Giáo án môn Toán 11 - Đường thẳng, mặt phẳng. quan hệ song song

ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG. QUAN HỆ SONG SONG PHẦN I. ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG a VÀ b : Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng a và b ta đi tìm hai điểm chung I ; J của a và b ” a ÇÈ b = I J Khi tìm điểm chung ta chú ý : ­ Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung A B C D E ­ M Î d và d Ì a ” M Î a ­ ” M là điểm chung 1. 1: 1) Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm A B C S J K I của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) 2) Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt đoạn AB; BC tại J ; K . Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) S A B C D với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) 1. 2: 1) Cho tứ giác lồi ABCD sao cho AB, CD AD, BCvà điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của : S A B C D E a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC) S A B C D M 2) Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với các mặt phẳng (SAD) ; (SCE) 1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi; M là điểm trên cạnh CD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng : a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC) A B C D M N 1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong DABC; N là điểm nằm trong DACD. Tìm giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD) A B N I D C M 1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM = MB ; N nằm trên AC sao cho AN = 3NC; điểm I nằm trong DBCD. Tìm giao tuyến của : a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) J A B C N M D I c) (MNI) và (ACD) 1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC . a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD) b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN) S a b O I 1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b Î (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ? A B C D M N 1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lượt A B C D I K lấy hai điểm M và N sao cho : . Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD) 1. 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ? A D B C S G M N A B C D S 1. 10 : Trong mặt phẳng a cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm ngoài mặt phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của : a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD) 1.11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm DSAD. Tìm giao tuyến của : a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC) Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Chứng minh A; B; C thẳng hàng : Chỉ ra A ; B ; C Î a Chỉ ra A ; B ; C Î b Kết luận : A; B; CÎ a ÇÈ b ” A; B; C thẳng hàng Chứng minh a ; b ; MN đồng quy : A’ B C A B’ O Đặt a ÈÇ b = P Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P 2. 1: Cho hai mặt phẳng a và b cắt nhau theo giao A’ A B’ B E F D C’ C tuyến d .Trên a lấy hai điểm A ; B nhưng không thuộc d. O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng . Các đường thẳng OA ; OB lần lượt cắt b tại A’ ; B’. AB cắt d tại C a) Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ? b) Chứng minh A’ ; B’ ; C thẳng hàng ? Từ đó suy ra AB ; A’B’; d đồng quy 2. 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy A ; A’ ; trên Oy lấy B ; B’ trên Oz lấy C ; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D ; BC cắt B’C’ tại E ; AC cắt A’C’ tại F. Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ? A B C M N P 2. 3: Cho A; B; C không thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng (a) . Gọi M ; N ; P lần lượt là giao điểm AB ; BC ; AC với (a). A B C D S N M O Chứng minh M; N; P thẳng hàng ? 2. 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O là giao điểm hai đường chéo ; M ; N lần lượt là trung điểm SA ; SD. A B C D M N R S Chứng minh ba đường thẳng SO ; BN ; CM đồng quy 2) Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng (a) không song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD lần lượt tại M; N; R; S Chứng minh AB; MN; RS đồng quy ? 2. 