79 bài tập hình học phẳng tiêu biểu

Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 1 - 79 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG TIÊU BIỂU - Tài liệu để ôn thi đại học và cao đẳng - Tài liệu chỉ dùng cho HS học theo chương trình chuẩn - Tài liệu gồm 79 bài tập được chọn lọc kĩ và giải chi tiết BT1. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm ( ) ( ) ( ) ( )1;0 , 2;4 , 1;4 , 3;5A B C D− − và đường thẳng : 3 5 0d x y− − = . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác , MAB MCD có diện tích bằng nhau. Giải M thuộc d thì ( );3 5M a a − Mặt khác : ( )3;4 5 1 : 4 3 4 0 3 4 AB AB x yAB x y = − ⇒ = − = ⇔ + − = −


 ( )4;1 17 1 4 : 4 17 0 4 1 CD CD x yCD x y = ⇒ = + − = ⇔ − − =


 Tính : ( ) ( ) ( )1 24 3 3 5 4 4 3 5 1713 19 3 11, ,5 5 17 17 a a a aa a h M AB h + − − − − − − − = = = = = Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì : 1 2 1113 19 3 115.13 19 17. 3 111 1 . . 1213 19 11 32 2 5 17 8 a aa a a AB h CD h a a a  − = −− − =  = ⇔ = ⇔ ⇔  − = − = Vậy trên d có 2 điểm : ( )1 211 27; , 8;1912 12M M   −    BT2. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết ( ) ( )1;0 , 0;2A B và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng :d y x= . Tìm toạ độ đỉnh C Giải Nếu C nằm trên :d y x= thì ( )A a;a do đó suy ra ( )C 2a 1;2a− Ta có : ( ) 0 2, 2 2 d B d − = = . Theo giả thiết : ( ) ( ) ( )2 21 4. , 2 2 2 2 0 2 2 S AC d B d AC a a= = ⇒ = = − + − 2 2 1 3 28 8 8 4 2 2 1 0 1 3 2 a a a a a a  − = ⇔ = − + ⇔ − − = ⇔  + =  Vậy ta có 2 điểm C : 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 ; , ; 2 2 2 2 C C     − − + +         BT3. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC víi ( ) ( )1;1 , 2;5A B − và ®Ønh C n»m trªn www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 2 - ®−êng th¼ng 4 0x − = , vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng 2 3 6 0x y− + = . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Giải Tọa độ C có dạng : ( )C 4;a , ( ) ( ) 5 3;4 1 1 : 4 3 7 0 3 4 AB AB x yAB x y =  = − ⇒ − − = ⇔ + − = −


 Theo tính chất trọng tâm ; 1 2 4 1 3 3 1 5 6 3 33 A B C G G A B C GG x x x x x y y y a ayy + + − +  = = =   ⇔  + + + + +  = ==   Do G nằm trên 2 3 6 0x y− + = , cho nên : 62.1 3 6 0 2 3 a a +  ⇒ − + = ⇔ =    . Vậy ( )M 4;2 và ( ) ( )4.4 3.2 7 1 1 15, 3 . , 5.3 2 2 216 9 ABC d C AB S AB d C AB + − = = ⇒ = = = + (đvdt) BT4. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi (2; 1) , (1; 2)A B− − , träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng : 2 0d x y+ − = . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 27 2 . Giải. d M A B C Ta có : M là trung điểm của AB thì 3 1; 2 2 M  −    . Gọi ( )C a;b , theo tính chất trọng tam tam giác : 3 3 3 3 G G a x by + =  − =  Do G nằm trên d : ( )3 3 2 0 6 1 3 3 a b a b+ −+ − = ⇔ + = Ta có : ( ) ( ) ( ) 3 52 11;3 : 3 5 0 , 1 3 10 a bx yAB AB x y h C AB − − − − = ⇒ = ⇔ − − = ⇔ =


