Một số dạng toán thi học sinh giỏi lớp 12

Trường THPT Quang Trung-Nghệ An GV: Đinh Quang Đạo một số dạng toán thi hsg lớp 12 I.Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình ,hệ phương trình và bất phương trình : 1.Phương trình và hệ phương trình: - Cách giải: Đưa bài toán về dạng ( với m là tham số ) và dựa vào miền giá trị của hàm số để biện luận. Chú ý: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi . -Các ví dụ : Câu 1. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: . Hướng dẫn: Với điều kiện . Xét hàm số trên đoạn [-1;8]. Với -1<x<8 , ta có: . Bảng biến thiên Suy ra với thì phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt. Câu 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên tập số thực a) ; b) (HSG NA 2007-2008). Hướng dẫn: a)Đặt , . Ta có (*). Xét hàm số , với . , và ; Suy ra . Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi . b)Đặt , với . PT. Câu 3.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :. Hướng dẫn: Với điều kiện . Hệ PT(II) +Với x=-1 hoặc y=-1 không có giá trị m nào thỏa mãn. +Với x=y=3 thì có m=2 thỏa mãn. +Với , ta xét hàm số , với . Ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-1;3). Suy ra ; Hay (III). Xét hàm số , với . Ta có . Suy ra . Suy ra phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi . Hay hệ (III) có nghiệm khi và chỉ khi . Vậy (I) có nghiệm khi và chỉ khi . Câu 4.Tìm m để hệ sau có nghiệm: . Hướng dẫn: Đặt . Ta có , với Suy ra . 2.Bất phương trình và hệ bất phương trình: - Cách giải: Đưa bài toán về dạng hoặc ( với m là tham số ) và dựa vào miền giá trị của hàm số để biện luận. Cụ thể: a)Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi . b)Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi . Chú ý: i)Bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi . ii)Bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi . -Các ví dụ: Câu 5.Tìm m để bất phương trình có nghiệm . Hướng dẫn: Đặt , với . Ta có (*). Xét hàm số , với ; , và . Suy ra bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi . Câu 6.Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi . Hướng dẫn: Ta có : . Đặt , với , ta có : (*) Xét hàm số , với ; ; ;; Bảng biến thiên Suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi hay . Vậy với bất phương trình đã cho được nghiệm đúng với mọi . Câu 7. Cho hệ :.Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn . Hướng dẫn: Với điều kiện . Đặt , với . Ta có (II). Xét trên đoạn [3;4]. Hệ (II) có nghiệm . Bài tập: Câu 8)Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: a) (ĐH2008A); b) ; c); d). Câu 9)Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên tập số thực : a); b) ; Câu 10. Tìm m để phương trình a) có nghiệm . b) có nghiệm . c) có nghiệm . d) có nghiệm . Câu 11. Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) (HSG Tỉnh 2001-2002). b) ; c) . Câu 12. Tìm m để phương trình a) có hai nghiệm thực phân biệt. b) có nghiệm . Câu 13.Tìm m để bất phương trình : a) có nghiệm. b) nghiệm đúng với mọi . c) nghiệm đúng với mọi . d) nghiệm đúng với mọi ; Câu 14.Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm thực . Câu 15.Tìm m để hệ sau có nghiệm : . II.Giải phương trình: 1.Phương trình vô tỉ: 1.1)Phương pháp lượng giác hóa: Nếu trong phương trình chỉ chứa một hoặc hai loại căn : , , . và ta sẻ làm mất căn từ việc đặt , với như sau: ; ; . Câu 16. Giải phương trình : ; . Hướng dẫn: Với điều kiện . Đặt , với . Ta có: kết hợp với điều kiện suy ra và . Vậy nghiệm của phương trình là ; ; và . 1.2)Phương pháp sử dụng tính đơn điệu: Nếu hàm số đơn điệu thì : . Câu 17.Giải phương trình . Giải: Với điều kiện . Xét hàm số . Ta có hàm số đồng biến trên R. Suy ra . Vậy nghiệm của phương trình là . 