7 hướng biến đổi cho một bài toán tính tích phân

7 HƯỚNG BIẾN ĐỔI CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN Nguyễn Hữu Thanh – Trường THPT Thuận Thành số I Email: thanhthuanthanh1@gmail.com gửi cho www.mathvn.com Một trong những phương pháp học toán là sau mỗi bài toán chúng ta cần tìm ra những “điểm nhấn “ để có thể hiểu vấn đề một cách “ thông thái “ hơn. Vậy để làm được điều đó, người học toán cần điều gì? Suy nghĩ thật kỹ, thật thấu đáo về vấn đề được đặt ra. Tìm mối liên hệ giữa các kiến thức xung quanh vấn đề đó. Tự đặt câu hỏi xung quanh một vấn đề nhỏ để tìm cách tổng quát thích hợp. Chúc các bạn thành công ! ! Xin phân tích qua một bài toán nhỏ sau: Bài toán : Tính tích phân I = Nhận xét 1: Quan sát thấy được hàm số dưới dấu tích phân có dạng phân thức. Vậy kiến thức sẽ sử dụng cho hàm phân thức là gì? Chắc chắn chúng ta nghĩ đến nguyên hàm Vậy để sử dụng được công thức này chúng ta cần phải tìm mọi cách biến đổi về dạng đó ! Nhận xét 2: Ở đây chỉ xuất hiện 2 hàm số lượng giác là sinx và cosx . Vậy có cách nào biểu diễn thông qua một yếu tố không ? Ta cùng tìm kiếm kiến thức để giải quyết. - Hướng 1: Chia cả tử và mẫu cho cosx ta được từ đó đặt t= tgx Þ I = - Hướng 2: Đặt thì Với hướng trên ta có thể tính được tích phân có dạng tổng quát sau: Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ ra đề bài và giải nhé! Nhận xét 3: Xuất phát từ quan hệ của sinx và cosx . Điều gì đặc biệt trong cận của tích phân ? - Hướng 3: Đặt x= ( đây là cách đặt ẩn phụ mà không làm thay đổi cận của tích phân đã có dịp trao đổi cùng các bạn). Khi đó : Þ Thật đáng kinh ngạc !!!!! Với hướng trên ta có thể tính được tích phân tổng quát sau: Các bạn hãy làm bài toán trên và tự mình nghĩ ra đề bài và giải nhé! Nhận xét 4: Nếu dùng biến đổi lượng giác thì như thế nào ? - Hướng 4: Biến đổi f(x) = và ta tính được bình thường. - Hướng 5: Biến đổi f(x) = và ta tính với các tích phân bình thường của hàm lượng giác. Nhận xét 6: Vì tích phân có dạng hàm phân thức nên nếu ta biến đổi tử thức để tìm cách viết được qua mẫu số và đạo hàm của mẫu thì hay quá ! - Hướng 6: Biến đổi Nhận xét 7: Quan sát ticsh phân cần tìm ta thấy sự sai khác của tử số và mẫu số, vậy nếu ta tìm được một tích phân khác có “họ hàng” với nó thì sao nhỉ ? Trả lời câu hỏi đó ta đi xét tích phân ( gọi là tích phân liên kết của tích phân I) . Từ hai tích phân trên ta đi giải hệ : sẽ tìm được I .