 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 3 - Từ giả thiết : ( ) 2 5 2 51 1 27. , 10. 2 2 2 210ABC a b a b S AB h C AB − − − − = = = = 2 5 27 2 32 2 5 27 2 5 27 2 22 a b a b a b a b a b − − = − =  ⇔ − − = ⇔ ⇔  − − = − − = −  Kết hợp với (1) ta có 2 hệ : ( )1 2 20 6 6 3 2 32 3 38 38 38 20 ; , 6;123 3 36 6 122 22 3 18 6 b a b a b a b a a C C a b a b ba b a a  = − + = + =       − = =      =⇔ ⇔ ⇔ ⇒ − −   + = + =       = − = − = −     = − BT5. Trong mặt phẳng Oxy cho ABC∆ có ( )A 2;1 . Đường cao qua đỉnh B có phương trình 3 7 0x y− − = . Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình 1 0x y+ + = . Xác định tọa độ B và C. Tính diện tích ABC∆ . Giải M B A C Đường thẳng AC qua ( )A 2;1 và vuông góc với đường cao kẻ qua B, nên có véc tơ chỉ phương ( ) ( ) ( )21; 3 : 1 3 x t n AC t R y t = + = − ⇒ ∈ = −  Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C : 2 1 3 1 0 x t y t x y = +  ⇒ = −  + + = Giải ta được : 2t = và ( )C 4; 5− . Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra ( )3 7;B a a+ . M là trung điểm của AB 3 9 1; 2 2 a aM + + ⇒     . Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C : ( ) 3 9 1 1 0 3 2 2 1; 2 a a a B + + + + = ⇔ = − ⇒ − www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 4 - Ta có : ( ) ( ) ( ) 1; 3 10 2 1 : 3 5 0 1 3 12 ; 10 AB AB x yAB x y h C AB = − − ⇒ = − − = ⇔ − − = =


 Vậy : ( )1 1 12. , 10. 6 2 2 10ABC S AB h C AB= = = (đvdt). BT6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết ( )5;2A . Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là – 6 0x y+ = và 2 – 3 0x y + = . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Giải x + y - 6 = 0 M N CB A Gọi ( )B a;b suy ra 5 2; 2 2 a bM + +     . M nằm trên trung tuyến nên : 2 14 0a b− + = (1). B, B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên ( ) ( ): x a tBC t R y b t = + ∈ = + . Từ đó suy ra tọa độ N : 6 2 3 6 2 6 0 6 2 a b t x a t a by b t x x y b ay − − = = +  − −  = + ⇒ =   + − = + − =  3 6 6 ; 2 2 a b b aN − − + − ⇔     . Cho nên ta có tọa độ ( )2 6;6 C a b a− − − Do C nằm trên đường trung tuyến 5 2 9 0a b− − = (2) Từ (1) và (2) : ( ) ( )2 14 0 37 37;88 , 20; 315 2 9 0 88 a b a B C a b b − + = =  ⇒ ⇔ ⇒ − −  − − = =  BT7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : 3 8 0x y∆ + + = , ' :3 4 10 0x y∆ − + = và điểm ( )2;1A − . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆ , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ ’. www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 5 - Giải Gọi tâm đường tròn là I, do I thuộc ( )2 3: 2 3 ; 2 2 x t I t t y t = − +∆ ⇒ − + − − = − − A thuộc đường tròn ( ) ( )2 23 3IA t t R⇒ = + + = (1) Đường tròn tiếp xúc với ( ) ( )3 2 3 4 2 10 13 12 ' 5 5 t t t R R − + − − − + + ∆ ⇒ = ⇔ = . (2) Từ (1) và (2) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 213 123 3 25 3 3 13 125 t t t t t t +  + + = ⇔ + + = +   BT8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn 2 2( ) : – 2 – 2 1 0,C x y x y+ + = 2 2( ') : 4 – 5 0C x y x+ + = cùng đi qua ( )1;0M . Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ')C C lần lượt tại A, B sao cho 2MA MB= . Giải * Cách 1. Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương ( ) 1; : x atu a b d y bt = + = ⇒  =  Đường tròn ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2: 1;1 , 1. : 2;0 , 3C I R C I R= − = , suy ra : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2: 1 1 1, : 2 9C x y C x y− + − = + + = Nếu d cắt ( )1C tại A : ( ) 22 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 22 0 1 ;2 t M ab b a b t bt Ab a b a bt a b = →  ⇒ + − = ⇔ ⇒ +  + +=   + Nếu d cắt ( )2C tại B : ( ) 22 2 2 2 2 2 2 2 2 0 6 66 0 1 ;6 t M a ab a b t at Ba a b a bt a b = →  ⇒ + + = ⇔ ⇒ − −  + += −   + Theo giả thiết : ( )2 22 4 *MA MB MA MB= ⇔ = . Ta có : 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 64ab b a ab a b a b a b a b         + = +       + + + +         . 2 2 2 2 2 2 2 2 6 : 6 6 04 364. 36 6 : 6 6 0 b a d x yb a b a b a d x ya b a b = − → + − = ⇔ = ⇔ = ⇔  = → − − =+ +  * Cách 2. - Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự 1 2 k = − . (Học sinh tự làm) BT9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm ( )1;0H , chân đường cao hạ từ đỉnh B là ( )0;2K , trung điểm cạnh AB là ( )3;1M . Giải www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 6 - H K M B A C Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC) qua ( )0;2K có véc tơ pháp tuyến ( ) ( ) ( )1; 2 : 2 2 0 2 4 0KH AC x y x y= − ⇒ − − = ⇔ − + =


