tính V (CMNP), CMR Bài giải Từ Trong (SAD) dựng Theo giả thiết ta có (MNP)//(CDB) Vậy 4. Một vài ví dụ liên quan đến góc 2 mặt phẳng, nhị diện Bài 1.19 Cho S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh a. SA=a vuông góc đáy. Tính khoảng cách từ C đến (SBD) và cosin [B,SC,D] Bài giải Trong (SAC) dựng Dựng S A B C D M O • I • J Vậy + Trong (SCA) Từ Ta có Vậy [B,SC,D]=1200 Chú ý (BCS,DSC)=600 D S A H B C M N I Bài 1.20 Cho hình chóp S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh a . ∆SAD đều và vuông góc đáy. Gọi H trung điểm AD. Tính [B,SC,D] Bài giải Trong hình vuông ABCD. M trung điểm CD Trong (SCH) dựng Hay Cách tính tương tự Các bài tập tương tự Bài 1.21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm O. Biết độ dài đường chéo AC=6; BD=2 đường cao OS=. Tìm vị trí M để số đo nhị diện [M,AC,D]=1200 Bài 1.22 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy ABCD là một hình vuông cạnh a. SA vuông góc (ABCD). SA=. Tính số đo của góc nhị diện tạo bởi (SAB,SCD) Bài 1.23 Cho hình chóp S.ABCD đáy là một hình vuông cạnh a, . Tính [B,SC,D] Bài 1.24 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O, AC=a,SB=SD=DB=b. trên OC lấy M (không trùng O,C) AM=x. mf(P)chứa M và //(SBD) cắt hình chóp theo thiết diện (Q). Tính S của (Q) II. KHỐI LĂNG TRỤ 1. Khối lăng trụ đều Bài 2.1 Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có AA’=h, AB=a. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,AC,CC’. (MNP) cắt BB’ tại Q. Tính V(PQBCNM) theo a và h Bài giải A B M C N P Q A’ B’ C' E F Trong (ABC) Dựng Từ MN//BC,FE//BQ Ta có (MFE)//(NCP) Hay MFE.NCP lăng trụ VPQBCNM=VM.BFEQ+VMFE.NCP=V1+V2 Vậy V= Bài 2.2 Cho một khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh bên và cạnh đáy bằng nhau bằng a. Gọi MNP lần lượt là trung điểm BC,CC’và A’C’ CMR, Xác đinh và tính diện tích do (MNP) cắt lăng trụ Bài giải Trong (CAA’C’) Trong (ACB) Trong (ABB’A’) Ta có Từ Ta có B C Q A’ B’ A M N P C' Q E S A C I M B E K I P’ Q’ Ta có Trong tam giác đều ABC ta có Vậy STD= Bài 2.3 Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi MNEF lần lượt là trung điểm AB,CC’BC và A’D’.CMR (DEB’F) là mặt phẳng trung trực của MN. B C’ D’ A’ A C C’ N B’ D’ M E F I D Xác định và tính diện tích thiết diện do (MEF) cắt lập phương Bài giải Trong (ABCD) ta có Từ ABCD hình vuông Vậy Tương tự trong hingf vuông B’C’CB Vậy ta có Với EB=BM= Vậy (EDFB’) là mặt phẳng trung trực của MN Diện tích thiết diện Gọi OO’ trục lập phươmg Vì ME//CA//C’A’ Trong (ABCD) dựng J B M A C C’ E N K D’ F Q I O P D K’ F’ Trong (A’B’C’D’) Dựng cắt B’D’ tại J Trong (BB’D’D) dựng Trong (C’A’AC) dựng PQ//CA,cắt AA’=Q Vì N trung điểm CC’ nên N thuộc () Vậy thiết diện là {MENKFQ} Gọi K’F’ hình chiếu của K,F trên (ABCD) Nếu Ta có STD= Vậy STD= A Bài 2.4 Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I,K trung điểm A’D’ và B’B A A’ D’ I B’ B D C C’ K I’ P M N E F CMR . Tính k/c giữa IK, AD theo a Bài giải Gọi I’ trung điểm BC Từ P tâm hình vuông B’C’CB D’P//IK và Vậy Ta có ; Vậy Trong (ABB’A’) E trung điểm A’B’ vậy Bài 2.5 Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi MNP trung điểm BB’,CD,A’D’ Tính góc và khoảng cách của MP và C’N Bài giải E trung điểm CC’ Trong hình vuông DCC’D’ D C N C’ A A’ D’ P B’ B M I E Vậy Và Gọi H trung điểm PM