Bài giảng Bất phương trình bậc nhất (tiếp theo)

Buổi 1. Bất phương trình bậc nhất Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau a) ; c) (1-)x < 3-2; b) ; d) ; Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau a) b) c) d) Phương trình bất phương trình chứa dấu căn I. Phương trình cơ bản 1. Các dạng thường gặp Dạng 1 . Dạng 2 . Dạng 3 2.Ví dụ: Giải các phương trình sau: a. ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. g. ; h. . i. II. Phương trình không cơ bản 1. Phương pháp luỹ thừa. 1.1. Lưu ý: Nếu hai vế của phương trình không âm thì luỹ thừa chẵn hai vế là một phép biến đổi tương đương. 1.2. Ví dụ a. b. c. d. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ. 2.1. Đặt ẩn phụ để mất căn thức-Tìm một cụm biểu thức giống nhau a. ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. ; g. ; h. ; i. ; Buổi 2 2.2. Tìm ra mối liên hệ giữa các biểu thức để đặt ẩn phụ a.; b.; c. ; d. e. ; f. g. ; h. ; i. k. 2.3 Dạng a.f2(x)+ b.f(x)+ c= 0 a. ; b. 2.4 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình a. ; b. c. ; d. ; e. ; f. 3. Phương pháp đưa về tích 3.1 Dạng a. ; b. ; c. 3.2 Dạng U+ V=UV+ 1 a. 3.3 Tích hỗn tạp a. ; b. ; 4. Phương trình chứa nhiều dấu căn a. ; b. ; c. ; d. ; e. ; 5. Phương pháp trục căn thức a. ; b. 6. Phươngtrình chứa căn bậc 3 a. ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. ; 7.Phương pháp đánh giá 7.1 Dùng bất đẳng thức hình học a. ; b. ; c. ; d. ; e. ; 7.2 Dùng bất đẳng thức Cosi-Bunhia a. ; b. ; c. ; d. ; 7.3 Dùng chiều biến thiên hàm số a. ; Buổi 3 Ôn tập hình học Bài 1 Cho nửa đường tròn (S) tâm O, nhận AB là đường kính, I là điểm chính giữa của nửa đường tròn (S) .Trên đường tròn tâm I, bán kính IA lấy điểm C bất kì sao cho CA, CB cắt (S) ở M, N tương ứng . Gọi J là giao điểm của AN và BM, K là giao điểm của MN và IJ . Chứng minh rằng : a) Các tam giác MBC, IBC cân và tứ giác MINJ là hình bình hành . b) CI // OK c) AM = IN ; BN = IM . Độ dài MN không phụ thuộc vị trí điểm C a) ã Từ trên ị M, I cách đều B và C ị M, I nằm trên đường trung trực của BC ị MI ^ BC . Mặt khác từ (*) ị AN ^ BC nên ta có MI // AN hay MI // JN . (1) ã Chứng minh tương tự trên ta cũng có NI ^ AC, BM ^ AC nên NI // BM hay NI // JM (2) Từ (1) và (2) ta có tứ giác MINJ là hình bình hành . (ĐPCM) b) ã Từ chứng minh trên ta có MI, NI là các đường cao của DCMN ị CI cũng là đường cao của DCMN ị CI ^ MN (3) ã Theo chứng minh trên, tứ giác MINJ là hình bình hành nên K là trung điểm của MN . DOMN cân tại O (do OM = ON = R) ị OK là trung tuyến, và là đường cao của DOMN ị OK ^ MN (4) . Từ (3) và (4) ị CI // OK . c) ã Theo chứng minh ở câu a) ta có MI // AN, NI // BM nên ta có các cung bằng nhau : cung AM = cung IN ; cung MI = cung BN ị các dây tương ứng bằng nhau ị AM = IN ; IM = BN ã Theo chứng minh trên có DBMC vuông cân tại A ị é MBC = 450 ị é MBN = 450 ị é MON = 2é MBN = 900 ã mà tam giác MON cân tại O (OM = ON = R) nên MN = R không đổi, không phụ thuộc vào vị trí điểm C . Bài 2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, tiếp tuyến chung với hai đường tròn (O) và (O’) về