210 bài tự lập Hình học 7

Bài 1. Cho đoạn thẳng AB, điểm C và D cách đều hai điểm A, B ( C và D khác phía đối với AB). CD cắt AB tại I. Chứng minh : CD là tia phân giác của góc ACB CD là đường trung trực của AB Kết quả trên còn đúng không nếu C, D cùng phía AB Bài 2. Cho góc xOy. Trên Ox lấy điểm A, trên Oy lấy B sao cho OA = OB. Lấy M, N đều thuộc miền trong của góc sao cho MA = MB, NA = NB. Chứng minh : OM là phân giác góc xOy O, M, N thẳng hàng c/MN là đường trung trực của AB Bài 3. Cho tam giác ABC có . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB. Trên tia đối của tia MB lấy K sao cho MK = MB. Trên tia đối của tia NC lấy I sao cho NI = NC. Tính Chứng minh IB//AC, AK//BC Chứng minh A là trung điểm của IK Bài 4. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Vẽ F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh : Bài 5. Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy M, N. Trên tia Oy lấy P, Q sao cho OM = OP, PQ = MN. Chứng minh : c. Gọi I là giao điểm của MQ và PN. Chứng minh Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy OI là tia đường trung trực của MP, MP//NQ Bài 6. Cho tam giác ABC. Vẽ các đường tròn (C; AB) và (A; BC). Chúng cắt nhau tại D ( B và D ở hai bên đường thẳng AC). Nối B với D. Chứng minh : a. b. c. AB//CD d. AD//BC Bài 7. Cho AC cắt BD tại trung I điểm mỗi đoạn, chứng minh : a. b. c. d. AB//CD Bài 8. Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC tại E, đường thẳng qua E song song với AB cắt BC tại F. Chứng minh : BD = EF E là trung điểm của AC DF//AC d/ DF = ½ AC Bài 9. Cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Trên tia AC lấy E sao cho AE = AB Chứng minh DE = DB Tam giác ABC có điều kiện gì thì Tam giác ABC có điều kiện gì thì Bài 10. Cho tam giác ABC có . Trên cạnh BC lấy D sao cho . Gọi H là trung điểm BD Tính HD Tính AC Tam giác ABC có là tam giác vuông không, vì sao ? Bài 11. Cho tam giác cân ABC có ; đường phân giác AD ( D thuộc BC ). Vẽ Chứng minh tam giác DEF đều Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại M. Chứng minh tam giác AMC đều Chứng minh d/ Tính DF và BD biết AD = 4cm Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ sao cho CM = CA, sao cho AN=AH. Chứng minh : a. phụ nhau b. AM là tia phân giác của góc BAH c. d. Cho . Tính các cạnh của Bài 13. Cho tam giác ABC đều cạnh 5cm. . Trên tia BH lấy K sao cho BK = 5cm Tính BH Tính góc AKC Nếu K thuộc tia đối của tia BH thì các KQ trên thay đổi như thế nào ? Bài 14. Tam giác ABC vuông tại A. Từ K trên BC kẻ . Trên tia đối của tia HK lấy I sao cho HI = HK. Chứng minh : AB//HK Tam giác AKI cân d/ Bài 15. Cho tam giác ABC có . Hai tia phân giác AD và CE cắt nhau tại O . Trên AC lấy K sao cho AE = AK. Chứng minh Tính góc AOC Chứng minh OE = OK = OD d/ Tính AC nếu AB = 5cm, BE = 3cm, DC = 7cm Bài 16. Qua trung điểm M của đoạn AB kẻ đường thẳng xx’ vuông góc với AB. Trên tia Mx lấy C và D sao cho MC < MD. Trên tia Mx’ lấy E. Chứng minh : AC = BC d/ Cho BD = 5cm, AB = 6cm, DE = 7cm. Tính EB, chứng minh tam giác AEB là tam giác vuông cân Bài 17. Cho đoạn thẳng BC. I là trung điểm BC. Trên đường trung trực của BC lấy điểm A khác I Chứng minh Kẻ . Chứng minh tam giác AHK là tam giác cân c/ Chứng minh HK//BC Bài 18. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy D, trên tia đối của tia CA lấy E sao cho BD = CE. Vẽ DH và EK cùng vuông góc với BC. Chứng minh : HB = CK HK//DE e/ I là giao điểm của DC và EB, chứng minh Bài 19. Cho tam giác ABC cân tại A (). Kẻ , . BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh So sánh Tam giác IBC là tam giác gì ? Vì sao ? Chứng minh Chứng minh ED//BC Cho BC = 5cm, CD = 3cm,. Tính EC, AB Bài 20. Cho ABC caân taïi A (), veõ BD AC vaø CE AB. Goïi H laø giao ñieåm cuûa BD vaø CE. Chöùng minh : ABD = ACE Chöùng minh AED caân Chöùng minh AH laø ñöôøng trung tröïc cuûa ED Treân tia ñoái cuûa tia DB laáy K sao cho DK = DB. Chöùng minh Bài 21. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ . Cho AB = 5cm, AC = 12cm. Tính BH, CH, HK, AH Bài 22. Cho ABC vuoâng taïi A. Töø moät ñieåm K baát kyø thuoäc caïnh BC veõ KH AC. Treân tia ñoái cuûa tia HK laáy ñieåm I sao cho HI = HK. Chöùng minh : AB // HK AKI caân AIC = AKC Bài 23. Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 4cm và . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Chứng minh có dạng đặc biệt nào ? Tính độ dài BC, AB Bài 24. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ phân giác BD và CE của góc B và C. Chứng minh BD = CE Kẻ . Chứng minh DH = EK Cho DH = 3cm, BH = 4cm. Tính EC Bài 25. Cho nhọn. Trên tia Ox lấy điểm A và trên tia Oy lấy B sao cho OA = OB. Kẻ đường thẳng vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại D. Kẻ đường thẳng vuông góc với Oy tại B cắt Ox tại C. Giao điểm của AD và BC là E. Nối CE, CD Chứng minh OE là phân giác của góc xOy Chứng minh tam giác ECD cân Tia OE cắt CD tại H. Chứng minh Bài 26. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ . Kẻ HP vuông góc với AB và kéo dài để có PE = PH. Kẻ HQ vuông góc với AC và kéo dài để có QF = QH Chứng minh Chứng minh E, A, F thẳng hàng và A là trung điểm của EF Chứng minh BE//CF Cho AH = 3cm, AC = 4cm. Tính HC, EF Bài 27. Tam giác ABC có AC > AB, trung tuyến AM Chứng minh : Bài 28. Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc với BC. Trên tia đối của tia AH lấy D sao cho AH = AD. Lấy trung điểm E của HC. Gọi F là giao điểm của AC và DE. Chứng minh : AF = 1/3AC H, F và trung điểm M của DC thẳng hàng HF = 1/3DC Bài 29. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy D sao cho MD = MA. Chứng minh vuông Gọi K là trung điểm AC. Chứng minh KB = KD Gọi I là giao điểm của KD và BC, N là giao điểm của KB và AD. Chứng minh tam giác KNI cân Chứng minh . Điều này còn đúng không nếu tam giác ABC không là tam giác vuông Bài 30. Cho tam giác ABC có AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm Tam giác ABC là tam giác gì ? Vẽ trung tuyến AM. Kẻ . Trên tia đối của tia MH lấy K sao cho MK = MH Chứng minh . Suy ra BK//AC BH cắt AM tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC Tính độ dài AG Bài 1. Cho tam giác ABC có . Phân giác trong của góc B và C cắt nhau tại I Tính góc BIC b/ Kẻ tia phân giác góc ngoài tại B cắt AI tại J. Chứng minh CJ là tia phân giác của góc ngoài tại C Bài 31. Cho có . Các phân giác AD và CE gặp nhau ở O. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh : a. b. c. Ba điểm D, E, F thẳng hàng Bài 32. Cho tam giác ABC cân tại A. trên hai cạnh AB, AC và về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác đều ADB, AEC Chứng minh BE =CD b/ Kẻ phân giác AH của tam giác cân. Chứng minh BE, CD, AH đồng quy Bài 33. Cho tam giác ABC. Trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh : a. b. Bài 34. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC. Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh : a. b. BE là đường trung trực của AH c. EK = EC d. AE < EC e. f. Cho AB = 3cm, BC = 5cm. Tính KC Bài 35. Cho góc vuông xOy, điểm A thộc tia Ox, B thuộc Oy. Đường trung trực của OA cắt Ox tại D, đường trung trực của OB cắt Oy ở E. Gọi C là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh : CE = OD CE vuông góc với CD CA = CB CA//DE e/ A, B, C thẳng hàng Bài 36. Cho tam giác DEF cân tại D có DE = DF = 5cm, EF = 8cm. M, N lần lượt là trung điểm DF và DE. Kẻ . Chứng minh EM = FN và Giao điểm của EM và FN là K. Chứng minh KE = KF Chứng minh DK là phân giác của góc EDF Chứng minh EM, FN, AH đồng quy Tính AH Bài 37. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên AM lấy I, K sao cho AI = IK = KM. Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC và AB Chỉ ra các điểm thẳng hàng D là giao điểm của BN và CI thì D là trọng tâm của tam giác nào ? c/ Cho BN = 18cm. Tính DN Bài 38. Cho tam giác ABC nhọn có AB > AC, kẻ đường cao AH Chứng minh HB > HC Chứng minh c/So sánh Bài 39. Cho tam giác ABC vuông tại B. Trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy E sao cho ME = AM. Chứng minh : AC > CE c/ Bài 40. Cho M nằm trong góc xOy. Qua M vẽ cắt Oy tại C và vẽ cắt Ox tại D Chứng minh OM vuông góc với DC Xác định trực tâm tam giác MCD c/ Nếu M thuộc phân giác góc xOy thì tam giác OCD là tam giác gì ? Vẽ hình minh họa Bài 41. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung trực của AB cắt AB tại E và BC tại F Chứng minh FA = FB Vẽ , chứng minh Chứng minh FH = AE d/ Chứng minh EH//BC và EH = ½ BC Bài 42. Cho tam giác ABC vuông ở C có . Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E. Kẻ . Chứng minh : AC = AK và AE vuông góc với CK KA = KB EB > AC d/ AC, BD, KE cùng đi qua một điểm Bµi 43. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, cã AB = 5cm, BC = 13cm. Ba ®­êng trung tuyÕn AM, BN, CE c¾t nhau t¹i O. TÝnh AM, BN, CE. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c BOC Bµi 44.Cho tam gi¸c ®Òu AOB, trªn tia ®èi cña tia OA, OB lÊy theo thø tù c¸c ®iÓm C vµ D sao cho OC = OD.Tõ B kÎ BM vu«ng gãc víi AC, CN vu«ng gãc víi BD. Gäi P lµ trung ®iÓm cña BC.Chøng minh: a.Tam gi¸c COD lµ tam gi¸c ®Òu b.AD = BC c.Tam gi¸c MNP lµ tam gi¸c ®Òu Bµi 45. Cho tam gi¸c c©n ABC, AB = AC, ®­êng cao AH. KÎ HE vu«ng gãc víi AC. Gäi O lµ trung ®iÓm cña EH, I lµ trung ®iÓm cña EC. Chøng minh: IO vu«ng gãc v¬i AH AO vu«ng gãc víi BE Bµi 46.Cho tam gi¸c nhän ABC. VÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c vÏ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ ACF ë B vµ C.Trªn tia ®èi cña tia AH lÊy ®iÓm I sao cho AI = BC. Chøng minh: Tam gi¸c ABI b»ng tam gi¸c BEC BI = CE vµ BI vu«ng gãc víi CE. Ba ®­êng th¼ng AH, CE, BF c¾t nhau t¹i mét ®iÓm. Bài 47: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh rằng: AB2 + CH2 = AC2 + BH2. Trên cạnh AB lấy điểm E (EB), trên cạnh AC lấy điểm F (FC). Chứng minh EF < BC. Biết AB = 6cm; AC = 8cm. Tính AH, BH và HC. Bài 48: Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB; AC và BC tỉ lệ với: a) 9; 12và 15 b) 4; 6 và 7 c) 3; 2,4 và 1,8 d) 4;4 và 4. Bài49: Cho tam giác ABC cân tại C, từ B kẻ BD vuông góc với AC, D thuộc cạnh AC. Chứng minh: AB2 + BC2 + CA2 = AD2 + 2CD2 + 3BD2. Bài 50: Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 10cm; AB = 12cm. Từ A kẻ AH vuông góc với BC. Tính độ dài đoạn thẳng AH. Bài 51: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 5cm; AB = 12cm. Từ trung điểm M của cạnh huyền BC kẻ đường vuông góc với BC, cắt cạnh góc vuông ở N. Biết MN=2,7cm. Tính NB. Bài 52: Chứng minh rằng diện tích của tam giác đều có cạnh a là S = . Hãy tính diện tích của tam giác đều với cạnh a bằng: 5cm; 1,2cm; 2cm. Bài 53: Tính độ dài đoạn thẳng vuông góc kẻ từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền của một tam giác vuông có cạnh góc vuông là a, b. Áp dụng tính: a = 5; b = 12. a = 12, b = 16. Bài 54: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 26cm, AB : AC = 5 : 12. Tính các độ dài AB, AC. Bài 55: Vẽ về một phía của đoạn thẳng AB = 5cm các tia Ax và By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 5cm. Trên tia By lấy điểm E sao cho BE = 1cm. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho AC = 2cm. Góc DEC có là góc vuông không? Bài 56: Tam giác ABC có AB = 16cm, AC = 14cm, góc B bằng 600 . Độ dài BC=? Bài 57: Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A bằng 300 , BC = 2cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho góc CBD bằng 600. Tính độ dài AD. Bài 58: Cho tam giác ABC vuông tại A, trên tia đối của tia BA lấy BE = AC (B nằm giữa A và E). Kẻ CF vuông góc với CB tại C và CF = CB (A và F khác phía đối với BC). Nối với CE và AF cắt nhau tại O. Nối FE. Chứng minh rằng: OA2 + OE2 + OC2 + OF2 = (CE2 + EF2 + FC2). Bài 59: Cho tam giác ABC, biết AB : AC : BC = 6 : 8 : 10 và chu vi của tam giác bằng 120m. Tính độ dài các cạnh của tam giác. Tam giác ABC là tam giác gì? Tại sao? Bài 60: Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC. Cho biết AB = 13 cm, AH = 12 cm, HC = 16 cm. Tính các độ dài AC, BC. C Bài 61: Cho hình vẽ: Tính độ dài x biết rằng CD = 7; DB =18 và góc BAC = 900. x x 7 18 B A A Bài 62: Tìm x trong các hình sau: x B A 10 6 A 8 D C x B 2 1 2 2 B E C D A x 3 9 10 C H 3 x B C D 300 A Bài 63: Tìm x trong hình vẽ: B . 3 4 x 2 E D C x B C H 32 18 A 1200 C 8 x 7 B A Bài 64: Tam giác ABC có góc A tù, = 300; AB = 29, AC = 40. Vẽ đường cao AH, tính BH. Bài 65: Tam giác ABC có AB = 25, AC = 26, đường cao AH = 24. Tính BC. Bài 66: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với 8 và 15, cạnh huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông. Bài 67: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trên đó lấy điểm D. Trên tia đối của tia HA lấy một điểm E sao cho HE = AD. Đường thẳng vuông góc với AH tại D cắt AC tại F. Chứng minh rằng EB ^ EF. Bài 68: Cho D ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác. a/ Chứng minh rằng D ABC cân b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC. Bài 69: Một tam giác có ba đường cao bằng nhau. a/ Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều. b/ Biết mỗi đường cao có độ dài là , tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó. Bài70: Cho tam giác ABC vuông tại A, = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân. Bài 71: Cho tam giác ABC cân tại A,  = 800. Gọi O là một điểm ở trong tam giác sao cho góc OBC = 300; góc OCB = 100. Chứng minh rằng D COA cân. Bài 72: Cho D ABC cân tại A,  = 1000. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho góc CBO = 300. Tính góc CAO. Bài 73: Cho tam giác ABC cân tại A,  = 300. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C vẽ tia Bx ^ BA. Trên tia Bx lấy điểm N sao cho BN = BA. Tính góc BCN Bài 74: Cho DABC cân tại A,  = 1000. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính góc CBD. Bài 75: Cho DABC cân tại A,  = 1080. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho CBO = 120. Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng: a/ Ba điểm C, A, M thẳng hàng b/ Tam giác AOB cân Bài 76: Cho DABC cân tại A,  = 800. Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho góc BAI = 500; trên cạnh AC lấy điểm K sao cho góc ABK = 300. Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H. Chứng minh rằng D HIK cân. Bài 77: Cho tam giác đều ABC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho AM = CN. Gọi O là giao điểm của CM và BN. Chứng minh rằng: a/ CM = BN b/ Số đo của góc BOC không đổi khi M và N di động trên hai cạnh AB, AC thỏa mãn điều kiện AM = CN. Bài 78: Cho DABC vuông cân ở A. Qua A vẽ đường thẳng d thay đổi. Vẽ BD và CE cùng vuông góc với d (D, E Î d). Chứng minh rằng tổng BD2 + CE2 có giá trị không đổi. Bài 79: Tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM. Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh AC lấy điểm F sao cho góc EMF = 900.Chứng minh rằng AE= CF. Bài 80: Tam giác ABC có AB = 1 cm;  = 750, . Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia Bx sao cho CBx = 150. Từ A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB, cắt Bx tại D. a/ Chứng minh rằng: DC ^ BC. b/ Tính tổng BC2 + CD2. Bài 81: Cho D ABC cân tại A (AB > BC). Trên tia BC lấy điểm M sao cho MA = MB. Vẽ tia Bx // AM (Bx và AM cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ AB). Trên tia Bx lấy điểm N sao cho BN = CM. Chứng minh rằng: a/ ABN = ACM b/ D AMN cân. Bài 82: Tam giác ABC có AB > AC. Từ trung điểm M của BC vẽ một đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia phân giác tại H, cắt AB, AC lầm lượt tại E và F. Chứng minh rằng: a/ BE = CF b/ ; c/ Bài 83: Cho tam giác ABC, ³ 900. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M và N không trùng với các đỉnh của tam giác. Chứng minh rằng BC > MN Bài 84: Cho D ABC, các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại O. a/ Trong D BOC, cạnh nào lớn nhất? b/ Giả sử OB < OC hãy so sánh AB với AC. Bài 85: Cho DABC, trung tuyến AM. Biết BMA > CAM hãy so sánh và . Bài 86: Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho . Chứng minh rằng góc BAM < 200 Bài 87: Tam giác ABC có AB < AC. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh MD với ME. Bài 88: Cho DABC cân tại A. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh BC sao cho MB AÔC. Bài 89: Cho O là một điểm nằm trong D ABC. Biết AO = AC, chứng minh rằng D ABC không thể cân tại A Bài 90: Cho xOy = 450. Trên tia Oy lấy hai điểm Á, sao cho . Tính độ dài hình chiếu của đoạn thẳng AO trên Ox Bài 91: Cho D ABC, các góc B và C nhọn. Điểm M nằm giữa B và C. Gọi d là tổng các khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AM. a/ Chứng minh rằng d £ BC b/ Xác định vị trí của M trên BC sao cho d có giá trị lớn nhất Bài 92: Cho D ABC vuông tại B, phân giác AD. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt tia AD tại E. Chứng minh rằng chu vi D ECD lớn hơn chu vi D ABD Bài 93: Cho DABC cân tại A, trên hai cạnh AB và SC lấy hai điểm M và N sao cho AM = AN. Chứng minh rằng: a/ Các hình chiếu của BM và CN trên BC bằng nhau b/ Bài 94: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O; AB = 6, CD = 4. Chứng minh rằng trong 4 đoạn thẳng AC, CD, BD, DA tồn tại hai đoạn thẳng nhỏ hơn 5. Bài 95: Chu vi một tam giác cân là 21cm. Biết một cạnh dài 4cm, cạnh đó là cạnh bên hay cạnh đáy? Bài 96: Chu vi một tam giác cân là 15cm, cạnh đáy bằng a. Biết độ dài mỗi cạnh là một số tự nhiên (cm). Tìm các giá trị của a. Bài 97: Tam giác ABC có AB > AC, phân giác AD. Lấy một điểm M thuộc AD (M không trùng với A). Chứng minh rằng AB - AC > MB – MC Bài 98: Cho DABC vuông cân tại A, cạnh bên bằng 5 và hai điểm M, N bất kì. Chứng minh rằng trên các cạnh của ABC tồn tại một điểm sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến M và N lớn hơn 7 Bài 99: Cho D ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = BE. Trên cạnh AC lấy điểm F và H sao cho AF = CH. Chứng minh rằng các tam giác BFH và CDE có cùng một trọng tâm. Bài 100: Tam giác ABC có AB < AC, hai trung tuyến BE cà CF cắt nhau tại G. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: a/ Ba điểm A, G, D thẳng hàng b/ BE < CF c/ AD, BE, CF thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Bài 101: Cho D ABC, các trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. Chứng minh rằng: a/ ; b/ c/ chu vi D ABC < AD + BE + CF < chu vi D ABC Bài 102: Cho D ABC cân tại A, đường cao AH. Trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia CBlấy điểm E sao cho CE = CB a/ Chứng minh rằng C là trọng tâm của D ADE b/ Tia AC cắt DE tại M. Chứng minh rằng AE// HM. Bài 103: Cho D ABC, O là một điểm nằm trong tam giác. Vẽ BH và CK vuông góc đường thẳng AO. Cho biết các tam giác AOB, BOC, COA có diện tích bằng nhau, chứng minh rằng: a/ BH = CK b/ O là trọng tâm của D ABC Bài 104: Cho D ABC,  = 1200, phân giác AD, BE, CF. Tính chu vi DDEF biết DE = 21, DF = 20. Bài 105: Cho góc xOy. Lấy điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy. Vẽ các tia phân giác của các góc BAx và ABy cắt nhau tại M. Từ M vẽ một đường thẳng vuông góc với OM, cắt Ox, Oy lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng D ACD cân. Bài 106: Cho DABC, , phân giác BD, CE. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh A của D ABC cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng: a/ ADF = BDF b/ Ba điểm D, E, F thẳng hàng. Bài 107: Cho DABC, các tia phân giác góc B và góc C cắt nhau tại O. Từ A vẽ một đường thẳng vuông góc với OA, cắt các tia BO và CO lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng BM ^ BN và CM ^ CN. Bài 108: Cho DABC, , đường cao AH, phân giác BD. Cho biết góc BDA = 450. chứng minh rằng HD// AB Bài109: Cho D ABC vuông góc tại A, AB =3, AC = 4. Phân giác góc B, góc C cắt nhau tại O. Vẽ OE ^ AB; OF ^ AC. a/ Chứng minh rằng AB + AC - BC = 2AE b/ Tính khoảng cách từ O tới đỉnh các cạnh của D ABC c/ Tính OA, OB, OC Bài 110: Cho D ABC cân tại A. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM + AN = AB. a/ Đường trung trực của AB cắt tia phân giác của góc A tại O. Chứng minh rằng D BOM = D AON b/ Chứng minh rằng khi M và N di động trên hai cạnh AB và AC nhưng vẫn có AM + AN = AB tbì đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 111: Cho góc xOy = a0, A là một điểm di động ở góc trong góc đó. Vẽ các điểm M và N sao cho đường Ox là đường trung trực của AM, đường thẳng Oy là đường trung trực của AN. a/ Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. b/ Tính giá trị của a để O là trung điểm của MN Bài 112: Cho góc vuông xOy và A là một điểm cố định ở trong góc đó. Một góc vuông đỉnh A quay quanh A, có hai cạnh cắt Ox, Oy lần lượt tại B và C. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M luôn di động trên một đường thẳng cố định. Bài 113: Cho D ABC không vuông. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O, cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng tia AO là tia phân giác của góc MAN. Bài 114: Cho D ABC. Trên tia BA lấy một điểm M, trên tia CA lấy một điẻm N sao cho BM + CN = BC. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định . Bài 115: Cho D ABC vuông cân tại B. Trên cạnh AB lấy một điểm H sao cho . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK = BH. Tính góc AKH. Bài 116: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE gặp nhau tại H. Vẽ điểm K sao cho AB là trung trực của HK. Chứng minh rằng góc KAB = góc KCB. Bài 117: Tam giác ABC có cạnh BC là cạnh lớn nhất. Trên cạnh Bc lấy các điểm D và E sao cho BD = BA và CE = CA. Tia phân giác của góc B cắt AE tại M; tia phân giác của góc C cắt AD tại N. Chứng minh rằng tia phân giác của góc BAC vuông góc với MN. Bài 118: Cho DABC cân tại A,  = 300; BC = 2. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = . a/ Tính góc ABD b/ So sánh ba cạnh của D DBC Bài 119: Cho D ABC cân tại A, Â= 1080. Gọi O là giao điểm của các đường trung trực, I là giao điểm của các tia phân giác. Chứng minh rằng BC là đường trung trực OI. Bài 120: Cho D ABC có , phân giác AD. Trên AD lấy điểm O. Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho góc ABM = góc ABO. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm N sao cho góc CAN = góc ACO. Chứng minh rằng: a/ AM = AN b/ D MON là tam giác đều Bài 121: Cho D ABC cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đường trung trực của AC cắt đường thẳng BC tạiM. Trên tia đói của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM a/ Chứng minh rằng góc AMC = góc BAC b/ Chứng minh rằng CM = CN c/ Muốn cho CM ^ CN thì tam giác cân ABC cho trước phải có thêm điều kiện gì? Bài 122 Cho đường thẳng AB và điểm O trên đường thẳng đó. TRên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB vẽ 2 tia OC và OD sao cho . a) Hai góc AOC và BOD có phải là 2 góc đối đỉnh không? Vì sao? b) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa tia OD, vẽ tia OE sao cho tia OA là tia phân giác của góc COE. Chứng minh 2 góc BOD và AOE là 2 góc đối đỉnh. Bài 123.. Qua điểm A trên mặt phẳng vẽ 4 đường thẳng phân biệt. a) Có bao nhiêu góc được tạo thành? b) Trong các góc đó có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh khác góc bẹt. c) Chứng minh rằng trong các góc đỉnh A, có ít nhất có 1 góc có số đo không quá 450. Bài 124. Hai đường thẳng MN và PQ cắt nhau tại O, tạo thành góc MOP có số đo 700. a) tính số đo các góc còn lại? b) Vẽ Ot là phân giác của góc MOP rồi vẽ Ot’là tia đối của tia Ot. Vì sao Ot’ là phân giác của góc NOQ? c) Kể tên các cặp góc đối đỉnh là góc nhọn? Bài 125. Cho 2 đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O. Biết . Tính Bài 126. Trên đường thẳng AA’ lấy điểm O. Trên 1 nửa mặt phẳng bờ AA’vẽ tia OB sao cho , trên nửa mặt phẳng còn lại vẽ tia OC sao cho . a) Gọi OB’ là tia phân giác của góc A’OC, Chứng tỏ rằng 2 góc AOB và A’OB’ là 2 góc đối đỉnh. b) TRên nửa mặt phẳng bờ A A’có chứa tia OB vẽ tia OD sao cho . Tính . Bài 127 :Cho . Vẽ góc BOC và AOD kề bù với góc AOB. Chứng tỏ rằng: a) Hai góc BOC và AOD là 2 góc đối đỉnh. b) Hai tia phân giác của hai góc BOC và AOD là 2 tia đối nhau. Bài 128: Cho 2 góc kề nhưng không bù nhau AOB và BOC. Hãy vẽ các góc lần lượt là góc đối đỉnh với các góc AOB, BOC, AOC. Trong hình vẽ tạo thành có bao nhiêu cặp góc đối đỉnh nhỏ hơn góc bẹt? Kể tên các cặp góc đó? Bài 129: Cho 2 góc kề AOB và BOC có tổng bằng 1600 và . a) Tính ? b) Trong góc AOC vẽ tia OD OC. Tia OD có phải là tia phân giác của góc AOB không? c) Vẽ tia OC’ là tia đối của tia OC. So sánh . Bài 130: Cho . Về phía ngoài của góc AOB vẽ 2 tia OC và OD theo thứ tự vuông góc với OA và OB. Gọi O x là tia phân giác của góc AOB, Oy là tia đối của tia O x. a) Chứng tỏ rằng Oy là tia phân giác của góc COD. b) So sánh Bài 131. Cho góc vuông AOB và tia OC nằm trong góc đó. Vẽ tia O x sao cho OA là tia phân giác của góc xOC, vẽ tia Oy sao cho OB là tia phân giác góc yOC. Chứng tỏ rằng O x, Oy là 2 tia đối nhau. Bài 132: Cho tam giác ABC vuông góc ở đỉnh A. Vẽ . Tìm trong hình vẽ những cặp góc nhọn bằng nhau, Biết rằng hai góc có 2 cặp cạnh tương ứng vuông góc thì bằng nhau. Bài 133. Cho tam giác ABC có . Chứng minh rằng: Bài 134: Chứng tỏ rằng trong 1 tam giác có nhiều nhất 1 góc vuông. Bài 135: Trong hình 1 cho MN // PQ. Tìm số đo góc B Trong hình 2 cho AB // DE. Tìm số đo góc C? Bài 136. Trên hình 3 cho . Chứng minh AB // ED A B C D E Hình 3 M N P Q B 200 400 ? A B C D E 1330