5: Chứng minh trong một tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy ? A C D S G M N I B 2.6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm DSAD. Tìm giao tuyến của : a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD) c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu b. Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng? Vấn đề 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chéo nhau : ­ Giả sử : a không chéo b ­ Từ đó suy ra hai đường thẳng a và b nằm trong cùng mặt phẳng a ( đồng phẳng ) ­ Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với gỉa thiết hoặc mâu thuẫn với một điều đúng nào đó Chứng minh A, B, C, D nằm trong cùng một mặt phẳng – đồng phẳng ­ Chứng minh hai đường thẳng tạo thành từ bốn A B C D điểm đó cắt nhau hoặc song song với nhau 3. 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng a) Chứng minh ba trong số 4 điểm này không thẳng hàng b) Chứng minh AB chéo với CD ? O M N A B C D a b · 3. 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Trên a lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai điểm C, D a)Chứng minh AC chéo BD ? b)Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD. Đường thẳng MN có song song AB hoặc CD không ? c)O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng a b c 3. 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b và c. Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng phẳng không ? Tại sao ? A B C D I J 3. 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là trung điểm AD; BC. a) Chứng minh AB chéo CD ? b) Chứng minh IB chéo JA ? Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG a Giả sử phải tìm giao điểm d Ç a = ? Phương pháp 1: Tìm a Ì a Chỉ ra được a ,d nằm trong cùng mặt phẳng và chúng cắt nhau tại M ” d ÇÈ a = M ( hình vẽ ) Phương pháp 2: Tìm b chứa d thích hợp Giải bài toán tìm giao tuyến a của a và b A B C S M N Trong b : a ÈÇ d = M ” d È a = M ( hình vẽ b) 4. 1: Cho tứ diện SABC; M ; N lần lượt là các điểm nằm trong DSAB ; DSBC. MN cắt (ABC) tại P. Xác định giao điểm P A B C D M N P Q 4. 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lượt là các điểm nằm trên AC; AD sao cho ; Tìm giao điểm : a) MN với (BCD) b) BD với (MNP) A B C D M N P c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD) 4. 3: A; B ; C ; D là bốn điểm không đồng phẳng. M; N lần lượt là trung điểm của AC; BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của : a) CD với (MNP) b) AD với (MNP) A B C S D E O 4. 4: Cho hình chóp SABC ; O là điểm trong DABC ; D và E là các điểm năm trên SB ; SC.Tìm giao điểm của a) DE với (SAO) b) SO với (ADE) A B C S K H M I 4. 5: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lượt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS. a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ? b) Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC) ? A B C D S I J K 4. 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. I; J; K là ba điểm trên SA; SB; SC. Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (IJK) và SD; SC A B C D I J M 4. 7: Gọi I ; J lần lượt là hai điểm nằm trong DABC; DABD của tứ diện ABCD. M là điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB) N S A B C D M I J 4. 8: Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD a)Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ? b)Tìm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ? c) N là điểm tuỳ ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC) ? Vấn đề 5: THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG a VỚI KHỐI ĐA DIỆN Lần lượt xét giao tuyến của a với các mặt của khối đa diện đồng thời xét giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt phẳng a Khi các đoạn giao tuyến tìm được khép kín thành đa giác ta được thiết diện phải tìm. Việc chứng minh thiết diện có hình dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ; . . . trong mặt phẳng a cũng nhờ vào quá trình đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản : A’ B’ C’ D’ A B C D M N P I. Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ 5. 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm AA’ ; AD; DC . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P A’ B’ C’ D’ A B C D P N M với hình lập phương ? 2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm DC ; AD ; BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’) A B C D S K E F 5. 