Bài giảng môn học Hình học lớp 11 - Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng (Tiếp)

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1. Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, nghĩa là với hai điểm M, N tuỳ ý và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng, ta luôn có M’N’ = MN. 2. Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay là những phép dời hình. 3. Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình F và G ta được một phép dời hình. Phép dời hình này được gọi là hợp thành của F và G 4. Phép dời hình: a. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy. b. Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. c. Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến gốc thành góc bằng nó. d. Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 5. - Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm , trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoài tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’. - Phép dời hình biến một đa giác n cạnh H thành một đa giác n cạnh H’, biến các đỉnh của H thành các đỉnh của H’, biến các cạnh của H thành các cạnh của H’ 6. Hai hình được gọi là bằng nhau khi có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. B. PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 7. Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = kMN. 8. a. Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1 b. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k| c. Thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk. 9. Phép đồng dạng tỉ số k là hợp thành của một phép dời hình và một phép vị tự tỉ số k. Nó cũng là hợp thành của một phép vị tự tỉ số k và một phép dời hình. 10. Phép đồng dạng tỉ số k: a. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy. b. Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. c. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó. d. Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k R. 11. - Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm,tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’. - Phép đồng dạng biến một đa giác n cạnh H thành một đa giác n cạnh H’, biến các đỉnh của H thành các đỉnh của H’, biến các cạnh của H thành các cạnh của H’ 12. Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: Bài 1: Chứng minh rằng nếu phép dời hình biến ba điểm O, A, B lần lượt thành O’, A’, B’ thì ta có: a. b. , với t là một số tuỳ ý. * Sử dụng công thức: AB2 = Giải a. Vì O’A’ = OA.O’B’=OB,A’B’=AB và AB2 = nên ta có: A’B’2 = AB2 Þ Þ Þ Þ Từ câu a) và định nghĩa ta có: Û Û Û Û Û Bài 2: Chứng minh rằng phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng * Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F ta chứng minh rằng: M Î H Û M’ = F(M) Î H’ M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi tồn tại t Î ¡, sao cho Giải: Cho đường thẳng d và phép dời hình F. Lấy A, B phân biệt thuộc đường thẳng d, gọi A’ = F(A), B’ = F(B). Khi đó vì A’B’ = AB nên A’ và B’ phân biệt. Ta sẽ chứng minh rằng F(d) là đường thẳng A’B’. Lấy điểm M thuộc d, gọi M’ = F(M). Áp dụng câu b) của bài 1, ta có: M Î d Û , -¥ < t < + ¥ Û , -¥ < t < + ¥ Û M’ thuộc đường thẳng A’B’. Vậy F(d)là đường thẳng A’B’. Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là tâm đối xứng của nó và E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA như hình 4.1. Chứng minh rằng hai hình thang AEID và FBEH bằng nhau. * Để chứng minh hai hình bằng nhau ta chỉ ra một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Giải: Phép quay tâm I góc 900 biến FBEH thành EAHG. Phép đối xứng qua đường trung trực của AE biến EAHG thành AEID. Do đó hai hình thanh AEID và FBEH bằng nhau. Bài 4: Trên một vùng đồng bằng có ba thành phố A, B, C tạo thành một tam giác nhọn như hình 4.2. Người ta muốn tìm một vị trí I ở trong tam giác ABC để xây dựng một sân bay chung cho cả ba thành phố đó sao cho tổng khoảng cách từ I tới các trung tâm của ba thành phố đó là ngắn nhất. * Để giải các bài toán tìm điểm sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến một số điểm cho trước là ngắn nhất ta thường dùng các phép dời hình thích hợp để nối các đoạn thăẳg đang xét lại thành một đường gấp khúc. Khi đó tổng các khoảng cách là ngắn nhất khi đường gấp khúc đó thuộc một đường thẳng. Giải Bài toán thực tiễn trên được đưa về bài toán hình học sau: Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm I nằm trong tam giác đó sao cho IA + IB + IC Lâấ điểm I nằm trong tam giác ABC. Phép quay tâm B góc 600 biến I thành J và biến A thành A’. Để ý rằng (BI, BJ) = 600, (BA’, BA) = -600. Ta có: (BI, BA)=(BI,BJ)+(BJ,BA’)+(BA’,BA)=(BJ, BA’) Do đó tam giác BIA bằng tam giác BIA’ (c-g-c) Từ đó suy ra A’J = AI Do đó IA + IB + IC = A’J + JI + IC ngắn nhất khi A’, J, I, C thẳng hàng, J ở giữa A’I và I giữa JC. Khi đó: ; Vậy I nhìn các cạnh của tam giác ABC dưới góc 1200. Để xác định điểm I ta dựng ảnh A’ của A qua phép quay tâm B góc 600. Trên A’C dựng các điểm I, J sao cho BIJ là tam giác đều và (BI, BJ)=600. Ta sẽ chứng minh I là điểm cần tìm. Vật vậy, do nhọn nên 0 600 và = 600 nên I phải nằm trong tam giác ABC. Khi đó dễ thấy A’, J, I, C thẳng hàng, J ở giữa A’I, I ở giựa JC và IA + IB + IC = A’J + JI + IC = A’C nên nó ngắn nhất. Bài 5: Cho điểm A thuộc đường tròn C đường kính BC như hình 4.4. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC tam giác ABD vuông cân ở D. Gọi I là trung điểm của DB, tìm tập hợp các điểm I khi A chạy trên nửa đường tròn C. * Để có thể dùng phép biến hình giải các bài toán tìm tập hợp điểm ta xem tập hợp điểm đó là ảnh của một hình đã biết qua một phép biến hình xác định. Giải: Trên tia BD lấy điểm E sao cho BE = BA. Do (BA, BE) = 450 nên có thể em E là ảnh của A qua phép quay tâm B góc 450. Ta lại có: Do đó: Vậy I là ảnh của E qua phép vị tự tâm B tỉ số . Khi đó I là ảnh của A qua phép đồng dạng F là hợp thành của phép quay tâm B góc 450 và phép vị tự tâm B tỉ số . Do đó khi A chạy trên nửa đường tròn C, thì I chạy trên nửa đường tròn C’ là ảnh của C qua phép đồng dạng F. III. BÀI TẬP: 1. Chứng minh rằng hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song là một phép tịnh tiến. 2. Chứng minh rằng phép dời hình biến một tia thành một tia. 3. Cho hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ có AB = A’B’ như hình 4.5. Tìm một phép dời hình biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’. 4. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABD và BCE. Dựng hình bình hành DCEF. Chứng minh AEF là tam giác đều. 5. Cho hai hình vuông ABCD và AEFG như hình 4.6. Gọi I, J, L, M lần lượt là trung điểm của BD, DE, EG, GB. Chứng minh rằng tứ giác IJLM là hình vuông. 6. Cho đường tròn C và điểm A nằm ngoài đường tròn. Với mỗi điểm B thuộc C, dựng hình vuông ABCD sao cho nếu đi dọc các cạnh theo chiều ABCD thì luôn thấy hình vuông ở bên trái như hình vẽ 4.7. Chứng minh rằng B chạy trên C thì C và D cũng chạy trên những đường tròn cố định. 7. Cho hai điểm phân biệt A, B và đường tròn (O) không có điểm chung với đường thẳng AB. Chứng minh rằng khi điểm C chạy trên đường tròn (O) trọng tâm tam giác ABC cũng chạy trên một đường tròn cố định. 8. Cho dây cung AB độ dài không đổi có hai đầu mút chạy trên đường tròn tâm O bán kính R và một điểm C cố định trên (O). Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC chạy trên một đường tròn cố định.