Bài giảng môn học Công nghệ lớp 11 - Các bài toán cơ bản về định luật Kepler

BÀI TẬP 1.Các bài toán cơ bản về định luật Kepler: Bài 1: Một vệ tinh bay theo quỹ đạo elip với 1 trong 2 tiêu điểm là Trái Đất, bán trục lớn và bán trục nhỏ lần lượt là a và b. Tính thông số của elip theo a và b, từ đó suy ra công thức liên hệ giữa r, và a, b (r: khoảng cách từ tâm trái đất đến vệ tinh,: góc cận điểm thực) Giải Áp dụng công thức (r: khoảng cách từ tâm TĐ đến vệ tinh) Khi vệ tinh ở điểm B, ta có: (Định lí Pitago) Bài 2: Một trạm vũ trụ bay theo quỹ đạo elip có chu kì T với 1 trong 2 tiêu điểm là TĐ. Vận tốc tối thiểu và tối đa lần lượt là v1 và v2. Tính tâm sai của elip quỹ đạo Tính bán kính trục lớn và trục nhỏ của elip ( khối lượng TĐ là M) Giải Định luật 2 Kepler: Ta có: Vậy: Định luật 3 Kepler: Ta có: Bài 3: Người ta chụp ảnh Mặt Trăng đồng thời từ một phía, từ Trái Đất và từ một vệ tinh của Mặt Trăng. Quỹ đạo của vệ tinh là đường tròn. Đường kính ảnh M trên bức ảnh chụp từ TĐ là a1 = 4.5mm, còn trên bức ảnh chụp từ vệ tinh là a2 = 250mm. Tính chu kì quay của vệ tinh MT, biết 2 bức ảnh đều chụp bằng các vật kính giống nhau có tiêu cự f = 50cm và gia tốc rơi tự do trên MT nhỏ hơn trên TĐ n = 6 lần, khoảng cách từ TĐ đến MT là L = 380000km. Giải Gọi R là bán kính quỹ đạo của vệ tinh MT Áp dụng ĐL Kepler: Xét ảnh MT chụp từ TĐ: Coi MT rất xa TĐ thì ảnh của MT là ảnh thật nằm ở tiêu diện vật kính : Ta có: Xét ảnh MT chụp từ vệ tinh: Trên vệ tinh chỉ chụp được 1 phần MT: Với: Thế từ (4) vào (6) ta được: Thế từ (4), R từ (7) vào (3): Với và Bài 4: Sao chổi Halley có chu kì quay quanh MT là 76 năm, khoảng cách gần MT nhất là Rg = 8,9.1010m. Tìm khoảng cách xa MT nhất. Tính tâm sai quỹ đạo của sao chổi. Giải a) Ta có: (a: bán kính trục lớn) (T = 76 năm = 2,4.109s) (M=1,99.1030kg) Lại có: b)Tâm sai của sao chổi: Lấy Bài 5: Vệ tinh nhân tạo đầu tiên của Trái Đất có quỹ đạo elip với chu kỳ T = 96 phút, độ cao cực tiểu tính từ mặt đất h = 220km. Tính độ cao cực đại của nó biết rằng nếu 1 vệ tinh bay sát mặt đất thì nó có chu kì T0 = 84 phút. Biết bán kính Trái Đất R = 6400km. Giải Vệ tinh đạt độ cao cực tiểu so với mặt đất tại A và độ cao cực đại tại B. Định luật 3 Kepler: Bán trục lớn của quỹ đạo elip: (H là độ cao cực đại của vệ tinh so với mặt đất) Bài 6: Vệ tinh phóng từ điểm A ở độ cao h so với mặt đất với vận tốc vA song song mặt đất. Vệ tinh có thể có quỹ đạo elip với viễn điểm là A hay không? Cho biết nếu quỹ đạo của vệ tinh elip có bán trục lớn a thì vận tốc của vệ tinh ứng với bán kính vectơ R là Giải Ta biết rằng nếu phóng vệ tinh từ độ cao h ( khoảng cách tới tâm RA = R0 + h) và muốn có quỹ đạo elip thì vận tốc phóng phải > vA0 với: Giả sử có cận điểm B ở độ cao h’ (RB = R0 + h’) Trục lớn của elip là: Ở vị trí A, R = R0 + h, vậy theo công thức đã cho: Giả thiết nghĩa là: Vì A là viễn điểm(vô lí) Vậy nếu phóng vệ tinh từ A với vA > vA0 thì quỹ đạo là elip nhưng A chỉ có thể là cận điểm. Bài 7: Một vệ tinh của TĐ có quỹ đạo elip với bán trục lớn a. Độ cao của cận điển A so với mặt đất là h. Biết bán kính R0 của TĐ và gia tốc trọng trường ở mặt đất g0. Tính: a) Độ cao H của viễn điểm B. b) Chu