Phương pháp toạ độ trong không gian

Ph­¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian I. Täa ®é cđa vect¬ vµ cđa ®iĨm A. VÝ dơ: VD1: ViÕt täa ®é cđa c¸c vect¬ say ®©y: ; ; ; VD2: Cho ba vect¬ = ( 2;1 ; 0 ),= ( 1; -1; 2) , = (2 ; 2; -1 ). a) T×m täa ®é cđa vect¬ : = 4- 2+ 3 b) Chøng minh r»ng 3 vect¬ ,,kh«ng ®ång ph¼ng . c) H·y biĨu diĨn vect¬ = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬ ,,. VD3: Cho 3 vect¬ = (1; m; 2),= (m+1; 2;1 ) ,= (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ĩ 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng . VD4: Cho: . T×m täa ®é cđa vect¬: a) b) VD5: T×m täa ®é cđa vect¬ , biÕt r»ng: a) vµ b) vµ c) vµ , VD6: Cho ba ®iĨm kh«ng th¼ng hµng: H·y t×m täa ®é träng t©m G cđa tam gi¸c ABC. VD7: Cho bèn diĨm kh«ng ®ång ph¼ng : H·y t×m täa ®é träng t©m G cđa tø diƯn ABCD. VD8: Cho ®iĨm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm M: a) Trªn c¸c mỈt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trơc täa ®é: Ox, Oy, Oz. VD9: Cho ®iĨm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cđa ®iĨm ®èi xøng víi ®iĨm M: a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mỈt ph¼ng Oxy c) Qua Trơc Oy. VD10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cđa c¸c ®Ønh cßn l¹i. VD11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §­êng th¼ng AB c¾t mỈt ph¼ng Oyz t¹i ®iĨm M. a) §iĨm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? b) T×m täa ®é ®iĨm M. B. Bµi tËp Bµi 1. ViÕt d­íi d¹ng mçi vect¬ sau ®©y: , Bµi 2. Cho hai bé ba ®iĨm: A = (1; 3; 1), B = (0; 1; 2), C = (0; 0; 1) vµ A' = (1; 1; 1), B' = (-4; 3; 1), C' = (-9; 5; 1). Hái bé nµo cã ba ®iĨm th¼ng hµng. Bµi 3. Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(x1; y1; z1), C(x3; y3; z3), B'(x'2;y'2;z'2), D'(x'4; y'4;z'4). T×m täa ®é cđa c¸c ®Ønh cßn l¹i. II. BiĨu thøc täa ®é cđa tÝch v« h­íng, tÝch cã h­íng cđa hai vect¬ A. VÝ Dơ: Bµi 1 . Cho ba vect¬ T×m: . Bµi 2. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ vµ : Bµi 3. a) Trªn trơc Oy t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu hai ®iĨm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1). b) Trªn mỈt ph¼ng Oxz t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu ba ®iĨm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1). Bµi 4. XÐt sù ®ång ph¼ng cđa ba vect¬ trong mçi tr­êng hỵp sau ®©y: Bµi 5. Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cđa mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch DABC. c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ĩ tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cđa DABC h¹ tõ ®Ønh A. e) TÝnh c¸c gãc cđa DABC. Bµi 6. Cho bèn ®iĨm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cđa mét tø diƯn. b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diƯn cđa tø diƯn ABCD. c) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®­êng cao cđa tø diƯn h¹ tõ ®Ønh A. Bµi 7. Cho D ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®­êng ph©n gi¸c trong cđa gãc B. Bµi 8. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho bèn ®iĨm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1). a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diƯn. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diƯn ABCD. b) TÝnh ®é dµi ®­êng cao h¹ tõ ®Ønh C cđa tø diƯn ®ã. c) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cđa tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B. d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AB, CD. Bµi 9. Cho 3 ®iĨm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ). a) X¸c ®Þnh ®iĨm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh . b) T×m täa ®é giao ®iĨm cđa hai ®­êng chÐo. c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®­êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A. T×m täa ®é träng t©m cđa tam gi¸c ABC . Bµi 10. Cho 4 ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ). a) Chøng minh 4 ®iĨm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD b) T×m täa ®é träng t©m cđa tø diƯn ABCD . c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiỊu cao cđa tø diƯn vÏ tõ D. d) T×m täa ®é ch©n ®­êng cao cđa tø diƯn vÏ tõ D . Bµi 11. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho ba ®iĨm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4) a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cđa tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C . c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC Bµi tËp: Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC, A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2). a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cđa tam gi¸c ABC b) T×m to¹ ®é trung ®iĨm I cđa c¹nh BC c) T×m to¹ ®é träng t©m G cđa tam gi¸c ABC d) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC. e) TÝnh ®­êng cao cđa tam gi¸c h¹ tõ A. f) TÝnh c¸c gãc cđa tam gi¸c ABC g) T×m ®iĨm M thuéc Ox sao cho MA = MB h) T×m giao (ABC) vµ Ox Bµi 2. Cho a) Chøng minh víi mäi m th× kh«ng ®ång ph¼ng. b) Ph©n tÝch theo Bµi 3. Cho ba vÐc t¬: Víi a, b, c kh«ng ®ång thêi b»ng kh«ng th× cã ®ång ph¼ng kh«ng Bµi 4. Cho D ABC biÕt A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). H·y t×m ®é dµi ®­êng ph©n gi¸c trong cđa gãc B. Bµi 5. Cho D ABC biÕt A(-11; 8; 4), B(-1; -7; -1), C(9; -2; 4). a) Chøng minh tam gi¸c ABC vu«ng b) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC Bµi 6. Cho s¸u ®iĨm A(3; 5; -4), B(-1; 1; 2), C(-5; -5; -2), A’(5; 1; 5), B’(4; 3; 2), C’(-3; -2; 1). a) Chøng minh tam gi¸c ABC c©n, tam gi¸c A’B’C’ vu«ng b) Gäi G, G’, G’’ lµ träng t©m tam gi¸c D ABC, D A’B’C’vµ cđa tø diƯn A’ABC. TÝnh Bµi 7. Chøng minh 4 ®iĨm A(3; 3; 3), B(1; 2; -1), C(4; 1; 1), D(6; 2; 5) lµ c¸c ®Ønh cđa h×nh b×nh hµnh Bµi 8. Chøng minh 4 ®iĨm A(5; 2; -3), B(6; 1; 4), C(-3; -2; -1), D(-1; -4; 13) lµ c¸c ®Ønh cđa h×nh thang. TÝnh diƯn tÝch Bµi 9. Cho hai ®iĨm A(-2; 0; 4), B(5; -2; -14). T×m ®iĨm E trong mỈt ph¼ng Oyx sao cho: , ®ång ph¼ng Bµi10. Cho hai vÐc t¬ . T×m vÐc t¬ tho¶ m·n ®iỊu kiƯn ®ång ph¼ng. Bµi 11. Cho A(-3; 2; 4), B(2; 5; -2), C(1; -2; 2), D(4; 2; 3) a) TÝnh cos() b) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c BCD c) TÝnh ®é dµi ®­êng cao h¹ tõ A cđa tø diƯn ABCD d) TÝnh cosin gãc g÷a AD vµ mỈt ph¼ng (BCD) e) TÝnh cosin gãc g÷a hai mỈt ph¼ng (ABD) vµ (BCD) f) T×m to¹ ®é ®iĨm I c¸ch ®Ịu A, B, C, D Iii. MỈt Ph¼ng Bµi to¸n 1. Ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng Bµi 1: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt biÕt a, b, c, d, e, f, Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt: a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, c, Bµi 3: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng ®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng biÕt: a, b, c, d, Bµi 4 LËp ph­¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M(2;3;2) vµ cỈp VTCP lµ Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ a) Song song víi c¸c trơc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z. c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z. Bµi 6: LËp ph­¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ : a) Cïng ph­¬ng víi trơc 0x. b) Cïng ph­¬ng víi trơc 0y. c) Cïng ph­¬ng víi trơc 0z. Bµi 7: X¸c ®Þnh to¹ ®é cđa vÐc t¬ vu«ng gãc víi hai vÐc t¬ . Bµi 8: T×m mét VTPT cđa mỈt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cỈp VTCP lµ Bµi 9: LËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt : a) (P) ®i qua ®iĨm A(-1;3;-2) vµ nhËn lµm VTPT. b) (P) ®i qua ®iĨm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0. Bµi 10: LËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c mỈt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é. Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iĨm A(-1;2;3) vµ hai mỈt ph¼ng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) ®i qua ®iĨm A vµ vu«ng gãc víi hai mỈt ph¼ng (P),(Q). Bµi 12: LËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hỵp sau: a) §i qua hai ®iĨm A(0;-1;4) vµ cã cỈp VTCP lµ vµ b) §i qua hai ®iĨm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph­¬ng víi trơc víi 0x. Bµi 13: Cho tø diƯn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) . a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t c¸c mỈt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD). b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD. Bµi 14: ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa (P) a) §i qua ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) . b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0 c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3) Bµi 15: Cho hai ®iĨm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) lµ trung trùc cđa AB. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng y0z c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mỈt ph¼ng (P). Bµi to¸n 2. VÞ trÝ t­¬ng ®èi cđa hai mỈt ph¼ng Bµi 1: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi ciđa c¸c cỈp mỈt ph¼ng sau: a) (P1): y – z + 4 = 0, vµ b) (P1): 2x+4y-8z+9=0 c) (P1): x+y-z-4=0vµ Bµi to¸n 3: Chïm mỈt ph¼ng Bµi 1: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng qua M(2;1;3) vµ ®i qua ®­êng th¼ng (d): a) b) Bµi 2:LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng ®i qua ®iĨm M(2;1;-1) vµ qua hai giao tuyÕn cđa hai mỈt ph¼ng (P1) vµ (P2) cã ph­¬ng tr×nh : (P1): x - y + z - 4 = 0 vµ (P2) 3x – y + z – 1 = 0 Bµi 3: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng chøa ®­êng th¼ng vµ song song víi mỈt ph¼ng (Q) cã ph­¬ng tr×nh: 11x - 2y - 15z – 6 = 0. Bµi 4: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng qua giao tuyÕn cđa (P1): y + 2z – 4 = 0 vµ (P2) : x + y – z – 3 = 0 vµ song song víi mỈt ph¼ng (Q): . Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng chøa ®­êng th¼ng vµ vu«ng gãc víi (Q) cã ph­¬ng tr×nh: a) (§HNNI-95): (Q): . b) Bµi 6: LËp ph­¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng qua hai giao tuyÕn cđa hai mỈt ph¼ng (P1): vµ (P2): vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng : . Bµi 7: LËp ph­¬ng tr×nh chøa mỈt ph¼ng ®­êng th¼ng : vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh : a) b) Bµi 8:LËp ph­¬ng tr×nh chøa mỈt ph¼ng ®­êng th¼ng : vµ vu«ng gãc ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh : a) b) Bµi 9: LËp ph­¬ng tr×nh chøa mỈt ph¼ng ®­êng th¼ng vµ víi mỈt ph¼ng (Q) mét gãc 60 ®é biÕt: vµ (Q):3x+4y-6=0 Bµi 10: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) chøa ®­êng th¼ng vµ cã kho¶ng c¸ch tõ ®iĨm A(1;-1; 0) tíi (P) b»ng 1. Bµi 11: Cho ®­êng th¼ng (d) vµ hai mỈt ph¼ng vµ (P1): 5x+5y-3z-2=0 vµ (P2):2x-y+z-6=0. LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) chøa ®­êng th¼ng (d) sao cho: vµ lµ hai ®­êng vu«ng gãc. Bµi 12: (§HKT-93): cho hai ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph­¬ng tr×nh : . a) ViÕt ph­¬ng tr×nh c¸c mỈt ph¼ng , song song víi nhau vµ lÇn l­ỵt chøa b) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a , c) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (D) song song víi trơc Oz vµ c¾t c¶ 2 ®­êng th¼ng, Bµi to¸n 4. Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iĨm tíi mỈt ph¼ng Bµi 1:TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iĨm M(2;2;1) ®Õn mỈt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hỵp sau: a) b) Bµi 2:Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é Oxyz , cho tø diƯn cã 4 ®Ønh A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) a) LËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t mỈt ph¼ng (ABC) b) TÝnh chiỊu dµi ®­êng th¼ng cao h¹ tõ ®Ønh D cđa tø diƯn, tõ ®ã suy ra thĨ tÝch cđa tø diƯn Bµi 3:Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é Oxyz , cho tø diƯn cã 4 ®Ønh A(1;1;1) B(-2;0;2) C(0;1;-3) D(4;-1;0) a) (§H LuËt 1996) TÝnh chiỊu dµi ®­êng th¼ng cao h¹ tõ ®Ønh D cđa tø diƯn b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng ph©n gi¸c cđa 2 mỈt (ABC) vµ (BCD) c¾t ®o¹n AD IV. §­êng th¼ng trong kh«ng gian Bµi to¸n 1. Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng Bµi 1:LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) trong c¸c tr­êng hỵp sau : a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn lµm VTCP b) (d) ®i qua 2 ®iĨm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3) Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c giao tuyÕn cđa mỈt ph¼ng vµ c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa ®­êng th¼ng ®i qua ®iĨm M(2;3;-5) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh: Bµi 4: Cho ®­êng th¼ng (D) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh lµ :vµ (P): x+y+z+1=0 T×m ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa ®­êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mỈt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (D) Bµi 5: Cho mỈt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iĨm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cđa ®­êng th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã Bµi to¸n 2. ChuyĨn d¹ng ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng Bµi 1:T×m vÐc t¬ chØ ph­¬ng cđa c¸c ®­êng th¼ng sau a) b) Bµi 2: Cho ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh : . H·y viÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cđa ®­êng th¼ng ®ã Bµi 3: Cho ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh : . H·y viÕt ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa ®­êng th¼ng ®ã Bµi4: Cho ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh : . H·y viÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa ®­êng th¼ng ®ã Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ tỉng qu¸t cđa ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hỵp sau: a) b) . Bµi 6: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ tỉng qu¸t cđa ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(1;2;3) vµ song song víi ®­êng th¼ng () cho bëi : a) . b) Bµi 7:LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ tỉng qu¸t cđa ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(1;2;3) vµ vu«ng gãc víi 2 ®­êng th¼ng : , Bµi 8:Trong kh«ng gian Oxyz, lËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c vµ tỉng qu¸t cđa ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(3;2;1), song song víi mỈt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (D). BiÕt mỈt ph¼ng vµ Bµi to¸n 3. VÞ trÝ t­¬ng ®èi cđa ®­êng th¼ng vµ mỈt ph¼ng Bµi1: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cđa ®­êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) ,biÕt: a) (P): x-y+z+3=0 b) (P): y+4z+17=0 c) (P): y+4z+17=0 d) (P): x+y-2=0 Bµi 2: H·y tÝnh sin cđa gãc t¹o bëi ®­êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) cho bëi : a) vµ .b) vµ c) vµ Bµi 3: (§HNN_TH-98): Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ . a) T×m to¹ ®é giao ®iĨm A cđa (d) vµ (P) . b) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mỈt ph¼ng (P) . Bµi 4: (§H Khèi A-2002): Trong kh«ng gian 0xyz ,cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (dm) cã ph­¬ng tr×nh : , x¸c ®Þnh m ®Ĩ (dm)//(P) Bµi to¸n 4. VÞ trÝ t­¬ng ®èi cđa hai ®­êng th¼ng Bµi 1: sư dơng tÝch hçn t¹p x¸c ®Þnh vÞ trÝ t­¬ng ®èi cđa hai ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi: a) , b) , c) , Bµi 2: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : , a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) song song víi nhau . b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) song song ,c¸ch ®Ịu (d1),(d2) vµ thuéc mỈt ph¼ng chøa (d1),(d2) . Bµi 3: Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi: , a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) song song víi nhau . b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) song song ,c¸ch ®Ịu (d1),(d2) vµ thuéc mỈt ph¼ng chøa (d1),(d2). Bµi 4: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : , a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) c¾t nhau . b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng ph©n gi¸c cđa (d1),(d2) Bµi5: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) c¾t nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng ph©n gi¸c cđa (d1),(d2) Bµi 6: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : , a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nhmỈt ph¼ng(P) song song ,c¸ch ®Ịu (d1),(d2) . Bµi 7: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : , a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nhmỈt ph¼ng(P) song song, c¸ch ®Ịu (d1),(d2) . Bµi8: Trong kh«ng gian 0xyz ,cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng(P) song song, c¸ch ®Ịu (d1),(d2) . Bµi to¸n 5. Hai ®­êng th¼ng ®ång ph¼ng vµ bµi tËp liªn quan Bµi 1: (§HBK-TPHCM-93): ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2) ,biÕt: Bµi 2: (§HSPII-2000): Cho ®iĨm A(1;-1;1) vµ hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : CMR (d1),(d2) vµ ®iĨm A cïng thuéc mỈt ph¼ng. Bµi 3: Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : a) CMR hai ®­êng th¼ng ®ã c¾t nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) chøa (d1), (d2). c) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng ph©n gi¸c cđa(d1), (d2) Bµi 4: Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : a) CMR hai ®­êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm cđa nã. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2). c) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng ph©n gi¸c cđa(d1),(d2) Bµi5: cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : , a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) song song víi nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2). c) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) trong (P) song song c¸ch ®Ịu (d1),(d2) . Bµi to¸n 6. Hai ®­êng th¼ng chÐo nhau vµ bµi tËp liªn quan Bµi 1: (§HNN-96): cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d1),(d2) . Bµi 2: (§HTCKT-96): Trong kh«ng gian 0xyz , cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : , . T×m to¹ ®é ®iĨm A1 thuéc (d1) vµ to¹ ®é ®iĨm A2 thuéc (d2) ®Ĩ ®­êng th¼ng A1A2 vu«ng gãc víi (d1) vµ vu«ng gãc víi (d2) . Bµi 3: (§H L 1996) Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : , a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P),(Q) song song víi nhau vµ lÇn l­ỵt chøa (d1),(d2) b) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) . Bµi 4: (§HTS-96): Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d1),(d2) . Bµi 5: : (PVBC 99) Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt: ; a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d1),(d2) . Bµi 6: (§HSPQui Nh¬n-D-96): cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt: a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) Bµi 7: : cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) ,biÕt: a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d1),(d2) . Bµi 8: (§H HuÕ 1998) Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : , a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) chøa (d1) vµ song song víi (d2) . c) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) . Bµi 9: (§HNN-97): Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. b) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1),(d2) . c) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) ®i qua M(1,1,1) vµ c¾t ®ång thêi (d1),(d2) . Bµi 10: (§HKT-98): Cho tø diƯn SABC víi c¸c ®Ønh S(-2;2;4), A(-2;2;0) ,B(-5;2;0) ,C(-2;1;1). TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai c¹nh ®èi SA vµ SB. V. §iĨm, ®­êng th¼ng vµ MỈt Ph¼ng Bµi to¸n1: §­êng th¼ng ®i qua mét ®iĨm c¾t c¶ hai ®­êng th¼ng cho tr­íc. Bµi 1: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua A(1;2;3) vµ c¾t c¶ hai ®­êng th¼ng a) b) Bµi 2: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua gèc to¹ ®é vµ c¾t c¶ hai ®­êng th¼ng: , Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) song song víi ®­êng th¼ng (D) vµ c¾t c¶ hai ®­êng th¼ng: Bµi 4: (§HDL-97): ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua A(1;-1;0) vµ c¾t