2: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lượt là trung điểm của SA; AB ; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba điểm E; F ; K A A’ B B’ C C’ S D 2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA ; SB; SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp A B C D I N M P Q 5. 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M ; N là hai điểm thuộc cạnh AD ; DC sao cho MA = MD ; ND = NC a)Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ? b)Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ? c) Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ? A B C D M I J 5. 4: 1) Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J lần lượt là trọng tâm DABC ; DDBC ; M là trung điểm AD. Tìm thiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện ? S A B C D M N K E *2) Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA ; BC ; SD. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình chóp ` S A B C D M N 5. 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy . Gọi M ; N là trung điểm SB ; SC . a)Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ? b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN) ? S A B C D M I F c)Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chóp *5. 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC a)Tìm giao điểm I của AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM b)Tìm giao điểm F của SD với (AMB) ? Chứng minh F là trung điểm SD ? c)Xác định hình dạng thiết diện tạo bởi (AMB) với hình chóp d)Gọi N là một điểm trên cạnh AB . S A B C D M N P O Tìm giao điểm của MN với (SBD) ? *5.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm SB ; SD ; OC a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) ? b) Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp ? c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) 3 : 1 ; 1 : 1 ; 1 : 1 A B C D M G S 5.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB ; G là trọng tâm DSAD a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) ? b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ? c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ? d) Dựng thiết diện của (CGM) với hình chóp ? *5.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là A B C D S I J O hình bình hành tâm O ; I ; J là trọng tâm DSAB ; DSAD a) Tìm giao điểm của JI với (SAC) ? b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp S A B C D M N I 5.10. Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ? b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp A B C D M N P Q I BÀI TẬP TỔNG HỢP 1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngoài đoạn BD. Mặt phẳng (a) qua I cắt AB; BC; CD; DA tại M; N; P; Q. a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hàng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ? b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ? S A B C D M E 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh BC a) Tìm giao điểm N của SC với (AME)? b) Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC)? c) Tìm giao điểm của K của SA với (MBC)? Chứng minh K là trung điểm SA S B C D E F A 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .F là trung điểm CD; E là điểm trên cạnh SC sao cho SE = 2EC .Tìm thiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp. S A B C D E I 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .I là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh SB sao cho SE = 3EB . a) Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ? b) Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ? c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ? S A B C D E F 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. F là trung điểm SC; E là điểm trên cạnh BC sao cho BE = 2EC . a) Tìm thiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp ? b) Tìm giao điểm của SB với (AEF)? S A B C D O M G 6: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là trung điểm SB; G là trọng tâm DSAD a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) và chứng minh: I nằm trên đường thẳng CD và IC = 2ID ? b) Tìm giao điểm J của (OMG) với AD ? Tính tỉ số c)Tìm giao điểm K của (OMG) với SA ? Tính A B C D M N Q HD: b) 2 c) 2 7: Cho tứ diện ABCD; trên AD lấy N sao cho AN = 2ND ; M là trung điểm AC ; trên BC lấy Q sao cho BQ = BC a) Tìm giao điểm I của MN với (BCD) ? Tính IC:ID b) Tìm giao điểm J của BD với (MNP) ? Tính JB:JD A B D I J M N 8 Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là hai điểm cố định nằm trên AB ; AC và IJ không song song với BC. Mặt phẳng (a) quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD tại M ; N C a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định ? b) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM ? c)Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN ? 