Giáo án lớp 12 môn Hình học - Phương trình , bất phương trình vô tỉ

Phương trình , Bất phương trình vô tỉ Bài 1: Giải phương trình a) - Phương trình được chuyển thành hệ - Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. b) ĐS:x=1/2; x=1 c) ĐS: x=2. d) ĐS: e) - Sử dụng BĐT Bunhia. f) ĐS: x=0 Bài 2: Giải BPT: a) ĐS: x≥1/4 b) ĐK - Biến đôỉ bất phương trình về dạng - Kết hợp ĐK ta có nghiệm của BPT là . c) . d) . ĐK: - Thực hiện phép nhân liên hợp ta thu được BPT . - Kết hợp ĐK thu được nghiệm Cách 2: - Xét 2 TH: Với Với e) ĐK: - Với Đk đó - Đặt . - ĐS: x≤-3 hoặc x≥1. Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: . Giải: Xét hàm số Miền xác định D=. Đạo hàm y’(0)=1>0 nên hàm số ĐB Giới hạn BBT x -∞ +∞ y’ + y 1 -1 Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1. Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực Giải: - Đặt . Phương trình đã cho trở thành: 2t=t2-1+m úm=-t2+2t+1 - Xét hàm số y=-t2+2t+1; t≥0; y’=-2t+2 x 0 1 +∞ y’ + 0 - y 2 1 -∞ - Theo yêu cầu của bài toán đường thẳng y=m cắt ĐTHS khi m≤2. Bài 5: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm dương: . Giải: - Đặt .  Xét x>0 ta có BBT: x 0 2 +∞ f’(x) - 0 + f(x) +∞ 1 - Khi đó phương trình đã cho trở thành m=t2+t-5 út2+t-5-m=0 (1). - Nếu phương trình (1) có nghiệm t1; t2 thì t1+ t2 =-1. Do đó (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t≥1. - Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 1 nghiệm t. - Đặt g(t)=t2+t-5. Ta đi tìm m để phương trình g(t)=m có đúng 1 nghiệm t. f’(t)=2t+1>0 với mọi t. Ta có BBT sau: t 1 g’(t) + g(t) -3 Từ BBT suy ra -3<m< là các giá trị cần tìm. Bài 6: Xác định m để phương trình sau có nghiệm . Giải: - Điều kiện -1≤x≤1. Đặt . - Ta có - Tập giá trị của t là (t liên tục trên đoạn [-1;1]). Phương trình đã cho trở thành: - Xét Ta có f(t) liên tục trên đoạn . Phương trình đã cho có nghiệm x khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm t thuộc . - Ta có . - Vậy Bài 7: Tỡm m để bất phương trỡnh (1) cú nghiệm. Giải: Đặt . Bất phương trỡnh trở thành:(2) (1)cú nghiệm ú(2) cú nghiệm t≥0 ú cú ớt nhất 1 điểm của ĐTHS y= với t≥0 khụng ở phớa dưới đường thẳng y=m. Xột y= với t≥0 cú t 0 + y’ - 0 + | + 0 - y Từ Bảng biến thiờn ta cú m≤. Bài 8: Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm. Giải: Đặt với thỡ x -3 3/2 6 +∞ f’(x) ║ + 0 - ║ f(x) | | 3 3 Vậy t. Phương trỡnh (1) trở thành (2). Phương trỡnh (1) cú nghiệmú Phương trỡnh (2) cú nghiệm tú đường thẳng y=m cú điểm chung với đồ thị y= với t. Ta cú y’=-t+1 nờn cú t 1 3 y’ + 0 - | - | y 3 Bài 9: Cho bất phương trỡnh . Tỡm a để bất phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x[-2;4]. Giải: Đặt . Bất phương trỡnh trở thành: .(2) (1)ghiệm ú (2) cú nghiệm mọi t[0;3] úđường thẳng y=a nằm trờn ĐTHS y=t2-4t+10 với t[0;3] y’=2t-4; y’=0út=2 t 0 2 3 y’ | - 0 + | y 10 7 6 Vậy m≥10. Bài 10: Cho phương trỡnh (1). Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm. Giải: Phương trỡnh đó cho tương đương Đặt t=; t[-1;1]. Khi đú phương trỡnh (1) trở thành 2t+t2=4m. (1) cú nghiệm ú (2) cú nghiệm t[-1;1] Xột hàm số y=f(t)=t2+2t với t[-1;1]. Ta cú f’(t)=2t+2≥0 với mọi t[-1;1]. t -1 1 f’ 0 + | f 3 -1 Từ BBT -1≤4m≤3. HUYấN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRèNH Vễ TỈ I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Bỡnh phương 2 vế của phương trỡnh Phương phỏp Thụng thường nếu ta gặp phương trỡnh dạng : , ta thường bỡnh phương 2 vế , điều đú đụi khi lại gặp khú khăn hóy giải vớ dụ sau và ta sử dụng phộp thế :ta được phương trỡnh : Vớ dụ Giải phương trỡnh sau : Giải: Đk Bỡnh phương 2 vế khụng õm của phương trỡnh ta được:, để giải phương trỡnh này dĩ nhiờn là khụng khú nhưng hơi phức tạp một chỳt . Phương trỡnh giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trỡnh : Bỡnh phương hai vế ta cú : Thử lại x=1 thỏa Nhận xột : Nếu phương trỡnh : Mà cú : , thỡ ta biến đổi phương trỡnh về dạng : sau đú bỡnh phương ,giải phương trỡnh hệ quả Bài 2. Giải phương trỡnh sau : Giải: Điều kiện : Bỡnh phương 2 vế phương trỡnh ? Nếu chuyển vế thỡ chuyển như thế nào? Ta cú nhận xột : , từ nhận xột này ta cú lời giải như sau : Bỡnh phương 2 vế ta được: Thử lại : l nghiệm Qua lời giải trờn ta cú nhận xột : Nếu phương trỡnh : Mà cú : thỡ ta biến đổi 2. Trục căn thức 2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhõn tử chung Phương phỏp Một số phương trỡnh vụ tỉ ta cú thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trỡnh luụn đưa về được dạng tớch ta cú thể giải phương trỡnh hoặc chứng minh vụ nghiệm , chỳ ý điều kiện của nghiệm của phương trỡnh để ta cú thể đỏnh gớa vụ nghiệm Vớ dụ Bài 1 . Giải phương trỡnh sau : Giải: Ta nhận thấy : v Ta cú thể trục căn thức 2 vế : Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh . Bài 2. Giải phương trỡnh sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : Giải: Để phương trỡnh cú nghiệm thỡ : Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trỡnh , như vậy phương trỡnh cú thể phõn tớch về dạng , để thực hiện được điều đú ta phải nhúm , tỏch như sau : Dễ dàng chứng minh được : Bài 3. Giải phương trỡnh : Giải :Đk Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trỡnh , nờn ta biến đổi phương trỡnh Ta chứng minh : Vậy pt cú nghiệm duy nhất x=3 2.2. Đưa về “hệ tạm “ a) Phương phỏp Nếu phương trỡnh vụ tỉ cú dạng , mà : ở dõy C cú thể là hàng số ,cú thể là biểu thức của . Ta cú thể giải như sau : , khi đĩ ta cú hệ: b) Vớ dụ Bài 4. Giải phương trỡnh sau : Giải: Ta thấy : khụng phải là nghiệm Xột Trục căn thức ta cú : Vậy ta cú hệ: Thử lại thỏa; vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm : x=0 v x= Bài 5. Giải phương trỡnh : Ta thấy : , như vậy khụng thỏa món điều kiện trờn. Ta cú thể chia cả hai vế cho x và đặt thỡ bài toỏn trở nờn đơn giản hơn Bài tập đề nghị Giải cỏc phương trỡnh sau : (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) 3. Phương trỡnh biến đổi về tớch Sử dụng đẳng thức Bài 1. Giải phương trỡnh : Giải: Bi 2. Giải phương trỡnh : Giải: + , khụng phải là nghiệm + , ta chia hai vế cho x: Bài 3. Giải phương trỡnh: Giải: pt Bài 4. Giải phương trỡnh : Giải: Đk: Chia cả hai vế cho : Dựng hằng đẳng thức Biến đổi phương trỡnh về dạng : Bài 1. Giải phương trỡnh : Giải: Đk: khi đú pt đ cho tương đương : Bài 2. Giải phương trỡnh sau : Giải: Đk: phương trỡnh tương đương : Bài 3. Giải phương