Bài 2.6( Tương tự) Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 2a. Gọi M trung điểm BC,N thuộc AC’ (khác A). CMR khoảng cách (AB’D’) và (AMB’) không phụ thuộc vị trí của M 2.Khối lăng trụ bất kì Bài 2.7 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Đỉnh A’cách đều A,B,C. Cạnh bên AA’tạo đáy góc 600. Tính V của lăng trụ Bài giải Nếu ta có A B C G A’ B’ C’ Vậy V=SABC.h Từ A’B=A’C=A’AG tâm của ABC Vậy Vậy Bài 2.8 A B C B’ A’ C’ H H’ I Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy là một tam giác vuông tại A, AB=a,AC. Hình chiếu của A’ trên (ABC) là trung điểm CB. Tính V A’ABC và cosin của góc giữa (AA’,B’C’) Bài giải Từ và HA=HC Ta có V=SABC.A’H Trong (ABC): BC=2a Nên Vậy Từ AA’//CC’,B’C’//BC Trong (ABC) dựng Gọi (B’C’,A’A) Ta có Vậy Vậy Bài 2.9 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là một tam giác vuông AB=BC=a. Cạnh bên AA’=. Gọi M, I lần lượt là trung điểm AB,BC . Mạt phẳng (P) đi qua M vuông góc với B’C Tính theo a khoảng cách (AI,B’C) Xác định và tính diện tích của thiết diện do (P) cắt lăng trụ Bài giải Ta có Từ BCC’B’ Hình vuông A B C A’ B’ C’ I M N E F S J (BCCB’): Vậy d(AI,B’C)= Dựng MN//AI cắt BC tại N, AC tại S Dựng NE//BC’, cắt CC’ tại E SE cắt A’A tại F Thiết diên là {MNEF} có diện tích là S Hình chiếu của {MNEF} trên (ABC) là {MNCA} Gọi Vậy ta có Vậy Bài tập tương tự Bài 2.10 Cho hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=2,AD=4AA’=6. Các điểm M,N thỏa mẵn hệ thức. Gọi KI trung điểm AB,C’D’ CMR IKMN đồng phẳng. Gọi diện tích của thiết diên do (MNIK) cắt chữ nhật là S. tìm m=? để S có cực trị Bài 2.11 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a,AD=2a AA’=a. Tính k/c của (AD’;B’C) và thể tích của AB’D’C theo a Bài giải Vậy d(AD’,CB’)= a A B B’ D D’ A’ C’ C Ta có VD’.DAC=VB’.BAC VA.A’B’C’=VC.C’B’D’ Vậy VAB’D’C= Vậy VAB’D’C= III. KHỐI TRÒN XOAY 1. Hình trụ khối trụ Bài 3.1 Cho một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao R. Trên hai đường tròn đáy lấy lần lượt 2 điểm AB sao cho góc hợp bởi AB và trục bằng 300. Tính khoảng cách AB và trục hình trụ Bài giải + Hãy xác định góc của AB và OO’ O’ O B A B’ M Dựng BB’// OO’ cắt (C ) tại B’ +Hãy nhận xét mf(ABB’) và OO’. Suy ra khoảng cách giữa AB và OO’ (ABB’)//OO’ * Trong (C ) dựng * Vậy ta có Bài tập tương tự Bài 3. 2 Cho hình trụ chiều cao =12cm, bán kính đáy= 18 cm, Trên hai đường tròn đáy lấy lần lượt M,N sao cho MN=24 cm. O’ O M N M’ I Tính góc và khoảng cách MN với trục hình trụ Bài giải Ta có h=MM’=OO’=12cm Từ MN=24cm *d(OO’,MN)= * MN tạo trục OO’ =. Ta có Bài 3. 3 Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy A tâm O’ lấy B sao cho AB=2a. Tính Thể tích của khối tứ diện OO’AB Bài giải + Hãy nhận xét tính chất đặc biệt của tứ diện ABOO’ Ta coi tứ diện ABOO’ là A.BOO’. Vậy ta có O’ O B A B’ I + Từ . Dựng Vậy O’ O A B K D C I J Nên Bài tập tương tự Bài 3. 4 Cho hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp hình trụ,. A,B thuộc (C ) C,D thuộc (C’).Tính thể tích của hình trụ theo a biết (ABCD) tạo đáy một góc 450 Bài giải +Hãy xác định góc của (ABCD , đáy) OA=R JK =h Bài tập ra thêm Bài 3. 5 Cho khối lăng trụ tam giác đều cạnh đáy a. Góc giữa đường chéo của mặt bên và mặt đáy của lăng trụ 600 . Tính thể tích của khối trụ nội tiếp lăng trụ đó 2. Khối nón_hình nón Bài 3. 