Bài giảng môn Giải tích lớp 12: Bài toán thể tích vật thể tròn xoay - Phần ứng dụng hình học của tích phân

bài toán thể tích vật thể tròn xoay- phần ứng dụng hình học của tích phân, giải tích 12. Bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay thể hiện được vai trò thực tế gần gũi của môn giải tích ở lớp 12. Nội dung bài toán đã kích thích tính tò mò, muốn tìm hiểu của học sinh- kể cả các học sinh dưới trung bình.Ra bài toán dạng này sẽ tích cực hoá hoạt động của học sinh rất tốt, ngoài ra còn rèn luyện được nhiều kỹ năng cơ bản cho học sinh. Vì vậy bài toán đã có mặt trong các kỳ thi khá nhiều. Ta sẽ xem xét thể tích của một số lập thể liên quan vật thể tròn xoay đã giới thiệu trong chương trình giải tích lớp 12. I. Bài toán 1: Cho hình phẳng P giới hạn bởi các đường : y = f(x); y = g(x); x = a; x= b (a<b) quay xung quanh trục Ox tạo vật thể tròn xoay (VTTX) L . Tính thể tích của vật thể đó ?. giải: Không mất tính tổng quát,ta xét các trường hợp sau với giả thiết x [ a; b ] . TH1: g(x) = 0. L là VTTXđã xét trong SGKGT12- thể tích của L được tính theo công thức: b y = f(x) a V= . O x TH2: 0 < g(x) < f(x). Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = 0; x= a; x = b quay quanh trục Ox tạo VTTX L có thể tích V = . Còn hình phẳng giới hạn bởi các đường : y= g(x) ; y = 0; x= a ; x= b quay quanh trục Ox lại tạo ra VTTX L có thể tích V = . L là một lập thể tạo ra bởi VTTX L bị khoét đi phần VTTX L( L nằm trong L). Rõ ràng thể tich của L lúc này là: b a y y = f(x) V = V – V = . TH3: f(x) < g(x)< 0. Tương tự TH2 ta có V = V – V = . b TH4: - f(x)<= g(x) < 0 . Lúc này ta cũng có hai vật thể L , L y y = f (x) a như TH2. Nhưng ở đây L và L cùng chứa trong L( hình vẽ), vì thế L có thể tích bằng thể tích của L- là vật thể chứa L2. V = V = . y = g(x) y = - f(x) 5.TH5: g(x) < - f(x) < 0 Đổi vai trò của g(x) và -f(x) bài toán trở về TH4. Vật thể L bây giờ chính là L( L chứa L).Vậy thể tich của L là V. V = V = . Bỏ qua trường hợp f(x) = g (x) thì ta đã giải xong bài toán .Tất nhiên , có thể còn thu gọn bài toán hơn nữa. Điều đáng nói ở đây là không được máy móc sử dụng ngay công thức hiệu hai thể tích – dạng diện tích hình phẳng P trong đầu đề: S = dx. Ví dụ áp dụng: VD1: Lập công thức tính thể tích khối cầu, khối trụ , khối nón, khối nón cụt ( HS đã được giới thiệu các công thức này ở lớp 11 mà việc cm công thức bằng công cụ giới hạn là rất khó đối với HS nói chung ). giải: a. Khối cầu bán kính R có thể xem là VTTX sinh ra khi quay hình tròn bán kính R quanh một đường kính của nó. Không mất tính tổng quát, chọn hình tròn có đường biên : x+ y= R quay quanh trục Ox . Ta có thể định nghĩa hình tròn này là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= f(x) = ; y = g(x) = - ; x = -R và x = R. áp dụng TH4 ta có thể tích khối cầu này : V= = . b. Khối trụ có chiều cao h , bán kính R là VTTX sinh ra khi quay hình chữ nhật giới hạn bởi các đường: y = f(x) = R; y = g(x) = 0; x = 0 ; x = h xung quanh trục Ox . Vậy theo TH1 ta có ngay thể tích của khối trụ cần tìm là: V = . c. Khối nón có chiều cao h và bán kính đáy R xem là VTTX sinh ra khi quay hình tam giác giới hạn bởi các đường : y = f(x) = ; y = g(x) = 0; x = 0;x = h xung quanh trục Ox. Ta cũng có ngay công thức tinh thể tích khối nón là : V = . d. Tương tự : hình thang giới hạn bởi các đường y = ; y = 0; x = 0; x =h quay xung quanh trục Ox tạo khối nón tròn xoay chiều cao h , bán kính đáy R, có thể tích là: V= . VD2: tính thể tích của khối elipxôit có trục lớn 2a; trục bé 2b (a>b>0). giải: hoàn toàn tương tự phần thể tích khối