 . B nằm trên (BH) qua ( )H 1;0 và có véc tơ chỉ phương ( ) ( )1; 2 1 ; 2KH B t t= − ⇒ + −


 . ( )M 3;1 là trung điểm của AB cho nên ( )A 5 t;2 2t− + . Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : ( )5 t 2 2 2t 4 0− − + + = , suy ra 1t = . Do đó ( ) ( )4;4 , 2; 2A B − Vì C thuộc (AC) suy ra ( )2 ;2C t t+ , ( ) ( )2 2;4 , 3;4BC t t HA= − + =





 . Theo tính chất đường cao kẻ từ A: ( ) ( ). 0 3 2 2 4 4 0 1HA BC t t t⇒ = ⇒ − + + = → = −





 . Vậy: ( )C 2;1− . (AB) qua ( )A 4;4 có véc tơ chỉ phương ( ) ( ) ( ) 4 42;6 1;3 : 1 3 x yBA u AB − −= = ⇒ =


   3 8 0x y⇔ − − = (BC) qua ( )2; 2B − có véc tơ pháp tuyến ( ) ( ) ( ) ( )3;4 : 3 2 4 2 0HA BC x y= ⇒ − + + =


 3 4 2 0x y⇔ + + = . BT10. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình ( ) 2 21 : 4 5 0C x y y+ − − = và ( ) 2 22 : 6 8 16 0.C x y x y+ − + + = Lập phương trình tiếp tuyến chung của ( )1C và ( )2 .C Giải Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 1 1 2 2 2 2 2 : 2 9 0;2 , 3, : 3 4 9 3; 4 , 3 C x y I R C x y I R + − = ⇒ = − + + = ⇒ − = Nhận xét : ( )1 2 19 4 13 3 3 6I I C= + = < + = ⇒ không cắt ( )2C Gọi : 0d ax by c+ + = ( 2 2 0a b+ ≠ ) là tiếp tuyến chung, thế thì : ( ) ( )1 1 2 2, ; ,d I d R d I d R= = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 3 4 3 4 3 2 3 4 2 2 3 4 3 4 2 b c b c a b ca b a b c a b a b a b a b c b c b c a b c a b c b c  + = + − ++ ⇔ ⇒ = − + + + =  + − + = + ⇔ + = − + ⇔  − + = − − www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 7 - 2 3 2 2 0 a b a b c = ⇔  − + = . Mặt khác từ (1) : ( ) ( )2 2 22 9b c a b+ = + ⇔ Trường hợp : 2a b= thay vào (1) : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 4 2 9 4 41 4 0. ' 4 41 45 2 3 5 4 b b cb b c b b b bc c c c c c b  − = + = + ⇔ − − = ∆ = + = ⇔  +  =  Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm : ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 5 2 3 5: 1 0 2 2 3 5 2 3 5 4 02 4d x y x y − − + + = ⇔ − + − + = . ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 5 2 3 5: 1 0 2 2 3 5 2 3 5 4 02 4d x y x y + + + + = ⇔ + + + + = . Trường hợp : 2 3 2 b a c − = , thay vào (1) : 2 2 2 2 2 32 2 3 2 b ab b a a b a b − + = ⇔ − = + + ( )2 2 2 2 0, 20 22 3 4 0 44 , 6 33 6 a b a cb c b a a b b ab a a a b a cb c  = = −= → = −  ⇔ − = + ⇔ − = ⇔ ⇒  = = − = → = −  Vậy có 2 đường thẳng : 3 : 2 1 0d x − = , 4 : 6 8 1 0d x y+ − = . BT11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng : – 2 1 0AB x y + = , phương trình đường thẳng : – 7 14 0BD x y + = , đường thẳng AC đi qua ( )2;1M . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. Giải I C A B D M Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ: 2 1 0 21 13 ; 7 14 0 5 5 x y B x y − + =   ⇒   − + =   Đường thẳng (BC) qua ( )B 7;3 và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 8 - ( ) ( ) 21 51; 2 : 13 2 5 x t u BC y t  = + = − ⇒   = −   Ta có : ( )   ( ), 2 2 2 ,AC BD BIC ABD AB BDϕ= = = = (AB) có ( )1 1; 2n = −
 , (BD) có ( ) 1 22 1 2 . 1 14 15 31; 7 cos 5 50 5 10 10 n n n n n ϕ += − ⇒ = = = =







