Giáo án môn Toán khối 11 - Tổ hợp và xác suất

PHẦN II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT A. PHẦN LÝ THUYẾT I. QUI TẮC ĐẾM . 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. 3. Giai thöøa: Ñònh nghóa: 0! =1; n!=1.2.3n Tính chaát: n!=n(n-1)! II. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3n 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số mà . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: . 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số mà . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: III. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Nhận xét: Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng. Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: Chú ý: là khai triển theo số mũ của a giảm dần. là khai triển theo số mũ của a tăng dần. B. PHẦN BÀI TẬP Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân. BÀI 1 : Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Giải Bạn X có hai phương án để chọn: Phương án A cỡ 40: Có 3 cách chọn (chọn theo 3 màu); Phương án B cỡ 41: Có 4 cách chọn. Vậy X có 3 + 4 = 7 cách chọn. BÀI 2 : Cho tập . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? Giải Cách 1: Gọi số cần tìm dạng: với c phải chia hết cho 2. Ta có hai phương án chọn số chẵn: Phương án A: Chọn số chẵn tận cùng bằng 0 (dạng ) Chọn : có 4 cách chọn Chọn : có 3 cách chọn Vậy phương án A có: 4.3 = 12 cách chọn Phương án B: Chọn số chẵn tận cùng khác 0. Chọn : có 2 cách chọn Chọn : có 3 cách chọn Chọn : có 3 cách chọn Vậy phương án B có: 2.3.3 = 18 cách chọn Vậy có tất cả: 12 + 18 = 30 số chẵn được lập từ A Cách 2: Số có ba chữ số khác nhau lập từ A là: Chọn : có 4 cách chọn Chọn : có 4 cách chọn Chọn : có 3 cách chọn Vậy có: 4.4.3 = 48 số có 3 chữ số lập từ A (1) Số lẻ có ba chữ số khác nhau lập từ A là: (c phải là số lẻ) Chọn : có 2 cách chọn Chọn : có 3 cách chọn Chọn : có 3 cách chọn Vậy có: 2.3.3 = 18 số lẻ có ba chữ số lập từ A. (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: Số chẵn có ba chữ số lập từ A là: 48 – 18 = 30 số BÀI 3 : Từ tập hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần? Giải Số có 7 chữ số nên có 7 vị trí Vậy ta lấy các phần tử của A cho vào các vị trí này sao cho thỏa mãn đề bài Cho số 2 vào 7 vị trí: ta có 7 cách chọn Cho số 3 vào các vị trí còn lại: có 6 vị trí chọn Cho số 4 vào các vị trí còn lại sau khi cho số 2, 3: có 5 vị trí để chọn Cho số 5 vào các vị trí còn lại sau khi đã cho số 2, 3, 4: có 4 vị trí để chọn Còn lại 3 số 1 và 3 vị trí còn lại có 1 cách chọn Vậy có: 7.6.5.4.1 = 840 số Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị Phương pháp giải: Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3n Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân BÀI 1 Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? Giải Đây là bài toán hoán vị. Xếp hai bạn nam vào hai ghế kề nhau: có 2! cách xếp. Xếp ba bạn nữ vào ba ghế kề nhau: có 3! cách xếp. Xếp theo nhóm nam, nữ: có 2! cách xếp. Vậy số cách xếp là: 2!.(2!3!) = 24 cách. BÀI 2. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách. Giải Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị. Vậy có P5 = 5! = 120 cách sắp. Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử: BÀI 1: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? Giải Mỗi vectơ là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp gồm 7 điểm. Số vectơ muốn tìm là số chỉnh hợp chập 2 của 7: (vectơ). BÀI 2: Từ tập có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Giải: Gọi số cần tìm là Có : có 5 cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của tập A\{a}: có Vậy có = 300 số BÀI 3. Một ngày học 3 môn trong số 7 môn học. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời khoá biểu trong một ngày. Giải Giả sử có thể chọn tuỳ ý các môn học trong ngày đó. Việc xếp thời khoá biểu trong ngày chính là việc chọn ra 3 môn trong số 7 môn có để ý đến thứ tự và không có lặp. Do đó số cách xếp là: Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử: BÀI 1: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? Giải Một tam giác gồm 3 đỉnh (không cần thứ tự) chọn trong 7 điểm. Như vậy để tạo một tam giác xem như chọn một tập còn gồm 3 phần tử trong số 7 phần tử. Số tam giác là số tổ hợp chập 3 của 7: (tam giác) BÀI 2. Có mấy cách rút 3 quân bài từ bộ bài 52 quân Giải Số cách rút bằng số tổ hợp chập 3 từ 52 phần tử BÀI 3. Có mấy cách phân phối 15 sản phẩm cho 3 người sao cho người thứ nhất có hai sản phẩm, người thứ hai có 3 sản phẩm, người thứ 3 có 10 sản phẩm. Giải Dạng 5: Tìm trong phương trình chứa Phương pháp giải: Dùng các công thức: BÀI 1: Tìm , nếu có: . Giải Điều kiện: Vậy n = 3. BÀI 2: Tìm , nếu có: Giải Điều kiện: . Từ (2) và (3) ta có: . Vậy . Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)n. Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton: (khai triển theo lũy thừa của a tăng, b giảm) (Chú ý: khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần) BÀI 1: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11. Giải Cách 1: Ta có số hạng tổng quát thứ k + 1 trong khai triển trên là: Để xk = x3 thì k = 3, Þ số hạng chứa x3 là: Cách 2: Þ Để xk = x3 thì k = 3 Þ Số hạng chứa x3 là: BÀI 2: Trong khai triển , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x. Giải Có số hạng tổng quát thứ k + 1 là: Để số hạng không chứa x thì Vậy số hạng không chứa x là: (Chú ý: ) BÀI 3: Tìm hệ số của x8 trong khai triển Giải Ta có: Để , k và i là các số nguyên thỏa mãnÞ i = 0; k = 4 và i = 2; k = 3 Vậy hệ số của số hạng chứa x8 là: BÀI 4: Cho khai triển: , có các hệ số . Tìm hệ số lớn nhất Giải Ta có: Þ Hệ số Có: Để Þ với Lại có: Từ (1) và (2) Þ hệ số lớn nhất là: Dạng 7: Tìm tổng có chứa Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy ra kết quả. BÀI 1: Tính tổng: Giải Ta có: Chọn x = 1 ta có: Chọn x = – 1 ta có: BÀI 2: Tính tổng: Giải Ta có: Lại có: BÀI 3: Tính tổng: Giải Ta có: Chọn x = –2 được: