7 cách vẽ đường phụ trong giải toán hình học

Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên BẢY CÁCH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Cách thứ nhất: Vẽ đoạn thẳng, tia, đường thẳng, đường tròn Ta thường nối hai điểm để tạo thành một đoạn thẳng, kẻ tia đối của một tia, vẽ thêm đường tròn, ... , chẳng hạn: - Khi có trung điểm của một cạnh trong tam giác, ta ta thường kẻ đường trung tuyến, đường trung bình. - Khi cần tạo ra góc ngoài của tam giác, ta thường kẻ tia đối của tia chứa một cạnh của tam giác. - Kẻ hai đường chéo của tứ giác. - Kẻ đường trung bình của hình thang khi có trung điểm của hai cạnh bên. - Kẻ đường kính của đường tròn khi đề bài có đề cập đến bán kính đi qua tiếp điểm. - Kẻ dây chung của hai đường tròn cắt nhau, kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc nhau. - Khi có một phần của đường tròn, có trường hợp cần vẽ cả đường tròn. Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn 4ABC,  = α. Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau tại I. Tính B̂IC. Hướng dẫn giải (h.1a) Nối I với A, với B, với C, với trung điểm D của AB, với trung điểm E của AC. A B C ED 21 1 1x I A B C D E a) b) Hình 1: 1 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên Kẻ tia Ix là tia đối của tia IA. 4IDA = 4IDB (c.g.c)⇒ Â1 = B̂1. Do đó B̂Ix = Â1 + B̂1 = 2Â1 (1) Chứng minh tương tự: ĈIx = 2Â2 (2) Từ (1), (2) suy ra B̂Ix+ ĈIx = 2Â1 + 2Â2 = 2 ( Â1 + Â2 ) = 2α. Vậy B̂IC = 2α Ví dụ 2. Cho 4ABC có BC = 3cm. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE lớn hơn 3cm. Hướng dẫn giải (h.1b) Nối DE, BE. Ta có Chu vi 4 ADE = AD +DE + AE = BD +DE + EC (1) Ta có BD +DE > BE (quan hệ giữa ba cạnh của 4BDE) và BE + EC > BC (quan hệ giữa ba cạnh của 4BEC) nên từ (1) suy ra chu vi 4AED > BE + EC > BC = 3cm. Ví dụ 3. Cho 4ABC có B̂ = 50◦, Ĉ = 20◦, AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Tia phân giác của ÂHC cắt AC ở ÂHC cắt AC ở D. Tính ĤBD. Hướng dẫn giải (h.2a) Kẻ tia đối Ax của tia AB. Ta có x A B H C D D E B A C H I K a) b) Hình 2: ĈAx = ÂBC + Ĉ (góc ngoài của 4ABC) = 50◦ + 20◦ = 70◦ ĈAH = 90◦ − Ĉ = 90◦ − 20◦ = 70◦ 2 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên nên AD là tia phân giác của ĤAx. 4ABH có AD, HD là các đường phân giác của các góc ngoài cắt nhau tại D nên BD là phân giác của ÂBH. Do đó ĤBD = ÂBC : 2 = 50◦ : 2 = 25◦. Ví dụ 4. Cho 4ABC có  = 120◦. Ở phía ngoài ta giác đó, vẽ các tam giác đều ABD, ACE. Gọi H, I, K theo thứ tự là trung điểm của DE, AB, AC. Chứng minh rằng 4HIK là tam giác đều. Hướng dẫn giải (h.2b) Ta có B̂AC + ĈAE = 120◦ + 60◦ = 180◦ nên B, A, E thẳng hàng. Tương tự D, A, C thẳng hàng. Vẽ đoạn thẳng EK. 4ACE đều có EK là đường trung tuyến nên là đường cao. 4DKE vuông tại K có KH là đường trung tuyến nên KH = 1 2 DE (1) Tương tự, vẽ đoạn thẳng DI, ta được IH = 1 2 DE (2) IK là đường trung bình của 4ABC nên IK = 1 2 BC (3) 4ABC = 4ADE (c.g.c)⇒ BC = DE (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra KH = IH = IK nên 4HIK là tam giác đều. Ví dụ 5. Cho 4ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E. Gọi M là trung điểm của BE. Tính ÂHM . Hướng dẫn giải (h.3a) Vẽ đoạn thẳng DM . Các tam giác vuông ABE, BDE có AM, DM là hai đường A A B B C C M MH H OE D a) b) K Hình 3: trung tuyến ứng với cạnh huyền BE nên AM = DM ( = 1 2 BE ) . 