cầu đã giải: cho hình elip có biên quay quanh trục Ox sẽ tạo khối elipxôit nói ở đầu bài có thể tích là: V= . VD3: Tính thể tích của hình xuyến sinh ra bởi đường tròn : x (R > r>0) khi nó quay quanh trục Ox. giải: Đường tròn đã cho có thể phân tách , xem hình tròn tương ứng giới hạn bởi 4 đường: y = f(x) = R +; y = g(x) = R - ; x = - r ; x = r .Rõ ràng 0 <g(x) < f(x) nên áp dụng TH2 ta có thể tích cần tìm là: V = 2 . Như vậy , một cách khéo léo chúng ta có thể luyện kỹ năng tính tích phân cho HS đồng thời củng cố kiến thức cũ một cách sáng tạo và dễ nhớ! ngoài ra còn hấp dẫn HS bởi đã trao cho HS một công cụ toán học để giải quyết vấn đề thực tế tưởng chừng quá sức: Thiết lập công thức tính thể tích của các vật thể. Tất nhiên các tích phân trên có thể thu gọn nhờ nhận xết tính đối xứng của các hình khối và có thể xét cho TH hình phẳng quay quanh trục Oy.Song ở đây ta chỉ chú trọng việc chọn hình phẳng quay và áp dụng của bài toán 1 đã xét. Bây giờ ta xem xét một ví dụ nữa : VD4:Tính thể tích của lập thể T tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = sinx; y = cosx; x = 0; x = quanh trục hoành. y giải . Hình vẽ bên mô tả các TH của đường y = f(x) = sinx và y = g(x) = cosx trên đoạn như trên đã xét. áp dụng bài toán 1 ta có thể chia hình phẳng thành các phần phù hợp để tính thể tích của vật thể sinh ra khi quay phần đó quanh trục hoành , sau đó cộng thể tích của tất cả các khối hợp thành lập thể sẽ được thể tích cần tìm. : 00 sinx cosx . Ta có miền P giới hạn bởi y = sin x; y = cosx ; x = 0 và x = quay quanh trục hoành tạo vật thể T có thể tích V = dx = . .Ta có miền P giới hạn bởi y = sin x; y = cosx; x= và x = quay quanh trục hoành tạo vật thể T có thể tích V= dx = .( có thể nhận xét V= V dựa vào hình vẽ). .Miền P giới hạn bởi y = sin x; y = cosx; x = và x = quay quanh Ox tạo vật thể Tcó thể tích V = dx = . . miền P giới hạn bởi y = sin x; y = cosx ; x = và x = quay quanh Ox tạo vật thể T có thể tích V= dx = .( = V) Vậy thể tích cần tìm là V = V+ V+ V+ V = (đ v t t). Bài tập đề nghị: BT1: Phát biểu bài toán thể tích khi hình phẳng quay quanh trục Oy. BT2: Tính thể tích của vật thể sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = 4 - xvà y = 2 + x a. Quay quanh trục Ox. (Đs: 16) b.Quay quanh trục Oy. (Đs: ) BT3: Thiết lập công thức tính thể tich của chỏm cầu, đới cầu. II.bài toán ii: Nếu hình phẳng (P) quay quanh một đường thẳng không phải là trục toạ độ thì lập thể tạo ra có tính được thể tích bằng công cụ tích phân hay không? 1.VD1: Hình phẳng giới hạn bởi đường y = xvà đường y = 1 quay quanh đường thẳng y = 1 tạo vật thể có thể tích là V = = . Khẳng định đó đúng hay sai? Giải: Về cơ bản ta nhận thấy trục quay Ox tịnh tiến theo véc tơ thành trục quay nói trong đầu bài . Vì thế để áp dụng bài toán I ta đổi trục toạ độ bằng phép tịnh tiến theo vectơ thì vật thể đã nói được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: Y = X-1; Y = 0 quanh trục Y = 0 nên thể tích là: V = = (đvtt). Như vậy khẳng định trong đầu bài là sai. 2.VD2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x, y = 1, x = 0 quay quanh đường thẳng x = 1 Tính thể tích vật thể tạo thành. Giải: Tịnh tiến hệ trục Oxy thành IXY theo vectơ ta có đường y = trở thành Y = (X+1),(X = -1 ) đường y = 1 trở thanh Y = 1 đường x = 0 trở thành X = -1. đường x = 1 trở thành X = 0. Thể tích vật thể tạo thành là: V = = (đvtt) . Bài tập đề nghị: BT4:Tổng quát hoá hai VD ở Bài toán II. BT5: Báu!Thử tìm cách tính thể tích của vật thể khi hình phẳng quay quanh đường thẳng y= x, (? y = ax +b). Có gì góp ý với.