Giáo án môn Toán khối 11 - Chương II: Các phương pháp giải phương trình lương giác tổng quát

ChươngII: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC TỔNG QUÁT I. Phương pháp 1: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Dạng 1: Biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản dạng 1 hoặc dạng 2 Ví dụ 1. Giải phương trình: cos3xcos3x + sin3xsin3x = ( 1 ) ( 1 ) cos3x(3cosx + cos3x) + sin3x(3sinx – sin3x) = 3(cos3xcosx + sin3xsinx) + cos23x – sin23x = 3cos2x + 4cos32x – 3cos2x = cos32x = cos2x = ( k ) Ví dụ 2. Giải phương trình: 3sin4x - cos12x = 1 + 4sin34x ( 2) ( 2 ) 3sin4x – 4sin34x - cos12x = 1 sin12x - cos12x = 1 sin12x - cos12x = cossin12x - sincos12x = sin = sin ( k Z ) Ví dụ3. Giải phương trình: ( 3 ) Điều kiện: sin2x 0 ( a ) ( 3 ) cosx + sinx = 8sinxsinxcosx cosx + sinx = 4sinxsin2x cosx + sinx = 2(cosx – cos3x) cosx - sinx = 2cos3x cosx - sinx = cos3x ( k Z ), thỏa điều kiện ( a ) Lưu ý: Với bài toán giải phương trình lượng giác có điều kiện, ta có thẻ kiểm tra điều kiện bằng một trong ba cách sau: + Thay các giá trị x vừa tìm được vào điều kiện để kiểm tra thỏa hay không. + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ bỏ ngọn cung tiềm được khi nó trùng với ngọn cung điều kiện. + So với các điều kiện trong quá trình giải. Ví dụ4. Giải phương trình: ( 4 ) Điều kiện: sin2x Ta có: sin3x + cos3x = 3sinx – 4sin3x + 4cos3x – 3 cosx = 3(sinx – cosx) – 4(sin3x – cos3x) =3(sinx – cosx) – 4(sinx – cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx – cosx)(-1 - 2sin2x) Do vậy: ( 3 ) cosx – sinx = 3cosx + sinx sinx = - cosx tanx = -1 x = ( k Z ) , thỏa điều kiện. Ví dụ 5. Giải phương trình: ( 5 ) Điều kiện: ( 5 ) sin3xcos8x = sin8xcos13x sin11x – sin5x = sin21x – sin5x sin21x = sin11x ( k Z ) Kiểm tra điều kiện của nghiệm: + Với x = k , ta có: Sin8x = sin k không chia hết cho 5 k = 5m ( m Z ) Cos13x = cos 0 khi k 5m ( m Z ) + Với x = , ta có: Sin8x = sin Cos13x = cos Vậy nghiệm của ( 5 ) là: ( k Z ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: sin5x – cos3x = (sin3x – cos5x) Bài2: sin4x – sin3x = cos3x Bài3: cos3xsinx + sin3xcosx = Bài4: Bài5: sin3x(1 + cotx) + cos3x(1 + tanx) = Bài6: Bài7: 2tanx + cotx = Bài8: tan2x – tan3x – tan5x = tan2xtan3xtan5x Bài9: Bài10: Dạng2: Biến đổi đưa về phương trình bậc 2 đối với hàm lượng giác. Ví dụ1. Giải phương trình: 5cosx = cos2x + 3 ( 1 ) ( 1 ) 5cosx = 2cos2x – 1 + 3 2cos2x – 5cosx + 2 = 0 ( k Z ) Ví dụ2. Giải phương trình: cos24x = cos2x ( 2 ) ( 2 ) 2cos22x – 1 = (1 + sos2x) 4cos22x – cos2x – 3 = 0 ( k Z ) Ví dụ. Giải phương trình: ( 3 ) Điều kiện: sin4x 0 Với điều kiện trên ta có: (3) cos2x +3cot2x + sin4x = 2(cot2x – cos2x) 3cos2x + cot2x + sin4x = 0 cos2x(3 + + 2sin2x ) = 0 2sin22x + 3sin2x + 1 = 0 ( k Z ) Giao với điều kiện ta được nghiệm của ( 3 ) là: Ví dụ 4. Giải phương trình: sin2x(cotx + tan2x) = 4sin2x ( 4 ) Điều kiện: ( 4 ) sin2x(cos2x cosx + sin2xsinx) = 4cos2xsinxcos2x sin2xcosx = 4cos2xsinxcos2x sinxcos2x(1 – cos2x) = 0 ( k Z ), thỏa điều kiện. Ví dụ5. Giải phương trình: ( 5 ) Điều kiện: Với điều kiện trên ta có: ( 5 ) tan2x + 2tanx – 3 = 0 ( k Z ), thỏa điều kiện. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: Bài2: Bài3: 3sin4x + 3cos4x – 9sin2x + 5sin22x = 0 Bài4: Bài5: (2sinx – 1)(cos2x + 3sinx + 1) = 3 – 4cos2x Bài6: tanx – cotx + 3cot22x = 5 Bài7: Bài8: 16(sin8x + cos8x) = 17cos22x Bài9: Dạng3: Biến đổi đưa về phương trình bậc 3 theo hàm lượng giác Ví dụ 1. Giải phương trình: ( 1 ) ( 1 ) ( k Z ) Ví dụ 2. Giải phương trình: 2cosxcos2xcos3x = 7cos2x + 4 ( 2 ) ( 2 ) cos2x(cos4x + cos2x) – 7cos2x – 4 = 0 cos2x(2cos22x + cos2x – 1) – 7 cos2x – 4 = 0 2cos22x + cos22x – 8 cos2x – 4 = 0 (2cos2x + 1)(cos22x – 4) = 0 cos2x = - ( k Z ) Ví dụ4. Giải phương trình: cos4x – cos2x + 2sin6x = 0 ( 3 ) ( 3 ) (1 + cos2x)2 – 4cos2x + (1 – cos2x)3 = 0 cos32x – 4cos22x + 5cos2x – 2 = 0 (cos2x – 1)(cos22x – 3cos2x + 2) = 0 cos2x = 1 ( k Z ) Ví dụ 5. Giải phương trình: ( 4 ) ( 4 ) ( k Z ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: 2cos3x + 2cosx + 1 = 0 Bài2: 9sin3x + 12cos2x – 27sinx – 8 = 0 Bài3: 2sinxcos2xsin3x + 3cos2x = 2 Bài4: cos4x = cos23x + sin2x Bài5: Bài6: Bài7: cos9x – 5cos6x +6 = 0 Bài8: cos4x = cos23x Bài9: Bài10: Dạng4: Biến đổi đưa về phương trinh bậc 4 đối với hàm lượng giác. Ví dụ 1. Giải phương trình: 3sin2x + 10cos4x = 4 ( 1 ) ( 1 ) 3(1 – cos2x) + 10cos4x = 4 10cos4x - 3cos2x – 1 = 0 ( k Z ) Ví dụ 2. Giải phương trình: 8cos4x + 8(1 – cosx)4 = 1 ( 2 ) Đặt t = cox - . Khi đó ta có: ( 2 ) Ta nhận thấy: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a – b)4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4 (a + b)4 + (a – b)4 = 2a4 + 12a2b2 + 2b4 Do đó ( 2 ) 2t4 + 3t2 = 0 t = 0 ( k Z ) Ví dụ 3. Giải phương trình: 8(sin8x + cos8x) = cos24x ( 3 ) Ta có: sin8x + cos8x = ( sin4x + cos4x)2 – 2sin4xcos4x = (1 - sin22x)2 - sin42x = 1 – sin22x + sin42x Do đó ( 3 ) 8(1 – sin22x + sin42x) = (1 – 2sin22x)2 3sin42x + 4sin22x – 7 = 0 sin22x = 1 v sin22x = (loại) cos2x = 0 ( k Z ) Ví dụ 4. Giải phương trình: sin5x = 5sinx ( 4 ) ( 4 ) sin5x – sinx = 4sinx 2cos3xsin2x = 4sinx 2(4cos3x – 3cosx)2sinxcosx = 4sinx sinx(4cos4x – 3cos2x - 1) = 0 sinx(4cos2x + 1)(cos2x – 1) =0 cos2x = 1 v sinx = 0 ( k Z ) Ví dụ 5. Giải phương trình: cos3xcos3x – sin3xsin3x = cos24x + ( 5 ) ( 5 ) cos3x(4cos3x – 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = cos24x + 4(sin6x + cos6x) – 3(sin4x + cos4x) = cos24x + 4(1 - sin22x) – 3(1 - sin2x) = cos24x + 1 - sin22x = (1 – 2sin22x)2 + 16sin42x – 10sin22x + 1 = 0 ( k Z ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: 3cos2x + 40sin4x = 4 Bài2: 8sin4x + 8(1 – sinx)4 = 1 Bài3: Sin8x + cos8x = Bài4: Bài5: Bài6: 16(sin10x + cos10x) = 58cos24x Bài7: 3cos4x – 8cosxcos3x = 1 Bài8: 2sin4x – 7cos4x = 5 + sin2x Bài9: sin8x + 15cos8x = 16(sin10x + cos10x) Bài10: Dạng5: Biến đổi đưa về phương trình đẳng cấp. Ví dụ 1. Giải phương trình: cosx + sinx – 4cos3x = 0 ( 1 ) Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của ( 1 ) Do vậy ta chia hai vế của ( 1 ) cho cos3x ta được: 1 + tan2x + tanx(1 + tan2x) – 4 = 0 tan3x + tan2x + tanx – 3 = 0 ( tanx – 1)(tan2x + 2tanx + 3) = 0 tanx = 1 ( k Z ) Ví dụ 2. Giải phương trình: 4sin3x + 3cos3x = 3sinx + sin2xcosx ( 2 ) Ta nhận thấy sinx = 0 không phải là nghiệm của ( 2 ) Do vậy chia hai vế của ( 2 ) cho sin3x ta được: 4 + 3cot3x = 3(1 + cot2x) + cotx 3cot3x – 3cot2x – cotx + 1 = 0 (cotx – 1)(3cot2x – 1) = 0 ( k Z ) Ví dụ 3. Giải phương trình: 2cos3x – 3sin2xsinx = 4sinx – 2sin3x ( 3 ) ( 3 ) 2cos3x – 6sin2xcosx = 4sinx – 2(3sinx – 4sin3x) 2cos3x – 6sin2xcosx + 2sinx – 8sin3x = 0 ( 3’ ) Ta nhận thấy sinx = 0 không phải là nghiệm của ( 3’ ) Do vậy chia 2 vế của ( 3’ ) cho sin3x ta được: cot3x + cot2x – 3cot2x – 3 = 0 (cotx + 1)(cot2x – 3) = 0 ( k Z ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: 3sinx – cosx = 4cos3x Bài2: Bài3: Bài4: Bài5: Bài6: 1 + 5sin2x = 6tanx Bài7: 3cos2x + 5sin2x = 4cotx + 1 Bài8: Bài9: Bài10: II. Phương pháp 2: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Dạng1: Ghép hàm – biến đổi về phương trình tích Ví dụ 1. Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = 0 ( 1 ) (1 ) (sinx + sin3x) + sin2x = 0 2sin2xcosx + sin2x = 0 sin2x(2cosx + 1) = 0 ( k Z ) Ví dụ 2. Giải phương trình: sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x ( 2 ) ( 2 ) (sinx + cos3x) + sin2x = (cosx + cos3x) + cos2x sin2xcosx + sin2x = 2cos2xcosx + co2x sin2x(2cosx + 1) = cos2x(2cosx + 1) (2cox + 1)(sin2x – cos2x) = 0 ( k Z ) Ví dụ 3. Giải phương trình: 1 + cos6x + cos8x + cos14x = 0 ( 3 ) ( 3 ) (1 + cos8x) + (cos14x + cos6x) = 0 2cos24x + 2cos10xcos4x = 0 cos4x(cos4x + cos10x) = 0 2cos4xcos7xcos3x = 0 ( k Z ) Ví dụ 4. Giải phương trình: 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x ( 4 ) ( 4 ) (1 – cos2x) + (cos3x – cosx) – (sin2x – sinx) = 0 2sin2x – 2sin2xsinx – sinx(2cox – 1) = 0 2sin2x(1 – 2cosx) + sinx(1 – 2cosx) = 0 sinx(1 – 2cosx)(2sinx + 1) = 0 ( k Z ) Ví dụ 5. Giải phương trình: tanx + cotx – 2sin2x = cos2x ( 5 ) Điều kiện: sin2x 0 ( 5 ) cos2x(2cot2x – 1) = 0 ( k Z ), thỏa điều kiện. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. Giải các phương trình sau: Bài1: cosx – 2cos2x + cos3x = 0 Bài2: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 Bài3: 2sin3x + sin3x = sinx Bài4: Bài5: Bài6: Bài7: tan3x + tanx = sin4x Bài8: tan2x + cot2x – 2sin4x = 3cos24x Bài9: Bài10: Dạng2: Dùng công thức hạ bậc – ghép hàm – biến đổi về phương trình tích Ví dụ 1. Giải phương trình: sin23x – sin25x = sin24x – sin26x ( 1 ) ( 1 ) (cos10x + cos8x) – (cos12x + cos6x) = 0 2cos9xcosx – 2cos9xcos3x = 0 cos9x(cox – cos3x) = 0 ( k Z ) Ví dụ 2. Giải phương trình: 2cos3x + cos4x + cos2x = 0 ( 2 ) ( 2 ) cosx(1 + cos2x) + 2cos22x – 1 + cos2x = 0 cosx(1 + cos2x) + (cos2x + 1)(2cos2x – 1) = 0 (1 + cos2x)(cosx + 2cos2x – 1) = 0 (1 + cos2x)(4cos2x + cosx – 3) = 0 ( k Z ) Ví dụ 3. Giải phương trình: 4sin4x + 3cos2x + cos3xcosx + cos8x – 2 = 0 ( 3 ) ( 3 ) sinx( 3sinx – sin3x) + 3cos2x + cos3xcosx + cos8x – 2 = 0 3sin2x + 3cos2x + cos3xcosx – sin3xsinx + cos8x – 2 = 0 cos4x + cos8x + 1 = 0 2cos24x + cos4x = 0 ( k Z ) Ví dụ 4. Giải phương trình: ( 4 ) ( 4 ) (1-cos2x)2 + (1-sin2x)2 = cos4x + 3 1 – 2cos2x + cos22x + 1 – 2sin2x + sin22x = cos4x + 3 -2(sin2x + cos2x) = cos22x – sin22x (sin2x + cos2x)(sin2x – cos2x – 2) = 0  tan2x = -1 ( k Z ) Ví dụ 5. Giải phương trình: sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) + cos32x ( 5 ) ( 5 ) sin8x + cosx8x -2(sin10x + cos10x) – cos32x = 0 sin8x(1 – sin2x) + cos8x(1 – 2cos2x) – cos32x = 0 sin8xcos2x – cos8xcos2x – cos32x = 0 cos2x(sin4x – cos4x)(sin4x + cos4x) – cos32x = 0 cos2x(sin2x – cos2x)(1 - sin22x) – cos32x = 0 - cos22x(2 – sin22x) – cos32x = 0 - cos22x(2 – sin22x + cos2x) = 0 cos22x(cos22x + 2cos2x + 1) = 0 ( k Z ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: 2(cos2x + cos22x + cos23x) = 3 Bài2: cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 Bài3: 2cos22x + cos2x = 4sin22xcos2x Bài4: cos4x + sin6x = cos2x Bài5: Bài6: sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) Bài7: cos3xcos3x + sin3xsin3x = cos34x Bài8: 2cos2x + 2cos22x + 2cos23x = 3 + cos4x(2sin2x + 1) Bài9: (sin8x + cos8x) = 4(sin10x + cos10x) + 5cos2x Bài10: Dạng3: Dùng hằng đẳng thức biến đổi và đặt thừa số chung. Ví dụ 1. Giải phương trình: cos3x – sin3x = cos2x ( 1 ) ( 1 ) (cosx – sinx)(1 + sinxcosx) = cos2x – sin2x (cosx – sinx)(1 + sinxcosx – cosx – sinx) = 0 (cosx – sinx)(1- cosx – sinx(1- cosx)) = 0 (cosx – sinx)(1 – cosx)(1 – sinx) = 0 ( k Z ) Ví dụ 2: Giải phương trình: 2(cos4xsinx - sin4xcosx) = cos2xsin2x ( 2 ) ( 2 ) 2sinxcosx(cos3x – sin3x) = (cosx – sinx)(cosx + sinx)sin2x sin2x(cosx – sinx)(1 + sinxcosx) = (cosx – sinx)(cosx + sinx)sin2x sin2x(cosx – sinx)(1 + sinxcosx - cosx – sinx) = 0 sin2x(cosx – sinx)(1 – cosx)(1 – sinx) = 0 ( k Z ) Ví dụ 3: Giải phương trình: cos3x – sin2x – sinx = 1 + cosx – sin3x ( 3 ) ( 3 ) sin3x + cos3x – (1 + sin2x) – (cosx + sinx) = 0 (sinx + cosx)(1 – sinxcosx) – (sinx + cosx)2 – (sinx + cosx) = 0 (sinx + cosx)(sinx + cosx + sinxcosx) = 0 + Với sinx = - cosx tanx = 1 ( k Z ) + Với sinx + cosx + sinxcosx = 0 ( * ) Đặt ( * ) t2 + 2t – 1 = 0 Chọn ( k Z ) Vậy nghiệm của ( 3 ) là: ( k Z ) Ví dụ 4. Giải phương trình: tanx + cotx = 2sin2x + 4cos32x ( 4 ) Điều kiện: sin2x 0 ( 4 ) cos22x(1 – 2sin2xcos2x) = 0 cos22x(1 – sin4x) = 0 ( k Z ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: cos3x + sin3x = cos2x Bài2: Bài3: cos2x – sinx = 4sin2xcosx Bài4: 3(cosx – sinx) = 1 + cos2x – sin2x Bài5: cos6x – sin6x = cos22x Bài6: 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx Bài7: Bài8: Bài9: Bài10: Dạng4: Tách ghép và đặt thừa số chung. Ví dụ 1. Giải phương trình: 2sin3x + cos22x = sinx ( 1 ) ( 1 ) 2sin3x – sinx + cos22x = 0 sinx(2sin2x – 1) + cos22x = 0 - sin2xcos2x + cos22x = 0 cos2x(cos2x – sinx) = 0 cos2x(1 – 2sin2x – sinx) = 0 ( k Z ) Ví dụ 2. Giải phương trình: ( 2 ) Điều kiện: cosx 0 ( 2 ) ( k Z ) Ví dụ 3. Giải phương trình: 2cos6x + sin4x + cos2x = 0 ( 3 ) ( 3 ) 2cos2x(cos4x + 1) + (sin2x – 1)(sin2x + 1) =0 2cos2x(cos4x + 1) – cos2x(sin2x + 1) = 0 cos2x(2cos4x – sin2x + 1) = 0 cos2x(2cos4x + cos2x) = 0 cos4x(2cos2x + 1) = 0 cosx = 0 ( k Z ) Ví dụ 4. Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 ( 4 ) ( 4 ) 9sinx + 6cosx – 6sinxcosx + 1 – 2sin2x – 8 = 0 (- 2sin2x + 9sinx – 7 ) + 6cosx(1 – sinx) = 0 (1 – sinx)(2sinx – 7) + 6cosx(1 – sinx) = 0 (1 – sinx)(2sinx + 6cosx - 7) = 0 + Với sinx = 0 ( k Z ) + Với 2sinx + 6cosx – 7 = 0 ( * ) Ta có: 22 + 62 = 40 < 72 = 49. Do vậy ( * ) vô nghiệm. Vậy nghiệm của ( 4 ) là: ( k Z ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: cos4x – cos2x + 2sin6x = 0 Bài2: Bài3: Bài4: Bài5: sin3x + sin2x + 2cosx – 2 = 0 Bài6: cos3x – sin3x + sinx = 0 Bài7: Bài8: Bài9: tan4x + tan2x – tan23x = tan4xtan2xtan23x Bài10: cot3x + tan2x – cot22x = cot3xtan2xcot22x III.Phương pháp 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ. Dạng1: Đặt ẩn phụ * Nhận dạng: + Khi phương trình chứa sinu1(x), cosu1(x), tanu2(x), cotu2(x) mà u1(x) = u2(x) hoặc u1(x) = 2ku2(x) ( Với k Z ) Ta đặt t = tanu2(x) + Sau đó đưa về phương trình theo t. Ví dụ 1. Giải phương trình: 1 + 3tanx = 4sin2x ( 1 ) Điều kiện: cosx 0 Đặt ( 1 ) trở thành: 3t3 + t2 – 5t + 1 = 0 (t – 1)(3t2 + 4t – 1) = 0 ( k Z ), thỏa điều kiện. Ví dụ 2. Giải phương trình: ( 2 ) Điều kiện: Đặt ( 2 ) trở thành: t3 -4t2 + t + 2 = 0 (t – 1)(t2 – 3t + 2) = 0 ( k Z ), thỏa điều kiện. Ví dụ 3. Giải phương trình: cotx = tanx + tan2x ( 3 ) Điều kiện: Đặt ( 3 ) trở thành: t4 – 4t2 + 1 =0 ( k Z ), thỏa điều kiện. Ví dụ 4. Giải phương trình: ( 4 ) Điều kiện: Đặt ( 4 ) trở thành: 4t(1 – t2) + 6t(1 + t2) = t(1 + t2)2 t5 – 9t = 0 ( k Z ) , thỏa điều kiện. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: 1 + 2sin2x = 3tanx Bài2: cos2x + 3sin2x = 2tanx + cotx Bài3: 2tan2x = cot2x Bài4: (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx Bài5: Bài6: Bài7: Bài8: Bài9: cot2x + tanx – 3sin2x = 0 Bài10: tan2x – 3tanx + 4sin2x = 0 Dạng2: Đặt ẩn phụ cung lượng giác. Ví dụ 1. Giải phương trình: ( 1 ) Đặt ( 1 ) trở thành: -2cos2t + 4cost = 3 - 2(2cos2t – 1) + 4cost = 3 (2cost – 1)2 = 0 ( k Z ) , thỏa điều kiện. Ví dụ 2. Giải phương trình: ( 2 ) Điều kiện: Đặt ( 2 ) tan3t(1 – tant) = 2tant tant(tan3t – tan2t + 2) = 0 tant(tant + 1)(tan2t – 2tant + 2) = 0 ( k Z ) , thỏa điều kiện. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: Bài2: Bài3: Bài4: Bài5: Bài6: Bài7: Bài8: Bài9: Bài10: Dạng3: Đưa về phương trình đối xứng loại 1 – đặt ẩn phụ toàn phần. Ví dụ. Giải phương trình: ( 1 ) Điều kiện: ( * ) ( 1 ) Đặt ( 1 ) trở thành: , giao với điều kiện của t ta được: ( k Z ), thỏa ( * ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: 3sin2x + (sinx + cosx)3 – 1 = 0 Bài2: 2(cos3x – sin3x) + sin22x + 2(sinx – cosx)3 = 0 Bài3: Bài4: 2(tan2x + cot2x) – 5(tanx + cotx) + 6 = 0 Bài5: Dạng4: Đặt ẩn phụ không toàn phần. Là phép đặt ẩn phụ mà sau khi đặt đưa về phương trình bậc hai theo ẩn mới t nhưng vẫn còn chứa x. Các bước giải: + Bước 1: Biến đổi phương trình sao cho nó có dạng là một phương trình bậc hai theo h(x) (với h(x) là một hàm hay một biểu thức nào đó). Sau đó đặt t = h(x). + Bước 2: Đưa về phương trình bậc hai theo t + Bước 3: Tính theo x + Bước 4: Tìm nghiệm t theo x (nếu có). Sau đó giải