 Gọi (AC) có ( ) ( ) 2 2 2 7 9 4 , cos , cos 2 2cos 1 2 1 10 550 a b n a b AC BD a b ϕ ϕ−  = ⇒ = = = − = − =   +  Do đó : ( ) ( )22 2 2 2 2 25 7 4 50 7 32 31 14 17 0a b a b a b a b a ab b− = + ⇔ − = + ⇔ + − = . Suy ra : ( ) ( ) ( ) ( ) 17 17 : 2 1 0 17 31 3 0 31 31 : 2 1 0 3 0 a b AC x y x y a b AC x y x y  = − ⇒ − − + − = ⇔ − − =  = ⇒ − + − = ⇔ + − = (AC) cắt (BC) tại C 21 5 13 7 14 52 ; 5 15 3 3 3 0 x t y t t C x y  = +     ⇒ = − ⇔ = ⇒     − − =   (AC) cắt (AB) tại A : ( )2 1 0 7 7;4 3 0 4 x y x A x y y − + = =  ⇔ ⇔  − − = =  . (AD) vuông góc với (AB) đồng thời qua ( )A 7;4 suy ra (AD) : 7 4 2 x t y t = +  = − (AD) cắt (BD) tại D : 7 7 98 464 2 ; 15 15 15 7 14 0 x t y t t D x y = +    = − ⇒ = ⇒     − + = Trường hợp :17 31 3 0AC x y− − = các em làm tương tự. BT12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm ( )A 2;3 , trọng tâm ( )G 2;0 . Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng 1 : 5 0d x y+ + = và 2 : 2 – 7 0d x y+ = . Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG Giải www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 9 - d1 d2 G MB A C B thuộc d suy ra B : 5 x t y t =  = − − , C thuộc d' cho nên C: 7 2x m y m = −  = . Theo tính chất trọng tâm : ( )2 9 22, 0 3 3G G t m m t x y − + − − ⇒ = = = = Ta có hệ : 2 1 2 3 1 m t m t m t − = =  ⇔  − = − = −  Vậy : ( )1; 4B − − và ( )C 5;1 . Đường thẳng (BG) qua ( )2;0G có véc tơ chỉ phương ( )3;4u = , cho nên ( ) 20 15 82 13: 4 3 8 0 ; 3 4 5 5 x yBG x y d C BG R − − − = ⇔ − − = ⇒ = = = Vậy đường tròn có tâm ( )C 5;1 và có bán kính ( ) ( ) ( )2 213 169: 5 1 5 25 R C x y= ⇒ − + − = BT13. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng 2 – 5 1 0x y + = , cạnh bên AB nằm trên đường thẳng 12 – – 23 0x y = . Viết phương trình AC biết rằng nó đi qua điểm ( )M 3;1 Giải H C B A M Đường (AB) cắt (BC) tại B 2 5 1 0 12 23 0 x y x y − + =  − − = Suy ra : ( )2; 1B − . (AB) có hệ số góc 12k = , đường thẳng (BC) có hệ số góc 2' 5 k = , do đó ta có www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 10 - 212 5tan 221 12. 5 B − = = + . Gọi (AC) có hệ số góc là m thì ta có : 2 2 55tan 2 5 21 5 m mC m m − − = = ++ . Vì tam giác ABC cân tại A cho nên tan tanB C= , hay ta có : 82 5 4 102 5 2 2 5 2 2 5 9 2 5 4 105 2 12 m m mm m m m mm m  − = + = −−  = ⇔ − = + ⇔ ⇔  − = − −+  = Trường hợp : ( ) ( )9 9: 3 1 9 8 35 0 8 8 m AC y x x y= − ⇒ = − − + ⇔ + − = Trường hợp : 12m = suy ra ( ) ( ): 12 3 1AC y x= − + hay ( ) : 12 25 0AC x y− − = (loại vì nó //AB ). Vậy ( ) : 9 8 35 0AC x y+ − = . BT14. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : ( ) ( ) ( )2 21 : 5 12 225C x y− + + = và ( ) ( ) ( )2 22 : –1 – 2 25C x y+ = Giải : . Ta có (C) với tâm ( )5; 12 , 15I R− = . (C') có ( )J 1;2 và ' 5R = . Gọi d là tiếp tuyến chung có phương trình : 0ax by c+ + = ( 2 2 0a b+ ≠ ). Khi đó ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 12 2 , 15 1 , , 5 2 a b c a b c h I d h J d a b a b − + + + = = = = + + Từ (1) và (2) suy ra : 5 12 3 6 35 12 3 2 5 12 3 6 3 a b c a b c a b c a b c a b c a b c − + = + + − + = + + ⇔  − + = − − − 9 32 2 a b c a b c − = ⇔  − + =  . Thay vào (1) : 2 22 5a b c a b+ + = + ta có hai trường hợp : Trường hợp : 9c a b= − thay vào (1) : ( ) ( )2 2 2 2 22 7 25 21 28 24 0a b a b a ab b− = + ⇔ + − = Suy ra : 14 10 7 14 10 7 175 10 7 : 0 21 21 21 14 10 7 14 10 7 175 10 7 : 0 21 21 21 a d x y a d x y    − − + = → + − =        + + − = → + − =    Trường hợp : ( ) ( ) ( )2 2 2 2 232 1 : 7 2 100 96 28 51 02c a b b a a b a ab b= − + ⇒ − = + ⇔ + + = . Vô nghiệm. (Phù hợp vì : 16 196 212 ' 5 15 20 400IJ R R= + = < + = + = = . Hai đường tròn cắt nhau). BT15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : 2 2 2 8 8 0x y x y+ + − − = . Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng : 3 2 0d x y+ − = và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6. Giải www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 11 - H BA I Đường thẳng d' song song với : 3 0d x y m+ + = IH là khoảng cách từ I đến d' : 3 4 1 5 5 m m IH − + + + = = Xét tam giác vuông IHB : 2 2 2 25 9 16 4 ABIH IB   = − = − =    ( )2 19 ' : 3 19 01 16 1 20 21 ' : 3 21 025 m d x ym m m d x y = → + + =+  ⇔ = ⇔ + = ⇒  = − → + − = BT16. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết ( )B 2; 1− , đường cao và đường phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là ( )1 : 3 – 4 27 0d x y + = và ( )2 : 2 – 5 0d x y+ = Giải K H B A C Đường thẳng (BC) qua ( )B 2; 1− và vuông góc với (AH) suy ra BC: 2 3 1 4 x t y t = +  = − − , hay : ( )2 1 4 3 7 0 4;3 3 4 x y x y n− +⇔ = ⇔ + − = ⊥ = −  (BC) cắt (CK) tại C : ( ) 2 3 1 4 1 1;3 2 5 0 x t y t t C x y = +  ⇒ = − − → = − ⇔ −  + − = (AC) qua ( )C 1;3− có véc tơ pháp tuyến ( );n a b= Suy ra ( ) ( ) ( ): 1 3 0AC a x b y+ + − = (*). Gọi   4 6 10 2cos 5 16 9 5 5 5 KCB KCAϕ ϕ += = ⇒ = = = + www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 12 - Tương tự : ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 4 55 5 a b a b a b a b a b a b ϕ + += ⇒ = ⇔ + = + + + ( ) ( ) ( ) 2 0 3 0 3 0 3 4 0 4 4 1 3 0 4 3 5 0 3 3 a b y y a ab b a x y x y  = ⇒ − = ↔ − = ⇔ − = ⇔  = ⇒ + + − = ↔ + − =  (AC) cắt (AH) tại A : ( )1 2 3 3 0 5 3 4 27 0 31 58231 5;3 , ; 25 254 3 5 0 25 3 4 27 0 582 25 y y x x y A Ax x y x y y  =  − = = − − + =    ⇔ ⇔ − − = − + − =     − + =  = Lập (AB) qua ( )B 2; 1− và 2 điểm A tìm được ở trên. (học sinh tự lập ). BT17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là : 3. 