Khai thác sâu sắc các ứng dụng, khái niệm, định lí về vectơ

KHAI THÁC SÂU SẮC CÁC ỨNG DỤNG, KHÁI NIỆM, ĐỊNH LÍ VỀ VECTƠ TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ: *Định nghĩa: Cho số và vectơ . Tích của số k với vectơ là một vectơ kí hiệu là . Vectơ cùng hướng với vectơ nếu , ngược hướng với nếu Quy ước: . Từ định nghĩa trên cho phép ta phân tích một vectơ theo các vectơ khác. Đặt biệt là biểu thị qua hai vectơ không cùng phương, chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng song song. Chứng minh các hệ thức vectơ: Xuất phát từ: Trong đó : cùng phương với , cùng phương với và không cùng phương. Bài toán gốc: Cho tam giác ABC trọng tâm G. Chứng minh rằng Gọi M là trung điểm của BC và K là điểm đối xứng với G qua M. Đặt . Ta có (1). Lập luận tương tự ta có (2) Từ (1) và (2) suy ra hay Bài toán nâng cao : Cho n vectơ không cùng phương thoả mãn các điều kiện sau: Đôi một không cùng phương với i=1,2,3,,n không cùng phương với tổng n -1 vectơ còn lại. Chứng minh rằng : Giải: Đặt . Ta cần chứng minh Gọi là hai vectơ trong n vectơ Theo giả thiết ta có , Từ (1) và (2) suy ra Từ (3) và (4) suy ra hay Đi theo sơ đồ: Mỗi bài toán ta có các bài toán gốc, các bài toán vận dụng trực tiếp khái niệm, định lý bài toán nâng cao, tức là vận dụng nhiều bậc, nhiều tầng các khái niệm định lý, tức là vận dụng tổ hợp các khái niệm bài toán khó MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ: Chứng minh ba đường trung tuyến, ba đường phân giác của một tam giác đồng quy Bài toán gốc: Cho tam giác ABC, M,N,P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, AC,AB. Chứng minh rằng AM,BN,CP đồng quy tại một điểm G Giải : Từ giả thiết bài bài Chứng minh A,G,M thẳng hàng Khai thác vai trò của phép toán . Ta có thể chứng minh cùng phương hoặc cùng phương. Gọi G là giao điểm của CP và BN Ta chứng minh cùng phương Kẻ và . Ta có và N là trung điểm của AC J là trung điểm của GC (1) và P trung điểm của AB K là trung điểm của BG (2) (3) (4) Từ (1) và (2) . Do đó tứ giác PNJK là hình bình hành G là trung điểm của NK và PJ (5) Từ (1), (2), (5) suy ra Ta có : (1) và (2) Từ (1) và (2) suy ra Ta lại có: (6) và (7) Từ (6) và (7) suy ra Từ (*) và (**) suy ra thẳng hàng , hay BN, CP, AM đồng quy tại G. Khi đó G gọi là trọng tâm của tam giác ABC. Bài toán nâng cao: