Một dạng toán về ƯCLN và BCNN

MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN ================== Trong chương trình lớp 6, sau khi học các khái niệm ƯCLN và BCNN chúng ta sẽ gặp dạng toán tìm hai số nguyên dương khi biết một số yếu tố trong đó các các dữ kiện về ƯCLN và BCNN Phương pháp chung để giải: 1/ Dựa và định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số. 2/ Trong một số trường hợp có thể sử dụng mội quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tích của 2 số nguyên dương a, b; đó là: ab = (a,b).[a,b], trong đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. việc chứng minh hệ thức này không khó: Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n Z+; (m; n) = 1 (*) Từ (*) => ab = mnd2; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = a.b => ab = (a,b).[a,b] (**) Sau đây là một số ví dụ minh hoạ: Bài tập vận dụng Bài toán 1: Tìm 2 số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16 Giải: Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a b Từ (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m; b = 16 n (m n do a b) với m, n Z+; (m; n) = 1 Theo định nghĩa BCNN: [a, b] = mnd mn.16 = 240 => m.n = 15 => m = 1 và n = 15 hoặc m = 3 và n = 5 => a = 16; b = 240 hoặc a = 48, b = 80 * Chú ý: Ta có thể áp dụng công thức (**) để giải bài toán này: ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 => mn = 15. Bài toán 2: Tìm 2 số nguyên dương a, b biết a.b = 216, và (a, b) = 6 Giải: Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a b. Do (a, b) = 6 nên a = 6m; b = 6 n (m n do a b) với m, n Z+; (m; n) = 1 Vì vậy: ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 mn = 6 m = 1 và n = 6 hoặc m = 2 và n = 3 => a = 6; b = 36 hoặc a = 12, b = 18 Bài toán 3: Tìm 2 số nguyên dương a, b biết a.b = 180; [a, b] = 60 Giải: Từ (**) => (a, b) = = 3 Lúc này bài toán đưa về dạng bài toán 2. Kết quả a = 3; b = 60 hoặc a = 15, b = 15 * Chú ý: Ta có thể tính (a, b) một cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3 Bài toán 4: Tìm 2 số nguyên dương a, b biết = 2,6, và (a, b) = 5 Giải: Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m; b = 5n; với m, n Z+; (m; n) = 1 Vì vậy = 2,6 => m = 13 và n = 5 hay a = 65 và b = 25 * Chú ý: Phân số tương ứng với 2, 6 phải chọn là phân số tối giản do (m, n) = 1 Bài toán 5: Tìm a, b biết và [a, b] = 140 Giải: Đặt (a, b) = d. Vì và (4; 5) = 1 nên a = 4d; b = 5d. Vì [a, b] = 4.5.d = 20.d = 140 => d = 7 => a = 28; b = 35 Bài toán 6: Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 1 và (a, b) = 16 Giải: Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a b Ta có: a = 16m; b = 16n với m, n Z+; (m; n) = 1, m n Vậy a + b = 128 16(m + n) = 128 m + n = 8 Bài toán 7: Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72 Giải: Gọi d = (a; b) => a = md; b = nd với m, n Z+; (m; n) = 1 Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a b => m n Do đó: a + b = d(m + n) = 42 (1) và [a; b] = mnd = 72 (2) => d là ước chung của 42 và 72 => d {1; 2; 3; 6} Lần lượt thay các giá trị d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường hợp d = 6 => => ( thoả mãn các điều kiện của m, n) Vậy d = 6 và Bài toán 8: Tìm hai số nguyên dương a, b biết a – b = 7 và [a, b] = 140 Giải: Gọi d = (a; b) => a = md; b = nd với m, n Z+; (m; n) = 1 Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a b => m n Do đó: a – b = d(m – n) = 7 (1) và [a; b] = mnd = 140 (2) => d là ước chung của 7 và 140 => d {1; 7} Lần lượt thay các giá trị d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường hợp d = 7 => => ( thoả mãn các điều kiện của m, n) Vậy d = 7 và BÀI TẬP TỰ GIẢI: 1/ Tìm 2 số a, b biết 7a = 11b và (a; b) = 45 2/ Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 448, ƯCLN của chúng bằng 16 và chúng có các chữ hàng đơn vị giống nhau. 3/ Cho 2 số tự nhiên a và b. Tìm tất các số tự nhiên c sao cho trong 3 số, tích của hai số luông luông chia hết cho số còn lại.