trỡnh sau : Giải : pttt II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ 1. Phương phỏp đặt ẩn phụ thụng thường Đối với nhiều phương trỡnh vụ vụ tỉ , để giải chỳng ta cú thể đặt và chỳ ý điều kiện của nếu phương trỡnh ban đầu trở thành phương trỡnh chứa một biến quan trọng hơn ta cú thể giải được phương trỡnh đú theo thỡ việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Núi chung những phương trỡnh mà cú thể đặt hoàn toàn thường là những phương trỡnh dễ . Bài 1. Giải phương trỡnh: Điều kiện: Nhận xột. Đặt thỡ phương trỡnh cú dạng: Thay vào tỡm được Bài 2. Giải phương trỡnh: Giải Điều kiện: Đặt thỡ . Thay vào ta cú phương trỡnh sau: Ta tỡm được bốn nghiệm là: Do nờn chỉ nhận cỏc gỏi trị Từ đú tỡm được cỏc nghiệm của phương trỡnh l: Cỏch khỏc: Ta cú thể bỡnh phương hai vế của phương trỡnh với điều kiện Ta được: , từ đú ta tỡm được nghiệm tương ứng. Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ) Bài 3. Giải phương trỡnh sau: Điều kiện: Đặt thỡ phương trỡnh trở thnh: ( với Từ đú ta tỡm được cỏc giỏ trị của Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trỡnh sau : Giải: đk Đặt pttt Bài 5. Giải phương trỡnh sau : Giải: Điều kiện: Chia cả hai vế cho x ta nhận được: Đặt , ta giải được. Bài 6. Giải phương trỡnh : Giải: khụng phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: Đặt t=, Ta cú : Bài tập đề nghị Giải cỏc phương trỡnh sau Nhận xột : đối với cỏch đặt ẩn phụ như trờn chỳng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đụi khi phương trỡnh đối với lại quỏ khú giải 2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trỡnh thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chỳng ta đó biết cỏch giải phương trỡnh: (1) bằng cỏch Xột phương trỡnh trở thành : thử trực tiếp Cỏc trường hợp sau cũng đưa về được (1) Chỳng ta hóy thay cỏc biểu thức A(x) , B(x) bởi cỏc biểu thức vụ tỉ thỡ sẽ nhận được phương trỡnh vụ tỉ theo dạng này . a) . Phương trỡnh dạng : Như vậy phương trỡnh cú thể giải bằng phương phỏp trờn nếu Xuất phỏt từ đẳng thức : Hóy tạo ra những phương trỡnh vụ tỉ dạng trờn vớ dụ như: Để cú một phương trỡnh đẹp , chỳng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trỡnh bậc hai giải “ nghiệm đẹp” Bài 1. Giải phương trỡnh : Giải: Đặt Phương trỡnh trở thành : Tỡm được: Bài 2. Giải phương trỡnh : Bài 3: giải phương trỡnh sau : Giải: Đk: Nhận xt : Ta viết Đồng nhất thức ta được: Đặt , ta được: Ta được : Bài 4. Giải phương trỡnh : Giải: Nhận xột : Đặt ta hóy biến pt trờn về phương trỡnh thuần nhất bậc 3 đối với x và y : Pt cú nghiệm : b).Phương trỡnh dạng : Phương trỡnh cho ở dạng này thường khú “phỏt hiện “ hơn dạng trờn , nhưg nếu ta bỡnh phương hai vế thỡ đưa về được dạng trờn. Bài 1. giải phương trỡnh : Giải: Ta đặt : khi đú phương trỡnh trở thành : Bài 2.Giải phương trỡnh sau : Giải Đk . Bỡnh phương 2 vế ta cú : Ta cú thể đặt : khi đú ta cú hệ : Do . Bài 3. giải phương trỡnh : Giải: Đk . Chuyển vế bỡnh phương ta được: Nhận xột : khụng tồn tại số để : vậy ta khụng thể đặt . Nhưng may mắn ta cú : Ta viết lại phương trỡnh: . Đến đõy bài toỏn được giải quyết . Cỏc em hóy tự sỏng tạo cho mỡnh những phương trỡnh vụ tỉ “đẹp “ theo cỏch trờn 3. Phương phỏp đặt ẩn phụ khụng hoàn toàn Từ những phương trỡnh tớch , Khai triển và rỳt gọn ta sẽ được những phương trỡnh vụ tỉ khụng tầm thường chỳt nào, độ khú của phương trỡnh dạng này phụ thuộc vào phương trỡnh tớch mà ta xuất phỏt . Từ đú chỳng ta mới đi tỡm cỏch giải phương trỡnh dạng này .Phương phỏp giải được thể hiện qua cỏc vớ dụ sau . Bài 1. Giải phương trỡnh : Giải: , ta cú : Bài 2. Giải phương trỡnh : Giải: Đặt : Khi đú phương trỡnh trở thnh : Bõy giờ ta thờm bớt , để được phương trỡnh bậc 2 theo t cú chẵn : Từ một phương trỡnh đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trỡnh sau : Giải: Nhận xột : đặt , pttt: (1) Ta rỳt thay vào thỡ được pt: Nhưng khụng cú sự may mắn để giải được phương trỡnh theo t khụng cú dạng bỡnh phương . Muốn đạt được mục đớch trờn thỡ ta phải tỏch 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: Bài 4. Giải phương trỡnh: Giải . Bỡnh phương 2 vế phương trỡnh: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tỏch làm sao cho cú dạng chớnh phương . Nhận xột : Thụng thường ta chỉ cần nhúm sao cho hết hệ số tự do thỡ sẽ đạt được mục đớch 4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tớch Xuất phỏt từ một số hệ “đại số “ đẹp chỳng ta cú thể tạo ra được những phương trỡnh vụ tỉ mà khi giải nú chỳng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tỡm mối quan hệ giữa cỏc ẩn phụ để đưa về hệ Xuất phỏt từ đẳng thức , Ta cú Từ nhận xột này ta cú thể tạo ra những phương trỡnh vụ tỉ cú chứa căn bậc ba . Bài 1. Giải phương trỡnh : Giải : , ta cú : , giải hệ ta được: Bài 2. Giải phương trỡnh sau : Giải . Ta đặt : , khi đú ta cú : Bài 3. Giải cỏc phương trỡnh sau 5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ: 5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thụng thường Đặt và tỡm mối quan hệ giữa và từ đú tỡm được hệ theo u,v Bài 1. Giải phương trỡnh: Đặt Khi đú phương trỡnh chuyển về hệ phương trỡnh sau: , giải hệ này ta tỡm được . Tức là nghiệm của phương trỡnh là Bài 2. Giải phương trỡnh: Điều kiện: Đặt Ta đưa về hệ phương trỡnh sau: Giải phương trỡnh thứ 2: , từ đú tỡm ra rồi thay vào tỡm nghiệm của phương trỡnh. Bài 3. Giải phương trỡnh sau: Điều kiện: Đặt thỡ ta đưa về hệ phương trỡnh sau: Vậy Bài 8. Giải phương trỡnh: Giải Điều kiện: Đặt . Khi đú ta được hệ phương trỡnh: 5.2 Xõy dựng phương trỡnh vụ tỉ từ hệ đối xứng loại II Ta hóy đi tỡm nguồn gốc của những bài toỏn giải phương trỡnh bằng cỏch đưa về hệ đối xứng loại II Ta xột một hệ phương trỡnh đối xứng loại II sau : việc giải hệ này thỡ đơn giản Bõy giời ta sẽ biến hệ thành phương trỡnh bằng cỏch đặt sao cho (2) luụn đỳng , , khi đú ta cú phương trỡnh : Vậy để giải phương trỡnh : ta đặt lại như trờn và đưa về hệ Bằng cỏch tương tự xột hệ tổng quỏt dạng bậc 2 : , ta sẽ xõy dựng được phương trỡnh dạng sau : đặt , khi đú ta cú phương trỡnh : Tương tự cho bậc cao hơn : Túm lại phương trỡnh thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng : v đặt để đưa về hệ , chỳ ý về dấu của ??? Việc chọn thụng thường chỳng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. Giải phương trỡnh: Điều kiện: Ta cú phương trỡnh được viết lại là: Đặt thỡ ta đưa về hệ sau: Trừ hai vế của phương trỡnh ta được Giải ra ta tỡm được nghiệm của phương trỡnh là: Bài 6. Giải phương trỡnh: Giải Điều kiện Ta biến đổi phương trỡnh như sau: Đặt ta được hệ phương trỡnh sau: Với Với Kết luận: Nghiệm của phương trỡnh là Cỏc em hóy xõy dựng một sồ hệ dạng này ? Dạng hệ gần đối xứng Ta xt hệ sau : đõy khụng phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chỳng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chỳng ta xõy dưng được bài toỏn phương trỡnh sau : Bài 1 . Giải phương trỡnh: Nhận xột : Nếu chỳng ta nhúm như những phương trỡnh trước : Đặt thỡ chỳng ta khụng thu được hệ phương trỡnh mà chỳng ta cú thể giải được. Để thu được hệ (1) ta đặt : , chọn sao cho hệ chỳng ta cú thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng ) Ta cú hệ : Để giải hệ trờn thỡ ta lấy (1) nhõn với k cộng với (2): và mong muốn của chỳng ta là cú nghiệm Nờn ta phải cú : , ta chọn được ngay Ta cú lời giải như sau : Điều kiện: , Đặt Ta cú hệ phương trỡnh sau: Với Với Kết luận: tập nghiệm của phương trỡnh là: Chỳ ý : khi đó làm quen, chỳng ta cú thể tỡm ngay bằng cỏch viết lại phương trỡnh ta viết lại phương trỡnh như sau: khi đú đặt , nếu đặt thỡ chỳng ta khụng thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của cựng dấu với dấu trước căn. Một cỏch tổng quỏt . Xột hệ: để hệ cú nghiệm x = y thỡ : A-A’=B và m=m’, Nếu từ (2) tỡm được hàm ngược thay vào (1) ta được phương trỡnh Như vậy để xõy dựng pt theo lối này ta cần xem xột để cú hàm ngược và tỡm được và hơn nữa hệ phải giải được. Một số phương trỡnh được xõy dựng từ hệ. Giải cỏc phương trỡnh sau Giải (3): Phương trỡnh : Ta đặt : Cỏc em hóy xõy dựng những phương trỡnh dạng này ! III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1. Dựng hằng đẳng thức : Từ những đỏnh giỏ bỡnh phương : , ta xõy dựng phương trỡnh dạng Từ phương trỡnh ta khai triển ra cú phương trỡnh : 2. Dựng bất đẳng thức Một số phương trỡnh được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cựng dạt được tại thỡ là nghiệm của phương trỡnh Ta cú : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta cú phương trỡnh: Đụi khi một số phương trỡnh được tạo ra từ ý tưởng : khi đú : Nếu ta đoỏn trước được nghiệm thỡ việc dựng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng cú nhiều bài nghiệm là vụ tỉ việc đoỏn nghiệm khụng được, ta vẫn dựng bất đẳng thức để đỏnh giỏ được Bài 1. Giải phương trỡnh (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk Ta cú : Dấu bằng Bài 2. Giải phương trỡnh : Giải: Đk: Biến đổi pt ta cú : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Cụsi: Dấu bằng Bài 3. giải phương trỡnh: Ta chứng minh : và Bài tập đề nghị . Giải cỏc phương trỡnh sau 3. Xõy dựng bài toỏn từ tớnh chất cực trị hỡnh học 3.1 Dựng tọa độ của vộc tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho cỏc vộc tơ: khi đú ta cú Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai vộc tơ cựng hướng , chỳ ý tỉ số phải dương , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 3.2 Sử dụng tớnh chất đặc biệt về tam giỏc Nếu tam giỏc là tam giỏc đều , thỡ với mọi điểm M trờn mặt phẳng tam giỏc, ta luụn cú với O là tõm của đường trũn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi . Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn và điểm M tựy ý trong mặt mặt phẳng Thỡ MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhỡn cỏc cạnh AB,BC,AC dưới cựng một gúc Bài tập IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xõy dựng phương trỡnh vụ tỉ dựa theo hàm đơn điệu Dựa vào kết quả : “ Nếu là hàm đơn điệu thỡ ” ta cú thể xõy dựng được những phương trỡnh vụ tỉ Xuất phỏt từ hàm đơn điệu : mọi ta xõy dựng phương trỡnh : , Rỳt gọn ta được phương trỡnh Từ phương trỡnh thỡ bài toỏn sẽ khú hơn Để gải hai bài toỏn trờn chỳng ta cú thể làm như sau : Đặt khi đú ta cú hệ : cộng hai phương trỡnh ta được: = Hóy xõy dựng những hàm đơn điệu và những bài toỏn vụ tỉ theo dạng trờn ? Bài 1. Giải phương trỡnh : Giải: Xột hàm số , là hàm đồng biến trờn R, ta cú Bài 2. Giải phương trỡnh Giải . Đặt , ta cú hệ : Xột hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trỡnh Bài 3. Giải phương trỡnh : V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HểA 1. Một số kiến thức cơ bản: Nếu thỡ cú một số t với sao cho : và một số y với sao cho Nếu thỡ cú một số t với sao cho : và một số y với sao cho Với mỗi số thực x cú sao cho : Nếu : , là hai số thực thỏa: , thỡ cú một số t với , sao cho Từ đú chỳng ta cú phương phỏp giải toỏn : Nếu : thỡ đặt với hoặc với Nếu thỡ đặt , với hoặc , với Nếu : , là hai số thực thỏa: , thỡ đặt với Nếu , ta cú thể đặt : , với , tương tự cho trường hợp khỏc x là số thực bất kỳ thi đặt : Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? Chỳng ta biết rằng khi đặt điều kiện thỡ phải đảm bảo với mỗi cú duy nhất một , và điều kiện trờn để đảm bào điều này . (xem lại vũng trũn lượng giỏc ) 2. Xõy dựng phương trỡnh vụ tỉ bằng phương phỏp lượng giỏc như thế nào ? Từ cụng phương trỡnh lượng giỏc đơn giản: , ta cú thể tạo ra được phương trỡnh vụ tỉ Chỳ ý : ta cú phương trỡnh vụ tỉ: (1) Nếu thay bằng ta lại cú phương trỡnh : (2) Nếu thay x trong phương trỡnh (1) bởi : (x-1) ta sẽ cú phương trỡnh vố tỉ khú: (3) Việc giải phương trỡnh (2) và (3) khụng đơn giản chỳt nào ? Tương tự như vậy từ cụng thức sin 3x, sin 4x,.hóy xõy dựng những phương trỡnh vụ tỉ theo kiểu lượng giỏc . 3. Một số vớ dụ Bài 1. Giải phương trỡnh sau : Giải: Điều kiện : Với : thỡ (ptvn) ta đặt : . Khi đú phương trỡnh trở thành: vậy phương trỡnh cú nghiệm : Bài 2. Giải cỏc phương trỡnh sau : HD: Đs: HD: chứng minh vụ nghiệm Bài 3 . Giải phương trỡnh sau: Giải: Lập phương 2 vế ta được: Xột : , đặt . Khi đú ta được mà phương trỡnh bậc 3 cú tối đa 3 nghiệm vậy đú cũng chớnh là tập nghiệm của phương trỡnh. Bài 4. .Giải phương trỡnh Giải: đk: , ta cú thể đặt Khi đú ptt: Phương trỡnh cú nghiệm : Bài 5 .Giải phương trỡnh : Giải: đk Ta cú thể đặt : Khi đú pttt. Kết hợp với điều kiện ta cú nghiệm Bài tập tổng hợp Giải cỏc phương trỡnh sau (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) CHUYấN ĐỀ: PHƯƠNG TRèNH Vễ TỶ PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dạng 1 : Phương trỡnh Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuục vào độ phức tạp của hay Dạng 2: Phương trỡnh Dạng 3: Phương trỡnh +) (chuyển về dạng 2) +) và ta sử dụng phộp thế :ta được phương trỡnh : Bài 1: Giải phương trỡnh: a) b) c) e) f) g) h) i) Bài 2: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm: Bài 3: Cho phương trỡnh: -Giải phương trỡnh khi m=1 -Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm. Bài 4: Cho phương trỡnh: -Giải phương trỡnh khi m=3 -Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh cú nghiệm. II.