Bài giảng môn học Hình học lớp 11 - Bài tập hình học không gian về xác định giao tuyến (Tiếp)

BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VỀ XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN Bài 1: Cho tứ diện ABCD.Hai điểm M ,N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho ¹ .Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn luôn đi qua MN,cắt CD và BD lần lượt tại E và F a)Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn luôn đi qua một điểm cố định b)Tìm quĩ tích giao điểm I của ME và NF c)Tìm quĩ tích giao điểm J của MF và NE Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC.Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M,N và B a) Tìm các giao tuyến (P) (SAB) và (P) (SBC) b)Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng (P) c)Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC) d)Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA,DC với (P). Chứng minh rằng E ,B ,F thẳng hàng Bài 3: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng .Trên các đoạn AC và BF lần lượt lấy các điểm M ,N sao cho: AM = kAC và BN = kBF (0 < k < 1) a)Giả sử k = 1/3 ;chứng minh rằng MN // DE b)Giả sử MN // DE, hãy tính k theo MN và DE ? Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC a)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b)Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) c)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN) Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi.Gọi M ,N ,E ,F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA ,SB ,SC ,và SD a)Chứng minh rằng ME//AC , NF//BD b)Chứng minh rằng ba đường thẳng ME ,NF ,và SO(O là giao điểm của AC và BD) đồng qui c)Chứng minh rằng 4 điểm M,N,E,F đồng phẳng Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N. a) CMR: IJ, MN và SO đồng qui (O =ACÇBD). Suy ra cách dựng điểm N khi biết M. b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. CMR: S, E, F thẳng hàng. c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. CMR PQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi (P) di động. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C¢ là trung điểm của SC, M là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua C¢M và song song với BC. a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định. b) Xác định thiết diện mà (P) cắt h́nh chóp SABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành. c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA. HD: a) Đường thẳng qua C¢ và song song với BC. b) H́nh thang. H́nh b́nh hành khi M là trung điểm của SA. c) Hai nửa đường thẳng. Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC. a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt (SAD). b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Bài 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có: . a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định. b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước. HD: a) IJ song song với mp qua AB và song song CD. b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k. Bài 1: Cho tứ diện ABCD.Hai điểm M ,N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho ¹ .Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn luôn đi qua MN,cắt CD và BD lần lượt tại E và F a)Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn luôn đi qua một điểm cố định b)Tìm quĩ tích giao điểm I của ME và NF c)Tìm quĩ tích giao điểm J của MF và NE GIẢI: a) Vì ¹ nên MN không song song với BC. Gọi cố định. Mặt khác : (MNEF)(BCD) = EF; MN (MNEF); và nên K hay EF luôn đi qua điểm K cố định. b) Khi (P) (ABC) thì BF; C E . Gọi H cố định. Khi (P) (MND) thì EDF Mặt khác ( BDN) (CDM) = DH mà ME (CDM) ; NF (BDN) nên I DH hay quỹ tích điểm I là đoạn thẳng DH. c) Tương tự : MF (ABD) ; NE (ADC) mà (ABD) (ADC) = AD; MF NE = J nên J thuộc đường thẳng AD hay quỹ tích điểm J là đường thẳng AD * Giới hạn quỹ tích : Khi (P) (MND) thì JD; (P) (ABC) thì JAnên J Vậy quỹ tích điểm J là đường thẳng AD trừ đi khoảng AD. Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC.Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M,N và B a) Tìm các giao tuyến (P) (SAB) và (P) (SBC) b)Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng (P) c)Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC) d)Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA,DC với (P). Chứng minh rằng E ,B ,F thẳng hàng Giải: a) Vì B, M nên ó Tương tự : Vì M; N lần lượt là trung điểm của SA; SC nên MN // AC Gọi I = Suy ra : I là trung điểm của SO. Vậy (P) cắt SO tại trung điểm của SO. ó Gọi K Vì O là trung điểm của BD Từ O, vẽ đường thẳng song song với BI cắt SD tại H. Áp dụng t/c đường trung bình. Ta có : SK = KH = HD hay Vậy (P) cắt SD tại K : c) Từ kết quả câu b. Suy ra : ; d) Vì nên AD không song song với MK. Gọi E = thì Tương tự : thì nên mà B Suy ra : B hay ba điểm B; E và F thẳng hàng. Bài 3: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng .Trên các đoạn AC và BF lần lượt lấy các điểm M ,N sao cho: AM = kAC và BN = kBF (0 < k < 1) a)Giả sử k = 1/3 ;chứng minh rằng MN // DE b)Giả sử MN // DE hãy tính k theo MN và DE GIẢI: a) Gọi J = . Ta có : ( g-g) nên hay J là trung điểm của AB. Tương tự : Gọi J1 = . Ta có : ( g-g) hay J1 là trung điểm của AB Vậy nên và nên MN // DE ( Định lí Talet) b) Nếu MN // DE. Vì nên DM cắt AB tại 1 điểm. Gọi giao điểm là J. Tương tự, vì nên ENAB = J1. mà J; J1 (MNED) nên . Áp dụng định lí Ta let. Ta có : mà hay Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC a)Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b)Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) c)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AMN) GIẢI: a) Gọi H = . Ta có : . b) Gọi . Ta có : SJ = JH. Gọi thì Vậy . c) Vậy thiết diện của hình chóp SABCD với là AMNP. Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi.Gọi M ,N ,E ,F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA ,SB ,SC ,và SD a)Chứng minh rằng ME//AC , NF//BD b)Chứng minh rằng ba đường thẳng ME ,NF ,và SO(O là giao điểm của AC và BD) đồng qui c)Chứng minh rằng 4 điểm M,N,E,F đồng phẳng GIẢI: a) ME; NF lần lượt là đường trung bình của nên ME//AC , NF//BD b) Ta có : Xét ( SAC): Gọi J = thì SJ = JO (Đlí ) Xét ( SBD): Gọi J1 = thì SJ1 = J1O (Đlí ) nên hay ba đường thẳng đồng quy tại trung điểm của SO. c) Vì nên 4 điểm M,N,E,F đồng phẳng. Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI > IA và SJ < JC. Một mặt phẳng (P) quay quanh IJ cắt SB tại M, SD tại N. a)CMR: IJ, MN và SOđồng qui (O =ACÇBD). Suy ra cách dựng điểm N khi biết M. b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. CMR: S, E, F thẳng hàng. c) INAD =P, MJ BC = Q. CMR PQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi (P) di động. Giải: a) Ta có : (SAC) (SBD) = IJ Trong (SAC). Gọi K = (1) nên và mà Suy ra : (2) Từ (1) và (2). Ta có : IJ, MN và SO đồng qui nên N là giao điểm của MK với SD. b) Vì S; E và F cùng thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) nên S; E và F cùng nằm trên đường thẳng hay S, E, F thẳng hàng. c) Từ IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q nên PQ là giao tuyến của (P) và (ABCD). Mặt khác : Xét (SAC) Gọi H = . Vì IJ và AC cố định nên H cố định. Mà IJ (P); nên hay PQ luôn đi qua điểm H cố định. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C¢ là trung điểm của SC, M là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua C¢M và song song với BC. a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định. b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành. c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA. GIẢI: a) Từ ( P) // BC. Gọi B' Ta có : B'C' // BC nên B' là trung điểm cạnh SB Vậy (P) luôn đi qua đường thẳng B'C' cố định. b) Vì BC // B'C' và BC // AD nên B'C' // AD Mặt khác : ( AB'C'D)(SAD) = AD + ( AB'C'D)(P) = B'C' + (P) (SAD) = MD' Suy ra : MD' // AD Vậy D' là giao điểm của đường thẳng qua M và song song với AD nên thiết diện của (P) với hình chóp SABCD là B'C'D'M ó Để B'C'D'M là hình bình hành thì B'C' = MD' mà B'C' == Vậy M là trung điểm cạnh SA. c) Khi thì . Gọi ( = ) Khi nên S = Vậy tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA là đường thẳng SI trừ khoảng giữa SI. Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC. a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt (SAD). b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). GIẢI: a) Vì các mặt phẳng ( SBC); (ABCD) và (ADJ) Lần lượt cắt nhau theo ba giao tuyến AD; BC và EF và AD // BC; nên (ADJ) (SBC) = EF với EF đi qua J và song song với BC. * Tương tự : (BCI) cắt (SAD) theo giao tuyến MN song song với AD và đi qua I. Vì I là trọng tâm của và MN // AD nên Mặt khác : nên ME // AB Tương tự : NF // DC nên Gọi K = Suy ra : PQ =QK + KP = Bài 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có: . a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định. b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước. HD: a) IJ song song với mp qua AB và song song CD. b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k. Giải: a) Cách dựng IJ: Gọi I Dựng IH // CD, . Dựng HJ // AB, Ta có : IJ là đoạn thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Giải: Qua I, dựng IH // CD, . ( Định lí Ta let) * Dựng mặt phẳng (P) qua CD và song song với AB > Ta có mặt phẳng (P) cố định. Mặt khác : HJ // AB; AB // (P) Nên (P) // HJ (P) // HI ( vì HI // CD) Nên (P) // (HIJ) Suy ra : IJ // (P) cố định. b) Gọi M Dựng MN // IH ( ) Gọi ; . Ta có : Tập hợp điểm M thuộc đoạn thẳng EF. Thật vậy: Xét (IHJ) : MN // IH nên N . Mặt khác : Xét ( CDE): Và ( cách dựng ) nên . Phần đảo: Gọi bất kì. Chứng minh : Thậy vậy: Từ . Qua M, dựng (P)// AB; (P) // CD. Cắt CA; CE; CB; DB; DA lần lượt tại H; N; J; I và K. và IK cắt CE tại P. Ta có : M NP ( Vì MP; MN cùng song song với CD) nên . Mặt khác : . Ta có : Vậy hay và Bài 10: Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, = 600, AB = a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB ^ OA. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a). a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất. Giải: a) Ta có: ABC : , = 600, AB = a là nửa tam giác đều. Mặt khác vì (Q) song song với SB và OA nên MN // OA; MQ // SB // NP. Từ SB OA nên MNPQ là hình thang vuông. b) Từ ABC là nửa tam giác đều Suy ra : đều đều Áp dụng định lí Ta let. Ta có : + . + + Vậy = * Ta có : = = Vậy Max khi Mình không dạy cấp 3 nhưng vì con học dốt mình phải học lại để dạy con. Nếu bài giải có gì sai sót, các bạn góp ý theo địa chỉ : huynhpyqt1965@gmail.com. xin cám ơn!