Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương trình bậc hai để tìm cực trị biểu thức

Cơ sở lí luận

1) Cơ sở chung :

Cho biểu thức f(x) ,

+ ta nói M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x) nếu thỏa mãn các điều kiện sau : f(x) ≤ M với mọi giá trị của x thuộc miền xác định của f(x) và tồn tại giá trị x0 sao cho f(x0) = M

+ ta nói m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x) nếu thỏa mãn các điều kiện sau : f(x) ≥ M với mọi giá trị của x thuộc miền xác định của f(x) và tồn tại giá trị x0 sao cho f(x0) = M

2) Phân tích đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c thành nhân tử .

 Nếu đa thức f(x) có hai nghiệm x1 , x2 thì f(x) = a(x – x1)(x – x2)

3) Xét dấu của đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c trong trường hợp có nghiệm x1 , x2 ( x1 < x2)

- Nếu x1 < x < x2 thì f(x) trái dấu với hệ số a ( hay a.f(x) < 0)

- Nếu x < x1hoặc x > x2 thì f(x) cùng dấu với hệ số a ( hay a.f(x) > 0)

4) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0

  = b2 – 4ac hoặc ’ = b’2 – ac

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm khi và chỉ khi  ≥ 0 hoặc ’ ≥ 0

 

doc5 trang | Chia sẻ: oanh_nt | Ngày: 02/07/2015 | Lượt xem: 1476 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem nội dung tài liệu Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương trình bậc hai để tìm cực trị biểu thức, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Cơ sở lí luận Cơ sở chung : Cho biểu thức f(x) , + ta nói M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x) nếu thỏa mãn các điều kiện sau : f(x) ≤ M với mọi giá trị của x thuộc miền xác định của f(x) và tồn tại giá trị x0 sao cho f(x0) = M + ta nói m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x) nếu thỏa mãn các điều kiện sau : f(x) ≥ M với mọi giá trị của x thuộc miền xác định của f(x) và tồn tại giá trị x0 sao cho f(x0) = M Phân tích đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c thành nhân tử . Nếu đa thức f(x) có hai nghiệm x1 , x2 thì f(x) = a(x – x1)(x – x2) Xét dấu của đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c trong trường hợp có nghiệm x1 , x2 ( x1 < x2) Nếu x1 < x < x2 thì f(x) trái dấu với hệ số a ( hay a.f(x) < 0) Nếu x x2 thì f(x) cùng dấu với hệ số a ( hay a.f(x) > 0) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 D = b2 – 4ac hoặc D’ = b’2 – ac Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 hoặc D’ ≥ 0 II) BÀI TẬP VẬN DỤNG BIỂU THỨC CÓ DẠNG LÀ TAM THỨC BẬC HAI ax2 + bx + c Bài mẫu : Hãy tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các đa thức sau y = 2x2 – 3x + 1 b) y = -2x2 + 5x – 11 c) y = x2 – 3x + 5 Giải Từ y = 2x2 – 3x + 1 Þ 2x2 – 3x + 1 – y = 0 (1) , ta có D = 9 -8(1 – y) = 1 + 8y Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 hay 1 + 8y ≥ 0 Þ y ≥ -18 Vậy giá trị nhỏ nhất của y = - 18 khi x = 34 Từ y = - 2x2 + 5x -11 Þ - 2x2 + 5x - 11 – y = 0 (2) , ta có D = 25 -8(11 + y) = - 63 - 8y Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 hay -63 - 8y ≥ 0 Þ y ≤ -638 Vậy giá trị lớn nhất của y = - 638 khi x = 54 Từ y = x2 – 3x + 5 Þ x2 – 3x + 5 – y = 0 (3) , ta có D = 9 – 4(5 – y) = - 11 + 4y Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 hay -11 + 4y ≥ 0 Þ y ≥ 114 Vậy giá trị nhỏ nhất