Giáo án môn Toán khối 11 - Lượng giác

Nguyễn Quốc Hoàn 0902 188 377 Nguyễn Quốc Hoàn 094 888 111 7 H 1 H 2 l-ợng giác 1. Công thức l-ợng giác cơ bản +) 2 2cos sin 1    +) 1 + tan2 = 2 1 k , k 2cos          Z +) 1 + cot2 = 2 1 ( k , k ) sin     Z +) tan . cot = 1 k , k 2         Z . 2. Giá trị l-ợng giác của các cung có liên quan đặc biệt GTLG Cung () sin cos tan cot Đối nhau ( = –) –sin cos –tan –cot Bù nhau ( =  – ) sin –cos –tan –cot Hơn kém  ( =  + ) –sin –cos tan cot Phụ nhau ( = 2  – ) cos sin cot tan Hơn kém 2  ( = 2  + ) cos –sin –cot –tan sin( + k2) = sin, cos( + k2) = cos,  k  Z tan( + k) = tan, cot( + k) = cot,  k  Z. 3. Công thức cộng +) cos(  ) = cos cos sin sin +) sin(  ) = sin cos  cos sin +) tan(  ) = tan tan 1 tan tan      (Với điều kiện là biểu thức có nghĩa) +) cot(  ) = 1 tan tan tan tan      (Với điều kiện là biểu thức có nghĩa). 4. Công thức nhân đôi +) sin2 = 2 sin cos +) cos2 = cos2 – sin2 = 2cos2 – 1 = 1 – 2sin2 +) tan2 = 2 2 tan 1 tan    (Với điều kiện là biểu thức có nghĩa) +) cot2 = 2cot 1 2cot    (Với điều kiện là biểu thức có nghĩa). 5. Công thức nhân ba +) sin3 = 3sin – 4sin3 +) cos3 = 4cos3 – 3cos +) tan3 = 3 2 3tan tan 1 3tan      (Với điều kiện là biểu thức có nghĩa). 6. Công thức hạ bậc +) cos2 = 1 cos 2 2   +) sin2 = 1 cos 2 2   +) tan2 = 1 cos 2 1 cos 2     k , k 2           Z +) cos3 = 3cos cos3 4    +) sin3 = 3sin sin 3 4    +) tan3 = 3sin sin 3 3cos cos3       (Với điều kiện là biểu thức có nghĩa). 7. Công thức biến đổi tích thành tổng +) cos.cos = 1 [cos( ) cos( )] 2      +) sin.sin = 1 [cos( ) cos( )] 2     +) sin.cos = 1 [sin( ) sin( )] 2     . 8. Công thức biến đổi tổng thành tích +) cos + cos = 2cos cos 2 2    +) cos – cos = –2sin sin 2 2     +) sin + sin = 2sin cos 2 2    +) sin – sin = 2cos sin 2 2     +) tan  tan = sin( ) cos .cos     ; k , k 2            Z . 9. Bảng xác định dấu của các giá trị l-ợng giác Phần t- Giá trị l-ợng giác I II III IV cos + – – + sin + + – – tan + – + – cot + – + – 10. Giá trị l-ợng giác của các cung đặc biệt  0 (00) 6  (300) 4  (450) 3  (600) 2  (900) sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 tan 0 1 3 1 3  cot  3 1 1 3 0 11. Đổi đơn vị a (độ) và  (rad) 180 . a =  . . 12. Độ dài của một cung tròn Cung có số đo  rad của đ-ờng tròn bán kính R có độ dài = R . 13. Giá trị l-ợng giác của cung  sin = OK cos = OH tan = sin cos   cot = cos sin   tan = AT cot = BS –1 ≤ sin ≤ 1 –1 ≤ cos ≤ 1. 14. Đ-ờng tròn định h-ớng, cung l-ợng giác, góc l-ợng giác và đ-ờng tròn l-ợng giác. x y A A’ B’ B O M K H  t t’ s’ s S T Nguyễn Quốc Hoàn 0902 188 377 Nguyễn Quốc Hoàn 094 888 111 7 H 3 H 4 15. Biểu diễn sinx, cosx, tanx và cotx theo t = x tan 2 sinx = 2 2t 1 t , cosx = 2 2 1 t 1 t   ,  x k2 , k   Z tanx = 2 2t 1 t x k2 , k x k 2             Z cotx = 21 t 2t   x k , k  Z . 16. Biến đổi biểu thức asinx + bcosx asinx + bcosx = 2 2 2 2 2 2 a b a b sinx cosx a b a b           +) Đặt 2 2 2 2 a b cos , sin a b a b       , khi đó asinx + bcosx =  2 2a b sinxcos cosxsin    = 2 2a b sin(x )  +) Đặt 2 2 2 2 a b sin , cos a b a b       , khi đó asinx + bcosx =  2 2a b sinxsin cosxcos    = 2 2a b cos(x )  +) Đặc biệt: sin cos 2 sin 2 cos 4 4                 x x x x   sin 3 cos 2sin 2cos 3 6                 x x x x   . 