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương phỏp đặt ẩn phụ thụng thường. -Nếu bài toỏn cú chứa và khi đú đặt (với điều kiện tối thiểu là . đối với cỏc phương trỡnh cú chứa tham số thỡ nhất thiết phải tỡm điều kiện đỳng cho ẩn phụ). -Nếu bài toỏn cú chứa , và (với k là hằng số) khi đú cú thể đặt : , khi đú -Nếu bài toỏn cú chứa và khi đú cú thể đặt: suy ra -Nếu bài toỏn cú chứa thỡ đặt với hoặc với -Nếu bài toỏn cú chứa thỡ đặt với hoặc với -Nếu bài toỏn cú chứa ta cú thể đặt với Bài 1: Giải phương trỡnh: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Bài 2: Giải phương trỡnh: a) b) c) d) e) f) Bài 4: Cho phương trỡnh: -Giải phương trỡnh với -Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm. Bài 5: Cho phương trỡnh: -Giải phương trỡnh với m = 9 -Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm. 2. Phương phỏp đặt ẩn phụ khụng hoàn toàn Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trỡnh ban đầu thành một phương trỡnh với một ẩn phụ nhưng cỏc hệ số vẫn cũn chứa x. -Từ những phương trỡnh tớch , Khai triển và rỳt gọn ta sẽ được những phương trỡnh vụ tỉ khụng tầm thường chỳt nào, độ khú của phương trỡnh dạng này phụ thuộc vào phương trỡnh tớch mà ta xuất phỏt. Từ đú chỳng ta mới đi tỡm cỏch giải phương trỡnh dạng này .Phương phỏp giải được thể hiện qua cỏc vớ dụ sau . Bài 1. Giải phương trỡnh : Giải: , ta cú : Bài 2. Giải phương trỡnh : Giải: Đặt : Khi đú phương trỡnh trở thnh : Bõy giờ ta thờm bớt , để được phương trỡnh bậc 2 theo t cú chẵn Từ một phương trỡnh đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trỡnh sau : Giải: Nhận xột : đặt , pttt: (1) Ta rt thay vo thỡ được pt: Nhưng khụng cú sự may mắn để giải được phương trỡnh theo t khụng cú dạng bỡnh phương . Muốn đạt được mục đớch trờn thỡ ta phải tỏch 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: Bài 4. Giải phương trỡnh: Giải . Bỡnh phương 2 vế phương trỡnh: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tỏch làm sao cho cú dạng chỡnh phương . Nhận xột : Thụng thường ta chỉ cần nhúm sao cho hết hệ số tự do thỡ sẽ đạt được mục đớch. Bài tập: Giải cỏc phương trỡnh sau: a) b) c) d) 3. Phương phỏp đặt ẩn phụ chuyển về hệ. a) Dạng thụng thường: Đặt và tỡm mối quan hệ giữa và từ đú tỡm được hệ theo u,v. Chẳng hạn đối với phương trỡnh: ta cú thể đặt: từ đú suy ra . Khi đú ta cú hệ Bài tập: Giải cỏc phương trỡnh sau: a) b) c) b) Dạng phương trỡnh chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai: với Cỏch giải: Đặt: khi đú phương trỡnh được chuyển thành hệ: ->giải Nhận xột: Dể sử dụng được phương phỏp trờn cần phải khộo lộo biến đổi phương trỡnh ban đầu về dạng thỏa món điều kiện trờn để đặt ẩn phụ.Việc chọn thụng thường chỳng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. c) Dạng