3 0x y− − = , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếptam giác ABC bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . Giải Đường thẳng (BC) cắt Ox tại B : Cho 0y = suy ra 1x = , ( )B 1;0 . Gọi ( )A a;0 thuộc Ox là đỉnh của góc vuông (a khác 1). Đường thẳng x a= cắt (BC) tại C : ( )( ); 3 1a a − . Độ dài các cạnh 2 2 21 , 3 1 2 1AB a AC a BC AB AC BC a= − = − ⇒ = + ⇒ = − Chu vi tam giác : ( ) ( )3 3 12 1 3 1 2 1 3 3 1 2 a p a a a a p + − = − + − + − = + − ⇔ = Ta có : S pr= suy ra SP r = .(*) Nhưng ( )21 1 3. 1 3 1 1 2 2 2 S AB AC a a a= = − − = − . Cho nên (*) trở thành : ( ) ( ) ( )2 3 2 31 33 3 1 1 1 1 2 3 12 4 1 2 3 a a a a a  = + + − = − ⇒ − = + ⇔  = − − Trọng tâm G : ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 3 12 1 7 4 3 3 7 4 3 2 3 63 3 ; 3 33 1 3 2 2 3 2 3 6 3 3 3 G G G G a x x G a y y  + ++ += = =  + +  ⇔ ⇒ ⇔    − +    += = =   ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 3 12 1 1 4 3 3 1 4 3 2 3 63 3 ; 3 33 1 3 2 2 3 2 3 6 3 3 3 G G G G a x x G a y y  − − ++ += = = −  + +  ⇔ ⇔ ⇒ − −   − − −    += = = −   BT18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn ( ) 2 2: 4 2 1 0C x y x y+ − − − = và đường thẳng : 1 0d x y+ + = . Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 13 - được đến (C) hai tiếp tuyến hợp với nhau góc 090 . Giải d M B I A M thuộc d suy ra ( )M t; 1 t− − . Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì MAIB là hình vuông (A, B là 2 tiếp điểm). Do đó 2 2 6 2 2 3AB MI IA R= = = = = . Ta có : ( ) ( )2 2 22 2 2 8 2 3MI t t t= − + + = + = Do đó : ( ) ( ) 12 2 2 2 2; 2 1 2 8 12 2 2 2; 2 1 t M t t t M  = − → − − + = ⇔ = ⇔  = → − − . * Chú ý : Ta còn cách khác Gọi d' là đường thẳng qua M có hệ số góc k suy ra d' có phương trình: ( ) 1y k x t t= − − − , hay : 1 0kx y kt t− − − − = (1). Nếu d' là tiếp tuyến của (C) kẻ từ M thì ( ); 'd I d R= 2 2 2 6 1 k kt t k − − − ⇒ = + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 22 2 6 1 4 2 2 2 2 4 2 0t k t k t t k t t k t t⇔  − − −  = + ⇔ − − + + − + + − =  Từ giả thiết ta có điều kiện : ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 0 ' 4 2 4 2 4 0 4 2 1 4 2 t t t t t t t t t t t   − − ≠  ⇔ ∆ = − − − − − + >  + − = −  − − ( ) 1 22 2 1 2 2 1 2 2 6 1 ' 19 0 2 ;2 12 t k k t t t k k M k kt  ≠ ±  + = ±  ⇔ ∆ = − > ⇒ = ± ⇒ ⇒ ⇔    = −= BT19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm ( )A 1;1 và đường thẳng : 2 3 4 0x y∆ + + = Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng ∆ sao cho đường thẳng AB và ∆ hợp với nhau góc 450. Giải Gọi d là đường thẳng qua ( )A 1;1 có véc tơ pháp tuyến ( );n a b= thì d có phương trình dạng ( ) ( )1 1 0a x b y− + − = (*). Ta có ( )2;3n∆ =