4AHM = 4DHM (c.c.c)⇒ ÂHM = D̂HM = 90◦ : 2 = 45◦. 3 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên Ví dụ 6. Cho 4ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB 6= AC, trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, tia MH cắt đường tròn (O) ở K. Chứng minh rằng AK⊥KH. Hướng dẫn giải (h.3b) Kẻ đường kính AF . Ta có FB⊥AB và CH⊥AB nên FB//CH. Tương tự FC//BH. Suy ra BHCF là hình bình hành. Ta lại có M là trung điểm của BC nên M là trung điểm FH. Do đó ba điểm F, M, H thẳng hàng. 4AKF nối tiếp đường tròn đường kính AF nên ÂKF = 90◦. Vậy AK⊥KH. Ví dụ 7. Cho đường tròn (O; R), hai dây AB và CD vuông góc với nhau tại điểm I nằm trong đường tròn (C thuộc cung nhỏ AB) . Chứng minh rằng IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = 4R2. Hướng dẫn giải (h.4a) Điều phải chứng minh IA2+IB2+IC2+ID2 = (2R)2 gợi ý cho ta vẽ đường kính, C A A B B CO O E D I D E 60◦ a) b) m Hình 4: chẳng hạn kẻ đường kính DE. Vẽ đoạn thẳng EC, ta có EC⊥CD, mà AB⊥CD nên EC//AB. Suy ra _ AC= _ BE (hai cung chắn giữa hai dây song song), do đó AC = BE. Vẽ các đoạn thẳng AC, BD. Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông IAC, IBD ta có IA2 + IC2 = AC2 IB2 + ID2 = BD2 Vẽ đoạn thẳng BE. Ta có IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = AC2 +BD2 = BE2 +BD2 = DE2 = (2R)2 = 4R2. 4 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên Ví dụ 8. Cho 4ABC nhọn  = 60◦. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, vẽ nửa đường tròn (O) đường kính BC, nó cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng 4DOE là tam giác đều. Hướng dẫn giải (h.4b) Vẽ thêm cung nửa đường tròn BmC. Theo tính chất góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn, ta có  = sđ _ BmC − sđ _ DE 2 hay 60◦ = 180◦ − sđ _ DE 2 . Suy ra sđ _ DE = 60◦, tức là D̂OE = 60◦. 4DOE cân có một góc bằng 60◦ nên là tam giác đều. Ví dụ 9. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) nối tiếp đường tròn (O; R) có AD = BC = R, tâm O nằm trong hình thang. Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm của OA, OB, CD. Chứng minh 4MIN là tam giác đều. Hướng dẫn giải (h.5) Vẽ các đoạn thẳng OI, OC, OD. 4COD có OI là đường trung tuyến nên A B CD I M N O A B CD H E K a) b) Hình 5: ÎOD = ÎOC (1) Các tam giác OAD, OBC đều nên ÂOD = B̂OC = 60◦ (2) Từ (1), (2) suy ra M̂OI = N̂OI 4MOI = 4NOI (c.g.c)⇒MI = NI. Vẽ đoạn thẳng DM . 4AOD có DM là đường trung tuyến nên DM⊥OA và ÔDM = 1 2 ÔDA = 30◦. Tứ giá OMDI có ÔMD + ÔID = 90◦ + 90◦ = 180◦ nên là tứ giác nội tiếp, suy ra ÔIM = ÔDM = 30◦. Vẽ đoạn thẳng CN . Tương tự ta có ÔIN = 30◦. 