phía nửa mặt phẳng bờ OO’ chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại C, D. Các đường thẳng CE và DF cắt nhau tại I. Chứng minh: ACE cân và AEF = IEF Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được một đường tròn a) Ta có: ( góc gữa tiếp tuyến và 1 dây cung) ( so le trong ) Suy ra: =, suy ra tam giác ACE cân đỉnh E Xét hai tam giác AEF và IEF có: EF chung (1) ( góc gữa tiếp tuyến và 1 dây cung) ( đồng vị ) Suy ra: = (2) ( góc gữa tiếp tuyến và 1 dây cung) ( đồng vị ) Suy ra: = (3) Từ (1), (2) và (3) ( g-c-g) b. Tứ giác CABE và ADFB là tứ giác nội tiếp nên: mà Lại do nên hay tứ giác BEIF là tứ giác nội tiếp Bài 3. Cho hai đường tròn (O1), ( O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A và có tiếp tuyến chung Ax. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1), ( O2) lần lượt tại B, C và cắt Ax tại M. Kẻ các đường kính BO1D, CO2E. a. Chứng minh : M là trung điểm BC. b. Chứng minh : O1MO2 vuông. c. Chứng minh : B, A, E thẳng hàng, C, A, D thẳng hàng. d. Gọi I là trung điểm DE. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp IO1O2tiếp xúc với đường thẳng d a) Ta có MA = MB ( cùng tiếp xúc với (O1) ) Tương tự MA = MC MB = MC M là trung điểm BC. b) Ta có : MO1 là phân giác của MO2 là phân giác của mà , là hai góc kề bù MO1 MO2 O1O2M là tam giác vuông. c) Ta có : MA = MB = MC MA = BC ABC có trung tuyến AM bằng nửa cạnh đối BC do đó = 90o Mặt khác = 90o (chắn nửa đường tròn (O2) = 180o hay B, A, E thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta cũng có C, A, D thẳng hàng . d) I là trung điểm DE, O1 là trung điểm BD IO1 là đường trung bình của DBE IO1// BE và IO1 = BE (1) tương tự MO2 // BE và MO2 = BE (2) Từ (1), (2) có IO1MO2 là hình bình hành . Mà MO1 MO2 (theo câu b ) IO1MO2 là hình chữ nhật . Gọi O là giao điểm của IM và O1O2. Ta có đường tròn ( O, OI ) ngoại tiếp tứ giác IO1MO2 đường tròn ngoại tiếp IO1O2 đi qua M (3) Ta lại có BD // CE (vì cùng vuông góc với d ) BDEC là là hình thang MI // BD ( vì MI là đườnh trung bình ) IM d hay OM d (4) Từ (3), (4) d tiếp xúc với đường tròn ( I, OI).(đpcm) Bài 4 Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B một đường thẳng thay đổi qua A cắt (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D. Gọi P và Q là hình chiếu vuông góc của O và O’ trên CD. a) Xác định vị trí của C, D để CD có độ dài lớn nhất. b) Gọi E là giaođiểm của OC và O’D. Chứng minh rằng tứ giác O O’EB nội tiếp được trong đường tròn. c) Khi CD quay quanh A thì trung điểm I của PQ chuyển động trên đường nào. A B O O’ C D P Q E D’ C’ a) Ta có PA = PC; QA = QD => CD = 2PQ nên CD lớn nhất khi PQ lớn nhất. Mà OPQO’ là hình thang vuông nên PQ Ê OO’ (Dấu bằng xảy ra Û PQ //OO’) Vậy CD lớn nhất khi CD//OO’ b) Kéo dài BO cắt (O) ở C’. Kéo dài BO’ cắt (O’) ở D ta có = 900 nên C’, A, D’ thẳng hàng. Lại có Và O, O’ cùng phí với BE Vậy OO’EB nội tiếp c) Gọi K là trung điểm OO’. Ta có IK là đường trung bình của hình thang OPQ’ nên IK ^ PQ => AIK = 900 Vậy khi CD quay quanh thì I nằm trên đường tròn đường kính AK Buổi 4 Mệnh đề tập hợp I. MEÄNH ẹEÀ: A/. Kieỏn thửực caàn nhụự: Meọnh ủeà laứ moọt khaỳng ủũnh ủuựng hoaởc sai. Moọt meọnh ủeà khoõng theồ vửứa ủuựng vửứa sai. Giaỷ sửỷ A laứ moọt meọnh ủeà. Khi ủoự phuỷ ủũnh cuỷa meọnh ủeà A laứ moọt meọnh ủeà, kớ hieọu . Ta coự: ã ủuựng khi A sai. ã sai khi A ủuựng. Cho hai meọnh ủeà A vaứ B. Khi ủoự A ị B ủửụùc goùi laứ meọnh ủeà “A keựo theo B”. Ta thaỏy neỏu A ủuựng thỡ: ã Neỏu B ủuựng thỡ A ị B laứ meọnh ủeà ủuựng. ã Neỏu B sai thỡ A ị B laứ meọnh ủeà sai. Chuự yự: + ẹũnh lớ laứ nhửừng meọnh ủeà ủuựng vaứ thửụứng coự daùng A ị B. Khi ủoự ta noựi: A laứ ủieàu kieọn ủuỷ ủeồ coự B. Vaứ: B laứ ủieàu kieọn caàn ủeồ coự A. + Vụựi meọnh ủeà A ị B, khi ủoự B ị A goùi laứ meọnh ủeà ủaỷo cuỷa meọnh ủeà A ị B. Meọnh ủeà ủaỷo cuỷa moọt meọnh ủeà ủuựng khoõng nhaỏt thieỏt laứ ủuựng. Cho hai meọnh ủeà A vaứ B. Khi ủoự A Û B ủửụùc goùi laứ meọnh ủeà “A tửụng ủửụng B”. Ta coự: ã A Û B ủuựng khi: ã A Û B sai khi trong (a), (b), (c) coự moọt meọnh ủeà ủuựng vaứ moọt meọnh ủeà sai. B/. Baứi taọp: Baứi 1: Caõu naứo trong caực caõu sau ủaõy laứ meọnh ủeà? Phaựt bieồu phuỷ ủũnh cuỷa meọnh ủeà ủoự vaứ xeựt tớnh ủuựng, sai cuỷa chuựng. a). x2 + 3x – 2 = 0; b). laứ soỏ hửừu tổ; c). . Baứi 2: Laọp meọnh ủeà A ị B vaứ xeựt tớnh ủuựng, sai cuỷa meọnh ủeà naứy trong caực trửụứng hụùp sau: a). A = “–5 < 2”; B = “25 < 4”. b). A = “ΔMNP coự MN2 > MP2 + NP2”; B = "MNP >900 " c). A = “ laứ soỏ hửừu tổ” B = “ laứ soỏ thửùc”. Baứi 3: Cho phửụng trỡnh baọc hai ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Chửựng minh caực meọnh ủeà sau: a). Neỏu a + b + c = 0 thỡ phửụng trỡnh coự moọt nghieọm baống 1 vaứ nghieọm kia baống . b). Neỏu a – b + c = 0 thỡ phửụng trỡnh coự moọt nghieọm baống –1 vaứ nghieọm kia baống . c). Neỏu b2 – 4ac < 0 thỡ phửụng trỡnh voỏ nghieọm. II. MEÄNH ẹEÀ CHệÙA BIEÁN: A/. Kieỏn thửực caàn nhụự: Meọnh ủeà chửựa bieỏn p(x) khoõng phaỷi laứ moọt meọnh ủeà, nhửng vụựi moói giaự trũ cuỷa bieỏn x thuoọc moọt taọp hụùp X naứo ủoự ta ủửụùc moọt meọnh ủeà. Meọnh ủeà “"x ẻ X: p(x)” laứ ủuựng neỏu p(x) trụỷ thaứnh meọnh ủeà ủuựng vụựi taỏt caỷ caực phaàn tửỷ x ẻ X, vaứ laứ sai neỏu ớt nhaỏt coự moọt phaàn tửỷ xo ẻ X sao cho p(xo) laứ meọnh ủeà sai. Meọnh ủeà “$x ẻ X: p(x)” laứ ủuựng neỏu ớt nhaỏt coự moọt phaàn tửỷ xo ẻ X sao cho p(xo) laứ meọnh ủeà ủuựng, vaứ laứ sai neỏu p(x) trụỷ thaứnh meọnh ủeà sai vụựi taỏt caỷ caực phaàn tửỷ x ẻ X. Neỏu A = “$x ẻ X: p(x)” thỡ = “"x ẻ X: ”. Neỏu A = “"x ẻ X: p(x)” thỡ = “$x ẻ X: ”. B/. Baứi taọp: Baứi 1: Tỡm moọt giaự trũ ủeồ p(x) trụỷ thaứnh moọt meọnh ủeà ủuựng (hay moọt meọnh ủeà sai), vụựi: a). p(x) = “ 2x2 + 5x + 2 = 0”; b). p(x) = “1 – x2 < 2x3 + x”. Baứi 2: Phaựt bieồu thaứnh lụứi caực meọnh ủeà: “”, “” vaứ xeựt tớnh ủuựng, sai cuỷa chuựng, m/đ: a). p(x) = “”; b). p(x) = “x2 – x + 2 > 0”; c). p(x) = “2x + 1 laứ soỏ leỷ”. Baứi 3: Laọp meọnh ủeà phuỷ ủũnh cuỷa meọnh ủeà sau vaứ xeựt tớnh ủuựng, sai cuỷa chuựng: a). chia heỏt cho 2; b). . III. PHệễNG PHAÙP CHệÙNG MINH BAẩNG PHAÛN CHệÙNG: A/. ẹeồ chửựng minh meọnh ủeà “A ị B” baống phaỷn chửựng, ta thửùc hieọn nhử sau: Giaỷ thieỏt raống meọnh ủeà A ủuựng vaứ meọnh ủeà B sai. Sửỷ duùng giaỷ thieỏt vaứ caực kieỏn thửực ủaừ hoùc suy ra meọnh ủeà A sai ư Traựi vụựi giaỷ thieỏt. B. Baứi taọp: Baứi 1: Chửựng minh baống phaỷn chửựng caực meọnh ủeà sau: a). Neỏu tớch cuỷa hai soỏ nguyeõn laứ moọt soỏ leỷ thỡ toồng cuỷa chuựng laứ moọt soỏ chaỹn. b). Vụựi soỏ nguyeõn n ủaừ cho, neỏu 3n2 + 1 laứ soỏ chaỹn thỡ n laứ soỏ leỷ. c). Khoõng coự moọt soỏ hửừu tổ naứo bỡnh phửụng leõn baống 3. d). Moọt tam giaực khoõng phaỷi laứ tam giaực ủeàu coự ớt nhaỏt moọt goực trong lụựn hụn 600. Baứi 2: Chửựng minh caực ủũnh lớ sau: a). Neỏu a vaứ b laứ hai soỏ thửùc khoõng aõm thỡ . b). ẹieàu kieọn caàn vaứ ủuỷ ủeồ phửụng trỡnh ax2 + bx + c = 0, a ạ 0 coự nghieọm laứ b2 ư 4ac ³ 0. IV. TAÄP HễẽP VAỉ CAÙC PHEÙP TOAÙN VEÀ TAÄP HễẽP: A/. Caực kieỏn thửực caàn nhụự: + + + + + ê Chuự yự: + A laứ taọp hụùp baỏt kỡ, ta luoõn coự: ị è A vaứ A è A. + + + + + + + + B. Caực baứi toaựn: Baứi 1: Cho , . a). Haừy lieọt keõ taỏt caỷ caực taọp hụùp: A ầ B, A ẩ B, A \ B, B \ A. b). Haừy tỡm taỏt caỷ caực taọp hụùp con cuỷa: A ầ B, (A ẩ B) \ (A ầ B). Baứi 2: Lieọt keõ caực phaàn tửỷ cuỷa caực taọp hụùp sau (keứm theo giaỷi thớch): a). ; c). . b). ; d). . Baứi 3: Tỡm tớnh chaỏt ủaởc trửng xaực ủũnh caực phaàn tửỷ cuỷa caực taọp hụùp sau: a). ; b). . Baứi 4: Cho caực taọp hụùp: . Haừy bieồu dieón treõn truùc soỏ vaứ moõ taỷ tớnh chaỏt ủaởc trửng cuỷa caực taọp hụùp: B ầ C, B ẩ C, A \ C, , , . Baứi 5: Moói hoùc sinh trong ủoọi tuyeồn hoùc sinh gioỷi cuỷa khoỏi 10 ban khoa hoùc tửù nhieõn ủeàu coự ớt nhaỏt moọt moõn coự ủieồm toồng keỏt ủaùt loaùi gioỷi trong caực moõn Toaựn, Lớ, Hoựa. Bieỏt raống coự 25 em ủửụùc xeỏp loaùi gioỷi ụỷ moõn Toaựn, 28 em ủửụùc xeỏp loaùi gioỷi ụỷ moõn Vaọt lớ, 27 em ủửụùc xeỏp loaùi gioỷi ụỷ moõn Hoựa hoùc, trong ủoự coự 12 em ủửụùc xeỏp loaùi gioỷi Toaựn vaứ Lớ, 9 em ủửụùc xeỏp loaùi gioỷi Toaựn vaứ Hoựa, 14 em ủửụùc xeỏp loaùi gioỷi Lớ vaứ Hoựa. Hoỷi ủoọi tuyeồn hoùc sinh gioỷi khoỏi 10 ban khoa hoùc tửù nhieõn coự bao nhieõu hoùc sinh? VI. SOÁ GAÀN ẹUÙNG ư SAI SOÁ: A/. Kieỏn thửực caàn nhụự: laứ sai soỏ tuyeọt ủoỏi cuỷa soỏ gaàn ủuựng a ủoỏi vụựi soỏ ủuựng . a coự ủoọ chớnh xaực h, neỏu . Ta vieỏt = a ± h. laứ sai soỏ tửụng ủoỏi cuỷa soỏ gaàn ủuựng a. Sai soỏ tuyeọt ủoỏi cuỷa toồng hay hieọu khoõng vửụùt quaự toồng caực sai soỏ tuyeọt ủoỏi. Sai soỏ tửụng ủoỏi cuỷa tớch hay thửụng khoõng vửụùt quaự toồng caực sai soỏ tửụng ủoỏi. Chửừ soỏ k cuỷa soỏ gaàn ủuựng a laứ chửừ soỏ ủaựng tin neỏu sai soỏ tuyeọt ủoỏi Da khoõng vửụùt quaự moọt ủụn vũ cuỷa haứng coự chửừ soỏ k ủoự. ã Chuự yự: + Muoỏn tỡm sai soỏ tửụng ủoỏi cuỷa a ± b ta phaỷi tỡm ủửụùc Δa + Δb tửứ ủoự sửỷ duùng coõng thửực tớnh sai soỏ tửụng ủoỏi: . + Muoỏn tỡm sai soỏ tuyeọt ủoỏi cuỷa tớch ab ta phaỷi tỡm sau ủoự sửỷ duùng coõng thửực tớnh sai soỏ tuyeọt ủoỏi: . B. Caực baứi toaựn: Baứi 1: Cho bieỏt . ệụực lửụùng sai soỏ tuyeọt ủoỏi vaứ sai soỏ tửụng ủoỏi maộc phaỷi khi laỏy . Bieỏt gaàn ủuựng a = 231,52491 coự sai soỏ tửụng ủoỏi khoõng vửụùt qua 1‰. Haừy ửụực lửụùng sai soỏ tuyeọt ủoỏi