Ôn tập giải tích 11 theo các chủ đề - Chủ đề 1: Phương trình lượng giác

ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 1 ÔN TẬP GIẢI TÍCH 11 THEO CÁC CHỦ ĐỀ CHỦ ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ I. Một số công thức lượng giác cần nhớ 1) 2 2 2 22 2 1 1sin x cos x 1;1 tan ;1 cot . cos sin x x x x       2) sin cos 1tanx ;cot x ; tan cos sin cot x x x x x x    . 3) Công thức cộng: sin( ) sin cos cos cos( ) cos cos sin sin a b a b asinb a b a b a b       4) Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 - 2 sin2x 5) Công thức hạ bậc: 2 21 cos 2 1 cos 2cos ;sin 2 2 x xx x   6) Công thức nhân ba: Sin3x = 3sinx – 4sin3x; cos3x = 4cos3x – 3cosx. 7) Công thức biểu diễn theo tanx: 2 2 2 2 2 tan 1 tan 2 tansin 2 ;cos 2 ; tan 2 1 tan 1 tan 1 tan x x xx x x x x x       . 8) Công thức biến đổi tích thành tổng:       1cos cos cos( ) cos( ) 2 1sin sin cos( ) cos( ) 2 1sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b             9) Công thức biến đổi tổng thành tích: sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y x yx y              ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 2 B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng 1. Phương trình bậc hai. Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) 2cosx - 2 = 0 2) 3 tanx – 3 = 0 3) 3cot2x + 3 = 0 4) 2 sin3x – 1 = 0 5) 2 cosx + sin2x = 0 Bài 2. Giải các phươn trình sau: 1) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 2) cos2x + sinx + 1 = 0 3) 2cos2x + 2 cosx – 2 = 0 4) cos2x – 5sinx + 6 = 0 5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos2x - 4 3 cosx + 3 = 0 7) 2sin2x – cosx + 7 2 = 0 8) 2sin2x – 7sinx + 3 = 0 9) 2sin2x + 5cosx = 5. Bài 3. Giải các phương trình: 1) 2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0 3) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0 3) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3 4) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0 5) 3cos2x + 2(1 + 2 + sinx)sinx – (3 + 2 ) = 0 6) tan2x + ( 3 - 1)tanx – 3 = 0 7) 3 3cot 32sin x x   8) 2 24sin 2 6sin 9 3cos2 0 cos x x x x     9) cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2) 1 sin 2 1 x x x x x x      . Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) 4sinx – 3cosx = 2 2) sinx - 3 cosx = 1 3) 3 sin3x + cos3x = 1 4) sin4x + 3 cos4x = 2 5) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = 5 Bài 2. Giải các phương trình: 1) 3 cos3 sin3 2x x  2) 33sin3 3 cos9 1 4sin 3x x x   3)cos7 cos5 3sin 2 1 sin 7 sin5x x x x x   4) cos7 3sin 7 2x x   5) 2 2(sin cos )cos 3 cos2x x x x   Dạng 3. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và côsin. 1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0 2) sin2x – 3sinxcosx + 1 = 0. 3) 4 3 sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x + 5 2 . 4) 523sin (3 ) 2sin( ) cos( ) 2 2 x x x        325sin ( ) 0 2 x     . 5) a) 1 3 sin cos cos x x x   ; b) 1 4sin 6cos cos x x x   . 6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – 1 = 0 7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2. 8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0. 10) 2 2sin x - 4 3sinxcosx 5cos x = 5 . ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 3 Dạng 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) (2 2) (sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2 2 + 1 2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6 3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0 4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 Bài 2. Giải các phương trình: 1) 2 (sinx + cosx) - sinxcosx = 1. 2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) = 2 2 . 3) 1 1 10cos sin cos sin 3 x x x x     . 4) sin3x + cos3x = 2 2 . 5) sinx – cosx + 7sin2x = 1. 6) (1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2x x x x     . 7) sin 2 2 sin( ) 1 4 x x    . 8) sin cos 4sin 2 1x x x   . 9) 1 + tgx = 2 2 sinx. 10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2. 