4MIN có MI = NI và M̂IN = 30◦ + 30◦ = 60◦ nên là tam giác đều. 5 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên Cách thứ hai: Vẽ giao điểm của hai đường Hãy chú ý đến vẽ giao điểm của hai đường thẳng nếu hình vẽ tạo ra các tam giác, tứ giác liên quan đến các quan hệ nêu trong đề bài; vẽ giao điểm của đường thẳng và đường tròn nếu hình vẽ tạo ra các cung có liên quan đến các dữ kiện trong đề bài. Vẽ giao điểm của hai đường thẳng nếu hình vẽ tạo ra những hình mới có lợi trong chứng minh (tạo ra những tam giác đặc biệt, những tam giác bằng nhau, những tam giác đồng dạng, những cung bằng nhau hay bù nhau, ...). Ví dụ 10. Cho 4ABC vuông tại A, tia phân giác của B̂ cắt AC ở D. Đường vuông góc với DB tại D cắt BC tại E. Kẻ EH⊥AC. Chứng minh rằng AD = DH. Hướng dẫn giải (h.5b) Gọi K là giao điểm của BA và DE. 4BDK = 4BDE (c.g.c)⇒ DK = DE. 4ADK = 4HDE (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ AD = DH. Cách khác: Có thể kẻ DG⊥BC rồi dùng đoạn thẳng DG làm trung gian để chứng minh AD = DH. Cách giải này dùng đến kiến thức về trường hợp bằng nhau cạnh huyền - cạnh góc vuông. Ví dụ 11. Cho hình vuông ABCD, điểmM thuộc đường chéo AC. Kẻ ME⊥AD, MF⊥CD. Chứng minh rằng BM⊥EF . Hướng dẫn giải (h.6a) Kéo dài BM cắt EF tại H. Để chứng minh MH⊥EF , ta sẽ chứng minh A B M KE D H F C 1 1 1 2 A B D C 1 1 K M H F G a) b) Hình 6: M̂1 + F̂1 = 90 ◦. Để tạo ra góc phụ với M̂1, ta kéo dài EM cắt BC ở K. Ta có 6 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên M̂1 + M̂2 = 90 ◦ nên cần chứng minh F̂1 = M̂2. Xét các tam giác vuông EMF và BKM có{ ME =MK (cùng bằng AE) MF =MK (M thuộc tia phân giác của Ĉ) Do đó 4EMF = 4BKM (c.g.c)⇒ F̂1 = M̂2. Ta lại có M̂1 + M̂2 = 90◦ nên M̂1 + F̂1 = 90◦. Vậy MH⊥EF , tức là BM⊥EF . Ví dụ 12. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 6cm. Trên tia đối của tia CD lấy các điểm F và G sao cho CF = 3cm, CG = 12cm. Gọi M là giao điểm của BF và AG. Chứng minh rằng ÂMC = 90◦. Hướng dẫn giải (h.6b) Gọi K là giao điểm của AM và BC. Ta đã có ÂBC = 90◦ nên để chứng minh ÂMC = 90◦ cần chứng minh Â1 = Ĉ1. Gọi H là giao điểm của CM và AB, ta sẽ chứng minh 4ABK = 4CBH. Ta đã có ÂBK = ĈBH = 90◦, AB = CB, cần chứng minh BK = BH. Ta sẽ tính BK và BH. Áp dụng định lý Ta-lét với AB//CG ta có BK KC = BA CG = 6 12 = 1 2 ⇒ BK BK +KC = 1 1 + 2 ⇒ BK 6 = 1 3 ⇒ BK = 2cm Áp dụng định lý Ta-lét với AH//CG ta có BH CF = BM MF = BA CF = 6 9 = 2 3 ⇒ BH 3 = 2 3 ⇒ BH = 2cm Suy ra BK = BH, đến đây ta có 4ABK = 4CBH (c.g.c)⇒ ÂKB = ĈHB mà ÂKB = ĈKM (đối đỉnh) . Do đó ĈKM + K̂CM = B̂AK + B̂KA = 90◦ hay ÂMC = 90◦. Ví dụ 13. Cho 4ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Các tia phân giác của B̂ và Ĉ cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng B̂IM = 90◦. Hướng dẫn giải (h.7a) Ta có B̂1 = B̂2 nên để chứng minh B̂IM = 90◦ (tức là B̂IM = Â), ta chứng minh M̂2 = D̂2, trong đó D là giao điểm của BI và AC. Ta sẽ chứng minh 4ICM = 4ICD, muốn vậy cần chứng minh MC = DC. Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có BC2 = AB2 +AC2 = 62 + 82 = 100 = 102 7 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên A A B BC C D E D I M 2 2 2 1 1 1 a) b) Hình 7: nên BC = 10cm, suy ra BM =MC = 5cm. Theo tính chất đường phân giác ta có AD DC = AB BC = 6 10 = 3 5 ⇒ AD +DC DC = 3 + 5 5 ⇒ 8 DC = 8 5 ⇒ DC = 5cm Do đó MC = DC, từ đó ta chứng minh được B̂IM = 90◦. Ví dụ 14. Tứ giác ABCD có  = 120◦, B̂ = D̂ = 90◦, AB = 2, 5cm, AD = 4cm. Tính độ dài CD. Hướng dẫn giải (h.7b) Gọi E là giao điểm của