tìm x. Ví dụ 1: Giải phương trình: cos4x – 2sinxcos2x – 8sin2x = 0 ( 1 ) Đặt t = cos2x ( 1 ) trở thành: t2 – 2tsinx – 8sin2x = 0 = sin2x + 8sin2x = 9sin2x Với t = - 2sinx ( k Z ) Với t = 4sinx ( k Z ) Vậy nghiệm của ( 1 ) là: v ( k Z ) Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 – 2xsinxy + 1 = 0 ( 2 ) = sin2xy – 1 = - cos2x Do vậy ( 2 ) có nghiệm = 0 cosxy = 0 Khi đó x = sinxy ( 2 ) Vậy nghiệm của ( 2 ) là: ( k Z ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: 2cos4x – 5sinxcos2x + 2sin2x = 0 Bài2: 2cosx + tanx = 2sin2x + 1 Bài3: 2sinx + 2cotx = sin2x + 2 Bài4: sin3x + sinx – cos2x – 1 = 0 Bài5: cos2x + 2sin23x + 4(3sinx – 4sin3x) + 3 = 0 Bài6: 4sin2x + sin23x = 4sinxsin23x Bài7: cos3x + 3cos2x + 2sin2x + 2cosx – 9sinx – 6 = 0 Bài8: sin2x – 2cos2x – 4sinx – cosx + 3 = 0 Bài9: 2sinx + 2siny + 2cos(x – y) = 3 Bài10: x2 – 2xcosxy + 2(1 – sinxy) = 0 IV. Phương pháp 4: ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG. *Cách giải: Đưa phương trình về dạng Ví dụ 1. Giải phương trình: cos2x – cos6x + 4(3sinx – 4sin3x + 1) = 0 ( 1 ) ( 1 ) 1 – 2sin2x – 1 + 2sin23x + 4sin3x + 4 = 0 2(sin3x + 1) + cos2x = 0 ( k Z ) Ví dụ 2. Giải phương trình: x2 – 2xcosxy – 2sinxy + 2 = 0 ( 2 ) ( 2 ) ( x – cosxy)2 – (1 – sinxy) – 2sinxy + 2 = 0 (x - cosxy)2 + (sinxy – 1)2 = 0 sinxy = 1 cosxy = 0 x = 0 sinxy = 0 ( trái với giả thiết sinxy = 1) Vậy ( 2 ) vô nghiệm. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: 4sin2x + sin3x = 4sinxsin23x Bài2: Bài3: 4sin2x + 4sin2y + 4sin2(x + y) = 9 Bài4: 2cosx + 2cosy – 2cos(x + y) = 3 Bài5: 2sinx + 2siny + 2sin(x – y) = 3 V. Phương pháp 5: DÙNG TÍNH BỊ CHẶN CỦA HÀM SIN, COS. + Nhận dạng: Cách này thường được sử dụng khi gặp các phương trình mũ cao hoặc không thể biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản. + Cách giải: Dựa vào miền giá trị: , . Sau đó xét dấu “ = ” xảy ra. Ví dụ 1. Giải phương trình: sin3x + ccos4x = 1 ( 1 ) Ta có: Dấu “ = ” xảy ra ( k Z ) Ví dụ 2. Giải phương trình: sin2005x + cos2006x = 1 ( 2 ) Ta có: Mặt khác: sin2005x + sin2006x sin2x + cos2x 1 Dấu “ = ” xảy ra Ví dụ 3. 4(sin8x + cos8x) = 8(sin10x + cos10x) + 5cos2x ( 2 ) ( 2 ) 4sin8x(1 – 2 sin2x) – 4cos8x(2cos2x – 1) – 5cos2x = 0 cos2x(4sin8x – 4cos8x – 5) = 0 + cos2x = 0 + sin8x – cos8x = Ta có: phương trình vô nghiệm. Vậy nghiệm của ( 3 ) là: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải các phương trình sau: Bài1: sin4xsin16x = 1 Bài2: sin10x + cos10x = 1 Bài3: sin2x + cos3x = 2 – sin4x Bài4: sinx + cosx = cos2x +3 Bài5: 4(sin6x + cos6x) = sin10x + cos10x