11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Giải các phương trình sau: 1) sin3x = 1 2 11) sin(2x - 3) = sin(x + 1) 2) cos2x = - 2 2 12) tan(3x + 2) + cot2x = 0 3) tan(x + 60o) = - 3 13) sin3x = cos4x 4) cot 5 7 x    = 1 3 14) tan3x.tanx = 1 5) sin2x = sin 3 4 x     15) sin(2x + 50o) = cos(x + 120o) 6) tan 2 3 x     = tan 3 6 x    16) 3 - 2sin2x = 0 7) cos(3x + 20o) = sin(40o - x) 17) 2cos 3 4 x     - 3 = 0 8) tan 4 x     = - cot 2 3 x     18) 3tan 2 20 3 ox    + 3 = 0 9) sin(2x - 10o) = 1 2 với -120o < x < 90o 19) 2sinx - 2 sin2x = 0 10) cos(2x + 1) = 2 2 với -  < x <  20) 8cos3x - 1 = 0 Bài 2. Giải các phương trình: 1) sin2x = 1 2 11) sin2x + sin22x = sin23x 2) cos23x = 1 12) sin  2cos 24x x      tan2x = 0 3) sin4x + cos4x = 1 2 13) (2sinx + 1)2 - (2sinx + 1)(sinx - 3 2 ) = 0 ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 4 4) sinx + cosx = 1 14) sinx + sin2x + sin3x = 0 5) cosx.cos3x = cos5x.cos7x 15) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 6) cos2x.cos5x = cos7x 16) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 7) sin3x.cos7x = sin13x.cos17x 17) cos7x + sin22x = cos22x - cosx 8) sin4x.sin3x = cosx 18) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x 9) 1 + 2cosx + cos2x = 0 19) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x 10) cosx + cos2x + cos3x = 0 20) cosx - cos2x + cos3x = 1 2 Bài 3. Giải các phương trình: 1) 2sin2x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin2x + 4cosx - 1 = 0 3) tan 2 6 x    + 2cot 2 6 x    - 3 = 0 4) 2 2 + (3 - 3)cot2x - 3 - 3 = 0 sin 2x 5) cot2x - 4cotx + 3 = 0 6) cos22x + sin2x + 1 = 0 7) sin22x - 2cos2x + 3 4 = 0 8) 4cos2x - 2( 3 - 1)cosx + 3 = 0 9) tan4x + 4tan2x + 3 = 0 10) cos2x + 9cosx + 5 = 0 11) 2 1 cos x + 3cot2x = 5 Bài 5. Giải các phương trình sau: 1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x = 2 3) 2sin 4 x     + sin 4 x     = 3 2 2 4) 23cos + 4sinx + = 3 3cos + 4sinx - 6 x x 5) 2sin17x + 3 cos5x + sin5x = 0 6) cos7x - sin5x = 3 (cos5x - sin7x) 7) 4sinx + 2 cosx = 2 + 3tanx Bài 6. Giải các phương trình: 1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0 3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos3x + sin3x = 1 5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3 3 (sinx + cosx) + 5 = 0 7) 2(sinx - cosx) + sin2x + 5 = 0 8) sin2x + 2 sin(x - 45o) = 1 9) 2sin2x + 3 sinx + cosx + 8 = 0 10) (sinx - cosx)2 + ( 2 + 1)(sinx - cosx) + 2 = 0 Bài 7. Giải các phương trình 1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 0 2) cos2x - 3sinxcosx + 1 = 0 3) cos2x - sin2x - 3 sin2x = 1 4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 3 - 9)cos2x = 0 5) 4sin2x + 3 3 sin2x - 2cos2x = 4 6) 2sin2x + (3 + 3 )sinxcosx + ( 3 - 1)cos2x = 1 7) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 0 8) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 3 ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 5 Bài 8. Giải các phương trình 1) 4cos2x - 2( 3 + 1)cosx + 3 = 0 2) tan2x + (1 - 3 )tanx - 3 = 0 3) cos2x + 9cosx + 5 = 0 4) sin22x - 2cos2x + 3 4 = 0 5) 2cos6x + tan3x = 1 6) 2 1 cos x + 3cot2x = 5 Bài 9. Giải các phương trình 1) sin2x + sin2xsin4x + sin3xsin9x = 1 2) cos2x - sin2xsin4x - cos3xcos9x = 1 3) cos2x + 2sinxsin2x = 2cosx 4) cos5xcosx = cos4xcos2x + 3cos2x + 1 5) cos4x + sin3xcosx = sinxcos3x 6) sin(4x + π 4 )sin6x = sin(10x + π 4 ) 7) (1 + tan2)(1 + sin2x) = 1 8) tan( 2π 3 - x) + tan( π 3 - x) + tan2x = 0 Bài 10. Giải các phương trình 1) (1 - cos2x)sin2x = 3 sin2x 2) sin4x - cos4x = cosx 3) 1 1 π 1 - cotx + cos(x - ) = 1 + cosx 4 2(1 + cotx)2 4) 1 - (2 + 2 )sinx = 2 2 2 1 + cot x  5) tan2x = 1 - cosx 1 - sinx 6) 2(sin3x + cos3x) + sin2x(sinx + cosx) = 2 7) cosx(1 - tanx)(sinx + cosx) = sinx 8) (1 + tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 9) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin2x Bài 10. Giải các phương trình 1) sinx + cosx - sin2x 3 - 1 = 0 2) (1 + 2 )(sinx + cosx) - sin2x - ( 1 + 2 ) = 0 3) tanx + tan2x = tan3x 4) 1 cosx sinx = x 1 - cosxcos 2  D. MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC VÊ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1. Giải các phương trình 1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x 2) tan2x - tanxtan3x = 2 3) 25 - 3sin x - 4cosx = 1 - 2cosx 4) cos3xtan5x = sin7x 5) tanx + cotx = 4 6) sin 2 1 + sinx x + 2cosx = 0 7) 2tanx + cotx = 23 + sin2x 8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 9) 2sin3x(1 - 4sin2x) = 1 10) 2 2cot x - tan x = 16(1 + cos4x) cos2x 11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 1 16 12) cos10x + cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 6 13) sin2xcosx = 1 4 + cos3xsinx 14) sin6x + cos6x = cos4x 15) sin4x + cos4x = 7 8 cot(x + π 3 )cot( π 6 - x) 16) sinxcot5x = 1 cos9x 17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x 18) 2sin3x - 1 sinx = 2cos3x + 1 cosx 19) cos3xcos3x + sin3xsin3x = 2 4 20) 4 4sin + cos x 1 = sin 2 2 x x (tanx + cotx) 21) 1 + tanx = 2 2 sinx 22) cosx - sinx = 2 cos3x 23) 23sin 2 - 2cos x = 2 2 + 2cos2xx 24) sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 2sin2x 25) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = 1 26) 2sin(3x + 4  ) = 21 + 8sin2xcos 2x Bài 2. Giải các phương trình 1) sin4 x 3      + cos4 x 3      = 5 8 2) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 0 3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 0 4) 2 2 2 2(1 - cosx) + (1 + cosx) 1 + sinx - tan xsinx = + tan x 4(1 - sinx) 2 5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 6) cos6x + sin6x = 7 16 Bài 3. Giải các phương trình 1) cos2 + 3cot2x + sin4x = 2 cot 2 - cos2x x x 2) 2 24sin 2x + 6sin x - 9 - 3cos2x = 0 cosx 3) 2cosx(2sinx + 3 2) - 2cos x - 1 = 1 1 + sin2x 4) sin4x = tanx 5) cos2x + sin2x 2cosx + 1 = 0 6) sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3 2 8) 2 + cos2x + 5sinx = 0 9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) 10) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx Bài 4. Giải phương trình lượng giác 1) cosx + 3 sinx = 3 - 3 cosx + 3sinx + 1 2) 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin33x 3) cos7xcos5x - 3 sin2x = 1 - sin7xsin5x 4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sĩnx - 1) 5) 4(sin4x + cos4x) + 3 sin4x = 2 6) 4sin3x - 1 = 3sinx - 3 cos3x 7) 3 sin2x + cos2x = 2 8) 2 2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x 9) cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x Bài 5. Giải các phương trình (biến đổi đưa về dạng tích) 1) sin3x - 2 3 sin2x = 2sinxcos2x 2) sin22x + cos28x = 1 2 cos10x ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 7 3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = 3 - 4cos2x 4) cosxcos x 2 cos 3x 2 - sinxsin x 2 sin 3x 2 = 1 2 5) tanx + tan2x - tan3x = 0 6) cos3x + sin3x = sinx - cosx 7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x 8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 - 4cos2x 9) 2cos3x + cos2x + sinx = 0 10) sin3x - sinx = sin2x 11) cos 1 sin 1 sin x x x    12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = 0 13) cos4 x 2 - sin4 x 2 = sin2x 14) 3 - 4cos2x = sinx(2sinx + 1) 15) 2sin3x + cos2x = sinx 16) sin2x + sin22x + sin23x = 3 2 17) cos3x + sin3x = sinx – cosx 18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) 19) sin2x = cos22x + cos23x 20) sin23x - sin22x - sin2x = 0 21) 1 + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 0 22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x 23) 2sin3x - cos2x + cosx = 0 24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 25) 2cos2x = 6 (cosx - sinx) 26) 4cos3x + 3 2 sin2x = 8cosx 27) sin3x + sin2x = 5sinx Bài 6. Giải các phương trình 1) sin3x - sinx 1 - cos2x = cos2x + sin2x với 0 < x < 2 2) sin(2x + 5π 2 ) - 3cos(x - 7π 2 ) = 1 + 2sinx với π 2 < x < 3 3) cos7x - 3 sin7x = - 2 với 2π 6π < x < 5 7 Bài 7. Tìm giả trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: 1) y = 2sin2x + 3sinxcosx + 5cos2x 2) y = cosx + 2sinx + 3 2cosx - sinx + 4 trong khoảng ( - ; ) 3) y = 4sin2x + π2sin(2x + ) 4 4) y = sinx - cos2x + 1 2 Bài 8 (Các đề thi ĐH, CĐ từ 2002 đến 2010). 