kì T của vệ tinh. c) Vận tốc của nó ở A và B. d) Kiểm tra ĐL bảo toàn momen động lượng đối với 2 điểm A và B. Giải a) Độ cao H của viễn điểm B: b) Dùng ĐL 3 Kepler: c) Ta có: Vận tốc của vệ tinh tại A và B: d) Ở A và B vận tốc vuông góc với bán kính vectơ nên ĐL bảo toàn momen động lượng là: Thế (1) và (2): Trong elip thế vô phương trình ta thấy đúng. Bài 8: Một vệ tinh được phóng từ điểm A có độ cao h = 500km với v = 10,25km/s song song với mặt đất. a) CM quỹ đạo là elip có cận điểm là A. b) Tính bán trục lớn a và độ cao h’ của viễn điểm. c) Tính chu kì của vệ tinh. Cho biết bán kính TĐ R0 = 6370km, GM = 4.1014(SI) Giải a) Ở điểm A vận tốc tương ứng với quỹ đạo tròn là: Vận tốc phóng 10,25km/s > vA0 và < vận tốc thoát (7,63km/s) nên quỹ đạo là elip. Từ bài 6 suy ra A là cận điểm. b) Bán trục lớn a: Ta có: Độ cao viễn điểm h’ = 2a – 2R0 – h = 56760km c) Chu kì của vệ tinh: Baøi 9 : Moät haønh tinh chuyeån ñoäng xung quanh Maët trôøi theo 1 elip sao cho khoaûng caùch cöïc tieåu giöõa noù vaø Maët trôøi baèng r, coøn khoaûng caùch cöïc ñaïi laø R. Tính chu kyø quay cuûa noù xung quanh Maët trôøi. Giaûi Ta xeùt chuyeån ñoäng theo moät ñöôøng troøn coù baùn kính baèng truïc lôùn cuûa elíp cuûa elíp cho, nghóa laø: r = a = (1) Ñònh luaät II kepber = Maø a = r => To = T Töùc laø chu kyø quay laø nhö nhau: Do ñoù, chu kì quay cuûa haønh tinh quanh Maët trôøi laø: = => T0 = (2) Thay (1) vaøo (2): To = => To = p Trong ñoù M laø khoái löôïng Maët trôøi. Baøi 10 : Moät vaät khoâng lôùn baét ñaàu rôi vaøo Maët trôøi töø 1 khoaûng caùch baèng baùn kính quyõ ñaïo cuûa Traùi ñaát quanh Maët trôøi. Vaän toác ban ñaàu cuûa vaät trong heä quy chieáu nhaät taâm baèng khoâng. Haõy tìm söï rôi keùo daøi trong bao laâu? Giaûi Söï rôi cuûa moät vaät treân Maët trôøi coù theå coi nhö laø chuyeån ñoäng theo 1 elip raát daøi (gaàn suy bieán thaønh ñöôøng thaúng) coù truïc lôùn con nhö baèng baùn kính R cuûa quyõ ñaïo Traùi Ñaát. Goïi t laø thôøi gian rôi cuõng chính laø khoaûng thôøi gian cuûa moät nöûa voøng chuyeån ñoäng treân elíp daøi (töùc laø baèng nöûa chu kì cuûa quyõ ñaïo elíp). AÙp duïng ñònh luaät III kepber cho vaät vaø Traùi ñaát chuyeån ñoäng quanh Maët trôøi. (T laø chu kì quay cuûa Traùi ñaát quanh Maët trôøi). Töø ñoù: t = 65 ngaøy ñeâm. Ñoá vui: Töông töï raèng ta taïo ñöôïc moät maãu heä Maët trôøi nhoû hôn ñoä lôùn töï nhieân n laàn nhöng baèng caùc vaät lieäu coù cuøng khoái löôïng rieâng trung bình nhö cuûa Maët trôøi vaø caùc haønh tinh. Khi ñoù, caùc chu kì quay cuûa maãu caùc haønh tinh theo caùc quyõ ñaïo cuûa chuùng seõ bieán ñoåi ra sao? Ñaùp aùn: Khoâng thay ñoåi. 2.Một số bài toán nâng cao kết hợp ĐL Kepler và các định luật bảo toàn cơ năng, động năng: Bài 1: Vệ tinh chuyển động tròn ở độ cao h=R0 (bán kính trái đất). Người ta muốn chuyển nó lên quỹ đạo tròn ở độ cao H = 3R0 bằng 1 quỹ đạo nửa elip AB, tiếp tuyến với quỹ đạo tròn ở A và B. Cần tăng hoặc giảm bao nhiêu vận tốc ở các điểm A và B (tăng giảm rất nhanh). Biết vận tốc vũ trụ ở sát mặt đất là v0 = 7,9km/s. Giải Gọi vA là vận tốc vệ tinh quỹ đạo tròn có bán kính OA = R0 + h = 2R0 Ta có: , (vận tốc vũ trụ cấp 1) Để chuyển sang