Giáo án môn Toán khối 11 - Một số công thức lượng giác

Một số công thức lượng giác Công thức lượng giác cơ bản sin2a + cos2 a = 1 1 + tan2a = 1 + cot2a = tana.cota = 1 Gía trị lượng giác của các cung (góc) liên quan đặc biệt Cung đối: a và –a cos(-a) = cosa sin(-a) = -sina tan(-a) = -tana cot(-a) = -cota Cung bù: a và - a sin( - a) = sina cos( - a) = -cosa tan( - a) = -tana cot( - a) = -cota Cung hơn kém : a và + a sin( + a) = -sina cos( + a) = -cosa tan( + a) = tana cot( + a) = cota Cung phụ: a và sin() = cosa cos() = sina tan() = cota cot() = tana Công thức cộng cos(a – b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb – sinasinb sin(a – b) = sinacosb – cosasinb sin(a + b) = sinacosb + cosasinb tan(a b) = Công thức nhân đôi cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2 – 1 = 1 – 2sin2a sin2a = 2sinacosa tan2a = Công thức hạ bậc Công thức biến đổi tích thành tổng cosacosb = sinasinb = sinacosb = Công thức biến đổi tổng thành tích cosa + cosb = cosa - cosb = sina + sinb = sina - sinb = Bảng giá trị lượng giác của các cung (góc) đặc biệt. 00 (0) 300 () 450 () 600 () 900 () sin 0 1 cos 1 0 tan 0 1 kxđ cot kxđ 1 0 @ Chú ý: -sina = sin(-a), -tana = tan(-a), -cota = cot(-a), -cosa = cos( - a) I/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sinx = a +) , phương trình vô nghiệm +) , phương trình có 2 họ nghiệm Đặc biệt: sinx = 1 sinx = -1 sinx = 0 @ Chú ý: - Khi a có trong bảng giá trị lượng giác thì thay arcsina bằng cung (góc) tương ứng với giá trị đó. Chỉ được sử dụng 1 đơn vị đo trong một công thức nghiệm. sinu = sinv Bài tập: Giải các phương trình: 1) sinx = -2 2) sinx = 3 3) sinx = 4) sin2x = 5) sin3x = 6) sin 7) sin(x – 100) = 8) sin 9) sin2x = sin 10) sinx – sin3x = 0 11) sin 12) sin 13) sin2x = cosx 14) sin22x = 15) 2sin3x + = 0 Phương trình cosx = a +) , phương trình vô nghiệm +) , phương trình có 2 họ nghiệm Đặc biệt: cosx = 1 cosx = -1 cosx = 0 @ Chú ý: - Khi a có trong bảng giá trị lượng giác thì thay arccosa bằng cung (góc) tương ứng với giá trị đó. Chỉ được sử dụng 1 đơn vị đo trong một công thức nghiệm. cosu = cosv Bài tập: Giải các phương trình: 1) cosx = -5 2) cosx = 2 3) cosx = 4) cos2x = 5) cos3x = 6) cos 7) cos(x – 200) = 8) cos 9) cos2x = cos 10) cosx – cos3x = 0 11) cos 12) cos 13) cos2x = sinx 14) cos22x = 15) 2cos3x + = 0 16) Phương trình tanx = a Phương trình có 1 họ nghiệm x = arctana + k, k Z Bài tập: Giải các phương trình: 1) tanx = 4 2) tan2x = 1 3) tan 4) tan2x = tanx 5) tantan2x = 0 6) tan2xtanx = 1 Phương trình cotx = a Phương trình có 1 họ nghiệm x = arccota + k, k Z 1) cotx = 3 2) cot2x = 1 3) cot 4) cot2x = cotx 5) cottan2x = 0 6) tan2xcotx = 1 7) II/ MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Dạng: asinx + b = 0; acosx + b = 0 atanx + b = 0; acotx + b = 0 Cách giải: Chuyển vế đưa về phương trình cơ bản Bài tập: Giải các phương trình: 1) 2sin3x – 1 = 0 2) 2cos2x + = 0 3) 3tanx - = 0 4) cot + 1 = 0 Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Bài tập: Giải các phương trình: 1) cosx – sin2x = 0 2) cos2x + cosx = 0 3) 4sinxcosxcos2x – 1 = 0 4) 4sin22x – 3 = 0 5) cos24x – 1 = 0 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Dạng: asin2x + bsinx + c = 0 acos2x + bcosx + c = 0 atan2x + btanx + c = 0 acot2x + bcotx + c = 0 Cách giải: Đặt t = sinx (cosx, tanx, cotx) đưa về phương trình bậc hai Bài tập: Giải các phương trình: 2sin2x + 5sinx + 3 = 0 2cos22x – 3cos2x + 2 = 0 tan2x + tanx – 2 = 0 cot2x – cotx – 6 = 0 Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Bài tập: Giải các phương trình: sin22x + cos2x +1 =0 2cos2x – sinx + 1 = 0 cos2x – sinx + 2 = 0 cos2x + cosx – 2 = 0 2tanx – 3cotx + 1 = 0 cosx + sin + 1 = 0 sin2x – sinxcosx - 2cos2x = -1 2sin2x + 3sin2x - 2cos2x = 3 2sin2x – 5sinxcosx + 3 = 0 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Dạng: asinx + bcosx = c Cách giải: asinx + bcosx = sin(x + ) với cos = , sin = ta được: sin(x + ) = Bài tập: Giải các phương trình: 1) sinx + cosx = 1 2) 4sin2x – 3 cos2x = 5 3) sinx – cosx = -1 4) 5cos2x – 12sin2x = 13 5) sinx + cosx = 2sinx Bài tập tổng hợp: Giải các phương trình: 1) 2) 2sin23x – 1 = 0 3) sin2x + 2cos2x = 0 4) cos2x + sinx = 0 5) cos2x – sinx = -2 6) cos2x – 2sinxcosx = 0 7) 3cosx + sin2x = -1 8) 2sin2x + 2cos2x = 1 9) cos2x + 3cosx – 4 = 0 10) 3sin2x – 2sin2x + cos2x = 2 11) tanx – 3cotx = -1 12) 2sinx – cosx = 5 13) sin2x = cos22x + cos23x 14) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) 15) 16) sin6x + cos6x = 2(sin8x + cos8x) 17) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x 18) 2cos2x + 2cos22x + 2cos23x – 3 = cos4x(2sin2x + 1) 19) 4cos3x + 3sin2x = 8cosx 20) cos4x + sin6x = cos2x