DA và CB. Ta có Ê = B̂AD − 90◦ = 120◦ − 90◦ = 30◦. Ta lần lượt tính được AE = 5cm, DE = 9cm, CD = DE tan 30◦ = 9 · 1√ 3 = 3 √ 3 (cm). Ví dụ 15. Cho 4ABC (các B̂, Ĉ nhọn) nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Chứng minh rằng B̂AH = ÔAC. Hướng dẫn giải (h.8a) Kéo dài AH và AO cắt đường tròn (O) theo thứ tự ở D và K. Ta có BC⊥AD, DK⊥AD nên BC//DK, suy ra _ BD= _ CK (hai cung chắn giữa hai dây song song). Do đó B̂AD = K̂AC (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau), tức là B̂AH = ÔAC. Lưu ý. Trong trường hợp B̂ hoặc Ĉ là góc tù, bài toán vẫn đúng. Trong trường hợp Ĉ = 90◦, cả hai góc B̂AH và ÔAC đều là góc Â. Trong trường hợp B̂ = 90◦, cả hai góc B̂AH và ÔAC đều là "góc không". Ví dụ 16. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên đường vuông góc với AB tại điểm O, lấy điểm C nằm trong nửa đường tròn. Gọi D là giao điểm thứ 8 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên B 1 1 A B H D C K O H A C O FDE 11 a) b) Hình 8: hai của AC với nửa đường tròn. Lấy điểm E thuộc cung AD. Vẽ đường tròn (C; CA) và vẽ dây BH của đường tròn đó sao cho BH đi qua E. Chứng minh rằng DE⊥AH. Hướng dẫn giải (h.8b) Cần chứng minh Â1+ ÂDE = 90◦. Ta đã có B̂1 = ÂDE (hai góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung AE), do đó cần chứng minh Â1 + B̂1 = 90◦. Các góc Â1, B̂1 là những góc nội tiếp của đường tròn (C). Ta kéo dài AD cắt đường tròn (C) ở F để có Â1 chắn cung HF . Ta có B̂1 + Â1 = sđ _ AH + sđ _ HF 2 = 180◦ 2 = 90◦ Suy ra ÂDE + Â1 = 90◦. Vậy DE⊥AH. Cách thứ ba: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng, vẽ đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước Trong tam giác, khi có trung điểm của một cạnh, ta thường vẽ thêm trung điểm của một cạnh khác. Trong hình thang, khi có trung điểm của một cạnh bên, ta thường vẽ thêm trung điểm của cạnh bên thứ hai. Việc vẽ thêm một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước nhằm tạo ra: - Một tam giác mới bằng một tam giác trong bài toán; - Một tam giác cân thuận lợi trong chứng minh; 9 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên - Tổng (hiệu) của hai đoạn thẳng. Ví dụ 17. Cho 4ABC có AB < AC. Tia phân giác của  cắt cạnh BC ở D. Chứng minh rằng DC > DB. Hướng dẫn giải (h.9a) Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Do AB < AC nên E nằm giữa 2 A AB B C C E E D M 1 1 2 a) b) 1 2 Hình 9: A và C. 4ADB = 4ADE (c.g.c) nên DB = DE và B̂1 = Ê1. Suy ra B̂2 = Ê2. Ta lại có B̂2 > Ĉ (góc ngoài của 4ABC) nên Ê2 > Ĉ. 4DEC có Ê2 > Ĉ nên DC > DE. Theo chứng minh trên DB = DE. Do đó DC > DB. Ví dụ 18. Cho 4ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của AC. So sánh ÂBM và M̂BC. Hướng dẫn giải (h.9b) Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME =MB. 4AMB = 4CME (c.g.c) suy ra AB = CE và B̂1 = Ê1 (1) Do BC > AB nên BC > CE. 4BCE có BC > CE nên Ê > B̂2 (2) Từ (1), (2) suy ra B̂1 > B̂2, tức là ÂBM > M̂BC. Ví dụ 19. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại O, đoạn thẳng MN (nối trung điểm M của AD và trung điểm N của BC) cắt AC, BD lần lượt tại hai điểm H, G (không trùng với O). Chứng minh rằng OG = OH. Hướng dẫn giải (h.10a) Gọi I là trung điểm của AB. IM là đường trung bình của 4ABD nên IM//BD và IM = BD 2 . 