49 đề và đáp án môn Toán tuyển sinh vào lớp 10 năm 2011 - 2012

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn : TOÁN Thời gian : 120 phút (không kể phát đề) Câu 1. (4,0 điểm) Không sử dụng máy tính cầm tay: Tính: P = Giải phương trình: x2 – 6x + 8 = 0. Giải hệ phương trình: . Câu 2. (4,0 điểm) Cho phương trình x2 – 3x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1). Giải phương trính (1) khi m = 1. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích). Câu 3. (6,0 điểm) Cho các hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và y = x + 2 có đồ thị là (d). Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông (đơn vị trên các trục bằng nhau). Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính. Tìm các điểm thuộc (P) cách đều hai điểm A và B . Câu 4. (6,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm). Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp. Biết AM = R. Tính OA theo R. Tính diện tích hình quạt tròn chắn cung nhỏ MN của đường tròn tâm O theo bán kính R. Đường thẳng d đi qua A, không đi qua điểm O và cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B, C. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng tỏ rằng năm điểm A, M, N, O và I cùng nằm trên một đường tròn. Hết GỢI Ý GIẢI Câu 1.(4,0 điểm) P = = = Phương trình x2 –6x + 8 = 0, có: = b’2 – ac = (-3)2 – 1. 8 = 1 > 0= 1 Suy ra: phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: x1 = 4; x2 = 2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: Câu 2. (4,0 điểm) Khi m = 1, pt(1) trở thành: x2 – 3x = 0 x(x – 3) = 0 Vậy khi m = 1, phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 0; x2 = 3. Phương trình (1) có nghiệm kép khi có = 0 (-3)2 – 4. 1.(m – 1) = 13 – 4m = 0 m = Vậy khi m = thì phương trình (1) có nghiệm kép. ĐK để pt(1) có hai nghiệm x1, x2 là 0 13 – 4m 0 m . Khi đó pt(1) có: x1x2 = = m – 1 . Theo đề bài, ta có: x1x2 = 2 m – 1 = 2 m = 3( thỏa ĐK) Vậy khi m = 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích). Câu 3. (6,0 điểm) a) Bảng một số giá trị tương ứng của (P): x -2 -1 0 1 2 y 4 2 0 2 4 Vẽ (d): y = x + 2 Cho x = 0 y = 2 (0; 2) (d) Cho x = 1 y = 3 (1; 3) (d) Đồ thị: b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x2 = x + 2 x2 – x – 2 = 0 Vậy:(d) cắt (P) tại hai điểm (2; 4) và (-1; 1). c) Gọi M(xM; yM) (P) và cách đều hai điểm A, B Ta có: yM = và MA = MB. Đặt xM = x, a = MA2 = (xA – xM )2 + (yA – yM )2 = (a – x)2 + (0 – x2)2 = a2 – 2ax + x2 + x4. MB2 = (xB – xM )2 + (yB – yM )2 = (0 – x)2 + (a – x2)2 = x2 + a2 – 2ax2 + x4. MA = MB MA2 = MB2 a2 – 2ax + x2 + x4 = x2 + a2 – 2ax2 + x4. 2ax2 – 2ax = 0 x2 – x = 0 Vậy có hai điểm thỏa đề bài: O(0; 0) và M(1; 1) Câu 4. (6,0 điểm) a) Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp: + (O) có: AM là tiếp tuyến tại M AM OM (1). AN là tiếp tuyến tại N AN ON (2). Từ (1 , (2)Tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính OA. b) Biết AM = R. Tính OA theo R: vuông tại M OA = OA = c)Tính diện tích hình quạt tròn chắn cung nhỏ MN của đường tròn tâm O theo bán kính R. + (O) có: Hai tiếp tuyến AM, AN cắt nhau tại A AM = AN =R = OM = ON AMON là hình thoi (1) Mà: (cmt) (2) Từ (1) và (2) AMON là hình vuông n0 = 900 Squạt (MON) = = (đvdt) Chứng tỏ rằng năm điểm A, M, N, O và I cùng nằm trên một đường tròn + (O) có: I là trung điểm của dây BC nhìn đoạn OA I đường tròn đường kính OA (1) Tứ giác AMON nội tiếp đường tròn đường kính OA (2) Từ (1), (2 5 điểm A,M, N, O, I đường tròn đường kính OA. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC HẢI DƯƠNG KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút( không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28 tháng 06 năm 2011 (Đợt 1 ) Đề thi gồm: 01 trang Câu 1 (3,0 điểm). Giải các phương trình: 2) Cho hai đường thẳng (d1): ; (d2): cắt nhau tại I. Tìm m để đường thẳng (d3): đi qua điểm I. Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình: (1) (với ẩn là ). 1) Giải phương trình (1) khi =1. 2) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi . 3) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là ; . Tìm giá trị của để ; là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng . Câu 3 (1,0 điểm). Một hình chữ nhật có chu vi là 52 m. Nếu giảm mỗi cạnh đi 4 m thì được một hình chữ nhật mới có diện tích 77 m2. Tính các kích thước của hình chữ nhật ban đầu? Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có Â > 900. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC. Đường thẳng AB cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai là D, đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn. Gọi F là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’) (F khác A). Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD. Gọi H là giao điểm của AB và EF. Chứng minh BH.AD = AH.BD. Câu 5 (1,0 điểm). Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng: . ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Câu Ý Nội dung Điểm 1 1.a Biến đổi được 5x + 5 = 3x + 7 0,5 x = 1 0,5 1.b Điều kiện: x0 và x1 0,25 Biến đổi được phương trình: 4x + 2x – 2 = 3x + 43x = 6 x = 2 0,5 So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm x = 2 0,25 2 Do I là giao điểm của (d1) và (d2) nên toạ độ I là nghiệm của hệ phương trình: 0,25 Giải hệ tìm được I(-1; 3) 0,25 Do (d3) đi qua I nên ta có 3 = (m+ 1)(-1) + 2m -1 0,25 Giải phương trình tìm được m = 5 0,25 2 1 Khi m = 1 ta có phương trình x2 – 4x + 2 = 0 0,25 Giải phương trình được ; 0,25 2 Tính 0,25 Khẳng định phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 0,25 3 Biện luận để phương trình có hai nghiệm dương 0,25 Theo giả thiết có x12 + x22 = 12 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 12 0,25 m2 + m – 2 = 0 0,25 Giải phương trình được m = 1 ( thoả mãn), m = -2 (loại) 0,25 3 Gọi kích thước của hình chữ nhật là a, b (m) điều kiện a, b > 0 0,25 Do chu vi của hình chữ nhật bằng 52 nên ta có a + b = 26 0,25 Sau khi giảm mỗi chiều đi 4 m thì hình chữ nhật mới có kích thước là a – 4 và b – 4 nên (a – 4)(b – 4) = 77 0,25 Giải hệ phương trình và kết luận được các kích thước là 15 m và 11 m 0,25 4 1 Hình vẽ đúng: 0,25 Lập luận có 0,25 Lập luận có 0,25 Suy ra bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn 0,25 2 Ta có (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra Suy ra ba điểm B, F, C thẳng hàng 0,25 (cùng chắn ) và (cùng chắn ) 0,25 Mà (cùng chắn của tứ giác BCDE nội tiếp) 0,25 Suy ra: => FA là phân giác của góc DFE 0,25 3 Chứng minh được EA là phân giác của tam giác DHE và suy ra (1) 0,25 Chứng minh được EB là phân giác ngoài của tam giác DHE và suy ra (2) 0,5 Từ (1), (2) ta có: 0,25 5 Từ (*) Dấu “=” khi x2 = yz 0,25 Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) Suy ra (Áp dụng (*)) 0,25 (1) Tương tự ta có: (2), (3) 0,25 Từ (1), (2), (3) ta có Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi : 21/06/2011 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1( 2 điểm) Đơn giản biểu thức: A Cho biểu thức: Rút gọn P và chứng tỏ P 0 Bài 2( 2 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 + 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1; x2. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm (x12 + 1 ) và ( x22 + 1). Giải hệ phương trình Bài 3( 2 điểm) Quãng đường từ A đến B dài 50km.Một người dự định đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi.Khi đi được 2 giờ,người ấy dừng lại 30 phút để nghỉ.Muốn đến B đúng thời gian đã định,người đó phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên quãng đường còn lại.Tính vận tốc ban đầu của người đi xe đạp. Bài 4( 4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm.Vẽ hình bình hành BHCD.Đường thẳng đi qua D và song song BC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh A,B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn Chứng minh Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm của BC,đường thẳng AM cắt OH tại G.Chứng minh G là trọng tâm của tam giácABC. Giả sử OD = a.Hãy tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo a Bài giải Bài 1 A Bài 2 x2 + 5x + 3 = 0 Có Nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x1+ x2 = - 5 ; x1x2 = 3 Do đó S = x12 + 1 + x22 + 1 = (x1+ x2)2 - 2 x1x2 + 2 = 25 – 6 + 2 = 21 Và P = (x12 + 1) (x22 + 1) = (x1x2)2 + (x1+ x2)2 - 2 x1x2 + 1 = 9 + 20 = 29 Vậy phương trình cần lập là x2 – 21x + 29 = 0 2)ĐK Vậy HPT có nghiệm duy nhất ( x ;y) = ( 2 ;3) Bài 3 Gọi x(km/h) là vtốc dự định; x > 0 ; có 30 phút = ½ (h) Th gian dự định : Quãng đường đi được sau 2h : 2x (km) Quãng đường còn lại : 50 – 2x (km) Vận tốc đi trên quãng đường còn lại : x + 2 ( km/h) Th gian đi quãng đường còn lại : Theo đề bài ta có PT: Giải ra ta được : x = 10 (thỏa ĐK bài toán) A B C E D H O M G Vậy Vận tốc dự định : 10 km/h Bài 3 a) Chứng minh A,B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn Vì BC //ED Mà AE BC Nên AE ED => E ( O ; AD / 2 ) Nói được (nội tiếp chắn ½ đường tròn (O) ) kết luận Chứng minh C1: vì BC //ED nên cung BE bằng cung CD => kết luận C1: vì BC //ED nên ( SLT) Mà bằng ½ sđ cungBE Và bằng ½ sđ cungDC => cungBE bằng cungDC => kết luận Giải câu c) Vì BHCD là HBH nên H,M,D thẳng hàng Tam giác AHD có OM là ĐTBình => AH = 2 OM Và AH // OM 2 tam giác AHG và MOG có (đ đ) Hay AG = 2MG Tam giác ABC có AM là trung tuyến; G AM Do đó G là trọng tâm của tam giác ABC d) ( vì BHCD là HBH) có B ;D ;C nội tiếp (O) bán kính là a Nên tam giác BHC cũng nội tiếp (K) có bán kính a Do đó C (K) = ( ĐVĐD) SỞ GD VÀ ĐT ĐAKLAK KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 THI NGÀY 22/6/2011 Môn: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (2,0 điểm) Bài 2: (2,0 điểm) . Bài 3: (1,5 điểm) Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn . Hai đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Đường thẳng BD cắt đường tròn tại điểm thứ hai P; đường thẳng CE cắt đường tròn tại điểm thứ hai Q. Chứng minh: Bài 5: (1,0 điểm) HƯỚNG DẪN GIẢI: Câu 1: 1/ a/ 9x2+3x-2=0; =81,phương trình có 2 nghiệm x1=;x2= b/ Đặt x2=t (t0) pt đã cho viết được t2+7t-18=0 (*); pt (*) có t=-9 (loại);t=2 với t=2 pt đã cho có 2 nghiệm 2/Đồ thị y=12x+(7-m) cắt trục tung tại điểm A(0;7-m); đồ thị y=2x+(3+m) cắt trục tung tại điểm B(0;3+m) theo yêu cầu bài toán AB khi 7-m=3+m tức là m=2. Câu 2: 1/ 2/ a/ b/ (thoả mãn đk ) Câu 3: 1/ Khi m=1 ta có hệ pt: rút y từ (2) y=2x+1 thế vào pt (1) được x=0, suy ra y=1 Vậy hệ có nghiệm (0;1) 2/ P đạt GTNN bằng khi Câu 4: Từ giả thiết ta có: suy ra E,D nhìn B,C dưới 