 . www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 14 - Theo giả thiết : ( ) ( ) ( )20 2 2 2 2 2 3 1 cos , cos 45 2 2 3 13 213 a bd a b a b a b +∆ = = = ⇒ + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 : 1 1 0 5 4 0 5 55 24 5 0 5 : 5 1 1 0 5 6 0 a b d x y x y a ab b a b d x y x y  = − → − − + − = ↔ − + =⇔ − − = ⇔  = → − + − = ↔ + − = Vậy B là giao của d với ∆ cho nên : 1 1 2 2 5 4 0 5 6 032 4 22 32 ; , : ; 2 3 4 0 2 3 4 013 13 13 13 x y x y B B B B x y x y − + = + − =     ⇒ ⇔ − ⇒ −    + + = + + =     BT20. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng 1 : 2 5 0d x y− + = . 2 : 3 6 – 7 0d x y+ = . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm ( ) 2; 1P − sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. Giải Trước hết lập phương trình 2 đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau : 3 6 7 2 5 9 3 8 03 5 5 3 6 7 2 5 3 9 22 0 3 5 5 x y x y x y x y x y x y + − − + = − + + = ⇔ ⇔ + − − + − + =  = Lập đường thẳng 1∆ qua ( )P 2; 1− và vuông góc với tiếp tuyến : 9x 3y 8 0+ + = . 1 2 1 : 3 5 0 9 3 x y x y− +⇒ ∆ = ⇔ − − = Lập 2∆ qua ( )P 2; 1− và vuông góc với : 3x 9y 22 0− + = 2 2 1: 3 5 03 9 x y x y− +⇔ ∆ = ⇔ + − = − BT21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2 4 3 4 0x y x+ + − = Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính ’ 2R = và tiếp xúc ngoài với (C) tại A. Giải x y Hide Luoi vuong A 4 -2 -1 1 -3 -2 -1 32O 1 I www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 15 - (C) có ( )2 3;0I − , 4R = . Gọi J là tâm đường tròn cần tìm : ( );J a b ( ) ( ) ( )2 2' : 4C x a y b⇒ − + − = Do (C) và (') tiếp xúc ngoài với nhau cho nên khoảng cách 'IJ R R= + ( )2 2 2 22 3 4 2 6 4 3 28a b a a b⇒ + + = + = ⇔ + + = Vì ( )A 0;2 là tiếp điểm cho nên : ( ) ( ) ( )2 20 2 4 2a b− + − = Do đó ta có hệ : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 222 2 3 36 4 3 24 4 02 4 a b a a b a b ba b  + + =  + + =  ⇔  − + = + − = Giải hệ tìm được : 3b = và ( ) ( ) ( )2 23 ' : 3 3 4a C x y= ⇒ − + − = . Chú ý: Ta có cách giải khác . Gọi H là hình chiếu vuông góc của J trên Ox suy ra OH bằng a và JH bằng b Xét các tam giác đồng dạng : IOA và IHJ suy ra : 4 2 3 2 IJ 6 2 3 IA IO OA IH HJ ba = = ⇔ = = + Từ tỷ số trên ta tìm được : 3b = và 3a = . BT22. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh : 2 1 0AB x y− − = , đường chéo : 7 14 0BD x y− + = và đường chéo AC đi qua điểm ( )M 2;1 . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. Giải D B A M C Hình vẽ : (Như bài 12). Tìm tọa độ B là nghiệm của hệ : ( )2 1 0 7;3 7 14 0 x y B x y − − = ⇒ − + = . Đường thẳng (BC) qua ( )B 7;3 và ( ) ( ) ( ) 71; 2 : 3 2BC x t AB u BC y t = +⊥ ⇒ = − ⇔  = −