cuỷa a, xaực ủũnh caực chửừ soỏ ủaựng tin vaứ vieỏt soỏ a dửụựi daùng chuaồn. Baứi 2: Moọt hỡnh thang coự hai ủaựy laứ x = 12,301 ± 0,012(m) vaứ y = 23,142 ± 0,003(m). Chieàu cao cuỷa hỡnh thang laứ h = 11,211 ± 0,024(m). Tớnh dieọn tớch cuỷa hỡnh thang vaứ ửụực lửụùng sai soỏ tuyeọt ủoỏi maộc phaỷi. Moọt khu ủaỏt hỡnh chửừ nhaọt coự caực caùnh ủo ủửụùc laứ x = 26511,3(m) vaứ y = 4331,8(m), bieỏt raống duùng cuù ủo ủaỷm baỷo sai soỏ tửụng ủoỏi khoõng vửụùt quaự 2‰. Tớnh chu vi vaứ dieọn tớch khu ủaỏt naứy vaứ ửụực lửụùng sai soỏ tuyeọt ủoỏi maộc phaỷi. VII. OÂN TAÄP CHUÛ ẹEÀ I ẹeà soỏ 1: Caõu 1: (4 ủieồm). a). Laọp meọnh ủeà phuỷ ủũnh cuỷa meọnh ủeà sau vaứ xeựt tớnh ủuựng sai cuỷa meọnh ủeà ủoự: : x3 ư x2 + x ư 1 = 0. b). Chửựng minh baống phaỷn chửựng meọnh ủeà:, . Caõu 2: (4 ủieồm). a). Xaực ủũnh caực taọp hụùp soỏ sau vaứ bieồu dieón chuựng treõn truùc soỏ: ; b). Cho X, Y, Z laứ ba taọp hụùp. Xaực ủũnh tớnh ủuựng sai cuỷa caực meọnh ủeà sau baống vieọc sửỷ duùng hỡnh veừ: vaứ . Caõu 3: (2 ủieồm). Cho bieỏt soỏ gaàn ủuựng a vaứ sai soỏ tuyeọt ủoỏi Δa, haừy vieỏt a dửụựi daùng chuaồn: a). a = 56865472; Δa = 254; b). a = 235,4516; Δa = 0,001. --------------------------------------------------------------- ẹeà soỏ 2: Caõu 1: (3 ủieồm). Xaực ủũnh caực taọp hụùp soỏ sau vaứ bieồu dieón chuựng treõn truùc soỏ: a). (–Ơ; 3) \ (1; 5); b). (–6; 5] ầ [3; 7); c). . Caõu 2: (4 ủieồm). a). Cho A vaứ B laứ hai taọp hụùp vaứ meọnh ủeà P = “A laứ moọt taọp hụùp con cuỷa B”. Haừy laọp meọnh ủeà ủaỷo cuỷa P vaứ vieỏt meọnh ủeà ủaỷo dửụựi daùng meọnh ủeà keựo theo. b). Duứng kớ hieọu " vaứ $ ủeồ vieỏt meọnh ủeà: “Moùi soỏ thửùc khaực 0 nhaõn vụựi nghũch ủaỷo cuỷa noự ủeàu baống 1”, laọp meọnh ủeà phuỷ ủũnh vaứ xeựt tớnh ủuựng, sai cuỷa meọnh ủeà ủoự. c). Moói hoùc sinh lụựp 10A ủeàu chụi ớt nhaỏt moọt trong hai moõn caàu loõng hoaởc boựng baứn. Bieỏt raống coự 30 baùn chụi caàu loõng, 20 baùn chụi boựng baứn vaứ 16 baùn chụi caỷ hai moõn theồ thao naứy. Haừy cho bieỏt soỏ hoùc sinh cuỷa lụựp 10A. Caõu 3: (3 ủieồm). Bieỏt baựn kớnh moọt hỡnh troứn laứ R = 5,23 ± 0,01(cm). Tớnh chu vi cuỷa ủửụứng troứn vaứ dieọn tớch cuỷa hỡnh troứn ủoự vaứ ửụực lửụùc sai soỏ tuyeọt ủoỏi, sai soỏ tửụng ủoỏi maộc phaỷi neỏu laỏy π = 3,14. Chủ đề I : Véc tơ và cáC BàI TOáN Về VéCTƠ Vaỏn ủeà 1: CAÙC KHAÙI NIEÄM VEÀ VECTễ ư COÄNG VAỉ TRệỉ CAÙC VECTễ A. CHệÙNG MINH ẹAÚNG THệÙC VECTễ ư TèM MOÄT ẹIEÅM THOÛA ẹAÚNG THệÙC VECTễ. I.. PHệễNG PHAÙP: 1). Sửỷ duùng caực pheựp toaựn veà vectụ: coọng, trửứ caực vectụ, pheựp nhaõn moọt vectụ vụựi moọt soỏ. 2). Sửỷ duùng Quy taộc ba ủieồm: . 3). Sửỷ duùng Quy taộc trung ủieồm: I laứ trung ủieồm ủoaùn AB Û , (M tuứy yự). 4). ẹeồ tỡm ủieồm I thoỷa moọt ủaỳng thửực vectụ cho trửụực, ta bieỏn ủoồi ủaỳng thửực ủoự veà daùng: , trong ủoự A laứ ủieồm coỏ ủũnh, laứ vectụ khoõng ủoồi. II. CAÙC BAỉI TOAÙN: Baứi 1: Cho 4 ủieồm A, B, C, D. Goùi E, F, K laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa AB, BC, CD. 1). Chửựng minh raống: . 