17. Phửụng trỡnh lửụùng giaực cụ baỷn +) 2 sin sin 2         Z x k x k x k       arcsin 2 sin arcsin 2         Z x a k x a k x a k    2 sin sin 2         Z u v k u v k u v k    +) 2 cos cos 2         Z x k x k x k      cos 2 cos cos 2         Z x arc a k x a k x arc a k   2 cos cos 2         Z u v k u v k u v k   +) tanx = tan x = + k  Zk   tan arctan    Zx a x a k k tan tan   u v u v k k Z +) cotx = t x = + k   Zco k   ar     Zx a x a k kcot ccot     Zu v u v k kcot cot . 18. Phửụng trỡnh baọc hai ủoỏi vụựi moọt haứm soỏ lửụùng giaực +) asin 2 x + bsinx + c = 0 (a ≠ 0). ẹaởt sinx = t, ủk | | 1t +) acos 2 x + bcosx + c = 0 (a ≠ 0). ẹaởt cosx = t, ủk | | 1t +) atan 2 x + btanx + c = 0 (a ≠ 0). ẹaởt tanx = t +) acot 2 x + bcotx + c = 0 (a ≠ 0). ẹaởt cotx = t. 19. Phửụng trỡnh đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = d (a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0) Cách 1: Hạ bậc sin2x, cos2x và dùng CTNĐ sinxcosx Cách 2: B-ớc 1: xeựt cosx = 0. B-ớc 2: xeựt cos 0x , chia hai veỏ cuỷa phửụng trỡnh cho cos 2 x Chú ý: Nếu d = 0, gọi là: ph-ơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. PT đẳng cấp bậc ba, bậc bốn cũng giải t-ơng tự. 20. Ph-ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c Cách 1: Đặt cos = 2 2 a a b và sin = 2 2 b a b 2 2 sin( )   a b x c Cách 2: sin cos        b a x x c a Đặt tan b a   sin cos .tan  a x x c sin( ) cos   c x a   Cách 3: Đặt tan 2  x t (Chú ý kiểm tra x k2 , k   Z tr-ớc) ta có 2 2 2 2 1 sin ; cos 1 1      t t x x t t 2( ) 2 0     b c t at b c Điều kiện ph-ơng trình có nghiệm: 2 2 2 a b c . 21. Ph-ơng trình đối xứng, phản đối xứng với sinx và cosx a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x + cosx, 2t a(sin x – cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x – cosx, 2t . 22. Một số công thức khác 2 tan cot sin2  x x x , cotx - tanx = 2cot2x , cotx + coty = sin(x y) sin x sin y  cotx – coty = sin(y x) sin x sin y  (Với điều kiện là các biểu thức có nghĩa). 23. Hàm số l-ợng giác +) Haứm soỏ sin: sin : sin  x y x R R . Taọp xaực ủũnh D = R. Taọp giaự trũ:  1 ; 1 . Laứ haứm soỏ leỷ. Haứm soỏ tuaàn hoaứn vụựi chu kyứ 2 . Đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2 2 2            và nghịch biến trên mỗi khoảng 3 k2 ; k2 2 2           , k  Z. Có đồ thị là một đ-ờng hình sin. +) Haứm soỏ côsin: :  x y x R Rcos cos . Taọp xaực ủũnh D = R. Taọp giaự trũ:  1 ; 1 . Laứ haứm soỏ chẵn. Haứm soỏ tuaàn hoaứn vụựi chu kyứ 2 . Đồng biến trên mỗi khoảng  k2 ; k2   và nghịch biến trên mỗi khoảng  k2 ; k2   , k  Z. Có đồ thị là một đ-ờng hình sin. +) Haứm soỏ tang: tan : tan   D x y x R . Taọp xaực ủũnh \ 2         ZD R k k   . Taọp giaự trũ R. Laứ haứm soỏ leỷ. Haứm soỏ tuaàn hoaứn vụựi chu kyứ  . Đồng biến trên mỗi khoảng k ; k 2 2            , k  Z. Có đồ thị nhận mỗi đ-ờng thẳng x = k 2    , k  Z làm một đ-ờng tiệm cận. +) Haứm soỏ côtang: : tan   D x y x Rcot . Taọp xaực ủũnh  \ ZD R k k . Taọp giaự trũ R. Laứ haứm soỏ leỷ. Haứm soỏ tuaàn hoaứn vụựi chu kyứ  . Nghịch biến trên mỗi khoảng  k ; k   , k  Z. Có đồ thị nhận mỗi đ-ờng thẳng x = k , k  Z làm một đ-ờng tiệm cận.