phương trỡnh chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba. với Cỏch giải: Đặt khi đú phương trỡnh được chuyển thành hệ: Bài tập: Giải cỏc phương trỡnh sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng cỏc tớnh chất của hàm số để giải phương trỡnh là dạng toỏn khỏ quen thuộc. Ta cú 3 hướng ỏp dụng sau đõy: Hướng 1: Thực hiện theo cỏc bước: Bước 1: Chuyển phương trỡnh về dạng: Bước 2: Xột hàm số Bước 3: Nhận xột: Với do đú là nghiệm Với do đú phương trỡnh vụ nghiệm Với do đú phương trỡnh vụ nghiệm Vậy là nghiệm duy nhất của phương trỡnh Hướng 2: thực hiện theo cỏc bước Bước 1: Chuyển phương trỡnh về dạng: Bước 2: Dựng lập luận khẳng định rằng và g(x) cú những tớnh chất trỏi ngược nhau và xỏc định sao cho Bước 3: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trỡnh. Hướng 3: Thực hiện theo cỏc bước: Bước 1: Chuyển phương trỡnh về dạng Bước 2: Xột hàm số , dựng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi đú Vớ dụ: Giải phương trỡnh : pt Xột hàm số , là hàm đồng biến trờn R, ta cú Bài tập: Giải phương trỡnh: ,,,,, BAỉI TAÄP : Baứi 1: Bỡnh phửụng hai veỏ : x2 + Hd: pt b)pt: Chuyeồn veỏ ,bỡnh phửụng hai veỏ : x =2 ; x = 2/11( loaùi ) . Vaọy x=2 . c) Bỡnh phửụng hai laà ta coự :ẹS x = 0 . d) e) Bphửụng hai lanà ta coự :ẹS x = 4/3 Baứi 2 : Daởt Aồn soỏ phuù : a) ẹaởt : T=x2-3x+3 b) - ẹaởt : ptút2-3t +2 =0 t =1 ; t=2 Vn t=1 ú x=0 ; x=1 . c) HDẹS: ẹK : Giaỷi pt khi m=2 .** Tỡm m pt coự nghieọm . HDẹS : ẹK: b) f(t) = -t2/2 + t +2 = m (1) . Laọp baỷng bieỏn thieõn : Tacoự : Bỡnh phửụng : ẹaởt t= KsHSd) HDẹS:ẹaởt : Laọp BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh. Baứi3: 1- BAỉI TAÄP : I- GIAÛI PT: Laọp phửụng hai veỏ ta coự : x3-4x2+5x-2 =0ú x=1 ; x=2 . Thửỷ laùi x=1 khoõng thoaỷ .Vaọy x=2 . Laọp phửụng hai veỏ ta coự : x2+31x-1830 =0ú x=-1061 ; x=75 . -Laọp phửụng hai veỏ ta coự : x3-4x2+5x-2 =0ú x=1 ; x=2 . Thửỷ laùi x=1 khoõng thoaỷ .Vaọy x=2 . -Laọp phửụng hai veỏ ta coự : ptú x=1 ; x=2 ;x=3/2. Thửỷ laùi ẹeàu thoaỷ . --Laọp phửụng hai veỏ ta coự : ptú x=0 ; x=3 ;x=-6/5. Thửỷ laùi ẹeàu thoaỷ . ptú 18X = 14a ú x=7a/ 9 ; a# 0 . Thửỷ laùi thoaỷ. II- PHệễNG TRèNH CAấN THệÙC CHệÙA THAM SOÁ m : Baứi 1: : BLs ngh pt. HdẹS : Tớnh ủaùo haứm : Baỷng bieỏn thieõn ,Ta coự : m<1 : 1ngh; m=1: coự 2ngh: 1<m<2: 2ngh m=2 : 2ngh ; 2<m<: 0 Vn . BAÁT PHệễNG TRèNH CAấN THệÙC KIEÁN THệÙC CAÀN NHễÙ : Daùng cụ baỷn : Daùng khaực : Coự nhieàu caờn thửực :ẹaởt ẹK – Luyừ thửứa- khửỷ caờn – Dửa veồ bpt cụ baỷn nhử caực daùng treõn . Chuự yự : - Hai veỏ khoõng aõm ta ủ7ụùc bỡnh phửụng – Hai veỏ laứ soỏ thửùc ta ủửùục laọp phửụng . BAỉI TAÄP : GIAÛI CAÙC BAÁT PHệễNG TRèNH 1-Pt : ptú -3/2 PHệễNG TRèNH CAấN THệÙC PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Dạng 1 : Phương trỡnh Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuục vào độ phức tạp của hay Dạng 2: Phương trỡnh Dạng 3: Phương trỡnh +) (chuyển về dạng 2) +) và ta sử dụng phộp thế :ta được phương trỡnh : Bài tập trong cỏc đề thi tuyển sinh. Bài 1 : a)(ĐHXD) Giải pt b) (CĐSP MG 2004) c) (CĐSP NINH BèNH) d) (CĐ hoỏ chất) e) (CĐ TP 2004) g) (CĐSP bến tre) h) (CĐ truyền hỡnh