1 góc vuông nên tứ giác BEDC nội tiếp được trong 1 đường tròn. Vì tam giác HBC và HPQ đồng dạng (góc góc)nên HQ.HC=HP.HB BEDC nội tiếp đường tròn suy ra từ câu 1/ Ta có : Suy ra (2 góc đồng vị suy ra đpcm) OP=OQ (vì bằng bán kính đường tròn O) (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung ED) QA=PA Vậy A và O cách đều P,Q nên suy ra đpcm. Bài 5: (1,0 điểm) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn : TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu trên 01 trang Câu 1 (2,0 điểm): 1. Rút gọn các biểu thức a) b) với 2. Giải hệ phương trình sau: Câu 2 (3,0 điểm): 1. Cho phương trình (1), trong đó m là tham số. a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt: b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để . 2. Cho hàm số: y = mx + 1 (1), trong đó m là tham số. a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A (1;4). Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên R? b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + 3 = 0 Câu 3 (1,5 điểm): Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B dài 30 km. Khi đi ngược trở lại từ B về A người đó tăng vận tốc thêm 3 (km/h) nên thời gia về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp lúc đi từ A đến B. Câu 4 (2,5 điểm): Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm A bên ngoài đường tròn, kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Từ B, kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn tại D (D khác B). Nối AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Nối BK cắt AC tại I. 1. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh rằng : IC2 = IK.IB. 3. Cho chứng minh ba điểm A, O, D thẳng hàng. Câu 5 (1,0 điểm): Cho ba số x, y, z thỏa mãn . Chứng minh rằng: HẾT Hướng dẫn và đáp án câu nội dung điểm 1 1. a) A= 0,5 b) B= = 0,5 2. Vậy hpt có nghiệm (x;y) = (11;-13) 0,75 0,25 2 1. a) Vì . Vậy pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 0,5 0,5 b) Áp dụng định lý Vi –ét vậy m= 0,5 2. Vì đồ thị của hàm số (1) đi qua A(1;4) 4= m.1+1 Với m = 3 hàm số (1) có dạng y = 3x +1; vì 3>0 nên hàm số (1) đồng biến trên R. 0,5 0,5 (d) : y = - x – 3 Vì đồ thị của hàm số (1) song song với (d) Vậy m = -1 thì đồ thị của hàm số (1) song song với (d) 0,5 3 Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h, x>0) Khi đi từ B về A vận tốc của người đó là x + 3 (km/h) thời gian đi từ A đến B là thời gian đi từ B về A là vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút = nên ta có pt Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là 12km/h 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4 B D C O A K I 1 Ta có ( t/c tiếp tuyến) Vậy tứ giác ABOC nội tiếp ( định lý đảo về tứ giác nội tiếp) 0,25 0,5 0,25 xét IKC và IC B có ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CK) 0,5 0,5 c) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC) Mà BD//AC (gt) ( so le trong) Mà AB = AC (t/c 2tt cắt nhau); OB = OC = R Do đó 3 điểm A, O, D cùng thuộc đường trung trực của BC Vậy 3 điểm A, O, D thẳng hàng. 0,25 0,25 5 Vì 0,25 0,25 0,25 0,25 Cách2:.Không giảm tính tổng quát, đặt x = max 3 = x + y + z 3x nên 1 x 3 2 ( x -1 ) . (x - 3) 0 (1) Lại có: x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 + 2(y +1) (z+1) = x2 + ( y + z )2 + 2 ( y + z ) + 2 = x2 + ( 3 - x )2 + 2 ( 3- x) + 2 = 2 x2 - 8x + 17 = 2 ( x -1 ) . (x - 3) + 11 (2) Từ (1) và (2) suy ra x2 + y2 + z2 11 Dấu đẳng thức xảy ra x = max ( x -1 ) . (x - 3) = 0 (y +1) (z+1) = 0 Không