6 Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân, cạnh góc vuông a. Một thiết diện khác đi qua đỉnh hình nón tạo đáy một góc 450. Tính S thiết diện này Bài giải +Theo giả thiết ta có gì? +Theo công thức tính STD ta cần xác định những yếu tố nào? S B A I M O N Bài tập tương tự Bài 3. 7 Cho hình nón có thiết diện qua trục là một Tam giác vuông cân cạnh a. Một thiết diện Đi qua đỉnh hình nón tạo với đáy một góc Bằng 600. Tính diện tích của thiết diện này? Bài 3. 8 Cho khối nón đỉnh S đường cao SO = h, bán kính đáy R. S O M A B Điểm M di động trên SOMặt phẳng (P) đi qua M và song song với đáy cắt khối nón theo thiết diện (T). Tính độ dài OM theo h để thể tích khối nón đỉnh O ,đáy (T) lớn nhất. Bài giải Với r bán kính đáy, h1 đường cao nón +Hãy xác định r và h1 theo hình vẽ Lấy Vậy ta có Ta có MA//OB Đặt Suy ra Vậy Lập bảng biến thiên ta có x V’ V 0 0 0 + 0 h 0 Vậy theo BBT ta có thì Thể tích của khối nón đỉnh O Đáy (T) đạt giá trị Max Bài 3. 9 Cho hình nón có bán kính đáy R thiết diện qua trục là một tam giác đều. Một hình trụ nội tiếp có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính SXQ và STP của hình nón Tính thể tích của hình trụ nội tiếp hình nón theo R S O A D M S M O A B D C Hình không gian Cắt theo thiết diện chứa trục x b. Ta có Ta gọi AD=x và góc Nên ta có a. Tính Sxq; Stp của chóp Sxq = Sd= Vậy Stp=Sxq+Sd= Thể tích hình trụ V== Ra thêm Bài 3.10 Cho hình nón cụt tròn xoay có bán kính lớn bằng R, góc tạo bởi đường sinh với trục là . Thiết diện qua trục có đường chéo cuông góc với cạnh xiên. Tính Sxq Của hình nón cụt đó theo R và 3. Hình cầu – khối cầu Bài 3.11 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích và S khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện Hình theo lát cắt ình biểu diễn KG S M N O I H S A B M H Bài giải Gọi (P) là mf chứa SH Và trung điểm M của AB . Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn ngoại tiếp ∆SMN. Ta có đều . Vậy tâm O của (S) là tâm O của (C ) ngoại tiếp SNM. SC= V= Bài 3.12 Cho hình chóp S.ABC có đáy là một tam giác cân , C S A B M N O AB=AC=a. (SBC)(ACB).SA=SB=a,SC=b. CMR ∆SBC vuông và tính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a,b Bài giải M trung điểm BC Mặt khác Từ Vậy ∆ SBC vuông tại S. Gọi O tâm (S) ngoại tiếp A.CBS . Gọi N trung điểm AS Trong (AMS) dựng cắt AM tại O O tâm cầu (S) Ta có Bài 3.13 S A B I C A’ O t J O’ Cho ∆ ABC cân tại A, nội tiếp trong (C ) tâm O r =2a .Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy S:. Gọi I trung điểm BC. Tính số đo góc của SI với hình chiếu của nó trên (ABC) Tính bán kính của (S) ngoại tiếp S.ABC Bài giải Từ Ta có AI hình chiếu của SI trên (ABC) Gọi (SI,AI). Trong tam giác vuông SAI ta có Ta có AO = 2a trục (C ) Nếu O’ tâm (S) ngoại tiếp S.ABC Gọi J trung điểm SA JO’//OA, cắt Ot tại O’ Bài 3.14 Cho hình tứ diện O.ABC có các cạnh OA=1,OB=2,OC=3 đôi một vuông góc với nhau Tính r cầu nội tiếp tứ diện đó Bài giải O A B C Ta có Stp=SOAC+SOAC+SOBC+SACB Với R bán kính của (S) nội tiếp Ta có Stp Bài 3.15 • I • A B • • N • M x y Cho mặt cầu (S) đường kính AB . Qua A,B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By vuông góc với nhau . Gọi M,N lần lượt thuộc Ax,By sao cho MN luôn tiếp xúc (S) tại I CMR AM.BN=2R2 và tứ diện ABMN có thể tích không đổi