1 Số phương pháp giải các dạng phương trình thường gặp

1 Số phương pháp giải các dạng phương trình thường gặp A. phương trình bậc cao a. Định nghĩa: Cho phương trình dạng: anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0 Bậc của 1 phương trình là số mũ cao nhất của ẩn x (ta chỉ nói đến bậc của phương trình khi phương trình đó không chứa ẩn dưới dấu căn thức hoặc chứa ẩn ở mẫu) * Nếu phương trình có bậc n thì có nhiều nhất là n nghiệm b. Cho phương trình f(x) = 0 * số thực x0 là nghiệm của phương trình nếu f(x0) = 0 đúng * số thực x0 không phải là nghiệm của phương trình nếu f(x0) 0 c. Cho phương trình f(x) = 0. nếu phương trình có nghiệm x = a thì ta luôn đưa được phương trình đó về dạng (x – a)g(x) = 0. trong đó g(x) là thương của phép chia f(x) cho x – a. 1. Phương trình bậc 3 chủ yếu xét những phương trình bậc 3 có 1 nghiệm dễ tìm (mò nghiệm, nhẩm nghiệm), thông thường là các số -2, -1, 1, 2 ví dụ : giải phương trình x3 – 3x + 2 = 0 trước khi giải bài này, chúng ta cần có nhận xét: mấy phương pháp lâu nay chúng ta có không thể dùng để giải bài này được. do vậy các em cần nghĩ tới việc chuyển phương trình đã cho về phương trình tích. Bài này chúng ta nghĩ đến phương pháp nhẩm nghiệm, thông thường ta thường nhẩm với các số -2, -1, 0, 1, 2, ta dễ dàng thấy x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho vì 13 – 3.1 + 2 = 0. khi đó ta thực hiện phép chia đa thức, ta lấy x3 – 3x + 2 chia cho x – 1 , ta được thương là x2 – 2x – 2. vậy x3 – 3x + 2 = 0 (x – 1)( x2 – 2x – 2) = 0 . vậy phương trình có 3 nghiệm là x = 1 hoặc x = 1 BT1. giải phương trình : a) x3 + 2x2 + 4x + 8 = 0 b) x3 + 4x2 – 3 = 0 BT2 : giải các phương trình sau : a) x3 + 3x - 4 = 0 b) x3 – 3x – 2 = 0 2. Phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 (trong đó a 0) Cách giải : Đặt t = x2 0, rồi đưa phương trình về dạng: at2 + bt + c = 0. Tìm t, rồi tìm x Bài tập 1 : Giải các phương trình sau: a) 3x4 – 4x2 + 1 = 0 b) –x4 + 2x2 + 4 = 0 c) 4x4 – 4x2 + 1 = 0 Bài tập 2: tìm m để phương trình 2x4 – 3x2 + m = 0 có hai nghiệm phân biệt ? 3. Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 bx + a = 0 (1) với a 0 cách giải: nhận thấy rằng x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1), khi đó ta chia cả hai vế của phương trình (1) cho x2 ta được : ax2 + bx + c b + a = 0 a(x2 + ) + b(x ) + c = 0 (2) nếu ta đặt t = x => t2 = x2 + 2 => x2 + = t2 2. lúc đó phương trình (2) trở thành phương trình a(t2 2) + bt + c = 0 at2 + bt + c 2a = 0 (3), việc giải phương trình (3) trở nên đơn giản. khi tìm được t ở phương trình (3), ta thế giá trị t đó vào cách đặt sẽ tìm được x Tuy nhiên, nếu là bài toán biện luận thì trong cách đặt t = x thì phải tìm điều kiện cho ẩn phụ t. ta có t = x + => 2 (vì sao có điều này) Các ví dụ minh họa: BT1. giải các phương trình sau: a) x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 = 0 b) x4 – 4x3 + 5x2 – 4x + 1 = 0 BT2. tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: x4 – 4x3 + mx2 – 4x + 1 = 0 Gợi ý: phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì khi đặt t = x + => x2 – tx + 1 = 0 3. Phương trình có chứa căn thức dạng : (1) Cách giải : (1) hoặc các em cứ việc bình phương cả hai vế của (1), sau đó giải phương trình vừa tìm được, đối chiếu kết quả với điều kiện xác định của phương trình để có kết luận nghiệm của phương trình đã cho. + Chúng ta phải luôn có 1 suy nghĩ là khi gặp những phương trình chứa