9. Cho hình chóp SABC. Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm di động trên SA ; SB ; SC thoả : SA’ = SA ; SB’ = SB ; SC’ = SC a) Chứng minh A’B’ đi qua một điểm cố định I và A’C’ đi qua điểm cố định J khi n thay đổi ? b) Chứng minh (A’B’C’) chứa một đường thẳng cố định HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ PHẦN II. QUAN HỆ SONG SONG Vấn đề 1: Chøng minh ®­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng A B C D I J `Phương pháp : Có thể dùng một trong các cách sau : - Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét ...) - Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3. - Áp dụng định lý về giao tuyến . Bµi 1: Cho tø diÖn ABCD. Gäi I, J lÇn l­ît lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ ABD. Chøng minh IJ// CD A B C D S M N P I Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AB vµ CD (CD > AB). Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña SA, SB. a, Chøng minh: MN // CD. b, T×m giao ®iÓm P cña SC vµ mp(AND). KÐo dµi AN vµ DP c¾t nhau t¹i I. Chøng minh SI // AB // CD. Tø gi¸c SABI lµ h×nh g×? A B C D M N P Q R S Bµi 3: Cho tø diÖn ABCD. Gäi M, N, P, Q, R, S lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, CD, BC, AD, AC, BD a, Chøng minh MSNR lµ h×nh b×nh hµnh b, Chøng minh MN, PQ, RS c¾t nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®o¹n A B C M N E I F Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC n»m trong mp(P). Gäi Bx; Cy lµ 2 nöa ®­êng th¼ng song song vµ n»m vÒ cïng phÝa ®èi víi mp(P). M vµ N lµ 2 ®iÓm di ®éng lÇn l­ît trªn Bx, Cy sao cho CN = 2BM a, Chøng minh r»ng MN lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh I khi M, N di ®éng b, E lµ ®iÓm thuéc ®o¹n AM vµ . Gäi F lµ giao ®iÓm cña IE vµ AN, Q lµ giao ®iÓm cña BE vµ CF. S A B C D M N P Q K Chøng minh r»ng AQ//Bx//Cy vµ (QMN) chøa ®­êng th¼ng cè ®Þnh khi M, N di ®éng Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi M, N, P, Q lµ c¸c ®iÓm trªn BC, SC, SD vµ AD sao cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD a, Chøng minh PQ//SA b, Gäi K lµ giao ®iÓm cña MN vµ PQ. Chøng minh SK//AD//BC c, Qua Q dùng Qx//SC; Qy//SB. T×m giao ®iÓm cña A B C D E F M N Qx vµ mp(SAB); giao ®iÓm cña Qy vµ mp(SCD) Bµi 6: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho AM : AC = BN : BF = 1: 3 . Chứng minh MN // DE Bµi 7: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho AM : AC = BN : BF = 5 . Dựng MM' // AB với M' trên AD; NN' // AB với N' trên AF. Chứng minh : a) MM' và NN' //// CD b) M’N//// DF Vấn đề 2: T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng – ThiÕt diÖn qua mét ®iÓm vµ song song víi ®­êng th¼ng cho tr­íc Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang ®¸y lín AB. Gäi I; J lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC. Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c SAB a, T×m giao tuyÕn cña (SAB) vµ (IJG) b, X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mp(IJG). ThiÕt diÖn lµ h×nh g×? T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi AB vµ CD ®Ó thiÕt diÖn lµ h×nh b×nh hµnh Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y h×nh h×nh b×nh hµnh. Gäi I, J lµ träng t©m c¸c tam gi¸c SAB vµ SAD vµ M lµ trung ®iÓm cña CD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(IJM) Bµi 3: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AD vµ BC. Gäi I; J lµ träng t©m c¸c tam gi¸c SAD vµ SBC a. T×m giao tuyÕn cña (ADJ) víi (SBC); b. T×m giao tuyÕn cña (BCI) vµ (SAD) c. T×m giao tuyÕn cña 2 mÆt ph¼ng (ADJ) vµ (BCI). Bµi 4: Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a. Gäi I vµ J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AC