10 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên A B CD I N M O G H 11 A D B M C E a) b) Hình 10: IN là đường trung bình của 4ABC nên IN//AC và IN = AC 2 . Do AC = BD nên IN = IM , 4IMN cân và M̂1 = N̂1 (1) Do IM//BD nên M̂1 = ÔGH (đồng vị) (2) Do IN//AC nên N̂1 = ÔHG (đồng vị) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra ÔGH = ÔHG, do đó OG = OH. Ví dụ 20. Cho 4ABC có AB < AC, B̂AC = α. Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho CD = AB + AC 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính M̂DC theo α. Hướng dẫn giải (h.10b) Để làm xuất hiện tổng AB +AC, ta lấy điểm E trên tia đối của tia AC sao cho AE = AB, khi đó CE = AB + AC, do đó D là trung điểm của CE. 4ABE cân tại A nên Ê = ÂBE = B̂AC 2 = α 2 . MD là đường trung bình của 4EBC nên MD//BE ⇒ M̂DC = Ê (đồng vị). Do đó M̂DC = α 2 . Ví dụ 21. Cho 4ABC vuông tại A, AC = 6cm, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của HC. Đường vuông góc với AI tại I và đường vuông góc với AB tại B cắt nhau tại K. Tính BK. Hướng dẫn giải (h.11a) Gọi N là trung điểm của AH. IN là đường trung bình của 4AHC nên IN//AC. Ta lại có AB⊥AC nên IN⊥AB. 4ABI có AH⊥BI, IN⊥AB nên N là trực tâm, suy ra BN⊥AI. Ta có BN⊥AI, KI⊥AI nên BN//KI. Ta có IN⊥AB, KB⊥AB nên IN//KB. Tứ giác BNIK là hình bình hành, suy ra BK = IN = AC 2 = 6 2 = 3 (cm). 11 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên A B CIH K N A B C N M 5 6 6, 5 6, 5 a) b) Hình 11: Ví dụ 22. Tính diện tích 4ABC, biết AB = 5cm, AC = 13cm, đường trung tuyến AM = 6cm. Hướng dẫn giải (h.11b) Gọi N là trung điểm của AC, ta có AN = AC 2 = 1 2 · 13 = 6, 5(cm). Do MN là đường trung bình của 4ABC nên MN = AB 2 = 5 2 = 2, 5(cm). 4AMN có AM2 +MN2 = 62 + 2, 52 = 42, 25 = 6, 52 = AN2 nên ÂMN = 90◦ (định lý đảo Py-ta-go). Ta có SAMN = 1 2 AM ·MN = 1 2 · 6 · 2, 5 = 7, 5(cm2); SAMC = 2SAMN = 2 · 7, 5 = 15 ( cm2 ) ; SAMC = 2SAMN = 2 · 15 = 30 ( cm2 ) . Ví dụ 23. Cho 4ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là điểm chính giữa của cung BAC. Kẻ IH⊥AC. Chứng minh rằng CH = HA+ AB. A B C I H E O A B C EI D K a) b) Hình 12: Tìm cách giải Để chứng minh CH = HA+AB, ta đặt trên CH một đoạn bằng AB, rồi chứng 12 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên minh đoạn còn lại bằng HA. Hướng dẫn giải (h.12a) Trên CA lấy điểm E sao cho CE = AB, ta sẽ chứng minh HE = HA. Muốn vậy ta chứng minh IE = IA. Xét 4ICE và 4IBA có IC = IB (do _ IC= _ IB) ÎCE = ÎBA (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) CE = BA (cách lấy điểm E) Do đó 4ICE = 4IBA (c.g.c)⇒ IE = IA. Đường xiên IE = IA nên hình chiếu HE = HA. Do đó HE + CE = HA+ AB, hay CH = HA+ AB. Ví dụ 24. Cho 4ABC đều. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = 1 3 AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1 3 AC. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng ÂKD = 90◦. Hướng dẫn giải (h.12b) Ta sẽ chứng minh tứ giác AEKD nội tiếp và ÂED = 90◦. Vẽ đoạn thẳng ED. Gọi I là trung điểm của AD. 4AIE có AI = AE ( = 1 3 cạnh 4ABC đều ) và ÎAE = 60◦ nên là tam giác đều, suy ra EI = IA = ID. 4AED có EI = IA = ID nên ÂED = 90◦ (1) 4AEB = 4BDC (c.g.c)⇒ ÂEB = B̂DC, do đó AEKD là tứ giác nội tiếp (2) Từ (1), (2) suy ra ÂKD = ÂED = 90◦ (các góc nội tiếp cùng chắn một cung của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEKD). Ví dụ 25. Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Gọi I là trung điểm của AC, gọi D là giao điểm thứ hai của BI với đường tròn, gọi E là giao điểm thứ hai của AD với đường tròn. Chứng minh rằng BE//AC. Hướng dẫn giải (h.13) Khai thác yếu tố IA = IC, ta vẽ điểm K sao cho I là trung điểm của DK. Khi đó AKCD là hình bình hành, suy ra Â1 = Ĉ1. Ta lại có Ĉ1 = B̂1 (góc tạo bởi tiếp tuyến với dây và góc nội tiếp cùng chắn một cung) nên Â1 = B̂1. Suy ra ABCK là tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc). Tứ giác ABCK nội tiếp nên B̂2 = Ĉ2 (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung). 13 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên A B E O C D I K 1 1 1 2 2 Hình 13: Ta lại có B̂2 = Ê (góc tạo bởi tiếp tuyến với dây và góc nội tiếp cùng chắn một cung), Ĉ2 = Â2 (so le trong, AD//CK) nên Ê = Â2. Hai góc so le trong bằng nhau Ê = Â2 nên BE//AC. Cách thứ tư: Vẽ tia phân giác của góc, vẽ góc bằng góc cho trước Ta thường vẽ tia phân giác của một góc nếu góc đó gấp đôi một góc khác trong bài toán. Việc vẽ một góc bằng một góc cho trước nhằm tạo ra một tam giác cân, một hình thang cân, hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng ... Ví dụ 26. a) Chứng minh định lý: Nếu một tam giác vuông có một góc bằng 30◦ thì cạnh đối diện với góc đó bằng nửa cạnh huyền. b) Cho 4ABC vuông tại A có B̂ = 30◦. Lấy điểm D thuộc cạnhBC sao cho B̂AD = 15◦. Chứng minh rằng tổng AC + CD bằng nửa chu vi 4ABC. Hướng dẫn giải (h.14) a) Xét 4ABC vuông tại A có B̂ = 30◦ (h.14a). Vẽ điểm D trên cạnh BC sao cho B̂AD = 30◦. 4ABD có B̂ = B̂AD nên là tam giác cân do đó AD = BD (1) 4ACD có Ĉ = ĈAD = 60◦ nên là tam giác đều, suy ra AD == AC = CD (2) Từ (1), (2) suy ra AC = BD = CD tức là AC = 1 2 BC. b) (h.14b) Kẻ AH⊥BC. Ta có ĈAH = B̂ = 30◦ (cùng phụ với B̂AH); D̂AH = 90◦ − 15◦ − 30◦ = 45◦ nên 4DAH vuông cân. Đặt AH = b thì DH = b. 4ABH vuông có B̂ = 30◦ nên AH = 1 2 AB (theo câu a), do đó AB = 2b. 14 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên C B B A A C D D H b b 2b 4a a 2a a) b) Hình 14: Đặt CH = a, theo câu a ta có AC = 2CH = 2a, BC = 2AC = 4a. Chu vi 4ABC bằng AC + AB + BC = 2a+ 2b+ 4a = 6a+ 2b (1) AC + CD = 2a+ a+ b = 3a+ b (2) Từ (1), (2) suy ra AC + CD bằng nửa chu vi 4ABC. Ví dụ 27. Cho 4ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE. Gọi K là một điểm thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng KE +KD ≥ AB. Hướng dẫn giải (h.15a) Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ điểm I sao cho ÊAI = D̂AK D A B K H C IE 1 I ED CB A 2 3 4 a) b) K Hình 15: và AI = AK, khi đó ÊAI + ÊAK = 90◦ và 4IAK vuông cân tại A. 4EAI = 4DAK (c.g.c)⇒ EI = KD, do đó KE +KD = KE + EI. Ta lại có KE + EI ≥ KI (bất đẳng thức tam giác), KI = KA √ 2 (KI là cạnh huyền của tam giác vuông cân) KA ≥ AH (AH là đường cao của 4ABC) 15 