Bài giảng môn học Hình học lớp 11 - Tổng và hiệu hai vectơ

TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ A. Tóm tắt lý thuyết : 1.Định nghĩa: Cho ; . Khi đó 2.Tính chất : * Giao hoán : = * Kết hợp: () + = +) * Tính chất vectơ –không: += · Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : + = · Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì + = · Quy tắc về hiệu vec tơ : Cho O , B ,C tùy ý ta có : TÍCH CUẢ VECTƠ VỚI MỘT SỐ · Cho kỴR , k là 1 vectơ được xác định: * Nếu k ³ 0 thì k cùng hướng với ; k < 0 thì k ngược hướng với * Độ dài vectơ k bằng êk ê.êê · Tính chất : a) k(m) = (km) b) (k + m) = k + m c) k( + ) = k + k d) k = Û k = 0 hoặc = · cùng phương ( ¹) khi và chỉ khi có số k thỏa = k · Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là có số k sao cho = k · Cho không cùngphương , " luôn được biểu diễn = m + n ( m, n duy nhất ) B. BÀI TẬP 1. Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm AB, BC, CD, DA. CMR : = 2. Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ABEF. Dùng c¸c vect¬ vµ b»ng CMR : ADHE, CBFG, DBEG lµ h×nh b×nh hµnh. 3. Cho h×nh thang ABCD cã hai ®¸y lµ AB vµ CD víi AB = 2CD. Tõ C vÏ = . CMR : a/ I lµ trung ®iĨm AB vµ = b/ = = 4. Cho DABC. Gäi M, N, P lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm cđa BC, CA, AD. Dùng = vµ = a/ CMR : = b/ H×nh tÝnh tø gi¸c AKBN c/ CMR : = 5. Cho 4 ®iĨm A, B, C, D. CMR : + = + 6. Cho 5 ®iĨm A, B, C, D, E. CMR : + + = + 7. Cho 6 ®iĨm A, B, C, D, E, F. CMR : + + = + + 8. Gäi O lµ t©m cđa h×nh b×nh hµnh ABCD. CMR : a/ += b/+= c/ + + += d/+=+ (M tïy ý) 9. Cho tø gi¸c ABCD. Gäi O lµ trung ®iĨm AB.CMR : + = + 10. Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. TÝnh ú theo a 11. Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, biÕt AB = 3a; AD = 4a. a/ TÝnh ½ç b/ Dùng = . TÝnh ú 12. Cho DABC vu«ng t¹i A, biÕt AB = 6a, AC = 8a a/ Dùng = . b/ TÝnh ú. 13. Cho DABC cã träng t©m G. Gäi MỴBC sao cho = 2 a/ CMR : + 2 = 3 b/ CMR : + + = 3 14. Cho tø gi¸c ABCD. Gäi E, F lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, CD vµ O lµ trung ®iĨm cđa EF. a/ CMR : + = 2 b/ CMR : + + + = c/ CMR : + + + = 4 (M tïy ý) d/ X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa ®iĨm M sao cho½ + ++½ nhá nhÊt 15. Cho tø gi¸c ABCD. Gäi E, F, G, H lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm AB, BC, CD, DA vµ M lµ 1 ®iĨm tïy ý. a/ CMR : + + + = b/ CMR : +++ = +++ c/ CMR : + = 4 (víi G lµ trung ®iĨm FH) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã t©mO vµ E lµ trung ®iĨm AD. CMR : a/ + + + = b/ + + 2 = 3 c/ + 2+ 4= Cho DABC. H·y x¸c ®Þnh ®iĨm M sao cho : a/ - + = b/ - + = c/ - + = d/ - - = e/ + - + = Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB = 3a, AD = 4a. a/ TÝnh ½- ç b/ Dùng = - . TÝnh ½ç Cho DABC ®Ịu c¹nh a. Gäi I lµ trung ®iĨm BC. a/ TÝnh ½ç b/ TÝnh ½- ç CMR : + + = 3 Cho tg ABC, Gäi I lµ ®iĨm trªn c¹nh BC sao cho 2CI = 3BI, gäi J lµ ®iĨm trªn BC kÐo dµi sao cho 5JB = 2JC. a) TÝnh b) Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC . TÝnh theo vµ Cho DABC cã M, D lÇn l­ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, BC vµ N lµ ®iĨm trªn c¹nh AC sao cho = . Gäi K lµ trung ®iĨm cđa MN. a/ CMR : = + b/ CMR : = + Cho DABC. Trªn hai c¹nh AB, AC lÊy 2 ®iĨm D vµ E sao cho = 2 , = 3. Gäi M lµ trung ®iĨm DE vµ I lµ trung ®iĨm BC. CMR : a/ = + b/ = + Cho 4 ®iĨm A, B, C, D tháa 2 + 3 = 5 CMR : B, C, D th¼ng hµng. Cho DABC, lÊy M, N, P sao cho = 3;+3= vµ + = a/ TÝnh , theo vµ b/ CMR : M, N, P th¼ng hµng. Cho tam gi¸c ABC.Gäi A’ lµ ®iĨm ®èi xøng víi A qua B, B’ lµ ®iĨm ®èi xøng víi B qua C, C’ lµ ®iĨm ®èi xøng víi C qua A.Chøng minh c¸c tam gi¸c ABC vµ A’B’C’ cã cïng träng t©m. Cho tam gi¸c ABC vµ ®iĨm M tuú ý. Gäi A’, B’, C’ lÇn l­ỵt lµ ®iĨm ®èi xøng cđa M qua c¸c trung ®iĨm K, I, J cđa c¸c c¹nh BC, CA, AB a/ Chøng minh ba ®­êng th¼ng AA’, BB’, CC’ ®ång qui b/ Chøng minh khi M di ®éng , MN lu«n qua träng t©m G tam gi¸c ABC Cho tam gi¸c ABC. T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm M tho¶ m·n t­ng ®tỊu kiƯn sau : a/ . b/ c/ | d/ e/ | C. Trơc – To¹ ®é trªn trơc: Trªn trơc x'Ox cho 2 ®iĨm A, B cã täa ®é lÇn l­ỵt lµ -2 vµ 5. a/ T×m täa ®é cđa . b/ T×m täa ®é trung ®iĨm I cđa ®o¹n th¼ng AB c/ T×m täa ®é cđa ®iĨm M sao cho 2 + 5 = d/ T×m täa ®é ®iĨm N sao cho 2 + 3 = -1 Trªn trơc x'Ox cho 3 ®iĨm A, B, C cã täa ®é lÇn l­ỵt lµ a, b, c. a/ T×m täa ®é trung ®iĨm I cđa AB b/ T×m täa ®é ®iĨm M sao cho + - = c/ T×m täa ®é ®iĨm N sao cho 2 - 3 = Trªn trơc x'Ox cho 2 ®iĨm A, B cã täa ®é lÇn l­ỵt lµ -3 vµ 1. a/ T×m täa ®é ®iĨm M sao cho 3 - 2 = 1 c/ T×m täa ®é ®iĨm N sao cho + 3 = Trªn trơc x'Ox cho 4 ®iĨm A(-2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) a/ CMR : + = b/ Gäi I lµ trung ®iĨm AB. CMR : c/ Gäi J lµ trung ®iĨm CD. CMR : D. To¹ ®é trªn mỈt ph¼ng: ViÕt täa ®é cđa c¸c vect¬ sau : =- 3, = + ; = -+ ; = 3 ; = -4. ViÕt d­íi d¹ng = x+ y, biÕt r»ng : = (1; 3) ; = (4; -1) ; = (0; -1) ; = (1, 0) ; = (0, 0) Trong mp Oxy cho = (-1; 3) , = (2, 0). T×m täa ®é vµ ®é dµi cđa c¸c vect¬ : a/ = 3 - 2 b/ = 2 + c/ = 4 - Trong mp Oxy cho A(1; -2) , B(0; 4) , C(3; 2) a/ T×m täa ®é cđa c¸c vect¬ , , b/ T×m täa ®é trung ®iĨm I cđa AB c/ T×m täa ®é ®iĨm M sao cho : = 2 - 3 d/ T×m täa ®é ®iĨm