vµ BC. Gäi K lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BD víi KB = 2KD. a, X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mp(IJK). Chøng minh thiÕt diÖn lµ h×nh thang c©n b, TÝnh diÖn tÝch cña thiÕt diÖn theo a Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng t©m O c¹nh a. MÆt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Òu, . Gäi Dx lµ ®­êng th¼ng qua D vµ song song víi SC. a, T×m giao ®iÓm I cña Dx vµ mp(SAB). Chøng minh AI//SB b, T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(AIC) vµ tÝnh diÖn tÝch cña thiÕt diÖn ®ã Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh; I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña SA vµ AB. M lµ ®iÓm bÊt k× trªn nöa ®­êng th¼ng Ax chøa C. BiÖn luËn theo vÞ trÝ cña M trªn Ax c¸c d¹ng cña thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(IJM) Bµi 7: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a; mÆt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Òu; SC = SD = . Gäi H vµ K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña SA; SB. M lµ ®iÓm trªn c¹nh AD. MÆt ph¼ng (HKM) c¾t BC t¹i N a,Chøng minh HKMN lµ h×nh thang c©n b, §Æt AM = x . TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c HKMN theo a vµ x. T×m x ®Ó diÖn tÝch nµy nhá nhÊt c, T×m tËp hîp giao ®iÓm cña HM vµ KN; HN vµ KM Bµi 8: Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a, lÊy M trªn c¹nh BA; P trªn c¹nh CD sao cho . X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn vµ mÆt ph¼ng qua MP vµ song song víi AC. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn ®ã Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) . Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q) . Bµi1. Cho tø diÖn SABC cã I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ BC. CMR: víi "M Î SB (M ¹ B) ta ®Òu cã IJ // (ACM) Bµi 2. Cho tø diÖn ABCD gäi M vµ N lÇn l­ît lµ träng t©m DABD vµ DACD. CMR: MN // (BCD) vµ MN // (ABC) Bµi 3. Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ABEF cã chung c¹nh AB vµ kh«ng ®ång ph¼ng. Trªn c¸c c¹nh AD, BE lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm M, N sao cho (0 < k < 1). Chøng minh r»ng MN // (CDE) Bµi 4: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD a, Chøng minh vµ b, Gäi P lµ trung ®iÓm cña SA. Chøng minh SB vµ SC song song víi mp(MNP) c, Gäi G1 vµ G2 lÇn l­ît lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ SBC. Chøng minh G1G2//mp(SAC) · · Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD. G lµ träng t©m tam gi¸c ABD, M trªn BC sao cho MB = 2MC. Chøng minh MG//mp(ACD) Bµi 3: Cho tø diÖn ABCD. Gäi O vµ O’ lÇn l­ît lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp c¸c tam gi¸c ABC vµ ABD. Chøng minh: a, §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó OO’//mp(BCD) lµ b, §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó OO’//mp(BCD) vµ mp(ACD) lµ BC = BD vµ AC = AD Bµi 4: Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ABEF kh«ng cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng a, Gäi O vµ O’ lÇn l­ît lµ t©m cña ABCD vµ ABEF. Chøng minh OO’//(ADF); OO’//(BCE) b, Trªn AE vµ BD lÊy M vµ N sao cho . Chøng minh MN//mp(CDEF) Bµi 5: Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; trên BC lấy điểm N bất kì. Gọi (a) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD . a)Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với (a) ? b)Xác định vị trí của N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành ? Bµi 6: Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB. (a) là mặt phẳng qua M và song song AD và SD. a)Mặt phẳng (a) cắt SABCD theo thiết diện là hình gì ? b)Chứng minh SA // (a) Bµi 7: Cho hình chóp SABCD. có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (a) di động luôn luôn song song BC và đồng thời đi qua trung điểm C’ của SC . a)Mặt phẳng (a) cắt cac cạnh SA ; SB ; SD lần lượt tại A’ ; B’ ; D’ thiết diện A’B’C’D’ là hình gì ? b)Chứng minh rằng (a) khi chuyển động luôn luôn chứa một đường thẳng cố định c)Gọi M là giao điểm của A’C’ và B’D’ .Chứng minh khi (a) di động thì M di động trên đường thẳng cố định Bµi 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy là bình hành.Gọi M là điểm di động trên cạnh SC; mặt phẳng (a) chứa AM và // BD a)Chứng minh (a) luôn luôn đi qua một đường thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh SC b) (a) cắt SB và SD tại E ; F .Trình bày cách dựng E và F ? c)Gọi I là giao điểm của ME và CB; J là giao điểm của MF và CD . Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng Bµi9: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®Êy lµ h×nh b×nh hµnh t©m O. 1) Tõ mét ®iÓm M di ®éng trªn ®o¹n SA dùng ®­êng th¼ng song song víi AD c¾t SD t¹i N, NB c¾t SO t¹i P. Chøng minh MP ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh 2) Trªn c¹nh CD lÊy ®iÓm Q sao cho: . Chøng minh MQ lu«n sonh song víi mét mÆt ph¼ng cè ®Þnh. 3) T×m vÞ trÝ cña M trªn SA ®Ó DMNQ cã diÖn tÝch lín nhÊt? Bµi10: Cho tø gi¸c ABCD n»m trong mp (P). Hai ®­êng th¼ng AB vµ CD c¾t nhau t¹i E; AD vµ BC c¾t nhau t¹i F. Mét ®iÓm S n»m ngoµi mÆt ph¼ng (P) vµ mét mÆt ph¼ng (Q) di ®éng c¾t SA, SB, SC t¹i I, J, K. 1) T×m giao ®iÓm L cña (Q) vµ SD 2) Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó IJ // KL lµ SE // (Q) 3) T×m ®iÒu kiÖn gi÷a SF vµ (Q) ®Ó IL // JK. Chøng minh r»ng nÕu IJKL lu«n lµ h×nh b×nh hµnh th× (Q) lu«n song song víi mét mÆt ph¼ng cè ®Þnh Bµi11: Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh a vµ tam gi¸c vu«ng c©n ADF (AD = AF) n»m trong hai mÆt ph¼ng kh¸c nhau. BiÕt BF = a, trªn c¸c ®o¹n AC, FD lÇn l­ît lÊy hai ®iÓm M, N di ®éng sao cho: AM = FN = x (0 < x < a). 1) Chøng minh r»ng MM // (ABF). 2) Chøng minh: AN = MN = BM. c) TÝnh ®é dµi MN theo a vµ x. X¸c ®Þnh x ®Ó MN cã ®é dai nhá nhÊt Vấn đề 3: . T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng – ThiÕt diÖn song song víi ®­êng th¼ng cho tr­íc Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD. Gäi M vµ N lµ hai ®iÓm bÊt k× trªn SB vµ CD. lµ mÆt ph¼ng qua MN vµ song song víi SC a, T×m giao tuyÕn cña mp víi c¸c mÆt ph¼ng (SBC); (SCD); (SAC) b, X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp t¹o bëi mp Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD cã AB = a; CD = b. Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD. (P) lµ mÆt ph¼ng qua M trªn IJ vµ song song víi AB vµ CD a, T×m giao tuyÕn cña mp(P) víi mp(IJD) b, X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(P). ThiÕt diÖn lµ h×nh g×? Bµi 3: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi C’ lµ trung ®iÓm cña SC; M lµ ®iÓm di ®éng trªn SA, (P) lµ mÆt ph¼ng di ®éng lu«n ®i qua C’M vµ song song víi BC a, Chøng minh (P) lu«n chøa mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh b, X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cua hinh chãp c¾t bëi mp(P). X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó thiÕt diÖn lµ h×nh b×nh hµnh c, T×m tËp hîp giao ®iÓm cña hai c¹nh ®èi cña thiÕt diÖn khi M di chuyÓn trªn c¹nh SA Bµi 4: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh thang víi ®¸y lín BC = 2a; AD = a vµ AB = b. MÆt bªn SAD lµ ta, gi¸c ®Òu, (P) lµ mÆt ph¼ng qua ®iÓm M trªn ®o¹n AB vµ song song víi SA vµ BC, pm(P) c¾t CD; SC; SB lÇn l­ît t¹i I; J; K a, Chøng minh MIJK lµ h×nh thang c©n b, TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(P) theo a vµ x = AM. Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD. Gäi M vµ N lµ hai ®iÓm trªn AB vµ CD vµ (P) lµ mÆt ph¼ng qua MN vµ song song víi SA a, T×m c¸c giao tuyÕn cña (P) víi (SAB) vµ (SAC) b, X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(P) c, T×m ®iÒu kiÖn cña M; N ®Ó thiÕt diÖn lµ h×nh thang Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O; M lµ ®iÓm di ®éng trªn SC vµ (P) lµ mÆt ph¼ng qua AM vµ song song víi BD a, Chøng minh (P) lu«n chøa mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh b, T×m c¸c giao ®iÓm H vµ K cña (P) víi SB vµ SD. Chøng minh lµ mét h»ng sè c, ThiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mp(P) cã thÓ lµ h×nh thang ®­îc hay kh«ng Bµi 7: Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a; M vµ P lµ hai ®iÎm di ®éng trªn c¸c c¹nh AD vµ BC sao cho AM=CP=x (0 < x < a). Mét mÆt ph¼ng qua MP vµ song song víi CD c¾t tø diÖn theo mét thiÕt diÖn a, Chøng minh thiÕt diÖn th«ng th­êng lµ h×nh thang c©n b, TÝnh x ®Ó diÖn tÝch thiÕt diÖn nhá nhÊt Bµi 8. Bµi 9. Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh t©m O. M lµ trung ®iÓm cña SB. X¸c ®Þnh thiÕt di