1.3)Phương pháp nhẩm nghiệm và chứng minh không còn nghiệm khác: Câu 18. Giải phương trình . Hướng dẫn: Với điều kiện . Ta có x=9 là một nghiệm của phương trình. Xét hàm số . Ta có hàm số đồng biến trên . Suy ra là nghiệm duy nhất của phương trình. Câu 19. Giải phương trình: (HSG NA 2010-2011) Hướng dẫn: Với điều kiện . Ta có x=0 và x=1 là hai nghiệm của phương trình. Xét trên khoảng (-1;2), ta có ; . Bảng biến thiên Suy ra x=0 và x=1 là hai nghiệm duy nhất của phương trình. 1.4)Phương pháp đánh giá giá trị của hàm số: Nếu và thì . Câu 20.Giải phương trình . Hướng dẫn: Với điều kiện . Xét hàm số và trên đoạn [2;4]. Ta có và . Suy ra . Vậy nghiệm của phương trình là . 1.5)Phương pháp phân tích thành nhân tử liên hợp: Câu 21.Giải phương trình: (ĐH2010D). Hướng dẫn: Với điều kiện . Ta có: . Ta thấy . Suy ra . Câu 22.Giải phương trình: (HSG Tỉnh NA 2010-2011). Hướng dẫn: Với điều kiện . Ta thấy . Suy ra . 1.6)Phương pháp vận dụng hằng đẳng thức: +Từ hằng đẳng thức : , ta có . Câu 23.Giải phương trình: . Hướng dẫn: Đặt , , , ta có: . Mà . Bài tập : Câu 24.Giải các phương trình: a) ; b) ; c) ; d) . Câu 25.Giải các phương trình sau : a) (ĐH2006D). b). c). d). e). g). h) (HSG Tỉnh NA 2007) i) ; k) ; l) m) ; n) ; p) . q) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn thỏa mãn . Chứng minh tam giác ABC đều. Hướng dẫn: PT. Xét trên khoảng (0;1). Ta có . Câu 26.Giải các phương trình sau : a); b); Câu 27. Giải các phương trình: a) ; b) ; c); d). Câu 28. Giải các phương trình: a) ; b) ; c) . 1.7)Phương pháp đưa về hệ phương trình: Câu 29. Giải các phương trình sau: a) ; b) . Hướng dẫn: a)Với điều kiện . Đặt và , ta có : . Suy ra . b)Với điều kiện . Đặt và , ta có : . 1.8)Phương trình đẳng cấp bậc k đối với và : +Dạng : . +Cách giải: Kiểm tra với phương trình có nghiệm hay không. Với , chia cả hai vế của phương trình cho ta được: . Đặt . Câu 30. Giải các phương trình sau: a) ; b) ; Hướng dẫn: a)Với điều kiện . Ta có: . và với x=1 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình cho x-1 ta được: . Đặt , với , ta có: . Với . b)Với điều kiện x>2. Ta có : . Bài tập: Câu 31. Giải các phương trình: a) ; b) . c) ; d) . Câu 32. Giải các phương trình: a) ; b) . 2.phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit: 2.1.Phương pháp nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất: Câu 33. Giải bất phương trình sau: . Hướng dẫn: Ta có : . Xét hàm số , với . ; và . Bảng biến thiên: Suy ra . Vậy nghiệm của bất phương trình là . 2.2.Phương pháp chuyển thành hệ: Câu 34. Giải các phương trình: . (HSG Tỉnh NA 2010-2011). Hướng dẫn: Đặt và , u>0,v>0. Suy ra . Suy ra . Vậy nghiệm của phương trình là . Câu 35.Giải phương trình: . Hướng dẫn: Đặt , và . Xét hàm số , . 2.3.Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Câu 36. Giải các phương trình: . Hướng dẫn: Ta có Xét hàm số , với , ta có . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng . Suy ra . 2.4.Phương pháp đổi biến số: Câu 37.Giải phương trình: . Hướng dẫn: Ta có : . Đặt , với , ta được: . Với . Bài tập: Câu 38.Giải các phương trình: a); b) (HSG Tỉnh NA 2004) ; c) (HSG Tỉnh NA 2005). d). Câu 39.Giải các phương trình: a) . b) . Câu 40.Giải các phương trình: a); b) . Câu 41.Giải phương trình: . Câu 42.Giải các phương trình: a); b) ; 2.5.Phương pháp đổi biến không hoàn toàn: Câu 43. Giải phương trình: a) ; d); b) . c); g). 2.6.Phương pháp đưa về cùng cơ số: Câu 44. Giải phương trình: a); b); c); d). 2.7.Phương pháp phân tích thành nhân tử: Câu 45.Giải phương trình: a); b) ; c) ; Câu 46.Giải phương trình: a) ; b). Câu III.Giải hệ phương trình: Câu 47.Giải hệ phương trình: . (HSG Bình Định 2009-2010). Hướng dẫn: .