xảy ra dấu đẳng thức x + y + z = 3 SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút Câu 1 Tìm m để đường thẳng y = (2m – 1)x + 3 song song với đường thẳng y = 5x – 1. Giải hệ phương trình: Câu 2 Cho biểu thức: với a >0 và Rút gọn biểu thức P. Với những giá trị nào của a thì P > . Câu 3 Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị các hàm số: y = x2 và y = - x + 2. Xác định các giá trị của m để phương trình x2 – x + 1 – m = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức: . Câu 4 Trên nửa đường tròn đường kính AB, lấy hai điểm P, Q sao cho P thuộc cung AQ. Gọi C là giao điểm của tia AP và tia BQ; H là giao điểm của hai dây cung AQ và BP. Chứng minh tứ giác CPHQ nội tiếp đường tròn. Chứng minh . Biết AB = 2R, tính theo R giá trị của biểu thức: S = AP.AC + BQ.BC. Câu 5 Cho các số a, b, c đều lớn hơn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . ----- Hết ------ HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2011-2012 Môn Toán Ngày thi 24 tháng 6 năm 2011 Mã đề 02 Câu Nội dung Điểm 1 a) Để đường thẳng y =(2m – 1)x+3 song song với đường thẳng y =5x – 1 2m – 15= 5 (do ) 0,5đ 0,5đ b) Ta có: 0,5đ 0,5đ 2 a) Với thì ta có: 0,5đ 0,5đ b) Với thì P > 0,5đ . Kết hợp với điều kiện a >0, ta được 0 < a < 1. 0,5đ 3 a) Hoành độ giao điểm các đồ thị hàm số y = x2 và y = - x + 2 là nghiệm của phương trình: x2 = - x+2 x2 + x – 2 = 0 0,5đ Giải ra được: x1 = 1 hoặc x2 = - 2. Với x1 = 1 y1 = 1 tọa độ giao điểm A là A(1; 1) Với x2 =-2 y2 = 4 tọa độ giao điểm B là B(-2; 4) 0,5đ b) Ta có : . Để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thì ta có (*) 0,25đ Theo định lí Vi-et, ta có: và 0,25đ Ta có: 0,25đ Kết hợp với đk (*) ta có: m = 2 là giá trị cần tìm. 0,25đ 4 O K H Q P C B A a) Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 0,5đ . Suy ra tứ giác CPHQ nội tiếp đường tròn. 0,5đ b) và có: (suy ra từ a)) 0,5đ (góc nội tiếp cùng chắn cung (g – g) 0,5đ c) Gọi K là giao điểm của tia CH và AB. Từ giả thiết suy ra K thuộc cạnh AB (1) 0,25đ có . Suy ra H là trực tâm của tại K 0,25đ Từ đó suy ra: + (2) + (3) 0,25đ - Cộng từng vế của (2) và (3) và kết hợp với (1), ta được: S = AP. AC + BQ. BC = AB2 = 4R2. 0,25đ 5 Do a, b, c > (*) nên suy ra: , , 0,25đ Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có: (1) (2) (3) 0,25đ Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: . Dấu “=” xẩy ra (thỏa mãn điều kiện (*)) 0,25đ Vậy Min Q = 15 0,25đ Chú ý: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa, điểm toàn bài không quy tròn. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT BÌNH ĐỊNH Năm học: 2011 – 2012 Khóa thi: Ngày 30 tháng 6 năm 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Baøi 1: (2,0 ñieåm) . b) Cho haøm soá y = ax + b . Tìm a vaø b bieát raèng ñoà thò cuûa haøm soá ñaõ cho song song vôùi ñöôøng thaúng Baøi 2: (2,0 ñieåm) . a) Giaûi phöông trình ñaõ cho khi . b) Chöùng toû phöông trình ñaõ cho luoân coù hai nghieäm phaân bieät vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá m. c) Tìm m ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x1, x2 thoõa maõn heä thöùc : . Baøi 3: (2,0 ñieåm). Moät maûnh ñaát hình chöõ nhaät coù chieàu daøi hôn chieàu roäng 6m vaø bình phöông cuûa soá ño ñoä daøi ñöôøng cheùo gaáp 5 laàn soá ño cuûa chu vi. Tính dieän tích cuûa maûnh ñaát hình chöõ nhaät ñaõ cho. Baøi 4: (3,0 ñieåm). Cho ñöôøng troøn taâm O vaø BC laø daây cung khoâng ñi qua taâm. Treân tia ñoái cuûa tia BC laáy ñieåm M sao cho M khoâng