N sao cho : + 2 - 4 = Trong mp Oxy cho DABC cã A(4; 3) , B(-1; 2) , C(3; -2). a/ CMR : DABC c©n. TÝnh chu vi DABC. b/ T×m täa ®é ®iĨm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. c/ T×m täa ®é träng t©m G cđa DABC. Trong mp Oxy cho DABC cã A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; -1). a/ CMR : DABC vu«ng. TÝnh diƯn tÝch DABC. b/ Gäi D(3; 1). CMR : 3 ®iĨm B, C, D th¼ng hµng. c/ T×m täa ®é ®iĨm D ®Ĩ tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Trong mp Oxy cho DABC cã A(-3; 6) , B(9; -10) , C(-5; 4). a/ CMR : A, B, C kh«ng th¼ng hµng. b/ T×m täa ®é träng t©m G cđa DABC. c/ T×m täa ®é t©m I cđa ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DABC vµ tÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn ®ã. Trong mp Oxy cho A(-3; 2) , B(4; 3). H·y t×m trªn trơc hoµnh c¸c ®iĨm M sao cho DABM vu«ng t¹i M. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5) a/ H·y t×m trªn trơc hoµnh 1 ®iĨm C sao cho DABC c©n t¹i C. b/ TÝnh diƯn tÝch DABC. c/ T×m täa ®é ®iĨm D ®Ĩ tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(-1; -1) , C(6; 0) a/ CMR : A, B, C kh«ng th¼ng hµng. b/ T×m täa ®é träng t©m G cđa DABC. c/ CMR : DABC vu«ng c©n. d/ TÝnh diƯn tÝch DABC. Cho DABC víi trung tuyÕn AM. Gäi I lµ trung ®iĨm AM. a/ CMR : 2 + + = b/ Víi 1 ®iĨm O bÊt kú. CMR : 2 + + = 4 Cho h×nh b×nh hµnh ABCD t©m O. Gäi I lµ trung ®iĨm BC vµ G lµ träng t©m DABC. a/ CMR : 2 = 2 + b/ CMR : 3 = + + Cho DABC. LÊy trªn c¹nh BC ®iĨm N sao cho = 3. TÝnh theo vµ Cho h×nh b×nh hµnh ABCD t©m O. Gäi I vµ J lµ trung ®iĨm cđa BC, CD. a/ CMR : = ( + 2) b/ CMR : + + = c/ T×m ®iĨm M tháa : - + = Cho DABC vµ 1 ®iĨm M tïy ý. a/ H·y x¸c ®Þnh c¸c ®iĨm D, E, F sao cho = + , = + vµ = + . CMR c¸c ®iĨm D, E, F kh«ng phơ thuéc ®iĨm M. b/ CMR : + + = + + Cho DABC. T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm M tháa ®iỊu kiƯn : a/ = b/ + + = c/ ú + ç = ú - ç d/ ú + ç = úç + úç e/ ú + ç = ú + ç Cho DABC cã träng t©m G. Gäi D vµ E lµ c¸c ®iĨm x¸c ®Þnh bëi = 2, = a/ TÝnh , , theo vµ b/ CMR : D, E, G th¼ng hµng. Cho DABC. Gäi D lµ ®iĨm x¸c ®Þnh bëi = vµ M lµ trung ®iĨm ®o¹n BD. a/ TÝnh theo vµ . b/ AM c¾t BC t¹i I. TÝnh vµ Trªn mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2). a/ T×m täa ®é ®iĨm D n»m trªn Ox vµ c¸ch ®Ịu 2 ®iĨm A vµ B b/ TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch D OAB c/ T×m täa ®é trong t©m D OAB. d/ §­êng th¼ng AB c¾t Ox vµ Oy lÇn l­ỵt t¹i M vµ N. C¸c ®iĨm M vµ N chia ®o¹n th¼ng AB theo c¸c tØ sè nµo ? e/ Ph©n gi¸c trong cđa gãc AOB c¾t AB t¹i E. T×m täa ®é ®iĨm E. f/ T×m täa ®é ®iĨm C ®Ĩ tø gi¸c OABC lµ h×nh b×nh hµnh.