của y = 114 khi x = 34 BIỂU THỨC CÓ DẠNG LÀ PHÂN THỨC Bài tập 1 : Tìm GTNN của biểu thức y = ? Giải : Từ y = ta có y(6x – 5 – 9x2) = 2 hay 9yx2 – 6yx + 5y + 2 = 0 (1) Ta có D’ = 9y2 – 9y(5y + 2) = - 36y2 – 18y = - 18y(2y + 1) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi D’ ≥ 0 Vậy -18y(2y + 1) ≥ 0 Û -12 ≤ y < 0 . GTNN của y = -12 khi x = Bài tập 2 : Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức ? Giải : Đặt y = , ta có y(x2 – 2x +1) = 3x2 – 8x + 6 hay (y – 3)x2 – 2(y – 4)x + y -6 = 0 (2) ; ta có D’ = (y-4)2 – (y – 3)(y – 6) = y – 2 Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi D’ ≥ 0 hay y – 2 ≥ 0 Û y ≥ 2 . Giá trị nhỏ nhất của y = 2 khi x = 2 Biểu thức trên không có giá trị lớn nhất . Bài tập 3 : Tìm GTNN và GTLN của biểu thức y = Giải : Từ y = , ta có y(x2 – x + 1) = x2 + 1 hay (y-1)x2 – yx + y – 1 = 0 (3) Từ phương trình (3) ta có D = y2 – 4(y – 1)2 = -3y2 + 8y + 4 Tam thức -3y2 + 8y + 4 = -3(y2 – 8/3 y - 4/3) = - 3 [(y – 4/3)2 – 28/9] = =-3 Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 , cho nên Vậy GTNN của y = khi GTLN của y = khi Bài tập 4 : Tìm GTNN và GTLN của biểu thức y = Giải : Từ y = ta có y(x2 + 1) = 3 – 4x , hay yx2 + 4x + y – 3 = 0 (4) Nên ta có D’ = 4 – y(y – 3) = - (y2 – 3y – 4) = -(y – 4)(y + 1) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi D’ ≥ 0 hay – (y – 4)(y + 1) ≥ 0 Û - 1 ≤ y ≤ 4 GTNN của y = -1 khi x = 2 GTLN của y = 4 khi x = - ½ Bài tập 5 : Với x ≥ 0 . tìm GTNN của biểu thức y = Giải : Từ y = ta có y(2x + 2) = x2 + 2x + 17 , hay x2 + 2(1-y)x + 17 – 2y = 0 (5) Nên ta có D’ = (1-y)2 – (17 – 2y) = y2 – 16 = (y – 4) (y + 4) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi D’ ≥ 0 hay (y – 4)(y + 4) ≥ 0 Û y ≤ -4 hoặc y ≥ 4 Vì x ≥ 0 cho nên y > 0 , do vậy GTLN của y = 4 khi x = 3 Bài tập 6 : Cho 0 < x < 1 , hãy tìm GTNN của biểu thức y = Giải : Từ Þ y(x – x2) = 1 hay yx2 – yx + 1 =0 (6) Nên ta có D = y2 – 4y = y(y – 4) Phương trình (6) có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 , nên y(y – 4) ≥ 0 Û y ≤ 0 hoặc y ≥ 4 Vì 0 0 Vậy GTNN của y = 4 khi x = ½ Bài tập 7 : Cho 0 < x < 1 , hãy tìm GTNN của biểu thức Giải : Từ Þ y(x – x2) = 4 – x hay yx2 – (y + 1)x + 4 = 0 (7) Nên ta có D = (y+1)2 – 16y = y2 – 14y + 1 ) = Phương trình (7) có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 , nên ≥ 0 Û hoặc Vì 0 < x < 1 nên 1 – x < 1 Þ Vậy GTNN của khi Bài tập 8 : Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN của Giải : Từ Þy(2x – x2) = 9x2 – 2x + 4 Hay (9 + y)x2 – 2(y + 1)x + 4 = 0 (8) , nên ta có D’ = (y + 1)2 – 4(9 + y) = y2 – 2y – 35 = (y – 7)(y + 5) Phương trình (8) có nghiệm khi và chỉ khi D ≥ 0 , nên ( y – 7)(y + 5) ≥ 0 Û y ≥ 7 hoặc y ≤ -5 Vì 0 0 Vậy GTNN y = 7 khi x = ½ III) BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1 : Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức sau : a) y = 3x2 – 7x + 11 b) y = 12-x-3x2 c) y = (x+3)(x+4)(x+5)(x+6) d) y = x(x-3)(x-4)(x-7) Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức sau : a)y = b) y = c) Bài 3 : Cho x > 1 . Tìm GTLN của biểu thức A = Bài 4 : Cho x > 1 . Tìm GTNN của biểu thức B = Bài 5: Cho 0 < x < 1 . Tìm GTNN của biểu thức C =

File đính kèm:

  • docSu dung phuong trinh bac hai de tim cuc tricuabieu thuc.doc
Giáo án liên quan