1) A_02. Giải phương trình: 5 cos3x + sin3xsin + 1 2sin2x x    = cos2x + 3 2) D_02. Tìm các nghiệm thuộc [0; 14] của phương trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 3) A_03. Giải phương trình: cotx - 1 = cos2x 1 + tanx + sin2x - 1 2 sin2x 4) D_03. Giải phương trình: sin2( x 2 - π 4 )tan2x - cos2 x 2 = 0 5) D_04. Giải phương trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x - sinx 6) A_05. Giải phương trình: cos23xcos2x - cos2x = 0 7) D_05. Giải phương trình: cos4x + sin4x + cos(x - π 4 )sin(3x - π 4 ) - 3 2 = 0 8) A_05_dự bị1. Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; ) của phương trình: ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 8 4sin2 x 2 - 3 cos2x = 1 + 2cos2(x - 3π 4 ) 9) A_05_dự bị 2. Giải pt: 2 2 cos3( x - π 4 ) - 3cosx - sinx = 0 10) D_05_dự bị 1. Giải pt: tan( 3π 2 - x) + sin 1 cos x x = 2 11) D_05_dự bị 2. Giải pt: sin2x + cos2x - 3sinx - cosx - 2 = 0 12) A_06_dự bị 1. Giải pt: cos3xcos3x - sin3xsin3x = 2 + 3 2 8 13) A_06_dự bị 2. Giải pt: 4sin3x + 4sin2x + 3sin2x + 6cosx = 0 14) B_06_dự bị 1. Giải pt: (2sin2x - 1)tan22x + 3(2cos2x - 1) = 0 15) B_06_dự bị 2. Giải pt: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 16) D_06_dự bị 1. Giải pt: cos3x + sin3x + 2sin2x = 1 17) D_06. Giải pt: cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 18) A_07. Giải phương trình: (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 19) B_07. Giải phương trình: 2sin22x + sin7x - 1 = sinx 21) D_07. Giải phương trình: (sin2 x 2 + cos2 x 2 )2 + 3 cosx = 2 22) CĐ_07. Giải phương trình: 2sin2( π 4 - 2x) + 3 cos4x = 4cos2x - 1 23) A_08. Giải phương trình: 1 1 7π + = 4sin - x 3πsinx 4sin x - 2          24) B_08. Giải phương trình: sin3x - 3 cos3x = sinxcos2x - 3 sin2xcosx 25) D_08. Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 26) CĐ_08. Giải pt: sin3x - 3 cos3x = 2sin2x 27) khối A – 2009) 3 )sin1).(sin21( cos).sin21(    xx xx 28 (Khối B – 2009) )sin4(cos23.32sin.cossin 3 xxxcoxxx  29) (Khối D – 2009) 0sin2cos.3sin25cos.3  xxxx 30) (D – 2010) Giải phương trình: sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x     31) (B – 2010)Giải phương trình: (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0 32) (A – 2010) Giai phương trình: (1 sin x cos 2x)sin x 14 cos x 1 tan x 2         ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 9 CHỦ ĐỀ 2 ĐẠI SỐ TỔ HỢP QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN, HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP: 1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động, hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách (không trùng với hành động thứ nhất). khi đó có m + n cách hoàn thành công việc. 2. Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp, có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai. Khi đó m.n cách hoàn thành công việc. 3. Hoán vị:  Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là hoán vị của n phần tử đó.  Số các hoán vị của n phần tử được kí hiệu là Pn. Ta có: Pn = n(n – 1) 2.1 = n! 4. Chỉnh hợp:  Cho tập A gồm n phần tử (n  1). Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp A và xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.  Kí hiệu knA là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử. Ta có: k nA = n(n -1) (n – k + 1). Với quy ước 0! = 1, ta có: ! ( )! k n nA n k   5. Tổ hợp:  Cho tập A có n phần tử (n  1). Mỗi tập con gồm k phần tử của tậm A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.  Kí hiệu knC là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có: ! ! !( )! k k n n A nC k k n k    6. Nhị thức Niu – tơn: 0 1 1 0 ( ) ... ... n n n n k n k k n n k n k k n n n n n k a b C a C a b C a b C b C a b            A. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP I) QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN: Bài 1: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu: 1) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? 2) Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ? Bài 2: Có 4 con đường nối liền điểm A và điểm B, có 3 con đường nối liền điểm B và điểm C. Ta muốn đi từ A đến C qua B, rồi từ C trở về A cũng đi qua B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lộ trình đi và về nếu ta không muốn dùng đường đi làm đường về trên cả hai chặng AB và BC? ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 10 Bài 3: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng bìa này đặt lần lượt cạnh nhau từ trái sang phải để được các số gồm 3 chữ số. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số và trong đó có bao nhiêu số chẵn? Bài 4: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. Bài 5: Một người có 6 cái áo, trong đó có 3 áo sọc và 3 áo trắng; có 5 quần, trong đó có 2 quần đen; và có 3 đôi giày, trong đó có 2 đôi giầy đen. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mặc áo - quần - giày, nếu: 1) Chọn áo, quần và giày nào cũng được. 2) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào và giày nào cũng được; còn nếu chọn áo trắng thì chỉ mặc với quần đen và đi giày đen. II) HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP: Bài 1: Có n người bạn ngồi quanh một bàn tròn (n > 3). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: 1) Có 2 người ấn định trước ngồi cạnh nhau. 2) 3 người ấn định trước ngồi cạnh nhau theo một thứ tự nhất định Bài 2: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Bài 3: Trong một lớp học có 30 học sinh nam, 20 học sinh nữ. Lớp học có 10 bàn, mỗi bàn có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Các học sinh ngồi tuỳ ý. b) Các học sinh ngồi nam cùng 1 bàn, các học sinh nữ ngồi cùng 1 bàn Bài 4: Với các số: 0, 1, 2, , 9 lập được bao nhiêu số lẻ có 7 chữ số. Bài 5: Từ hai chữ số 1; 2 lập được bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó có mặt ít nhất 3 chữ số 1 và ít nhất 3 chữ số 2. Bài 6: Tìm tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số: 1, 2, 3, 4 , 5 Bài 7: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 1) Các học sinh ngồi tuỳ ý. 2) Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn. Bài 8: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số chia hết cho 3 và gồm 5 chữ số khác nhau Bài 9: Từ các chữ cái của câu: "TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT" có bao nhiêu cách xếp một từ (từ không cần có nghĩa hay không) có 6 chữ cái mà trong từ đó chữ "T" có mặt đúng 3 lần, các chữ khác đôi một khác nhau và trong từ đó không có chữ "Ê" Bài 10: Cho A là một tập hợp có 20 phần tử. a) Có bao nhiêu tập hợp con của A? b) Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? Bài 11: 1) Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6? 2) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 nà các số đó nhỏ hơn số 345? Bài 12: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 11 Bài 13: Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Bài 14: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789? Bài 15: 1) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bãy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần. 2) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá. Bài 16: Số nguyên dương n được viết dưới dạng: n =  7532 ... Trong đó , , ,  là các số tự nhiên 1) Hỏi số các ước số của n là bao nhiêu? 