c¶ hai ®­êng th¼ng: Bµi 5: (§HTS-99): ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua A(1;-1;0) vµ c¾t c¶ hai ®­êng th¼ng: Bµi 6: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi (P) :x+y+z-2=0 vµ c¾t c¶ hai ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2): Bµi 7: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) ®i qua gèc to¹ ®é vµ c¾t c¶ 2 ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2): Bµi to¸n 2: §­êng th¼ng ®i qua mét ®iĨm vu«ng gãc víi c¶ hai ®­êng th¼ng cho tr­íc. Bµi 1: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua A(1;2;3) vµ c¾t c¶ hai ®­êng th¼ng (d1) ,(d2): a) b) Bµi 2: (§HTCKT 1999) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) ®i qua A(1;1;-2) song song víi mỈt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (d): Bµi to¸n 3: §­êng th¼ng ®i qua mét ®iĨm vu«ng gãc víi mét ®­êng vµ c¾t mét ®­êng th¼ng kh¸c Bµi 1: (§HSP TPHCM-95): ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua A(0;1;1) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (d1) vµ c¾t (d2) ,biÕt: Bµi 2: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua A(1;1;1) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (d1) vµ c¾t (d2) ,biÕt : Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng c¾t c¶ ba ®­êng th¼ng (d1) (d2) , (d3) vµ vu«ng gãc víi vect¬ , biÕt: Bµi 4: T×m tÊt c¶ c¸c ®­êng th¼ng c¾t (d1), (d2) d­íi cïng mét gãc, biÕt: Bµi 5: (§HTL-97):ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua A(3;-2;-4) song song víi mỈt ph¼ng (P) :3x-2y-3z-7=0 vµ c¾t ®­êng th¼ng (d) biÕt: Bµi to¸n 4: H×nh chiÕu vu«ng gãc cđa®iĨm lªn mỈt ph¼ng Bµi 1: T×m to¹ ®é ®iĨm ®èi xøng cđa A(-2;1;3) qua (P) cho bëi: 2x+y-z-3=0. Bµi 2: (§HKTCN-97): Cho ®iĨm A(1;2;3) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh :2x-y+2z-3=0 a) LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng qua A vµ song song víi (P). b) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa A lªn (P). X¸c ®Þnh to¹ ®é cđa H Bµi3: (§HGTVTTPHCM-99): Cho ba ®iĨm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1) .X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm O lªn mỈt ph¼ng (ABC). Bµi 4: (§HTCKT-2000): Cho ®iĨm A(2;3;5) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh: 2x+3y+z-17=0 a) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) qua A vµ vu«ng gãcvíi (P). b) CMR ®­êng th¼ng (d) c¾t trơc 0z , t×m giao ®iĨm M cđa chĩng. c) X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iĨm A1 ®èi xøng víi A qua (P). Bµi 5: Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh: (P): 2x+5y+z+17=0 vµ a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm A cđa (d) vµ (P). b) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi (d) qua (P) Bµi 6: Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh : vµ a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm A cđa (d) vµ (P). b) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi (d) qua (P) Bµi 7: (§HQG 1998) Cho c¸c ®iĨm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) (a,b,c d­¬ng ). Dùng h×nh hép ch÷ nhËt nhËn O,A,B,C lµm 4 ®Ønh vµ gäi D lµ ®Ønh ®èi diƯn víi ®Ønh O cđa h×nh hép ®ã a) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn mỈt ph¼ng (ABD) b) TÝnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa C xuèng mỈt ph¼ng (ABD). T×m ®iỊu kiƯn ®èi víi a,b,c ®Ĩ h×nh chiÕu ®ã n»m trong mỈt ph¼ng (xOy) Bµi to¸n 5: H×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®­êng th¼ng lªn mỈt ph¼ng Bµi 1: (§HQG TPHCM 1998) Trong kh«ng gian víi hƯ trơc to¹ ®é trùc chuÈn 0xyz ,cho ®­êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh: (P):x+y+z-3=0 vµ LËp ph­¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®­êng th¼ng (d) lªn (Q). Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa giao tuyÕn (d) cđa hai mỈt ph¼ng 3x-y+z-2=0 vµ x+4y-5=0 lªn mỈt ph¼ng 2x-z+7=0. Bµi 3: (§HM§C-98) :Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é trùc chuÈn 0xyz cho ®­êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh: vµ (P): x-y+3z+8=0. H·y viÕt ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa (d) lªn (P) . Bµi 4: Trong kh«ng gian 0xyz cho ®­êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (Q) cã ph­¬ng tr×nh : . LËp ph­¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®­êng th¼ng (d) lªn (Q) . Bµi 5: Cho ®­êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (Q) cã ph­¬ng tr×nh: (Q): x-y+z+10=0 H·y viÕt ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng gãc (d1) cđa (d) lªn (P) . Bµi 6: (§H Cµn Th¬ 1998) Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é vu«ng gãc 0xyz cho ®­êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh: vµ (P): x+y+z+1=0. H·y viÕt ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng gãc (d1) cđa (d) lªn (P) . Bµi 7: (HVQY-95): Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é vu«ng gãc 0xyz cho ®­êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh : vµ (P): x+y+z+1=0. a) H·y viÕt ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c h×nh chiÕu vu«ng gãc (d1) cđa (d) lªn (Oxy) . b) CMR khi m thay ®ỉi ®­êng th¼ng (d1) lu«n tiÕp xĩc víi mét ®­êng trßn cè ®Þnh trong mỈt ph¼ng 0xy. Bµi 8: (§HQG-98): Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é vu«ng gãc 0xyz cho mỈt ph¼ng (P) vµ hai ®­êng th¼ng (d1) vµ (d2) cã ph­¬ng tr×nh: (P):x+y-z+1=0, , a) H·y viÕt ph­¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc (D1), (D2) cđa (d1), (d2) lªn (P). T×m to¹ ®é giao ®iĨm I cđa (d1), (d2). b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng chøa (d1) vµ vu«ng gãc víi (P). Bµi to¸n 6: H×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm lªn ®­êng th¼ng Bµi 1: cho ®iĨm A(1;2;3) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh : . X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa A lªn (d) .Tõ ®ã t×m to¹ ®é ®iĨm A1 ®èi xøng víi A qua (d) . Bµi 2: cho ®iĨm A(1;2;-1) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh : .X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa A lªn (d) .Tõ ®ã t×m to¹ ®é ®iĨm A1 ®èi xøng víi A qua (d) . Bµi 3: cho ®iĨm A(2;1;-3) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh : .X¸c ®Þnh to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa A lªn (d) .Tõ ®ã t×m to¹ ®é ®iĨm A1 ®èi xøng víi A qua (d) . Bµi 4: (§HhuÕ /A,B ph©n ban 98): Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iĨm A(2;-1;1) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh : a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua A vµ vu«ng gãc (d) . b) X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iĨm B ®èi xøng víi A qua (d) . Bµi 5: (§Ị 60-Va): LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua A(3;2;1) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (d) vµ c¾t víi ®­êng th¼ng ®ã . Bµi 6: (§HTM-2000): LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua A(2;-1;0) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng vµ c¾t víi ®­êng th¼ng ®ã . Bµi7: (HV BCVT-2000): Cho 2 ®­êng th¼ng (D) vµ (d) cã ph­¬ng tr×nh : LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) ®èi xøng víi (d) qua (D) Bµi 8: (§HHH-1999): Trong kh«ng gian cho 2 ®­êng th¼ng (d1),(d2) : a) (d1) , (d2) cã c¾t nhau hay kh«ng b) Gäi B,C lÇn l­ỵt lµ c¸c ®iĨm ®èi xøng cđa A(1;0;0) qua (d1),(d2) . TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC Bµi 9: (§HTM-1999): Trong kh«ng gian cho ®­êng th¼ng (d1) vµ mỈt ph¼ng (P) : a) T×m ®iĨm ®èi xøng cđa ®iĨm A(3;-1;2) qua ®­êng th¼ng (d) b) ViÕt ph­¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®­êng th¼ng (d) trªn mỈt ph¼ng (P) Bµi10: Trong kh«ng gian 0xyz cho bèn ®­êng th¼ng (d1), (d2), (d3), (d4) cã ph­¬ng tr×nh : , , , CMR c¸c ®iĨm ®èi xøng A1, , A2, , A3, A4 cđa A bÊt k× trong kh«ng gian qua (d1), (d2), (d3), (d4) lµ ®ång ph¼ng. LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng chøa chĩng . Bµi to¸n 7: §iĨm vµ mỈt ph¼ng Bµi 1: cho hai ®iĨm A(1;0;2) ;B(2;-1;3) vµ mỈt ph¼ng (P): x-2y+z-4=0.T×m ®iĨm M thuéc (P) sao cho