2). Goùi O laứ trung ủieồm cuỷa KE vaứ M laứ moọt ủieồm tuứy yự. Chửựng minh raống: . Baứi 2: Cho DABC coự troùng taõm G. Goùi A/, B/, C/ laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa BC, CA, AB. 1). Chửựng minh raống: . Suy ra G laứ troùng taõm cuỷa DAÂBÂCÂ. 2). Goùi I, J, K laứ caực ủieồm ủũnh bụỷi: , , . Chửựng minh raống G laứ troùng taõm cuỷa DIJK. 3). Goùi M laứ ủieồm treõn caùnh BC sao cho 2CM = 3BM vaứ N laứ ủieồm treõn BC keựo daứi sao cho 5NB = 2NC. ẹaởt: . Tớnh theo caực vectụ : a). ; b). . Baứi 3: Cho DABC. Goùi GÂ laứ ủieồm ủoỏi xửựng cuỷa troùng taõm G qua ủieồm B. 1). Tớnh . 2). Tỡm ủieồm M sao cho: . 3). Tỡm ủieồm N sao cho: . Baứi 4: Cho hỡnh vuoõng ABCD caùnh a. Chửựng minh raống caực vectụ sau khoõng phuù thuoọc vaứo vũ trớ ủieồm M, tớnh modun (ủoọ daứi) cuỷa moói vectụ ủoự. 1). ; 2). . B. CHệÙNG MINH 3 ẹIEÅM THAÚNG HAỉNG ư TèM TAÄP HễẽP ẹIEÅM: I. PHệễNG PHAÙP: 1). Sửỷ duùng: A, B, C thaỳng haứng Û , kẻR. 2). Cho hai ủieồm coỏ ủũnh A, B. a). Neỏu , kẻR thỡ taọp hụùp caực ủieồm M laứ ủửụứng thaỳng AB. b). Neỏu thỡ taọp hụùp caực ủieồm M laứ ủửụứng trung trửùc cuỷa ủoaùn AB. c). Neỏu khoõng ủoồi thỡ taọp hụùp caực ủieồm M laứ ủửụứng troứn taõm A baựn kớnh . II. CAÙC BAỉI TOAÙN: Baứi 1: Cho DABC. Goùi I vaứ J laứ hai ủieồm ủũnh bụỷi: . 1). Tớnh vectụ . 2). Chửựng minh raống ủửụứng thaỳng IJ ủi qua troùng taõm G cuỷa DABC. 3). Tỡm taọp hụùp caực ủieồm M sao cho: , kẻR. Baứi 2: Cho DABC, M laứ ủieồm di ủoọng. Dửùng . 1). Chửựng minh raống ủửụứng thaỳng MN ủi qua moọt ủieồm coỏ ủũnh khi M thay ủoồi. 2). Goùi P laứ trung ủieồm cuỷa CN, chửựng minh raống ủửụứng thaỳng MP ủi qua moọt ủieồm coỏ ủũnh khi M thay ủoồi. Baứi 3: Cho DABC, laỏy caực ủieồm M, N, P sao cho: . 1). Tớnh . 2). Chửựng minh raống ba ủieồm M, N, P thaỳng haứng. Baứi 4: Cho hỡnh bỡnh haứnh ABCD, M laứ ủieồm treõn ủoaùn AB, N laứ ủieồm treõn ủoaùn CD sao cho: 3AM = AB vaứ 2DN = DC. 1). Tớnh . 2). I vaứ J laứ caực ủieồm ủũnh bụỷi: vaứa, β. 3). ẹũnh a, β ủeồ J laứ troùng taõm cuỷa DBMN. Buổi 6 Chủ đề II: Hàm số bậc nhất và bậc hai Vaỏn ủeà 1: HAỉM SOÁ VAỉ HAỉM SOÁ BAÄC NHAÁT I/. NHệếNG KIEÁN THệÙC CAÀN NHễÙ: 1). Khi cho haứm soỏ bụỷi bieồu thửực y = f(x) maứ khoõng chổ roừ taọp xaực ủũnh cuỷa noự, thỡ ta quy ửụực: Taọp xaực ủũnh cuỷa haứm soỏ y = f(x) laứ: D . 2). Cho haứm soỏ y = f(x) coự taọp xaực ủũnh laứ D vaứ khoaỷng (a; b) è D. a). y = f(x) ủoàng bieỏn treõn khoaỷng (a; b) Û . b). y = f(x) nghũch bieỏn treõn khoaỷng (a; b) Û . 3). Cho haứm soỏ y = f(x) coự taọp xaực ủũnh laứ D. a). y = f(x) laứ haứm soỏ chaỹn treõn D Û . b). y = f(x) laứ haứm soỏ leỷ treõn D Û . ê Chuự yự: ẹoà thũ cuỷa haứm soỏ chaỹn nhaọn truùc tung laứm truùc ủoỏi xửựng. ẹoà thũ cuỷa haứm soỏ leỷ nhaọn goỏc toaù ủoọ laứm taõm ủoỏi xửựng. II/. CAÙC BAỉI TOAÙN: Baứi 1: Tỡm mieàn xaực ủũnh cuỷa caực haứm soỏ sau: a). ; b). ; c). . Baứi 2: Cho haứm soỏ coự ủoà thũ laứ (C). a). Tỡm mieàn xaực ủũnh cuỷa haứm soỏ f(x). b). Tớnh caực giaự trũ , f(1), f(0), f(ư5). c). Cho caực ủieồm . Xeựt xem trong caực ủieồm ủaừ cho, ủieồm naứo thuoọc ủoà thũ (C) cuỷa haứm soỏ y = f(x)? Baứi 3: Xeựt tớnh chaỹn leỷ cuỷa caực haứm soỏ sau: a). ; c). ; b). ; d). ; Baứi 4: Cho haứm soỏ f(x) = 9x4 + x3 ư 6x2 + x + 1. Chửựng minh raống f(x) khoõng phaỷi laứ haứm soỏ chaỹn vaứ cuừng khoõng phaỷi laứ haứm soỏ leỷ, nhửng f(x) coự theồ phaõn tớch thaứnh toồng cuỷa moọt haứm soỏ chaỹn vaứ moọt haứm soỏ leỷ. Baứi 5: Xeựt tớnh ủoàng bieỏn vaứ nghũch bieỏn cuỷa caực haứm soỏ sau: a). f(x) = x2 ư 2x + 3; b). ; c). g(x) = ưx3 + 3x. Vaỏn ủeà 2: CAÙC HAỉM SOÁ: y = ax + b; I/. KIEÁN THệÙC CAÀN NHễÙ: 1). Haứm soỏ : + Haứm soỏ chaỹn treõn mieàn xaực ủũnh D = R. + Baỷng bieỏn thieõn: x ư Ơ 0 + Ơ y + Ơ + Ơ 0 2). Haứm soỏ : + Mieàn xaực ủũnh D = R. + Baỷng bieỏn thieõn: x ư Ơ + Ơ y + Ơ + Ơ 0 3). Haứm soỏ phaàn nguyeõn : + Mieàn xaực ủũnh D = R. + Vụựi aẻ Z vaứ a Ê x < a + 1, thỡ . II/. CAÙC BAỉI TOAÙN: Baứi 1: Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ veừ ủoà thũ cuỷa caực haứm soỏ: a/. ; b/.; c/. . Baứi 2: Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ veừ ủoà thũ cuỷa caực haứm soỏ: a/. y = ; b/. ; c/. y = . Baứi 3: Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ veừ ủoà thũ cuỷa caực haứm soỏ: a/. ; b/. ; Baứi 4: a/. Haừy xaực ủũnh caực haống soỏ a vaứ b ủeồ ủoà thũ (D1) cuỷa haứm soỏ y = ax + b ủi qua caực ủieồm A(1; 3), B(ư5; ư9). b/. Vieỏt phửụng trỡnh cuỷa ủửụứng thaỳng (D2) ủi qua ủieồm M(2; ư4) vaứ song song vụựi ủửụứng thaỳng y = ư3x + 2. ************************************************* Vấn đề 3: hàm số bậc hai I/. KIEÁN THệÙC CAÀN NHễÙ: + Mieàn xaực ủũnh: D = R + Baỷng bieỏn thieõn: ê Neỏu a > 0: ẹoà thũ haứm soỏ: y = ax2 + bx + c coự theồ suy ra tửứ ủoà thũ haứm soỏ y = ax2 baống caựch tũnh tieỏn sang traựi (sang phaỷi) dụn vũ neỏu (neỏu ) song song vụựi truùc Ox; sau ủoự tũnh tieỏn song song vụựi truùc Oy leõn treõn (xuoỏng dửụựi) ủụn vũ neỏu (neỏu ) x ưƠ +Ơ +Ơ +Ơ y ê Neỏu a < 0: x ưƠ +Ơ y ưƠ ưƠ + ẹoà thũ haứm soỏ y = ax2 + bx + c laứ moọt parabol coự ủổnh , nhaọn ủửụứng thaỳng laứm truùc ủoỏi xửựng. Quay beà loừm leõn treõn neỏu a > 0, quay beà loừm xuoỏng dửụựi neỏu a < 0. + ẹeồ veừ ủoà thũ cuỷa haứm soỏ ta coự theồ thửùc hieọn theo 4 bửụực sau: ê Chổ ra mieàn xaực ủũnh vaứ toaù ủoọ ủổnh . ê Veừ truùc ủoỏi xửựng . ê Xaực ủũnh caực giao ủieồm cuỷa ủoà thũ vụựi caực truùc toaù ủoọ (neỏu coự); coự theồ tỡm theõm moọt soỏ ủieồm khaực thuoọc ủoà thũ. ê Thửùc haứnh veừ ủoà thũ dửùa treõn caực keỏt quaỷ vửứa xaực ủũnh. II/. CAÙC BAỉI TOAÙN: Baứi 1: Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ veừ ủoà thũ cuỷa caực haứm soỏ: a). y = 2x2 + 2x ư 3; b). y = ư3x2 + 4x ư 1; c). . Baứi 2: Cho haứm soỏ: y = ax2 + bx + 2 coự ủoà thũ laứ parabol (P). a). Xaực ủũnh caực heọ soỏ a vaứ b bieỏt raống (P) coự truùc ủoỏi xửựng laứ x = 3 vaứ ủi qua ủieồm b). Xaực ủũnh caực heọ soỏ a vaứ b bieỏt raống (P) ủi qua hai ủieồm vaứ . OÂN TAÄP Baứi 1: Tỡm taọp xaực ủũnh cuỷa caực haứm soỏ: a). ; b). ; c). ; Baứi 2: Cho haứm soỏ . Tớnh giaự trũ cuỷa . Baứi 3: Khaỷo saựt sửù bieỏn thieõn vaứ veừ ủoà thũ caực haứm soỏ: a). ; b). . Baứi 4: Xaực ủũnh haứm soỏ baọc hai bieỏt ủoà thũ cuỷa noự laứ moọt ủửụứng parabol coự ủổnh I(1; 3) vaứ ủi qua ủieồm A(–1; –1).  