quỹ đạo elip phải co vận tốc v’A > vA Đến B vận tốc vệ tinh phải tăng từ v’B lên vB, là vận tốc trên quỹ đạo tròn bán kính OB = R0 + H = 4R0 Định luật 2 Kepler: Cơ năng của vệ tinh gồm có động năng và thế năng hấp dẫn . Do bỏ qua thời gian tăng tốc rất ngắn nên cơ năng được bảo toàn trên quỹ đạo nửa elip: Giải hệ (1) và (2) ta được: Độ tăng vận tốc của vệ tinh: Ở A: Ở B: Bài 2: Một con tàu vũ trụ quay quanh Mặt Trăng theo quỹ đạo tròn bán kính R = 3,4.106m. Hỏi từ con tàu phải ném một vật theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo với vận tốc bằng bao nhiêu để nó rơi lên mặt đối diện của Mặt Trăng? Sau thời gian bao lâu nó sẽ rơi lên Mặt Trăng? Cho biết gia tốc rơi tự do của mọi vật ở gần bề mặt Mặt Trăng nhỏ hơn trên Trái Đất 6 lần, bán kính Mặt Trăng r = 1,7.106m. Giải Gọi là vận tốc tuyệt đối của vật m tại A khi vừa ném vật, là vận tốc của vật tại mặt đối diện B của Mặt Trăng. Sau khi ném ra khỏi tàu, vật m chuyển động theo quỹ đạo elip tiếp xúc với bề mặt Mặt Trăng tại B với bán trục lớn : Cơ năng của vật m gồm có động năng và thế năng hấp dẫn (M là khối lượng Mặt Trăng). Định luật bảo toàn cơ năng: Định luật 3 Kepler: Giải hệ (1) và (2): Gia tốc trọng trường trên Mặt Trăng: Thay số: Vận tốc của vật m khi chưa ném tại A là bằng vận tốc của tàu tại A: Thay số: Công thức cộng vận tốc: là vận tốc của vật đối với tàu) Ta có: v1<v0 (*) Thay vào (*) ta tính được: Như vậy cần phải ném vật với ngược chiều chuyển động của tàu. Chu kì quay của tàu: (vì R = 2r) Gọi T là chu kì quay của vật m. Theo định luật 3 Kepler: Thời gian để vật m rơi lên Mặt Trăng: Bài 3: Một vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn bán kính 2R quanh Trái Đất. Tại 1 thời điểm nào đó, từ vệ tinh phóng ra 1 trạm cùng chiều chuyển động của tàu đi tới 1 hành tinh khác, sau đó phần còn lại chuyển động theo chiều ngược lại theo 1 quỹ đạo elip đến gần mặt đất ở điểm đối diện với điểm phóng trạm. Hỏi khối lượng của trạm có thể chiếm 1 phần cực đại bằng bao nhiêu khối luợng vệ tinh? Giải Gọi là vận tốc của vệ tinh tại A, là vận tốc của trạm tại A và là vận tốc phần còn lại của vệ tinh. Định luật bảo toàn động lượng: Vệ tinh M chuyển động trên quỹ đạo tròn bán kính 2R lực hấp dẫn giữ vai trò là lực hướng tâm: (M0 là khối lượng Trái Đất) Trạm ở rất xa Trái Đất nên cơ năng của trạm bằng 0. Theo định luật bảo toàn cơ năng: Xét phần vệ tinh còn lại ở vị trí phóng trạm A và vị trí đối diện B. Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta có: Áp dụng định luật 2 Kepler: v.2R = v’.R Giải hệ (4) và (5): Thay v0 từ (2), u từ (3), v từ (6) vào (1) ta được: Bài 4: Một vệ tinh nhân tạo, khối lượng m, chuyển động theo quỹ đạo elip quanh Trái Đất khối lượng M. Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vị trí gần và xa nhất của vệ tinh là h và H. Tính: Cơ năng toàn phần của vệ tinh Vận tốc của vệ tinh tại vị trí cách tâm Trái Đất một khoảng l Chu kì quay T của vệ tinh Tính khối lượng của Trái Đất với các thông số của vệ tinh nhân tạo “Coxmot 380”: T = 102,2ph, h = 6588km, H = 7926km. Giải Cơ năng của vệ tinh: Tại A: Tại B: Định luật 3 Kepler: Giải hệ (1), (2), (3) ta được: Tại vị trí cách tâm Trái Đất khoảng l: Định luật 3 Kepler: Khối lượng Trái Đất: Thay số: Bài 5: Một trạm vũ trụ bay quanh TĐ trên quỹ đạo tròn có bk R = 2R0 (R0 = 6400km là bán kính TĐ), động cơ không họat động. Tính vận tốc v và chu kì T của trạm. Cho biết vận tốc vũ trụ cấp 1 của vật ở sát mặt đất là v0 = 7,9km/s. Bỏ qua lực cản của không khí. Động cơ của trạm họat động trong thời gian ngắn để tăng vận tốc của trạm lên đến giá trị v1. Khi này trạm chuyển sang quỹ đạo elip, khoảng cách đến tâm TĐ bé nhất là R1 = R và lớn nhất là R2 = 2 R1. Tính v1 và chu kì chuyển động của trạm trên quỹ đạo elip. Giải Gọi M là khối lượng TĐ. Khi trạm bay quanh TĐ thì lực hấp dẫn đóng vai trò là lực hướng tâm: Vận tốc vũ trụ cấp 1 được tính bởi: Do đó: Chu kì của trạm: b) Thế năng hấp dẫn của vật m chuyển động quanh TĐ được tính bởi công thức: Trong đó M là khối lượng TĐ, r là khỏang cách từ vật m đến tâm TĐ. Cơ năng của vật m chuyển động quanh TĐ gồm động năng và thế năng hấp dẫn: Tại A: Tại B: Định luật bảo tòan cơ năng: Xét trong khoảng thời gian rất nhỏ thì trạm có thể xem như chuyển động trên 1 đường thẳng và vectơ vận tốc của trạm sẽ quét 1 diện tích tam giác Định luật 2 Kepler: Giải hệ (1) và (2) ta được: Thay vào Trạm chuyển động tròn với T = 240ph 2R0 chuyển động elip với T2 Định luật 3 Kepler: Bài 6: Một vệ tinh được phóng lên quỹ đạo từ một điểm M0 cách tâm O của TĐ 1 khoảng r0 vận tốc xuống góc Om0. Cho v là vận tốc vệ tinh trên quỹ đạo tròn (O,r0) và là tỉ số giữa các bán kính (R là bán kính TĐ). Chứng minh vệ tinh sẽ chuyển động trên quỹ đạo tròn (không thóat khỏi lực hút TĐ, không gặp TĐ) nếu . Biết thế năng hấp dẫn ở cách tâm TĐ khoảng r cho bởi (M, m là khối lượng TĐ và vệ tinh và ở điểm xa vô cùng thế năng, động năng bằng 0 (với hệ quy chiếu địa tâm). Giải Điều kiện vệ tinh không thoát khỏi TĐ: Giả sử ở M0 vệ tinh được phóng với vận tốc v02 để thoát khỏi TĐ (đến M2). ĐL bảo toàn cơ năng: Trên quỹ đạo tròn, bán kính r0, vệ tinh có vận tốc v thì: Điều kiện để vệ tinh không trở về TĐ: (M1: điểm sát mặt đất) Giả sử tại M0, vệ tinh được phóng vớ vận tốc v01, sau khi phóng có điểm cao cận địa của quỹ đạo sát mặt đất (C): ĐL bảo toàn cơ năng: ĐL 2 Kepler: Thế (2): Mà: (3) Vậy (1) để vệ tinh không ra khỏi TĐ: (3) để vệ tinh không trở lại TĐ: Kết luận: Giaûi Söï rôi cuûa moät vaät treân Maët trôøi coù theå coi nhö laø chuyeån ñoäng theo 1 elip raát daøi (gaàn suy bieán thaønh ñöôøng thaúng) coù truïc lôùn con nhö baèng baùn kính R cuûa quyõ ñaïo Traùi Ñaát. Goïi t laø thôøi gian rôi cuõng chính laø khoaûng thôøi gian cuûa moät nöûa voøng chuyeån ñoäng treân elíp daøi (töùc laø baèng nöûa chu kì cuûa quyõ ñaïo elíp). AÙp duïng ñònh luaät III kepber cho vaät vaø Traùi ñaát chuyeån ñoäng quanh Maët trôøi. (T laø chu kì quay cuûa Traùi ñaát quanh Maët trôøi). Töø ñoù: t = 65 ngaøy ñeâm. Ñoá vui: Töông töï raèng ta taïo ñöôïc moät maãu heä Maët trôøi nhoû hôn ñoä lôùn töï nhieân n laàn nhöng baèng caùc vaät lieäu coù cuøng khoái löôïng rieâng trung bình nhö cuûa Maët trôøi vaø caùc haønh tinh. Khi ñoù, caùc chu kì quay cuûa maãu caùc haønh tinh theo caùc quyõ ñaïo cuûa chuùng seõ bieán ñoåi ra sao? Ñaùp aùn: Khoâng thay ñoåi.