2) Áp dụng: Tính số các ước số của 35280. III) TOÁN VỀ CÁC SỐ: nP , k nA , k nC : Bài 1: Giải bất phương trình: 34 1 3 1 14 1 PA C n n n     Bài 2: Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, , xn, với: xn = nn n PP A 4 143 2 4 4    Bài 3: Cho k, n là các số nguyên và 4  k  n; Chứng minh: kn k n k n k n k n k n CCCCCC 4 4321 464    Bài 4: Cho n  2 là số nguyên. Chứng minh: Pn = 1 + P1 + 2P2 + 3P3 + + (n - 1)Pn - 1 Bài 5: Cho k và n là các số nguyên dương sao cho k < n. Chứng minh rằng: 1 1 11 2 1 1        k k k k k n k n k n CC...CCC VI) NHỊ THỨC NEWTON: Bài 1: Chứng minh rằng: 1332211 433323   nnn n n n n n n .nC.n...C.C.C Bài 2: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức:      14109 111 x...xx  ta sẽ được đa thức:P(x) = A0 + A1x + A2x2 + + A14x14 Hãy xác định hệ số A9 Bài 3: Chứng minh rằng:     242 2112312  nnnnn .nnCnn...C..C.. Bài 4: Tính tổng S =   nnnnnnn nC...C.C.C.C 14321 1432  (n  2) Bài 5: Chứng minh rằng: 161616 2 16 141 16 150 16 16 2333  C...CCC Bài 6: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức: f(x) =        7654 12121212  xxxx Bài 7: Trong khai triển của 10 3 2 3 1     x thành đa thức: ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 12 P(x) = 1010 9 910 xaxa...xaa  Hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0  k  10) Bài 8: Tìm số nguyên dương n sao cho: 243242 210  nn n nnn C...CCC . Bài 9: CMR:  122333 2001200020002001200042001422001202001  C...CCC Bài 10: Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng: 1)   nnnnnn Cn ...CCC 1 11 3 1 2 1 210   2) nnnnnnn Cn ...C.C.CC 2 1 12 4 12 3 12 2 1 332210   Bài 11: Cho đa thức P(x) = (3x - 2)10 1) Tìm hệ số của x2 trong khai triển trên của P(x) 2) Tính tổng của các hệ số trong khai triển trên của P(x) Bài 12: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức:  nx 12  bằng 1024 hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng a.x12 trong khai triển đó. Bài 13: Trong khai triển nhị thức: n xxx           15 28 3 hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết rằng: 7921   nn n n n n CCC Bài14: Chứng minh: 144332111 3242322   nnnn n n n n n n n .nnC...C.C.CC Bài 15: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức: 17 4 3 2 1      x x x  0 Bài 16: Khai triển nhị thức: nx n n nxx n n xnx n nx n nxx CC...CC                                             3 1 32 1 13 1 2 1 12 1 022 1 22222222 Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC  và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x Bài 17: Trong khai triển: 21 3 3       a b b a Tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng nhau. B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5, có thể lập được bào nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? Bài 2. Dùng 5 chữ số 2,3,4,6,8 để viết thành số gồm 5 chữ số khác nhau. Hỏi: a. Bắt dầu bởi chữ số 2. b. Bắt đầu bởi chữ số 36 c. Bắt đầu bởi chữ số 482 Bài 3. Dùng 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 để viết thành số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau. Hỏi: a. Có bao nhiêu số như vậy b. Có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 1 ST&BS: Vũ Ngọc Vinh 13 Bài 4. Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. Bài 5. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5. Bài 6. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiết lập tất cả các số có 9 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số thiết lập được có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng chính giữa. Bài 7. Cho A = {0,1,2,3,4,5} có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 4 chữ số khác nhau. Bài 8. a. Từ các chữ số 4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt. b. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau? Bài 9. Cho tập E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5? Bài 10. Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ? Bài 11. Một nhóm học sinh gồm 10 người, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 hoc sinh trên thành 1 hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau? Bài 12. Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chon ngẫu nhiên 4 viên bi lấy từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số viên bi lấy ra không đủ 3 màu? Bài 13. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 c