KHAÙI NIEÄM PHệễNG TRèNH & PHệễNG TRèNH BAÄC NHAÁT I. NHệếNG KIEÁN THệÙC CAÀN NHễÙ: 1/. Khaựi nieọm phửụng trỡnh: ẹieàu kieọn cuỷa phửụng trỡnh laứ nhửừng ủieàu kieọn cuỷa aồn ủeồ caực bieồu thửực trong phửụng trỡnh coự nghúa. Hai phửụng trỡnh goùi laứ tửụng ủửụng neỏu chuựng coự cuứng moọt taọp hụùp nghieọm. Hai phửụng trỡnh cuứng voõ nghieọm laứ hai phửụng trỡnh tửụng ủửụng. 2/. Caực pheựp bieỏn ủoồi phửụng trỡnh: Neỏu haứm soỏ h(x) xaực ủũnh vụựi moùi giaự trũ cuỷa x maứ taùi ủoự f(x) vaứ g(x) ủeàu coự nghúa thỡ: f(x) = g(x) Û f(x) + h(x) = g(x) + h(x) ẹaởc bieọt: f(x) = g(x) Û f(x) – g(x) = 0. Neỏu haứm soỏ h(x) xaực ủũnh vaứ h(x) ≠ 0 vụựi moùi giaự trũ cuỷa x maứ taùi ủoự f(x) vaứ g(x) ủeàu coự nghúa thỡ: f(x) = g(x) Û f(x).h(x) = g(x).h(x) ẹaởc bieọt: "k 0 ta coự: f(x) = g(x) Û kf(x) = kg(x). Neỏu f(x) xaực ủũnh vụựi moùi giaự trũ cuỷa x taùi ủoự g(x) = 0, coứn g(x) xaực ủũnh vụựi moùi giaự trũ cuỷa x taùi ủoự f(x) = 0 thỡ: . Cho hai haứm soỏ f(x) vaứ g(x), vụựi moùi soỏ tửù nhieõn n ta coự: ẹaởc bieọt: ã Neỏu n laứ soỏ tửù nhieõn leỷ thỡ: ã Neỏu f(x) ³ 0 vaứ g(x) ³ 0 thỡ: ã . 3/. Phửụng trỡnh baọc nhaỏt moọt aồn vaứ hai aồn: Phửụng trỡnh daùng ax + b = 0 (1). ã Neỏu a 0: (1) coự nghieọm laứ , hay taọp hụùp nghieọm laứ . ã Neỏu a = 0 vaứ b 0: (1) voõ nghieọm, hay taọp hụùp nghieọm laứ ị. ã Neỏu a = 0 vaứ b = 0: (1) coự nghieọm laứ "x ẻ R, hay taọp hụùp nghieọm laứ R. Phửụng trỡnh daùng ax + by = c, (a2 + b2 ≠ 0) (2). ã Neỏu a ≠ 0, b ≠ 0: (2) coự taọp hụùp nghieọm laứ T = . ã Neỏu a = 0, b ≠ 0: (2) coự taọp hụùp nghieọm laứ T = . ã Neỏu a ≠ 0, b = 0: (2) coự taọp hụùp nghieọm laứ T = . Å Bieồu dieón hỡnh hoùc cuỷa taọp hụùp nghieọm phửụng trỡnh (2): Treõn maởt phaỳng toùa ủoọ Oxy, caực ủieồm M(x; y) coự toùa ủoọ thoỷa maừn phửụng trỡnh (2) ủửụùc bieồu dieón bụỷi moọt ủửụứng thaỳng. y O x y y O x O x O x (a ≠ 0, b ≠ 0) (a = 0, b ≠ 0) (a ≠ 0, b = 0) II. CAÙC BAỉI TOAÙN: Baứi 1: Giaỷi caực phửụng trỡnh sau: a).; b). ; c). . Baứi 2: Giaỷi vaứ bieọn luaọn theo tham soỏ m caực phửụng trỡnh sau: a). (m2 – 4m + 3)x – m22 + 3m = 2; b). ; c). . Baứi 3: Giaỷi vaứ bieọn luaọn theo tham soỏ m caực phửụng trỡnh sau: a). ; b). ; c). . Baứi 4: Bieồu dieón hỡnh hoùc taọp hụùp nghieọm cuỷa caực phửụng trỡnh: a). ; b). ; c).. ************************************************* PHệễNG TRèNH BAÄC HAI: 1). Caựch giaỷi vaứ coõng thửực nghieọm: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0. Tớnh bieọt thửực Δ = b2 – 4ac (hoaởc ) + Neỏu Δ > 0 (): Phửụng trỡnh coự 2 nghieọm + Neỏu Δ = 0 (): Phửụng trỡnh coự 1 nghieọm + Neỏu Δ < 0 (): Phửụng trỡnh voõ nghieọm. Ô ẹaởc bieọt: + Neỏu a + b + c = 0 thỡ phửụng trỡnh coự nghieọm laứ: . + Neỏu a – b + c = 0 thỡ phửụng trỡnh coự nghieọm laứ: . + Neỏu a.c < 0 thỡ phửụng trỡnh coự 2 nghieọm phaõn bieọt. 2). ẹũnh lớ Viet: Neỏu phửụng trỡnh ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 coự 2 nghieọm x1, x2 thỡ: . Ô ẹaởc bieọt: a). Neỏu thỡ x, y laứ caực nghieọm cuỷa phửụng trỡnh: X2 – S.X + P = 0. b). Daỏu cuỷa caực nghieọm: + P < 0 Û Phửụng trỡnh coự 2 nghieọm traựi daỏu. +