căn bặc hai thì bình phương cả hai vế. Tuy nhiên trong các phép biến đổi, nếu không chắc chắn có tương đương () hay không ? thì ta nên dùng dấu suy ra (=>) để tranh sai sót. Kết quả tìm được đem thay vào phương trình đã cho để có kết luận chính xác về nghiệm của phương trình. + Trong bài toán biện luận nghiệm của phương trình có chứa tham số thì nhất thiết phải sử dụng các phép biến đổi tương đương để kết luận cho phương trình cuối cũng chính là kết luận cho phương trình đầu. Do vậy cần rèn luyện cho học sinh phép biến đổi nào là tương đương, phép nào là phép suy ra. Lưu ý: khi gặp những phương trình chứa căn bậc hai, điều đầu tiên các em nghĩ đến là cứ việc bình phương hai vế của phương trình để khử căn thức. Tuy nhiên không phải phép bình phương nào cũng đem lại hiệu quả, nếu bình phương mà thấy rằng số mũ cao nhất của x lớn hơn 2 thì phép bình phương đó sẽ thất bại. Bởi vì giải mọi phương trình đều quy về việc giải phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc hai hoặc phương trình tích (giải phương trình tích cũng quy về giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai). Lúc đó hãy nghĩ giải phương trình theo chiều hướng khác như đặt ẩn phụ ... 3. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ Mục đích : Đưa phương trình đã cho về phương trình đơn giản đối với ẩn phụ (ở đây là phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với ẩn phụ). Lưu ý : khi đặt ẩn phụ cần tìm điều kiện chặt chẽ cho ẩn phụ (nhất là những bài toán với sự có mặt của tham số m) Dựa vào dấu hiệu nào để biết được rằng : Phương trình đó nên giải bằng cách nào ? hay là đặt ẩn phụ và phải đặt như thế nào ? a) Đặt ẩn phụ rồi đưa về giải phương trình ẩn phụ Ví dụ 1 : Giải phương trình (1) Nhận định : đây là phương trình chứa căn bậc hai, ta thường giải những phương trình như thế bằng cách bình phương. Nhưng đối với phương trình này thì cách làm đó không đem lại hiệu quả thiết thực. Bây giờ chúng ta chuyển sang 1 hướng suy nghĩ là có thể chuyển phương trình đó về 1 phương trình nào khác không mà vẫn đảm bảo sẽ tìm được nghiệm của phương trình hay không ? hoàn toàn được. Trong nhiều cách giải phương trình, chúng ta phải lựa chọn lấy 1 phương pháp vừa đơn giản mà lại hiệu quả. Trong phương trình trên, ta cần quan tâm tới những biểu thức trong phương trình có chứa ẩn. Đó là : , , . Giữa các biểu thức này có mối quan hệ với nhau không ? Ta để ý rằng biểu thức sau là tích của hai biểu thức trước, phải chăng giữa chúng có 1 mối liên hệ nào đó? Bây giờ ta phải đi tìm 1 đẳng thức giữa 3 biểu thức đó. Hay nói cách khác : Biểu thị biểu thức thứ 3 thông qua hai biểu thức đầu. Ta có : đặt t = + = > t2 = 6 + x + 3 – x + 2 hay t2 = 9 + 2 => = . Trong việc đặt ẩn phụ, 1 yếu tố rất quan trọng là phải tìm được điều kiện của ẩn phụ t. Điều kiện của ẩn phụ t được quyết định bởi điều kiện của ẩn x +) Điều kiện xác định của phương trình hay (2) tav có 2 (6 + x) + (3 – x) hay 2 9 (theo BĐT côsi cho hai số không âm là 6 + x và 3 – x) vậy t2 9 + 9 => t2 18 => t 3. Hơn nữa 0 => t2 9 + 0 => t2 9 => t 3 . Vậy 3 t 3 (3). Khi đó phương trình (1) trở thành : t - = 3 t2 - 2t – 3 = 0 * với t = -1 (loại vì 3 t 3) * với t = 3 => + = 3 = 0 . Đối chiếu điều kiện (2), Kết luận: Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = -6 hoặc x = 3. Chú ý : Trong phương trình trên có thể các em không cần tìm điều kiện cho ẩn t, sau khi tìm được hai giá trị của t rồi giải hai phương trình đó cũng tìm được nghiệm. Tuy nhiên, trong khả năng có thể thì các em nên hình thành thói quen là luôn tìm điều kiện cho ẩn phụ t. Thói quen đó rất tốt cho việc giải và biện luận những phương trình có chứa tham số. Ví dụ sau sẽ minh chứng cho điều đó. Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm : + - = m (4) (bài tập này xin dành cho các em học sinh 12, vì chương trình lớp 10 cơ bản bây giờ đã cắt bỏ 1 số kiến thức cần vận dụng để làm bài trên) b) Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ rồi chuyển về việc giải hệ phương trình hai ẩn là ẩn x và ẩn phụ t (giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số hoặc là phương pháp thế, thường dùng phương pháp cộng đại số) Ví dụ: giải phương trình x2 + = 5 khi gặp những bài tập dạng này, nếu sử dụng phép bình phương sẽ thất bại. còn nếu đặt ẩn phụ rồi chuyển về phương trình ẩn phụ thì cũng thất bại luôn. Ta chuyển sang 1 hướng suy nghĩ khác là đặt ẩn phụ rồi chuyển về hệ phương trình hai ẩn là ẩn x và ẩn phụ t ta có : đặt t = . điều kiện t 0 vì x 5. khi đó t2 = 5 – x => t2 + x =5 kết hợp phương trình ta có hệ * với t = x => = x x = * với x + t – 1 = 0 => x + - 1 = 0 = 1 – x x = vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = hoặc x = BT1. giải các phương trình sau: a) x2 + 2 = 4 x3 - = 1 Lưu ý: những bài tập trên không khó nhưng nó là ví dụ điển hình cho 1 phương pháp, có nhiều phương trình không phải dễ dàng có được cách đặt ẩn phụ. Ta xét ví dụ sau Ví dụ 3: Giải phương trình 9 + = 6 (3) Hướng dẫn: khi gặp phương trình này (phương trình chứa căn) ta thường nghĩ đến việc bình phương để khử căn thức( không tin thì cứ làm thử xem) Bây giờ, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ. Cần quan sát kĩ các biểu thức có trong phương trình là , , . Thứ nhìn xem chúng có mối liên hệ nào không? Có đấy : = = . ; = ()2 ; = ()2 hay nói phương trình trên có dạng 9a2 + b2 = 6ab, do đó đối với phương trình (3) ta thấy rằng x = 1, -1 không phỉ là nghiệm của phương trình. Ta chia cả hai vế của (3) cho , được phương trình : 9 + = 6. đặt t = . ta có phương trình 9t + = 6 9t2 – 6t + 1 = 0 t = => = x = . Kết hợp điều kiện để có kết luận về nghiệm của phương trình. (trích 1 trường hợp của đề tuyển sinh khối D-2007) * Phương trình trên còn được giải bằng cách đạt ẩn phụ rồi đưa về hệ phương trình hai ẩn phụ 6. Giải những phương trình có dạng f(x) = 0, mà hàm số y = f(x) là hàm số đơn điệu trên [a;b]. Nếu có f(a).f(b) < 0 thì khẳng định rằng : phương trình có duy nhất 1 nghiệm thuộc [a;b] lưu ý : Giải phương trình tức là chúng ta đi tìm nghiệm (tìm các giá trị của x thỏa mãn phương trình). Hầu hết các phương trình ở bậc trung học được quy về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Các ví dụ trên là minh chứng hùng hồn cho nhận định đó. Tuy nhiên con đường (cách giải) đi tìm nghiệm của mỗi phương trình (hoặc dạng phương trình) là không giống nhau. Dĩ nhiên ở đây coi như học sinh đã thành thạo giải phương trình bậc nhất và bậc hai. Trong khi biến đổi, nếu đưa phương trình đã cho về 1 trong hai phương trình đó thì chúng ta đã giải quyết được cái khó nhất của bài toán. Cách giải của mỗi phương trình được quyết định bởi các đặc điểm riêng của phương trình đó Khi đi tìm con đường giải, tức là ta phải tìm mối quan hệ giữa các biểu thức trong phương trình. Mối quan hệ rất khó thấy, chỉ khi nào xem xét và phân tích kĩ mới tìm được. Chơn Thành 7/7/2008