truøng vôùi B. Ñöôøng thaúng ñi qua M caét ñöôøng troøn (O) ñaõ cho taïi N vaø P (N naèm giöõa M vaø P) sao cho O naèm beân trong . Goïi A laø ñieåm chính giöõa cuûa cung nhoû NP. Caùc daây AB vaø AC laàn löôït caét NP taïi D vaø E . a) Chöùng minh töù giaùc BDEC noäi tieáp. b) Chöùng toû MB.MC = MN.MP . c) OA caét NP taïi K. Chöùng minh MK2 > MB.MC . Baøi 5: (1,0 ñieåm) (vôùi ) Heát HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI ∙ Baøi 1: * Vaäy heä phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát . b) Goïi (d) vaø (d/) laàn löôït laø ñoà thò cuûa haøm soá y = ax + b vaø y =2x + 3 . Vôùi a =2 haøm soá ñaõ cho trôû thaønh y =2x + b (d) * ∙ Baøi 2: a) * Khi m =5, phöông trình ñaõ cho trôû thaønh: * Ta thaáy phöông trình (*) coù caùc heä soá thoõa maõn ab + c = 0 ; neân nghieäm cuûa phöông trình (*) laø: * b) Phöông trình ñaõ cho (baäc hai ñoái vôùi aån x) coù caùc heä soá: a = 1 ; b/ = m + 1 vaø c = m4 ; neân: c) Theo caâu b, phöông trình ñaõ cho luoân coù hai nghieäm phaân bieät vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá m. Theo heä thöùc Viet, ta coù: . Caên cöù (I), ta coù: . * . ∙ Baøi 3: * Goïi x(m) laø ñoä daøi cuûa chieàu roäng maûnh ñaát hình chöõ nhaät ñaõ cho. (Ñieàu kieän x > 0) Khi ñoù: Chieàu daøi cuûa maûnh ñaát hình chöõ nhaät ñaõ cho laø: x + 6 (m) Chu vi cuûa maûnh ñaát hình chöõ nhaät naøy laø: 4x + 12 (m) Theo Pytago, bình phöông ñoä daøi cuûa ñöôøng cheùo hình chöõ nhaät laø: x2 + (x + 6)2. Do bình phöông cuûa soá ño ñoä daøi ñöôøng cheùo gaáp 5 laàn soá ño cuûa chu vi neân ta coù phöông trình: * Giaûi phöông trình (*) baèng coâng thöùc nghieäm ñaõ bieát ta ñöôïc: ∙ Vaäy chieàu roäng cuûa maûnh ñaát hình chöõ nhaät ñaõ cho laø 6m ; chieàu daøi cuûa maûnh ñaát naøy laø 12 m; do ñoù dieän tích cuûa maûnh ñaát hình chöõ nhaät ñaõ cho laø 72 m2. ∙ Baøi 4: a) Chöùng minh töù giaùc BDEC noäi tieáp. Theo tính chaát cuûa goùc coù ñænh ôû beân trong ñöôøng troøn (O), ta coù: b) Chöùng toû MB.MC = MN.MP . Suy ra MBP ∽ MNC (g – g) c) Chöùng minh MK2 > MB.MC . * Vì A laø ñieåm chính giöõa cuûa cung nhoû NP (gt) suy ra OA ^ NP taïi K (ñöôøng kính ñi qua ñieåm chính giöõa cuûa moät cung thì vuoâng goùc vôùi daây caêng cung ñoù ). Suy ra K laø trung ñieåm cuûa daây NP (ñöôøng kính vuoâng goùc moät daây thì ñi qua trung ñieåm cuûa daây ñoù) Suy ra NP = 2.NK . MB.MC = MN.MP (theo caâu b), suy ra: MB.MC = MN(MN + NP) = MN(MN + 2.NK) = MN2 + 2.MN.NK (1) MK2 = (MN + NK)2 = MN2 + 2.MN.NK + NK2 > MN2 + 2.MN.NK ( do NK2 > 0 ) (2) Töø (1) vaø (2): MK2 > MB.MC . ∙ Baøi 5: (vôùi ) * Caùch 1: (Duøng kieán thöùc ñaïi soá lôùp 8) * * Caùch 2: (Duøng kieán thöùc ñaïi soá 9) x toàn taïi khi phöông trình (*) coù nghieäm. So saùnh (1) vaø (2) thì 1 khoâng phaûi laø giaù trò nhoû nhaát cuûa A maø: * së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o K× THI TUYÓN SINH líp 10 THPT L¹ng s¬n N¨M häc 2011 - 2012 M¤N THI: TOÁN ®Ò chÝnh thøc Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề Câu 1 (2 điểm): Tính giá trij của các biểu thức: A = ; B = Rút gọn biểu thức: P = Với x > 0, y > 0 và x y. Tính giá trị của biểu thức P tại x = 2012 và y = 2011. Câu 2 ((2điểm): Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị của các hàm số y = x2 và y = 3x – 2. Tính tọa độ các giao điểm của hai đồ thì trên. Câu 3 (2 điểm): Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật, biết chiều dài hơn chiều rộng 1 m và độ dài mỗi đường chéo của hình chữ nhật là 5 m. Tìm m để phương trinh x - 2 + m = 0 có hai nghiệm phân biệt. Câu 4 (2 điểm) Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C là những tiếp điểm). Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. Nêu cách vẽ các tiếp tuyến AB, AC. BD là đường kính của đường tròn (O; R). Chứng minh: CD//AO. Cho AO = 2R, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Câu 5 (2 điểm) Tìm số tự nhiên n biết: n + S(n) = 2011, trong đó S(n) là tổng các chữ số của n. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 (2 điểm): Tính giá trij của các biểu thức: A = = 5 + 3 = 8 ; B = = b. Rút gọn biểu thức: P = Với x>0, y>0 và xy. P = tại x = 2012 và y = 2011 => P = 1 Câu 2 ((2điểm): Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ, đồ thị của các hàm số y = x2 và y = 3x – 2. Tính tọa độ các giao điểm của hai đồ thì trên. Vẽ đồ thị trên cùng một hệ trục x -2 -1 0 1 2 y = x2 4 1 0 1 4 Vẽ y = 3x-2 Cho x = 0 => y =-2 ; Cho x = 1=> y = 1 HS tự vẽ. Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 và y = 3x – 2 là nghiệm của phương trình: x2 = 3x - 2 ó x2 - 3x + 2 = 0 ta có a + b + c = 0 => x1 = 1 => y1 = 1 x2 = 2 => y2 = 4. Vậy tọa độ các giao điểm của hai đồ thì trên là (1; 1) và (2; 4). Câu 3 (2 điểm): Gọi chiều dài là x (m) (ĐK: x > 1), chiều rộng sẽ là x – 1 (m) Vì độ dài mỗi đường chéo của hình chữ nhật là 5 m Áp dụng Pytago ta có: x2 + (x - 1)2 = 52 ó x2 + x2 - 2x +1 – 25 = 0 ó2x2 – 2x – 24 = 0 ó x2 - x – 12 = 0 Suy ra: x1 = 4 (TM) x2 = - 3 (loại) Vậy chiều dài là 4m, chiều rộng là 3m. Tìm m để phương trinh x - 2 + m = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt. Đặt = t (ĐK: t 0) (1) ó t2 – 2t + m = 0 (2) Để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (2) phải có hai nghiệm dương B D C pt (2) có hai nghiệm dương Vậy với pt (1) có 2 nghiệm phân biệt Câu 4 (2 điểm) a. Ta có (T/c là tia tiếp tuyến) A (T/c tia tiếp tuyến) I H O => Vậy ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO. - Vẽ đường tròn đường kính OA, đường tròn này cắt (O) tại B và C. Nối AB ; AC ta có hai tiếp tuyến cần vẽ. b. Gọi H là giao điểm của BC và OA Xét ABC có AB = AC => ABC cân tại A. Do đó AH đồng thời vừa là đường phân giác, đường cao, đường trung trực của ABC => HB = HC Xét BCD có HB = HC (CM trên) OB = OC (=R) OH là đường trung bình của BCD CD//OH hay CD//AO. c. là tam giác cân =>OH = R/2 gọi I là giao điểm của OA và (O ; R) do OA = 2R nên I là trung điểm của OA, mà AI/AH = 2/3 nên I là trọng tâm của tam giác ABC và cũng là tâm đường tròn nội tiếp của , vậy bán kính đường tròn nội tiếp r = IH = R/2. Câu 5 (2 điểm) Tìm số tự nhiên n biết: n + S(n) = 2011, trong đó S(n) là tổng các chữ số của n. Nếu n có 1, 2, 3 chữ số thì n + S(n) < 1000 + 9 + 9 + 9 < 2011 nếu n có 5 chữ số trở lên thì n + S(n) > 10000 > 2011 Vậy n có 4 chữ số : do n < 2011 nên a = 1 hoặc a = 2 TH1: a = 2 ta có nếu hoặc thì n + S(n) > 2011 VL Nên b = 0 và c = 0 khi đó : Vô lý vì VT chẵn còn VP lẻ. TH2: a = 1, nếu b < 9 thì n + S(n) < 1900 + 1+ 3.9 < 2011 Nên b = 9, khi đó : (1900 + 10c + d) + 1 + 9 + c + d = 2011 Hay 11c + 2d = 101. do nên 101 = 11c + 2d 11c + 18 nên c = 8 hoặc c = 9 nếu c = 8 thì 11.8 + 2d = 101 d = 13/2 vô lý. vậy c = 9 d = 1 thử lại : 1991 + 1 + 9 + 9 + 1 = 2011 thoả mãn. Vậy n = 2011 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT QUẢNG NAM Năm học: 2011 – 2012 Khóa thi: Ngày 30 tháng 6 năm 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1 (2,0 điểm): Rút gọn các biểu thức sau: Bài 2 (2,5 điểm): Giải h