500 bài toán Bất đẳng thức chọn lọc

500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang ♦♦♦♦♦ Vĩnh Long, Xuân Mậu Tý, 2008 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc ♦♦♦♦♦ 1. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 3 21 1 1 2 a b b c c a+ − + + − + + − ≥ . Komal 2. [ Dinu Serbănescu ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng ( )( )( )1 1 1 1abc a b c+ − − − < . Junior TST 2002, Romania 3. [ Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 3b c c a a b a b c a b c + + + + + ≥ + + + . Gazeta Matematică 4. Nếu phương trình 4 3 22 1 0x ax x bx+ + + + = có ít nhất một nghiệm thực, thì 2 2 8a b+ ≥ . Tournament of the Towns, 1993 5. Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 1x y z+ + = . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3 3x y z xyz+ + − . 6. Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng ( )( )2ax by cz xy yz zx ab bc ca a b c+ + + + + + + ≤ + + . Ukraine, 2001 7. [ Darij Grinberg] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 9 4 a b c a b cb c c a a b + + ≥ + ++ + + . 8. [ Hojoo Lee ] Cho , , 0a b c≥ . Chứng minh rằng 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 22 2 2a a b b b b c c c c a a a a bc b b ca c c ab+ + + + + + + + ≥ + + + + + . Gazeta Matematică 9. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2abc = . Chứng minh rằng 3 3 3a b c a b c b c a c a b+ + ≥ + + + + + . JBMO 2002 Shortlist 10. [ Ioan Tomescu ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( )( )( ) 4 1 1 3 8 9 6 7 xyz x x y y z z ≤ + + + + . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 3 Gazeta Matematică 11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( )2 2 2 3 3 35 6 1a b c a b c+ + ≤ + + + . 12. [ Mircea Lascu ] Cho 1 2, ,..., nx x x ∈ℝ , 2, 0n a≥ > sao cho 2 2 2 2 1 2 1 2... , ... 1n n a x x x a x x x n + + + = + + + ≤ − . Chứng minh rằng 20, , 1, 2,...,i a x i n n    ∈ =    . 13. [ Adrian Zahariuc ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng 1 4 4 4 b a c b a c b c c a c a a b a b b c + + ≥ − − − . 14. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc≤ . Chứng minh rằng a b c a b c b c a + + ≥ + + . 15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện , a x b y c z a b c x y z+ ≥ + ≥ + + + = + + . Chứng minh rằng ay bx ac xz+ ≥ + . 16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 3 61 a b c ab bc ca + ≥ + + + + . Junior TST 2003, Romania 17. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + . JBMO 2002 Shortlist 18. Cho 1 2, ,..., 0, 3nx x x n> > thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1nx x x = . Chứng minh rằng 1 1 2 2 3 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 n nx x x x x x x x + + + > + + + + + . Russia, 2004 19. [ Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa ñiều kiện 2 2 2 2 1x y z xyz+ + + = . Chứng minh rằng a) 1 , 8 xyz ≤ b) 3 , 2 x y z+ + ≤ 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 4 c) 2 2 23 , 4 xy yz zx x y z+ + ≤ ≤ + + d) 1 2 2 xy yz zx xyz+ + ≤ + . 20. [ Marius Olteanu ] Cho 1 2 5, ,...,x x x ∈ℝ sao cho 1 2 5... 0x x x+ + + = . Chứng minh rằng 1 2 5cos cos ... cos 1x x x+ + + ≥ . Gazeta Matematică 21. [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z xyz+ + = . Chứng minh rằng 2 2 23 1 1 1xy yz zx x y z+ + ≥ + + + + + + . 22. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện , , 1x y z>− . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 x y z y z z x x y + + + + + ≥ + + + + + + . JBMO, 2003 23. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 2a b b c c a b c c a a b + + + + + ≥ + + + . 24. Cho , , 0a b c≥ thỏa mãn ñiều kiện ( )4 4 4 2 2 2 2 2 22a b c a b b c c a+ + ≤ + + . Chứng minh rằng ( )2 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≤ + + . Kvant, 1988 25. Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n> > thỏa mãn ñiều kiện 1 2 1 1 1 1 ... 1998 1998 1998 1998nx x x + + + = + + + . Chứng minh rằng 1 2... 1998 1 n nx x x n ≥ − . Vietnam, 1998 26. [Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2x y z xyz+ + = . Chứng minh rằng a) 27,xyz ≥ b) 27xy yz zx+ + ≥ , c) 9x y z+ + ≥ , d) ( )2 9xy yz zx x y z+ + ≥ + + + . 27. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3x y z+ + = . Chứng minh rằng x y z xy yz zx+ + ≥ + + . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 5 Russia 2002 28. [ D. Olteanu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 . . . 