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên Từ các kết quả trên suy ra KE +KD = KE + EI ≥ KI = KA √ 2 ≥ AH √ 2 = AB. Vậy KE +KD ≥ AB. Xảy ra đẳng thức KE +KD = AB khi K ≡ H và D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Ví dụ 28. Cho 4ABC vuông tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho ÂCD = 1 3 ÂCB. Lấy điểm E thuộc cạnh AC sao cho ÂBE = 1 3 ÂBC. Gọi I là giao điểm của BE và CD. Tính số đo các góc của 4DIE. Hướng dẫn giải (h.15b) ÎBC + ÎCB = 2 3 ( B̂ + Ĉ ) = 2 3 · 90◦ = 60◦ nên B̂IC = 120◦, do đó D̂IE = 120◦. Gọi K là giao điểm các đường phân giác của 4IBC. Do D̂IE = B̂IC = 120◦ nên Î1 = Î2 = Î3 = Î4 = 60◦. 4BID = 4BIK (g.c.g)⇒ ID = IK. Chứng minh tương tự IE = IK. 4DIE có IE = IK (= IK) và D̂IE = 120◦ nên ÎDE = ÎED = 30◦. Ví dụ 29. Cho tứ giác AKCD có  = B̂, D̂ > Ĉ. Chứng minh rằng BC > AD. Hướng dẫn giải (h.16a) Từ  = B̂ và D̂ > Ĉ ⇒ Â+ D̂ > B̂ + Ĉ. A B D C E α A B D CK a) b) x Hình 16: Ta lại có Â+ B̂ + Ĉ + D̂ = 360◦ nên Â+ D̂ > 180◦. Gọi α là góc bù với Â, ta có Â+ α = 180◦⇒ D̂ > α. Trên tia BC lấy điểm E sao cho ÂDE = α. Do ÂDE BE (1) Do  + ÂDE = 180◦ nên AB//DE. Hình thang ABED có  = B̂ nên là hình thang cân, suy ra AD = BE (2) Từ (1), (2) suy ra BC > AD. 16 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên Ví dụ 30. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có  < B̂. Chứng minh rằng AC > BD. Hướng dẫn giải (h.16b) Trên tia DC lấy điểm K sao cho ÂBK = B̂AD. Do B̂AD < ÂBC nên ÂBK < ÂBC, suy ra K nằm giữa D và C. Hình thang ABKD có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân, suy ra AK = BD (1) Ta sẽ chứng minh AC > AK bằng cách xét 4AKC và so sánh các ÂKC và ACK. Gọi Dx là tia đối của tia DC. Ta có ÂKC = B̂Dx (dễ chứng minh) B̂Dx > B̂CK > ÂCK Suy ra ÂKC > ÂCK, do đó AC > AK (2) Từ (1), (2) suy ra AC > BD. Ví dụ 31. Cho hai đường tròn (O) và (O′) tiếp xúc ngoài tại A. Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại B và cắt đường tròn (O′) tại C và D (C nằm giữa B và D). Tia DA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E. Chứng minh rằng AB là tia phân giác của ĈAE. Hướng dẫn giải (h.17a) Gọi Bx là tia đối của tia BC, ta có ÊBx = ÊAB (góc tạo bởi tiếp tuyến với A E B C D F O O′ 1 1 2 x A B C O E F G I K D H 1 a) b) Hình 17: dây và góc nội tiếp cùng chắn một cung) (1) Ta sẽ chứng minh B̂AC = ÊBx. Gọi F là giao điểm thứ hai của tia BA và đường tròn (O′). Ta chứng minh được 17 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên BE//DF (kẻ tiếp tuyến chung tại A, ta có Ê = Â1 = Â2 = D̂1) nên ÊBx = F̂DC (đồng vị). Ta lại có F̂DC = B̂AC (cùng bù với ĈAF ). Suy ra ÊBx = B̂AC (2) Từ (1), (2) suy ra ÊAB = B̂AC. Do đó AB là tia phân giác của ĈAE. Ví dụ 32. Cho đường tròn (O), các đường kính AB và CD. Gọi I là một điểm nằm trong ÂOD và nằm trong đường tròn (O). Vẽ các dây BE và CF đi qua I. Gọi K là giao điểm của OI và DE. Chứng minh rằng ÎEK = ÎFK. Hướng dẫn giải (h.17b) Để chứng minh Ê = F̂ , ta sẽ chuyển F̂ về vị trí đối xứng với với nó qua OK. Lấy điểm H trên đường tròn (O) sao cho ÔIH = ÔIC. Kẻ dây HG đi qua I, ta có H đối xứng với C qua OK, G đối xứng với F qua OK, suy ra ÎGK = ÎFK(1) Ta sẽ chứng minh ÎGK = ÎEK bằng cách chứng minh IGEK là tứ giác nội tiếp. Ta có CH⊥KO và CH⊥DH nên KO//DH ⇒ ĜIK = Ĥ1 (2) GEDH là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên Ĥ1 bù ĜEK (3) Từ (2), (3) suy ra ĜIK bù ĜEK, do đó IGEK là tứ giác nội tiếp, suy ra ÎGK = ÎEK (4) Từ (1), (4) suy ra ÎEK = ÎFK. Cách thứ năm: Vẽ đường thẳng vuông góc Vẽ đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước là một cách vẽ đường phụ thường dùng. Cách vẽ đó tạo ra tam giác vuông, từ đó khai thác được các tính chất của tam giác giác vuông, hoặc làm xuất hiện các tam giác vuông bằng nhau, các tam giác vuông đồng dạng. Trong trường hợp có điểm thuộc tia phân giác của một góc ta thường vẽ đường thẳng vuông góc để sử dụng tính chất của tia phân giác. Trong trường hợp có các góc 30◦, 45◦, 60◦, 120◦, 135◦, cách vẽ đường thẳng vuông góc tạo ra những tam giác vuông đặc biệt như "nửa tam giác đều" hay tam giác vuông cân. Trong các bài toán về đường tròn, ta cũng thường kẻ đường vuông góc từ tâm đến dây của đường tròn. Khi có hai đường tròn tiếp xúc nhau, ta thường kẻ tiếp tuyến chung tại tiếp điểm của hai đường tròn. Ví dụ 33. Cho góc vuông xOy và điểm A thuộc tia phân giác của góc vuông đó. Lấy điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho B̂AC = 90◦. Chứng minh rằng AB = AC 18 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên Hướng dẫn giải (h.18a) Giả sử OB ≥ OC. Kẻ AH⊥Ox, AK⊥Oy y K C O H B x A 1 2 21 A B CD K E H 1 2 a) b) Hình 18: 4AOH = 4AOK (cạnh huyền - góc nhọn) nên AH = AK. Ta lại có Â1 = Â2 (cùng phụ với ĈAH) nên4AHB = ÂKC (c.g.c)⇒ AB = AC. Ví dụ 34. Cho 4ABC (AB < AC),  = α, tia phân giác của  cắt BC ở D. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho ĈDE = α. Chứng minh rằng DB = DE. Hướng dẫn giải (h.18b) Kẻ DH⊥AB, DK⊥AC. 4ADH = 4ADK (cạnh huyền - góc nhọn) nên DH = DK. Ta có ĈDE + B̂DE = 180◦ mà ĈDE = B̂AC nên B̂AC + B̂DE = 180◦ (1) Ta có Â1 + ÂDH = 90◦ và Â2 + ÂDK = 90◦ nên B̂AC + ĤDK = 180◦ (2) Từ (1), (2) suy ra B̂DE = ĤDK, do đó D̂1 = D̂2. 4BDH = 4EDK (g.c.g)⇒ BD = DE. Ví dụ 35. Cho4ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Qua B kẻ BH⊥CD (H ∈ CD), BH cắt CA tại E. Chứng minh rằng HA là tia phân giác của ĈHE. Hướng dẫn giải (h.19a) Kẻ AI⊥BE, AK⊥HC. Các tam giác ABI và ACK có cạnh huyền AB = AC. góc nhọn B̂1 = Ĉ1 (cùng phụ với Ê). Do đó 4ABI = 4ACK ⇒ AI = AK. Điểm A cách đều hai cạnh của ĈHE nên HA là phân giác của ĈHE. Ví dụ 36. Cho hình vuông ABCD. Gọi E, G, F theo thứ tự là các điểm thuộc các cạnh AB, AD, CD, kẻ đường thẳng vuông với EF , cắt đường thẳng BC ở H. Chứng minh rằng EI = GH. 19 Trần Văn Lợi Trường THCS Định Liên B H I E A K D C 1 1 1 1 BA CD E K HM G F a) b) Hình 19: Hướng dẫn giải (h.19b) Để tao ra hai tam giác vuông bằng nhau có cạnh huyền là EF và GH, ta kẻ EK⊥CD, HM⊥AD. Ta có Ê1 = Ĥ1 (cùng phụ với hai góc bằng nhau), EK = MH (cùng bằng cạnh của hình vuông). Do đó 4EKF = 4HMG (g.c.g)⇒ EF = GH. Ví dụ 37. Cho 4ABC có B̂ = 60◦, Ĉ < 90◦, BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng diện tích hình chữ nhật có kích thước a và c bằng a2 + c2 − b2. Hướng dẫn giải (h.20a) Kẻ đường ca