 12 17 0 2BC x y k⇔ + − = → = − . Mặt khác : 1 1 1 1 17 2 , tan 1 17 2 31 7 2 BD ABk k ϕ − = = ⇒ = = + www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 16 - Gọi (AC) có hệ số góc là k 2 1 2 7 1 2 tan 37 3tan 2 17 1 tan 41 1 7 9 k k k k ϕϕ ϕ − − ⇒ = = = = = + −+ − Do đó : 1728 4 3 21 4 7 1 3 7 31 28 4 3 21 1 k k k k k k k k  − = − − = −  − = + ⇔ ⇔  − = + = Trường hợp : 1k = suy ra ( ) ( ): 2 1AC y x= − + , hay : 1 0x y− − = . C là giao của (BC) với (AC) : ( ) 7 3 2 1, 6;5 1 0 x t y t t C x y = +  ⇔ = − → = −  − − = A là giao của (AC) với (AB) : ( ) 7 3 2 0, 1;0 2 1 0 x t y t t A x y = +  ⇔ = − → =  − − = (AD) || (BC) suy ra (AD) có dạng : 2 0x y m+ + = (*) , do qua ( )A 1;0 : 2m = − . Cho nên (AD) có phương trình : 2 2 0x y+ − = . D là giao của (AD) với (BD) : ( )2 2 0 0;2 7 14 0 x y D x y + − = ⇒ − + = Trường hợp : 17 31 k = − cách giải tương tự (Học sinh tự làm). BT23. Trong mp (Oxy) cho đường thẳng (∆) có phương trình: – 2 – 2 0x y = và hai điểm ( ) ( )A 1;2 ; B 3;4− . Tìm điểm M ∈ ∆ sao cho 2 22 MA MB+ có giá trị nhỏ nhất Giải M thuộc ∆ suy ra ( )2 2;M t t+ Ta có : ( ) ( )2 22 2 2 22 3 2 5 8 13 2 10 16 26MA t t t t MA t t= + + − = + + ⇒ = + + Tương tự : ( ) ( )2 22 22 1 4 5 12 17MB t t t t= − + − = − + Do dó : ( ) ( )2 215 4 43 ' 30 4 0 15 f t t t f t t t= + + ⇒ = + = → = − . Lập bảng b