2 2 2 4 a b a b c b c a c b c a b c c a b c a a b c a b + + + + + ≥ + + + + + + + + + . Gazeta Matematică 29. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c c a a b b c b c a c b a c b a + + + + + ≥ + + + + + . India, 2002 30. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 ab bc caa b c b bc c c ac a a ab b a b c + + + + ≥ − + − + − + + + . Proposed for the Balkan Mathematical Olympical 31. [ Adrian Zahariuc ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số nguyên ñôi một phân biệt nhau. Chứng minh rằng 2 2 2 1 2 1 2 2 3 1... ... 2 3n nx x x x x x x x x n+ + + ≥ + + + − . 32. [ Murray Klamkin ] Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n≥ > thỏa mãn ñiều kiện 1 2 ... 1nx x x+ + + = . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 1 2 2 3 1 1... n n nx x x x x x x x−+ + + + . Crux Mathematicorum 33. Cho 1 2, ,..., 0nx x x > thỏa mãn ñiều kiện 1 1 2 ...k kx x x x+ ≥ + + + với mọi k. Hãy tìm giá trị lớn nhất của hằng số c sao cho 1 2 1 2... ...n nx x x c x x x+ + + ≤ + + + . IMO Shortlist, 1986 34. Cho các số thực dương , , , , ,a b c x y z thỏa mãn ñiều kiện 1a x b y c z+ = + = + = . Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 3abc xyz ay bz cx  + + + ≥    . Russia, 2002 35. [ Viorel Vâjâitu, Alexvàru Zaharescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )1 2 2 2 4 ab bc ca a b c a b c b c a c a b + + ≤ + + + + + + + + . Gazeta Matematică 36. Cho , , ,a b c d là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 1a b c d+ + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3a b c d b c d a c d a b d a b c+ + + + + + + + + + + . 37. [ Walther Janous ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 6 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1x y z x x y x z y y z y x z z x z y + + ≤ + + + + + + + + + . Crux Mathematicorum 38. Cho 1 2, ,..., , 2na a a n≥ là n số thực sao cho 1 2 ... na a a< < < . Chứng minh rằng 4 4 4 4 4 4 1 2 2 3 1 2 1 3 2 1... ...n na a a a a a a a a a a a+ + + ≥ + + + . 39. [ Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 4b c c a a b a b c a b c b c c a a b  + + + + + ≥ + +   + + + . 40. Cho 1 2, ,..., na a a là các số nguyên dương lớn hơn 1. Tồn tại ít nhất một trong các số 1 1 , a a 12 3 1,..., , aaa nn na a a − nhỏ hơn hoặc bằng 3 3 . Adapted after a well – known problem 41. [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 1xy yz zx xyz+ + + = . Chứng minh rằng a) 1 8 xyz ≤ , b) 3 2 x y z+ + ≥ , c) ( )1 1 1 4 x y z x y z + + ≥ + + , d) ( ) ( ) ( ) { } 22 11 1 1 4 , max , , 2 1 z x y z z x y z x y z z z − + + − + + ≥ = + . 42. [ Manlio Marangelli ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( ) ( )32 2 2 2 2 23 x y y z z x xy yz zx xyz x y z+ + + + ≥ + + . 43. [ Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện { } { }max , , min , , 1a b c a b c− ≤ Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 21 6 3 3 3a b c abc a b b c c a+ + + + ≥ + + . 44. [ Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) 2 2 2 1 1 127 2 2 2 6a b c a b c bc ca ab a b c             + + + + ≥ + + + +                   . 45. Cho 2 0 k+1 1 , a 2 k k a a a n = = + . Chứng minh rằng 11 1na n − < < . TST Singapore 46. [ Călin Popa ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ thỏa mãn ñiều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 7 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 4 a b c a b c a b c a b c  − − −  + + ≥ + +  − − −   . 47. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , , 1x y z ≤ thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 27 1 1 1 10x y z + + ≤ + + + . 48. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1x y z+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2 2 151 1 1 2x y z xyz x y y z z x− − − ≥ + + + . 49. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2xyz x y z= + + + . Chứng minh rằng a) ( )2xy yz zx x y z+ + ≥ + + , b) 3 2 x y z xyz+ + ≤ . 50. Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2x y z+ + = . Chứng minh rằng 2x y z xyz+ + ≤ + . IMO Shortlist, 1987 51. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho ( )1 2, ,..., 0,1nx x x ∈ và σ là một hoán vị của { }1,2,...,n . Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 1 11 . 1 1 . n in n i i ii i i x x n x x σ = = =         ≥ +    − −        ∑ ∑ ∑ . 52. Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 1 n i ix= = +∑ . Chứng minh rằng ( ) 1 1 11 n n i i i i x n x= = ≥ −∑ ∑ . Vojtech Jarnik 53. [ Titu Vàreescu ] Cho 3n> và 1 2, ,..., na a a là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 1 n i i a n = ≥∑ và 2 2 1 n i i a n = ≥∑ . Chứng minh rằng { }1 2max , ,..., 2na a a ≥ . USAMO, 1999 54. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 0a b b c c d d a b c c d d a a b − − − − + + + ≥ + + + + . 55. Cho ,x y là các số thực dương. Chứng minh rằng 1y xx y+ > . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 8 France, 1996 56. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng ( )( )( ) ( )4 1a b b c c a a b c+ + + ≥ + + − . MOSP, 2001 57. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( )( )( ) ( )2 2 2a b c a b c b c a c a b abc ab bc ca+ + + − + − + − ≤ + + . 58. [ D.P.Mavlo ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( )( )1 1 11 1 13 3 1 a b ca b c a b c a b c b c a abc + + + + + + + + + + + + ≥ + . Kvant, 1988 59. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1nx x x = . Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 1 . 1 n n nn n n i i i i i i n x x x= = =   + ≥ +    ∑ ∑∏ . 60. Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 3 3 3 1 1min , 4 9 27 d a b c abcd    + + + ≥ +     . Kvant, 1993 61. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 21 1 1 1 1a b a c b c a b c a b b c c a+ + − − ≥ + + + − − −∑ . AMM 62. [ Titu Vàreescu, Mircea Lascu ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1xyz = và 1α≥ . Chứng minh rằng 3 2 x y z y z z x x y α α α + + ≥ + + + . 63. Cho 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n nx x x y y y ∈ℝ thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 2 21 2 1 2... ... 1n nx x x y y y+ + + = + + + = . Chứng minh rằng ( )21 2 2 1 1 2 1 n i i i x y x y x y =   − ≤ −   ∑ . Korea, 2001 64. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho 1 2, ,..., na a a là các số nguyên dương khác nhau từng ñôi một. Chứng minh rằng ( )2 2 21 2 1 2 2 1 ... ... 3n n n a a a a a a + + + + ≥ + + + . TST Romania 65. [ Călin Popa ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 9 ( ) ( ) ( ) 3 3 43 3 3 b c c a a b a c ab b a bc c b ca + + ≥ + + + . 66. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , , ,a b c d là các số thực thỏa mãn ñiều kiện ( )( )( )( )2 2 2 21 1 1 1 16a b c d+ + + + = . Chứng minh rằng 3 5ab bc cd da ac bd abcd− ≤ + + + + + − ≤ . 67. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( )( ) ( )2 2 22 2 2 9a b c ab bc ca+ + + ≥ + + . APMO, 2004 68. [ Vasile Cirtoale ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn các ñiều kiện 0 ,x y z< ≤ ≤ 2x y z xyz+ + = + . Chứng minh rằng a) ( )( )( )1 1 1 0xy yz zx− − − ≥ , b) 2 3 2 321, 27 x y x y≤ ≤ . 69. [ Titu Vàreescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c abc+ + ≥ . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất ñẳng thức sau ñây là ñúng 2 3 6 2 3 6 2 3 66, 6, 6 a b c b c a c a b + + ≥ + + ≥ + + ≥ . TST 2001, USA 70. [ Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z xyz+ + = . Chứng minh rằng ( )( )( )1 1 1 6 3 10x y z− − − ≤ − . 71. [ Marian Tetiva ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )2 2 23 3 3 3 3 3 4 a b b c c aa b b c c a a b b c c a − + − + −− − − + + ≤ + + + . Moldova TST, 2004 72. [ Titu Vàreescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( )( ) ( )35 2 5 2 5 23 3 3a a b b c c a b c− + − + − + ≥ + + . USAMO, 2004 73. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n> > thỏa mãn ñiều kiện 2 1 1 1 1 n n k k k k x n x= =      = +      ∑ ∑ . Chứng minh rằng ( ) 2 2 2 1 1 1 24 1 n n k k k k x n x n n= =      > + +    −   ∑ ∑ . 74. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 10 ( )( )( )2 2 2 2 3 1 1 1a b c abc a b c+ + + + ≥ + + + . 75. [ Titu Vàreescu, Zuming Feng ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 8 2 2 2 a b c b a c c b c a b c b a c c a b + + + + + + + + ≤ + + + + + + . USAMO, 2003 76. Cho ,x y là các số thực dương và ,m n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng ( )( )( ) ( )( ) ( )1 11 1 1m n m n m n n m m n m nn m x y m n x y x y mn x y y x+ + + − + −− − + + + − + ≥ + . Austrian – Polish Competition, 1995 77. Cho , , , ,a b c d e là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abcde= . Chứng minh rằng 10 1 1 1 1 1 3 a abc b bcd c cde d dea e eab ab abcd bc bcde cd cdea de deab ea eabc + + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + + + . Crux Mathematicorum 78. [ Titu Vàreescu ] Cho , , 0, 2 a b c π  ∈    . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin .sin .sin sin .sin .sin sin .sin .sin 0 sin sin sin a a b a c b b c b a c c a c b b c c a a b − − − − − − + + ≥ + + + . TST 2003, USA 79. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca+ + + + + ≥ + + + + + . KMO Summer Program Test, 2001 80. [ Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu ] Cho 1 2, ,..., 0, 2na a a n> > thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1na a a = . Hãy tìm hằng số nk nhỏ nhất sao cho ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 11 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 3 3 2 1 1 ... n n n n a a a aa a k a a a a a a a a a a a a + + + ≤ + + + + + + . 81. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 23ax by cz a b c x y z a b c x y z+ + + + + + + ≥ + + + + . Kvant, 1989 82. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , ,a b c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 3 1 2a b c b c a b c a a b c      + + − ≥ + +        . 83. [ Walther Janous ] Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n> > thỏa mãn ñiều kiện 1 2 ... 1nx x x+ + + = . Chứng minh rằng 1 1 11 1 n n i i ii i n x x x= =    −   + ≥      −    ∏ ∏ . Crux Mathematicorum 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 11 84. [ Vasile Cirtoaje, Gheoghe Eckstein ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1nx x x = . Chứng minh rằng 1 2 1 1 1 ... 1 1 1 1 nn x n x n x + + + ≤ − + − + − + . TST 1999, Romania 85. [ Titu Vàreescu ] Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa ñiều kiện 2 2 2 4a b c abc+ + + = . Chứng minh rằng 0 2ab bc ca abc≤ + + − ≤ . USAMO, 2001 86. [ Titu Vàreescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ){ }2 2 23 max , ,3 a b c abc a b b c c a+ + − ≤ − − − . TST 2000, USA 87. [ Kiran Kedlaya ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 . . 3 2 3 a ab abc a b a b c a + + + + + ≤ . 88. Tìm hằng số k lớn nhất sao cho với bất kì số nguyên dương n không chính phương, ta có ( ) ( )1 sinn n kπ+ > . Vietnamese IMO Training Camp, 1995 89. [ Trần Nam Dũng ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa ñiều kiện ( )3 32x y z xyz+ + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 4 4 4 4 x y z x y z + + + + . Vietnam, 2004 90. [ George Tsintifas ] Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 42 2 2 216a b b c c d d a a b c d a b c d+ + + + ≥ + + + . Crux Mathematicorum 91. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = và n là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) 1 1 1 n n n ab bc ca ab bc ca + + − − − . 92. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )3 3 1 1 1 3 1 1 1 1a b b c c a abc abc + + ≥ + + + + . 93. [Trần Nam Dũng ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 9a b c+ + = . Chứng minh rằng 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 12 ( )2 10a b c abc+ + − ≤ . Vietnam, 2002 94. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 3a b b c c a b c c a a b                   + − + − + + − + − + + − + − ≥                             . 95. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n là số nguyên lớn hơn 2. Tìm số thực lớn nhất nm và số thực nhỏ nhất nM sao cho với các số thực dương bất kì 1 2, ,..., nx x x (xem 0 1 1,n nx x x x+= = ), ta có ( )1 1 12 1 n i n n i i i i x m M x n x x= − + ≤ ≤ + − +∑ . 96. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 x xy y y yz z z zx x x y z + + ≥ + + + + + + + + . Gazeta Matematică 97. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )3 3 3 3 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c d abcd a b c d+ + + + ≥ + + + + + . Gazeta Matematică 98. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4 4 447a b b c c a a b c+ + + + + ≥ + + . Vietnam TST, 1996 99. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2a b b c c a a b c + + ≤ + + + + + + + + + + + . Bulgaria, 1997 100. [Trần Nam Dũng ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa 21 2 8 12ab bc ca+ + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 3 a b c + + . Vietnam, 2001 101. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3xy yz zx+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 3a b cy z z x x y b c c a a b + + + + + ≥ + + + . 102. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 3 5 b c a c a b a b c b c a c a b a b c + − + − + − + + ≥ + + + + + + . Japan, 1997 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 13 103. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho { }1 2 1 2, ,..., 0, min , ,...,n n na a a a a a a≥ = . Chứng minh rằng ( ) 1 2 11 2 1 2 ... ... ... 1 1 n n n n n n n n a a a a a a na a a n a n − + + + + + + − ≥ − −   − . 104. [ Turkervici ] Cho , , ,x y z t là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22x y z t xyzt x y y z z t x z y t+ + + + ≥ + + + + . Kvant 105. Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 1 , 1 1 n n i i j i i j ij a a a i j= =    ≤   + −  ∑ ∑ . 106. Cho ( )1 2 1 2, ,..., , , ,..., 1001,2002n na a a b b b ∈ sao cho 2 2 2 2 2 21 2 1 2... ...n na a a b b b+ + + = + + + . Chứng minh rằng ( ) 33 3 2 2 21 2 1 2 1 2 17 ... ... 10 n n n aa a a a a b b b + + + ≤ + + + . TST Singapore 107. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng ( )( )( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 28a b b c c a a b b c c a+ + + ≥ + + . 108. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abcd = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c d + + + ≥ + + + + . Gazeta Matematică 109. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b b c c a a b + + ≥ + + + + + + + + . Gazeta Matematică 110. [ Gabriel Dospinescu ] Cho n số thực 1 2, ,..., na a a . Chứng minh rằng ( ) 2 2 * 1 ...i i j i j ni a a a ≤ ≤ ≤∈    ≤ + +    ∑ ∑ ℕ . TST 2004, Romania 111. [Trần Nam Dũng ] Cho [ ]1 2, ,..., 1,1nx x x ∈ − thỏa mãn ñiều kiện 3 3 31 2 ... 0nx x x+ + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 ... nx x x+ + + . 112. [ Gabriel Dospinescu, Călin Popa ] Cho n số thực 1 2, ,..., , 2na a a n≥ thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1na a a = . Chứng minh rằng 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 14 ( )2 2 21 2 1 2 2 ... 1 ... 1 n n n n a a a n n a a a n n + + + − ≥ − + + + − − . 113. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 3a b c a b b c c a + + ≤ + + + . Gazeta Matematică 114. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 1 9 4 xy yz zx x y y z z x    + + + + ≥  + + +   . Iran, 1996 115. [ Cao Minh Quang ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ( ) 1 3 1 2 n n i i x = + ≤∏ . Chứng minh rằng 1 1 6 1 3 n i i n x= ≥ +∑ . 116. [ Suranyi ] Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( ) ( )( )1 1 11 2 1 2 1 2 1 21 ... ... ... ...n n n n n nn n n nn a a a na a a a a a a a a− − −− + + + + ≥ + + + + + + . Miklos Schweitzer Competition 117. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2, ,..., 0nx x x > thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1nx x x = . Chứng minh rằng ( )2 2 1 1 n i j i i j n i x x x n ≤ ≤ ≤ = − ≥ −∑ ∑ . A generazation of Tukervici’s Inequality 118. [ Vasile Cirtoaje ] Cho 1 2 1, ,..., 1na a a n . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 1 2 1 ... 1 1 n n i i a a a n a= − − ∑ . 119. [ Vasile Cirtoaje ] Cho [ )1 2, ,..., 0,1na a a ∈ thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 1 2 ... 3 3 na a aa n + + + = ≥ . Chứng minh rằng 1 2 2 2 2 2 1 2 ... 1 1 1 1 n n aa a na a a a a + + + ≥ − − − − . 120. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 15 ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 4a b c x y z a b c x y z+ + + + = + + + + = . Chứng minh rằng 1 36 abcxyz < . 121. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n> > thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1nx x x = . Tìm hằng số nk nhỏ nhất sao cho 1 2 1 1 1 ... 1 1 1 1n n n n n k x k x k x + + + ≤ − + + + . Mathlinks Contest 122. [ Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n> > thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 1 2 ... 1nx x x+ + + = . Tìm hằng số nk lớn nhất sao cho ( )( ) ( )1 2 1 21 1 ... 1 ...n n nx x x k x x x− − − ≥ . 123. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )3 3 3 1 1 1 3 2a b c b c a c a b + + ≥ + + + . IMO, 1995 124. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 5 5 5 5 5 5 1 ab bc ca a b ab b c bc c a ca + + ≤ + + + + + + . IMO Shortlist, 1996 125. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 18ab bc ca c a b a b c + + + + + ≥ + + . Hong Kong, 2000 126. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + + + + . 127. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 1 1 11 1 1 1a b c b c a        − + − + − + ≤            . IMO, 2000 128. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng ( )( ) (